Ly thuyet + bai tap trac nghiem khong gian oxyz

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ-MẶT CẦU
A. Lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục x 'Ox, y 'Oy, z 'Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O
rr r
cùng với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là i , j ,k .
* O: gốc tọa độ
* y 'Oy : trục tung
2. Tọa độ của vectơ trong không gian
r
r
r
r
r
u
=
(
x
;
y
;
z
)
�
u
=
x
.
i
+
y

.
j
+
z
.
k
2.1. Định nghĩa:
.
Với định nghĩa trên, ta có:
r
r
r
i
=
1
;0;0
j = 0;1;0
0 = (0;0;0)
2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian

(

Cho

a)

)

(

r
r
a = ( x1;y1;z1) ,b = ( x2;y2;z2 )

r r
a �b = ( x1 �x2;y1 �y2;z1 �z2 )

)

* x 'Ox : trục hoành
* z 'Oz : trục cao

r
k = ( 0;0;1)

và số thực k

;

b)

r
ka = ( kx1;ky1;kz1)

r r
�
x1 = x2
a =b � �
�
�

y = y2; z1 = z2
�
�1
; c)
;

r
r
�
x1 = tx2
x
y
z
�
�
$
t
�
�
:
a
=
tb
�
$
t
�
�
:
�

� 1= 1= 1
r
r r r
�
y = ty2, z1 = tz2
x2 y2 z2
�
�1
d) a cùng phương b ( b �0 )
x y z �0
(với đk: 2 2 2
)
e) Tích vô hướng của hai vectơ:
rr
r r
rr
rr
ab
. = a b cos a,b
ab
. = x1x2 + y1y2 + z1z2
Định nghĩa:
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Hệ quả:
rr
rr r
x1x2 + y1y2 + z1z2
r
cos
a

,
b
=
a
,b �0
2
2
2
2
2
2
a = x12 + y12 + z12
x1 + y1 + z1 . x2 + y2 + z2
r r
rr
a ^ b � ab
. = 0 � x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
f) Tích có hướng của hai vectơ
rr

( )

( )

(

)

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a,b là một vectơ có tọa độ xác định như sau:
rr

r r �
x2 x3 x3 x1 x1 x2 �
�
�
� �
�
�
a,b�
= a �b = �
;
;
�
�
�
�
y
y
y
y
y
y
� �
�
�
�2 3 3 1 1 2 �
Tính chất:
rr
r
rr
r

rr
rr
� �
� �
� � � �
a,b�
^a
a,b�
^b
a,b�
=- �
b,a�
�
�
�
� � và � �
� � � �
rr
r r
rr
rr
r
� �
� �
r
r
a
,
b
=

a
b
.sin
a
,
b
�
a
,
b
=
0
� �
� �
� �
� �
a và b cùng phương
rr r
� �
rrr
��
a,b�
.c = 0
a,b,c đồng phẳng
� �

( )

Ứng dụng: Diện tích tam giác:

SD ABC

uuur uuur
uuur uuur uuur
1�
�
�
�
= �
AB, AC �
VABCD.A 'B 'C 'D ' = �
AB, AD �
.AA '
�. Thể tích khối hộp:
2�
�
�
1


VABCD =

uuur uuur uuur
1�
�
AB
.AD
� , AC �
�
6�

Thể tích khối tứ diện:
3. Tọa độ của điểm trong không gian
3.1. Định nghĩa:

uuur
M ( x;y;z) � OM = ( x;y;z)

O ( 0;0;0)
Với định nghĩa trên, ta có:
M �Ox � M ( x;0;0)
M �( Oxy) � M ( x;y;0)
M �Oy � M ( 0;y;0)

M �( Oxz) � M ( x;0;z)

3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
A ( xA ;yA ;zA ) , B ( xB ;yB ;zB ) ,C ( xC ;yC ;zC )
Cho

uuur
AB = ( xB - xA ;yB - yA ;zB - zA )

Tọa độ của vectơ
Độ dài đoạn thẳng

(x

AB =

B

2

2

- xA ) + ( yB - yA ) + ( zB - zA )

2

�
xA + xB yA + yB zA + zB �
�
�
M�
�
;
;
�
�
�
�
2
2
2
�
�
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
.
�

xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC �
�
�
G�
�
;
;
�
�
�
�
3
3
3
�
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: �
B. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Cho điểm
I ( - 1;- 2;3) .
A.

A ( 3;5;- 7) ,B ( 1;1;- 1) .

Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .
I ( - 2;- 4;6) .
I ( 2;3;- 4) .
I ( 4;6;- 8) .
B.
C.
D.

A ( 1;2;3)
Câu 2. Cho điểm
và điểm B thỏa mãn hệ thức
thẳng AB . Tìm tọa độ điểm M .
A.

M ( - 4;- 2;- 2) .
B.
A ( 2;0;0) , B ( 1;- 4;0) ,C ( 0;1;6) .

� 1 3�
�
�
M�
1
;
;
.
�
�
�
2 2�
�
�
C.

M ( - 1;1;2) .

Câu 3. Cho

�
3 - 3 �
�
G�
;
;3�
.
�
�
�
�
2
2
�
�
A.
Câu 4. Cho

ur
a = ( - 1;0;2) .

A. 0 .
Câu 5. Cho hai điểm
A. 7 .

B.

