CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm vô tỉ:
Với α ≠ −1 thì:
α
∫ x .dx =
xα +1
u α +1
+ C ; ∫ u α .u '.dx =
+C
α +1
α +1
Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số
m
n
a m = a n ,…
Các dạng tích phân vô tỉ:
b
∫
a
b
∫
a
dx
: nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu)
px + q + px + r
x−k
dx : trục căn ở tử
x+k
b
dx
∫ ( x + m) ( x + n)
: Đặt t =
x+m +
x+n
a
b
∫
a
px
x +m
2
dx : Đặt u = x 2 + m
b
∫
k 2 − x 2 dx : Đặt x = k sin t hoặc k cos t
a
b
∫
a
1
x +m
2
:Đặt t = x +
x2 + m
b
∫
x 2 + mdx : Đặt u = x 2 + m , dv = dx
a
b
∫ (αx + β )
a
dx
px + qx + r
2
: Đặt t =
1
αx+ β
)
∫ R ( x,
k 2 − x 2 dx : Đặt x = k sin t hoặc k cos t
∫ R ( x,
k 2 + x 2 dx : Đặt x = k tan t hoặc k cot t
b
a
b
a
)
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 1
)
∫ R ( x,
b
a
b
∫ R x;
k
k
hoặc
sin t
cos t
x 2 − k 2 dx : Đặt x =
αx + β
γ x +δ
n
a
αx+ β
÷dx : Đặt t = n
γ x +δ
∫ R ( x, ( x − α ) ( β − x ) ) dx : Đặt x = α + ( β − α ) sin
b
2
t
a
)
∫ R ( x,
b
px 2 + qx + r dx : Đặt
a
px 2 + qx + r = t + x p hoặc
px 2 + qx + r = t − x r
Nguyên hàm mũ và lôgarit:
∫ e dx = e
x
x
∫ e .u ' dx = e
+c
u
ax
∫ a dx = ln a + c
u
+c
au
∫ a .u '.dx = ln a + c ( a > 0, a ≠ 1)
x
u
Các dạng tích phân từng phần:
b
∫ P ( x ) .e
αx
dx : Đặt u = P ( x ) , dv = eα x dx
a
b
∫x
α
.ln xdx : Đặt u = ln x, dv = xα .dx
a
b
∫e
αx
.sin β xdx : Đặt u = eα x , dv = sin β xdx
a
b
∫e
αx
.cos β xdx : Đặt u = eα x , dv = cos β xdx
a
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 8.1: Tính a)
∫(
)
x + 3 x dx
b)
∫ x(
3
)
x − 4 x + 1 dx
Hướng dẫn giải
1
12
2 32 3 34
3
x + x dx = ∫ x + x ÷dx = x + x + C
3
4
a)
∫(
b)
∫ x(
3
3
)
3
1
56
6 116 4 74 4 32
4
2
x − x + 1 dx = ∫ x − x + 2 x ÷dx = x − x + x + C
11
7
3
4
)
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 2
Bài toán 8.2: Tính a)
1
1
− 3 ÷dx
x
x
x x+ x
∫ x 2 dx
∫
b)
Hướng dẫn giải
3
−
1
x x+ x
2
dx = ∫
+ x 2 ÷dx = 2 x −
+C
a) ∫
2
x
x
x
1
−
1
1
3
1
− 3 ÷dx = ∫
− x 3 ÷dx = 2 x − 3 x 2 + C
b) ∫
2
x
x
x
Bài toán 8.3: Tính
a) I =
∫
dx
x+3− x−4
b) J =
∫
dx
, a ≠ 0, b ≠ c
ax + b + ax + c
Hướng dẫn giải
1
7∫
a) I =
=
b) J =
(
)
x + 3 + x − 4 dx =
3
3
2
( x + 3) 2 + ( x − 4 ) 2 + C
21
1
b−c ∫
=
1
1
1
2 + ( x − 4 ) 2 dx
x
+
3
(
)
÷
∫
7
(
2
a ( b − c)
)
ax + b − ax + c dx
(
( ax + b )
Bài toán 8.4: Tính a) E =
∫
3
−
( ax + c )
3
) +C
x 4 + x −4 + 2dx
b) F =
∫
3
xdx
x+2
Hướng dẫn giải
2
1
1
1
+ x −2 ) dx = ∫ x 2 + 