G ( 1;- 1;2) .

B.

và

41 .

Điểm M là trung điểm của đoạn

D.

M ( - 2;- 1;- 1) .

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
�
�
3
�
G�
;- 2;0�
.
�
�
�
�
G ( - 1;- 4;0) .
2
�
�
C.
D.

Tìm độ dài của vectơ

B. 5 .
M ( 2;1;- 2)

uuur ur
r
OB = k - 3i .

N ( 4;- 5;1) .

ur
a.

C. 1.

D.

3

Tìm độ dài đoạn thẳng MN .
C.

7.

D. 49.

uuur uuur
A ( 3;2;1) , B ( - 1;3;2) ,C ( 2;4;- 3)
AB

.AC .
Câu 6. Cho ba điểm
. Tính tích vô hướng
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB
.
AC
=
6.
AB
.
AC
=
4.
AB
.
AC
=
4.
AB
.AC = 2.
A.
B.
C.
D.
Câu 7. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc N của điểm M (1;2;3) trên mặt phẳng (Oxz).
2

A. N (0;2;0).

B. N (1;0;3).
C. N (0;2;3).
D. N (1;2;0).
C ( 0;0;2) .
Câu 8. Cho điểm
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Điểm C �Ox.
B. Điểm C �Oz.
C. Điểm C �Oy. D. Không nằm trên trục tọa độ nào.

ur
ur
ur
ur
a = ( 1;- 2;- 3)
b = - 2a .
b.
Câu 9. Cho vectơ
và
Tìm tọa độ của vectơ
ur
ur
ur
b = ( - 1;- 4;- 5) .
b = ( - 2;- 4;- 6) .
b = ( - 2;4;6) .

A.

B.

C.

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vec tơ
r r
của m để a ^ b .
A. - 2.
B. 2.
Câu 11. Cho tam giác ABC với
hình bình hành.
A.

D ( 0;1;2)

.

B.

r
a = ( m;3;4)

.

C.

D ( 0;- 1;2)

và

r
b = ( 4;m;- 7) .

C. 4 .

A ( 1;2;- 1) , B ( 2;3;- 2) , C ( 1;0;1) .

D ( 0;1;- 2)

D.

ur
b = ( 2;- 4;- 6) .

.

Tìm giá trị

D. - 4.

Tìm tọa độ đỉnh D sao cho ABCD là

D.

D ( 0;- 1;- 2)

.

M ( 1;2;3) ;N ( 3;2;1) P ( 1;4;1) .
;
Hỏi D MNP là tam giác gì?
B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác vuông.
rr
rr
�
a
.
x
=
3
,
b
.x = 4
�
ur
r
�r r
r
r
�
c.x = 2
x
a = ( 2;3;1) , b = ( 1;- 2;- 1) , c = ( - 2;4;3)
�
Câu 13. Cho
. Gọi
là vectơ thỏa mãn �

.
ur
x.
Tìm tọa độ vectơ
� 7 6�
�
�
�
24 23 �
�
�
�
�
0;
;
.
;
;6
.
�
�
�
�
�
�
4;5;10) .
4;- 5;10) .
(
(
5 5�

7
7 �
�
�
�
�
A.
B.
C.
D.
M ( 2;3;- 1) , N ( - 1;1;1) P ( 0;m;0)
Câu 14. Cho ba điểm
,
. Tìm m để tam giác MNP vuông tại M.
15
13
m= .
m= .
2
2
A.
B. m = 7 .
C.
D. m = - 7.
Câu 12. Cho ba điểm
A. Tam giác đều.

Câu 15. Cho 3 điểm
 
A. (2; - 1;2)

A ( 3;3;0) , B ( 3;0;3) ,C ( 0;3;3)
    )
B. (2;2;1

. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
   
   
C. (2;2;2)
D. (- 1;2;2)

M ( 1;0;0) N ( 2;- 1;1) Q ( 0;1;0)
����
Câu 16. Cho hình hộp MNPQ.M N P Q với
;
;
;
M�
( 1;2;1) . Tìm tọa độ điểm P �
( - 1;2;2) .
( 1;0;2) .
A.
B.
( 3;2;2) .
C.
D. (1;2;2).
M ( 2;4;- 3)

uuur
uuuu

r
MP = ( 2;- 6;6) , MN = ( - 3;- 1;1)

Câu 17. Cho tam giác MNP có đỉnh
và
. Tìm tọa độ trọng
tâm G của tam giác MNP.
�
�
� 5 5 2�
�
�
�
� 5 5 2�
�
5 5 2�
5 5 2�
�
�
�
�
�
�
�
�
;
;
.
;
;

.
;
;
.
;
;
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 3 3�
3 3 3�
3 3 3�
3 3 3�
�
�
�
�
�
�
�

�
A.
B.
C.
D.
( S ) có tâm I ( 5;4;- 3) và bán kính R = 5. Viết phương trình của mặt cầu ( S ) .
Câu 18. Cho mặt cầu
3


( x - 5)
A.

2

+ ( y - 4) + ( z + 3) = 25.

2

2

( x + 5)
B.

2

+ ( y + 4) + ( z - 3) = 25.

( x - 5)
C.

2

+ ( y - 4) + ( z - 3) = 25.

2

2

( x - 5)
D.

2

+ ( y - 4) + ( z + 3) = 5.

2

2

2

2

2

2

( S ) : ( x - 5) + ( y + 4) + z = 9. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của ( S ) .
Câu 19. Cho mặt cầu

I ( 5;- 4;0) R = 9
I ( 5;- 4;0) R = 3
I ( - 5;4;0) R = 9
I ( - 5;4;0) R = 3
A.
,
. B.
,
. C.
,
. D.
,
( S ) : x2 + y2 + z2 - 2x - 4z - 4 = 0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của ( S ) .
Câu 20. Cho mặt cầu
I ( 1;0;2) , R = 3.
I ( - 2;- 2;- 4) , R = 3. I ( - 1;0;- 2) , R = 3.
I ( 1;2;0) , R = 9.
A.
B.
C.
D.
( S ) : x + y + z - 2( m + 2) x + 4my - 2mz + 5m + 9 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả giá
Câu 21. Cho
2

2

2

2

2

( S ) là mặt cầu.
trị của m để
5 m 1.
A. m ‫ڳ‬-�
B. m < - 5 �m > 1.

D. - 5 < m < 1.

C. Thỏa với mọi m .

Câu 22. Cho điểm M (1;- 1;2) và N (3;1;4) . Viết phương trình mặt cầu đường kính MN .

( x - 2)
A.

2

+ y2 + ( z - 3) = 3

( x + 2)
C.

2

+ y2 + ( z + 3) = 3

( S)

Câu 23. Cho mặt cầu

2

( x - 2)
B.

2

( x + 2)
D.

có tâm

2

2

2

2

I ( 1;2;3)

( x - 1)
A.

2

+ ( y - 2) + ( z - 3) = 14

( x + 1)
C.

2

+ ( y + 2) + ( z + 3) = 14

2

+ y2 + ( z - 3) = 3

2

2

+ y2 + ( z - 3) = 3

2

và đi qua gốc tọa độ O . Viết phương trình của mặt cầu

( x + 1)
B.

2

2

2

2

2

( S) .

+ ( y + 2) + ( z + 3) = 14

2

( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = 14 .
D.
A ( 2;0;0) , B ( 0;4;0) ,C ( 0;0;6)
D ( 2;4;6) .
( S)
Câu 24. Cho bốn điểm
và
Viết phương trình mặt cầu
bốn điểm A, B,C , D .

2
2
2
A. x + y + z - x - 2y - 3z = 0.

đi qua

2

2
2
B. x + y + z + x + 2y + 3z = 0.

2
2
2
C. x + y + z - 2x - 4y - 6z = 0.

2
2
2
D. x + y + z - 2x - 4y = 0.
( S ) có tâm nằm trên trục Oy và đi qua hai
Câu 25. Cho M (0;1;2), N (- 2;- 1;0) . Viết phương trình mặt cầu
điểm M , N .

( x + 1)
A.

2

2

+ y2 + ( z - 1) = 3.

2
2
2
B. x + y + z = 5.

( x - 1)
D.

2
2
2
C. x + y + z = 3.

2

2

+ y2 + ( z + 1) = 3.

Câu 26. Cho hình bình hành có 3 đỉnh A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2). Tính diện tích hình bình hành.

83
2

A. 2 83
B. 83
C.
D. 83
Câu 27. Cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; 2; 3), C(2; 1; 0). Tính độ dài đường cao của tam giác hạ từ đỉnh
C.
A.

26

26
B. 2

C.

26
3

D. 26
4


Câu 28. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -1). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
A.1
B.2
C. 1/3
D. 1/2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. Lý thuyết
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
r
r
a)
(
( a) .
n
0
n

- Vectơ
khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
nếu giá của
vuông góc với
rr
r
( a ) thì ta có
a
,
b
- Nếu hai vectơ
khác 0 , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
u
r
rr
� �
a,b�
( a ) là n = �
� �
thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mp là phương trình có dạng: Ax + By +Cz + D = 0, với
u
r
A2 + B 2 +C 2 �0, trong đó, n = ( A;B ;C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
u
r
( a ) đi qua điểm M ( x0;y0;z0) và nhận n = ( A;B;C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình

- Mặt phẳng

A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0

là:

3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát:
( a ) có phương trình tổng quát: Ax + By +Cz + D = 0, với A2 + B 2 +C 2 �0
Xét mặt phẳng
Các hệ số

*

Phương trình ()

Tính chất mặt phẳng ()

D=0

Ax + By +Cz = 0

() đi qua gốc toạ độ O

A=0

By +Cz + D = 0

() // Ox hoặc ()  Ox

B=0

Ax +Cz + D = 0

() // Oy hoặc ()  Oy

C=0

Ax + By + D = 0

() // Oz hoặc ()  Oz

A=B=0

Cz + D = 0

() // Oxy hoặc ()  Oxy (z = 0)

Phương

trình

mặt

phẳng

theo

đoạn

A ( a;0;0) ,B ( 0;b;0) ,C ( 0;0;c) (abc �0)

là:

chắn,

cắt

ba

trục

toạ

độ

tại

các

điểm

x y z
+ + =1
a b c

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

5


Cho hai mp:

( a)

Hai mặt phẳng

A1x + B1y +C 1z + D1 = 0

( a)

( b) A x + B y + C z + D
2

2

2

2

=0

uu
r

uu
r
=
A
;
B
;

C
n
= ( A2;B2;C 3 )
(
)
1
1
1
1
, 2
.

( b) lần lượt có vectơ pháp tuyến là n
và

uu
r
uu
r
�
n
=
kn
�
�
2
(k ��) A1 = B1 = C 1 � D1
�1
D �kD2
( a ) // ( b)  �

A
B2 C 2 D2
A B C D �0
�
�1

 2
(nếu 2 2 2 2
)
uu
r
uu
r
�
n = kn2
�
�
(k ��) A1 = B1 = C 1 = D1
�1
�
D = kD2
( a )  ( b)  �
A
B2 C 2 D2
A B C D �0
�1

 2
(nếu 2 2 2 2
)

uu
r
uu
r
( a ) và ( b) cắt nhau  n1 và n2 không cùng phương

۹ A1 : B1 : C1 A2 : B2 :C 2
A B C �0
(nếu 2 2 2
)
( a )  ( b)  A1A2 + B1B2 +C 1C 2 = 0

5. Góc giữa hai mặt phẳng:
( a ) : A1x + B1y +C 1z + D1 = 0 ( b) : A2x + B2y +C 2z + D2 = 0
Cho hai mp
A1A2 + B1B2 +C 1C 2
cosj =
a)
b)
(
(
A12 + B12 +C 12 . A22 + B22 +C 22
j
Gọi là góc giữa
và
. Ta có:
M ( x0;y0;z0 )
( a ) : Ax + By +Cz + D = 0
6. Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng

Ax0 + By0 +Cz0 + D
d ( M 0,(a)) =
A 2 + B 2 +C 2
B. Bài tập trắc nghiệm
r
( P ) : 2x - 2y + 4z - 1 = 0 .
Câu 1. Tìm vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng
r
r
r
r
n = ( 1;1;2) .
n = ( 2;2;4) .
n = ( 1;- 1;2) .
n = ( 1;- 1;- 2) .
A.
B.
C.
D.
x y z
(P ) : + + = 1
2 2 3
Câu 2. Cho mặt phẳng
. Tìm tọa độ điểm K là giao điểm của mp (P ) với trục hoành.
�
�
1
�
K�
;0;0�

.
�
�
�
K ( 2;0;0) .
K ( 0;0;3) .
K ( 0;2;0) .
�
2
�
�
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q ) : 2x - y + z - 1 = 0.
M ( 0;0;1) .
M ( 0;0;3) .
M ( 1;1;0) .
M ( 1;- 1;- 2) .
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Tìm mặt phẳng song song với trục hoành trong các mặt phẳng sau
A. x - z + 1 = 0.
B. x - y - 1 = 0.
C. - y - z + 1 = 0.
D. y - z = 0.
Câu 5. Tìm mặt phẳng song song với mp(Oxy) trong các mặt phẳng sau

A. x - 1 = 0.
B. y - 1 = 0.
C. z - 1 = 0.
D. z = 0.
Câu 6. Tìm mặt phẳng chứa trục Ox trong các mặt phẳng sau
A. x - 1 = 0.
B. y + z - 1 = 0.
C. y + z = 0.
D. x + y + z = 0.
r
M ( 1;0;0)
n = ( 1;2;1) .
Câu 7. Tìm phương trình mặt phẳng qua
và có vectơ pháp tuyến
A. - x + 2y + z = 0. B. x + 2y - z + 2 = 0.

C. x + 2y + z - 1 = 0.

D. x - 2y + z + 1 = 0.

6


(Q ) : 5x - 3y + 2z - 3 = 0.
Câu 8. Tìm mặt phẳng (P ) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng
( P ) : 5x + 3y - 2z = 0.
( P ) : 5x - 3y - 2z = 0.
A.
B.
( P ) : 5x - 3y + 2z = 0.

( P ) : - 5x + 3y + 2z = 0.
C.
D.
Câu 9. Tìm phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(- 3,2,1) và vuông góc với trục hoành.
A.

( P ) : x + y + 1 = 0.

B.

( P ) : x + 3 = 0.

( P ) : 6x + 3y + 2z -

Câu 10. Cho mặt phẳng
tích tam giác OAB ( với O là gốc tọa độ ).
3
.
A. 2
B. 2.

( a ) : mx + 6y -

C. m = 18,

1
3 , p = - 9.

6= 0

( P ) : x + z + 2 = 0.

D.

(P ) :y +z -

3 = 0.

cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại A, B . Tính diện

C. 3 .

z- p=0

Câu 11. Cho mặt phẳng
p để hai mặt phẳng (a) và (b) trùng nhau.
1
n=
3 , p = 9.
A. m = 18,

n =-

C.

và mặt phẳng

B. m = - 18 ,
D. m = 18,

D. 1.
( b) : 6x + 2y + nz - 3 = 0.

1
3,p = 9

n =-

n =-

Tìm m, n và

1
3 , p = 9.

( P ) : x + 2y - mz - 1 = 0 và mp (Q ) : x + ( 2m + 1) y + z + 2 = 0. Tìm m để hai mặt
Câu 12. Cho mp
phẳng (P ) và (Q) vuông góc nhau.
A. m = 2.
B. m = 3.
C. m = - 1.
D. m = 1.
Câu 13. Cho mp (P ) : x - y + z + 1 = 0 và mp (Q) : x + y + 3 = 0. Chọn khẳng định đúng.
( P ) và (Q ) cắt nhau.
( P ) và (Q ) vuông góc.
C.
A.

( P ) và (Q ) song song.
( P ) và (Q ) trùng nhau.

D.
B.

Câu 14. Cho mặt phẳng (P): x - 2z + 3 = 0. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng ?
u
r
n = ( 1;- 2;3)
A. (P) có vectơ pháp tuyến
B. ( P) vuông góc với mp(Oxy)
C. (P) song song với trục Oy
D. (P) đi qua gốc tọa độ O
B ( 1,3,6)
Câu 15. Cho hai điểm A(3,5,- 2) ,
. Tìm mặt phẳng trung trực (P ) của đoạn thẳng AB .
A. - 2x - 2y + 8z - 4 = 0.

B. 2x - 2y + 8z - 4 = 0.

C. 2x - 2y + 8z + 4 = 0.
D. 2x - 2y + 8z + 4 = 0.
Câu 16. Cho 3 điểm A(0,2,4), B(1,3,6) và C (- 2,3,1) . Tìm phương trình mặt phẳng (ABC ) .
A. - 5x - y + 3z - 10 = 0.
C.

2y + 4z - 10 = 0.
2

2

B. x + y + 2z - 10 = 0.

D. - 5x + y + 3z - 14 = 0.

2

Câu 17. Gọi(x- 5) +(y- 4) +(z+3) =5. là mặt phẳng cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm ( S ) : ( x - 5)
2

2

2

2

+ ( y + 4) + z2 = 9.

. Phương trình của

2

mặt phẳng (x- 5) +(y- 4) +(z+3) =5. là
A.

I

C. (

S

)

B.
D.

R
I

( 5;-

4
; 0)

7


( a ) : x + 3 = 0 , ( b) : z - 2 = 0.
Câu 18. Tìm mp (P ) qua điểm A(1,- 3,2) và vuông góc với hai mặt phẳng
A. (P ) : y + 3 = 0.
B. (P ) : z - 2 = 0.
C. (P ) : x - 1 = 0.
D. (P ) : x - y = 0.
Câu 19. Cho 2 điểm A(0, - 1,2) , B (1,0,1) , tìm mặt phẳng (P ) qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

( a ) : x + 3 = 0.

A. (P ) : y - z + 1 = 0.

B. (P ) : y + z + 1 = 0.
C. (P ) : y + z - 1 = 0. D. (P ) : y - z - 1 = 0.
Câu 20. Cho bốn điểm A(0,1,1) , B (- 2,0,1) ,C (2,1,1), D(- 2,3,1). Tìm mặt phẳng (P ) qua 2 điểm A, B và
song song CD .

A. (P ) : y - 1 = 0.
B. (P ) : z - 1 = 0.
C. (P ) : z + 2 = 0.
D. (P ) : x + y = 0.
Câu 21. Tìm phương trình mặt phẳng (P ) qua 2 điểm A(1, - 1,2) , B (1,0,1) và song song với trục tung.
A. x + z - 3 = 0.
B. x - 1 = 0.
C. - y - z + 1 = 0.
D. y - z + 1 = 0.

( a ) : x + 2y - z + 3 = 0. Tìm mặt phẳng (P ) qua A , vuông góc ( a )
Câu 22. Cho điểm A(2, - 3,0) và mp
và song song với Oz .
A. y + 2z + 3 = 0.

B. x + 2y - z + 4 = 0.
C. 2x + y - 7 = 0.
D. 2x - y - 7 = 0.
Câu 23. Góc hợp bởi mặt phẳng ( ) : 2 x  y  z  1  0 và mặt phẳng (  ) : 2 x  y  z  5  0 là bao nhiêu
độ?
0
0
0
0
A. 90 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 30 .
Câu 24. Cho mặt phẳng (P ) : 2x - y + 2z + 5 = 0 và tọa độ điểm A(1;0;2) . Tìm khoảng cách d từ điểm A
đến mặt phẳng (P ) .

A.

d=

11 5
.
5

B.

d=

11
.
3

d=

11
.
7

C. d = 2.

D.

C. d = 1.

2
d= .

3
D.

M ( 2;- 3;- 1)
Câu 25. Tính khoảng cách d từ điểm
đến mặt phẳng z = 0?
3
1
d= .
d= .
2
2
A.
B. d = 1.
C. d = 2.
D.
( P ) : x + 2y + 2z - 1 = 0 và (Q ) : x + 2y + 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách d giữa mp (P )
Câu 26. Cho mp
và mp (Q ).
A. d = 2.

B. d = 3.

( a ) : mx + 6y - ( m + 1) z ( a ) bằng 1.
đến mặt phẳng

Câu 27. Cho mp
từ A

9= 0

và điểm A(1;1;2) . Tìm tất cả giá trị m để khoảng cách

A. m = 46 - 6.
B. m = - 4,m = - 6.
C. m = 2,m = 6.
D. m = 2.
( P ) : x + 2y - 2z - 1 = 0, mp (P ) song song mp (Q) và (P ) cách (Q) một khoảng bằng 3.
Câu 28. Cho mp
Tìm phương trình mặt phẳng (Q).

(Q ) : x + 2y (Q ) : x + 2y C.
A.

2z + 8 = 0
2z + 8 = 0

B.

hoặc

(Q ) : x + 2y -

(Q ) : x + 2y -

2z + 8 = 0

hoặc

(Q ) : x + 2y -

2z - 10 = 0.

2z + 10 = 0.

8


D.

(Q ) : x + 2y -

2z - 8 = 0

Câu 29. Cho mặt cầu

hoặc

(Q ) : x + 2y -

2z - 10 = 0.

(S ) : (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 49

của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
A. 2x + 3y + 6z - 5 = 0 .

, phương trình nào sau đây là phương trình

B. 6x + 2y + 3z - 55 = 0 .

C. 6x + 2y + 3z = 0.
D. x + 2y + 2z - 7 = 0.
2
2
2
Câu 30. Cho mặt cầu (S ) : x + y + z - 2x - 2z = 0 và mặt phẳng (P ) : 4x + 3y + 1 = 0. Tìm mệnh đề
đúng trong các mệnh đề sau.
A. (P ) cắt (S ) theo một đường tròn
B. (S) không có điểm chung với (P )
C. (S) tiếp xúc với (P )
D. (P ) đi qua tâm của (S) .
Câu 31. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).
2

( x - 1)
A.

2

2

+ ( y - 2) + ( z - 3) = 4

( x - 1)
B.

2

2

2

+ ( y - 2) + ( z - 3) = 9

1
2
2
2
x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = 1
(
4
C.
D.
Câu 32. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2),C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mặt
phẳng (Oyz).

( x - 1)

A.

2

2

2

+ ( y - 2) + ( z - 3) =

2

2

2

2

x2 + ( y + 7) + ( z - 5) = 26

B.

x2 + ( y - 7) + ( z + 5) = 26

2

2

2

2

x2 + ( y - 7) + ( z - 5) = 26
x2 + ( y + 7) + ( z + 5) = 26

C.
D.
Câu 33. Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng Oyz và có tâm trên Ox

( x - 3)
A.

2

( x - 2)
C.

2

2

+ y2 + z2 = 4

( x + 3)
B.

+ y2 + z2 = 4

( x - 2)
D.
2

2

+ y2 + z2 = 4
+ y2 + z2 = 2

2

2

( x - 1) + ( y - 2) + ( z + 1) = 1. Tìm mặt phẳng (Q) chứa trục
Câu 34. Cho mặt cầu (S ) có phương trình
hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) .

(Q ) : y + z = 0.
(Q ) : y + 3z = 0, (Q ) : 4y + 3z = 0 .
C.
A.

(Q ) : 4y + 3z = 0,(Q ) : z = 0.
(Q ) : 4y + 3z = 0.
D.
B.

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1.

Phương trình tham số của đường thẳng:
 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

và có VTCP

r
a  (a1 ; a2 ; a3 )

:

�x  xo  a1t
�
(d ) : �y  yo  a2t
( t �R)
�z  z  a t
3
� o
x  x0 y  y0 z  z0
(d ) :


a1a2 a3 �0
a
a
a3 : phương trình chính tắc của đường thẳng d.
1
2
 Nếu
thì
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
9


a1�
�x  x0  ta1
�x  x0� t �
�
�
d : �y  y0  ta2
d�

: �y  y0�
 t�
a2�
�z  z  ta
�z  z� t �
3
� 0
� 0 a3�
Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:
và
r
r
Đường thẳng d đi qua điểm M0 và có vtcp a ; đường thẳng d’ đi qua điểm M0’ và có vtcp a '
r
r r
r r
�
�
a
,
a

0


�
a
,
a
cung

phuong
�
�
r
� r uuuuuur
�r uuuuuur
�
�
a , M 0 M 0�
�0
a , M 0 M 0�khong cung phuong
�
�
�
�
 d // d 

r
r r
r r
�
�
a
,
a

0


�

a
,
a
cung
phuong
�
�
�
r
� r uuuuuur
�r uuuuuur
�
�
a , M 0 M 0�
0
�
a
,
M
M
cung
phuong
�
�
�
0
0
�
 d  d 


r r uuuuuur
r r uuuuuur
�
 a , a�
 .M 0 M 0� 0
�
, M 0 M 0�dong phang
�a , a�
r
�r r
�r r
a , a�
�0
a , a�khong cung phuong


�
�
 d, d cắt nhau 

r r uuuuuur
r r uuuuuur
�
�
a
,
a
,
M
M

a
, a�

 .M 0 M 0��0
0
0 không đồng phẳng 
 d, d chéo nhau 
r r
rr
0
 d  d  a  a�  a.a�
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
�x  x0  ta1
�
�y  y0  ta2
�z  z  ta
3
Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d: � 0
A( x0  ta1 )  B ( y0  ta2 )  C ( z0  ta3 )  D  0 (ẩn t)
Xét phương trình:
(*)
 d // ()  (*) vô nghiệm
 d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm
 d  ()  (*) có vô số nghiệm
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
�x  x0  ta1
�
�y  y0  ta2
�z  z  ta
2

2
2
2
3
Cho đường thẳng d: � 0
(1) và mặt cầu (S): ( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R (2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
 d và (S) không có điểm chung  (*) vô nghiệm
 d(I, d) > R
 d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng một nghiệm
 d(I, d) = R
 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt
 d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
uuuuuu
r r
�
M 0M , a �
�
�
d (M , d ) 
r
r
a
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.
6. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng d
với mặt phẳng () song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().
7. Góc giữa hai đường thẳng
r r
r r

a ,a
a ,a
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP 1 2 . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa 1 2
.
r r
a1.a2
r r
cos  a1 , a2   r r
a1 . a2
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hai điểm A(1; 2;3), B (3; 2;5) . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là
A.

r
z   1; 2;1 .

r
u
B.  (4;0;8).

r
x
C.  (2;0; 2).

r
y
D.  (1;0; 2).
10

�x  1  5t
�
�y  3  2t .
�z  2  t
Câu 2. Cho đường thẳng d : �
Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng d ?

x 1 y  3 z  2
x  5 y  2 z 1
x 1 y  3 z  2


.


.


.
2
1
3
2
2
1
A. 5
B. 1
C. 5
r
r

Câu 3. Cho vectơ u  (2; 1;3) . Tìm đường thẳng nhận u làm vectơ chỉ phương.
�x  1  2t
�
�y  t
�z  2  3t
A. �
.

x  2 y 1 z  3


.
2
3
B. 2

x  5 y  2 z 1


.
3
2
D. 1

�x  2  2t
�
�y  1  3t
�z  3  t
C. �
.

�x  2t
�
�y  5  t
�z  3
D. �
.

r

Câu 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm A( 3;1; 2) , nhận u  (2; 1;5) làm vectơ chỉ
phương.

�x  3  2t
�
�y  1  t
�z  2  5t
A. �

�x  2  3t
�
�y  1  t
�z  5  2t
B. �

�x  3  2t
�
�y  1  t
�z  2  5t
D. �

x  3 y 1 z  2


.
2

1
5
C.

Câu 5. Cho 2 điểm A(1, 2, 1) , B(3;5; 2) . Viết phương trình đường d qua hai điểm A, B .

A. x  2 y  z  5  0

�x  1  2t
�
�y  2  3t
�z  1  3t
B. �

�x  2  1t
�
�y  3  2t
�z  3  1t
D. �

C. 2 x  3 y  3z  5  0

x 1 y z 1

 
r
1
2 . Tìm vectơ pháp tuyến n của
Câu 6. Cho mp ( P) vuông góc với đường thẳng d có phương trình 2
mặt phẳng ( P ).
A.

r
n   1; 2; 2  .

B.

r
n   1;0; 1 .

C.

r
n   2;1; 2  .

D.

r
n   2; 1; 2  .

x 1 y  2 z 1


3

2 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng
Câu 7. Cho đường thẳng  có phương trình chính tắc 2
nào song song với đường thẳng  ?
�x  1  2t
�
d1 : �y  5  3t
�z  7  2t
�
A.
.

�x  2  t
�
d 2 : �y  3  t
x  2 y 1 z  3
d4 :


.
�z  2  3t
�
2
3
2
B.
C.
.

D.

d3 :

x 1 y  2 z 1


.
3
1
1

x  3 y 1 z  3


1
1 . Hỏi điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ?
Câu 8. Cho đường thẳng d: 2
A. N (3;1; 3).

B. M (3; 1;3).

C. Q (2; 1; 1).

D. P (2;1;1).
11


�x  3  t
�
�y  2  2t
   : 2 x  y  3z  1  0 và đường thẳng d có phương trình tham số: �

�z  1
Câu 9. Cho mp
. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng?
A.

d / /

B.

d �  

C. d cắt ( )

 P  : 2 x  y  z  1  0 và đường thẳng d :
Câu 10. Cho mp
�1 4 5 �
M� ; ; �
.
3
3
3
�
�
A.

D.

d  

x 1 y 1 z 1


2
1
2 . Tìm giao điểm M của ( P ) và d.
�1 4 5 �
M� ; ; �
.
3
3
3
�
�
C.

�1 4 5 �
M � ; ; �
.
3
3
3
�
�
B.

�1 4 5 �
M � ; ; �
.
3

3
3
�
�
D.

x2
y z 1
1
 
( m � )
2m  1 1
2
2 và mặt phẳng ( P) : x  y  2 z  3  0 . Tìm giá trị m để
Câu 11. Cho đường thẳng
đường thẳng  song song với mp ( P ) .
:

A. m  3.

B. m  1 .

C. m  2 .

D. m  0 .

x 1 y  2 z  3
1



(m �0, m � )
1 2m  1
2
2 và mặt phẳng ( P ) : x  3 y  2 z  5  0 . Tìm giá
Câu 12. Cho đường thẳng
trị m để đường thẳng d vuông góc với mp ( P ) .
d:

A. m  0 .

B. m  3 .

4
m .
3
D.

C. m  1 .

Câu 13. Tìm phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm A(1; 4;7) và vuông góc với mặt phẳng ( P )

x  2 y  2z  3  0 .
�x  1  2t
�
�y  4  2t
�z  7  3t
A. �

�x  1  1t
�

�y  4  4t
�z  7  7t
B. �

�x  1  t
�
�y  2  4t
�z  2  7t
C. �

�x  1  t
�
�y  4  2t
�z  7  2t
D. �

�x  3  2t
�x  5  t �
�
�
 : �y  1  4t �
�y  2  3t
�z  6  4t
�z  20  t �
�
Câu 14. Cho hai đường thẳng d: �
và đường thẳng
. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường
thẳng d và  .
A.

 7; 8; 2 .

B.

 3;7;18 .

C.

 9; 11; 6 

D.

 8; 13; 23 .

�x  3  2t
�x  1  4t �
�
�
d : �y  1  t
d�
: �y  5  2t �
�z  2  3t
�z  1  6t �
�
�
Câu 15. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
A. Song song.

B. Trùng nhau.

C. Chéo nhau.

D. Cắt nhau.
12


Câu 16. Tính khoảng cách từ điểm

A. 2 3.

B.

M  2;0;1

đến đường thẳng

2.

:

x 1 y z  2
 
1
2
1
105
.

5

C.

2
.
D. 2

�x  1
�
   : �y  2  t
�z  1  t
 P  : 2 x  1  0 và đường thẳng
�
Câu 17. Cho mặt phẳng
song song với ( P ). Tính khoảng cách d giữa

( P ) và    .
3
d .
2
B.

A. d  1.

Câu 18. Cho mặt phẳng
chứa d và song song với

A.

   : 3x  2 y  z  5  0

5
d .
2
C.

và đường thẳng

   . Khoảng cách giữa   

3
14

B. Kết quả khác.

và



d:

1
d .
2
D.

x 1 y  7 z  3



2
1
4 . Gọi     là mặt phẳng

là:

3
C. 14

D.

9
14

�x  1  2t
x 2 y  2 z 3
�
:


; d :�y  1  t
1
1
1
�z  1  3t
�
Câu 19. Góc giữa 2 đuờng thẳng
là
0
A. 0

Câu 20. Cho điểm
A.

 2;1; 3 .

0
B. 30

B  2; 1; 3

0
C. 60

0
D. 90

, B' là điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (Oxy ) . Tìm tọa độ điểm B ' .
B.

 2;1;3 .

C.

 2; 1;3 .

D.

 2;1;3 .

Câu 21. Cho mp ( P) : x  y  2 z  1  0. Tìm điểm N đối xứng với điểm M (2;3; 1) qua mặt phẳng ( P ).
A. N (1;0;3).

B. N (0;1;3).

C. N (0;1;3).

D. N (3;1;0).

�x  2  2t
�
�y  1  t
�z  3  t
M  1; 2; 6 
Câu 22. Cho điểm
và đường thẳng d : �
. Tìm tọa độ điểm H trên d sao cho MH vuông góc
với d .
A.

 4;0; 2  .

B.

 2;1; 3 .

C.

 1;0; 2  .

D.

 0; 2; 4  .

13


Câu 23. Cho
Tính giá trị

A  1;6; 6 

,

B  3; 6; 2  .

M  xM ; yM ; z M 

thuộc mp

 Oxy 

sao cho

 MA  MB 

ngắn nhất.

a  xM  yM  z M .

A. a  3.
Câu 24. Cho
phẳng

Điểm

 Oxy 

B. a  4.

C. a  4.

A  1; 2;3 , B  2; 4; 4  , C  4;0;5  .

D. a  1.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Biết điểm M nằm trên mặt

sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng GM.

Câu 25. Cho điểm A(1,3, 2) và đường thẳng
đường thẳng d .
A. y  z  1  0.

d:

d:

�x  1  2t
�

d1 : �y  3t
�z  1  3t
�
A.

D. y  z  2  0.

x 1 y 1 z 1


2
1
3 . Tìm hình chiếu d1 của đường thẳng d lên mặt phẳng (Oxz ) .
�x  3t
�
d1 : �y  1  t
�z  1  3t
�
B.

M  2;1;0 

D. GM  1.

x 1 y 1 z


2
1 1 . Tìm phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và chứa

B. x  2 y  4 z  3  0. C. 2 x  y  z  3  0.

Câu 26. Cho đường thẳng

Câu 27. Cho điểm

C. GM  5.

B. GM  2.

A. GM  4.

và đường thẳng

:

�x  1
�
d1 : �y  1
�z  t
�
C.

�x  1  2t
�
d1 : �y  0
�z  1  3t
�
D.

x 1 y 1 z


2
1
1 . Gọi d là đường thẳng đi qua M , cắt và vuông

góc với  . Tính tọa độ vectơ chỉ phương của d .
A.

r
u   3; 0; 1

Câu 28. Cho các điểm

B.

r
u   1; 1; 1 .

A  1; 1; 2  , B  2;1;1 , C  0;1;3 

C.

r
u   3; 3;1

D.

r

u   2; 1;3 

. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

( ABC ) sao cho d cắt và vuông góc với trục Ox .
�x  3
�
d : �y  t
�z  0
�
A.

�x  2
�
d : �y  t
�z  0
�
B.

�x  3t
�
d : �y  t
�z  0
�
C.

�x  0
�
d : �y  t
�z  3

�
D.

A  1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3 
Câu 29. Cho 3 điểm
. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và trực
tâm của tam giác ABC.
�x  6t
�x  3t
�x  1  3t
�x  2t
�
�
�
�
�y  3t
�y  6t
�y  6t
�y  6t
�z  2t
�z  2t
�z  2t
�z  3t
�
�
�
�
A.

B.

C.

D.

14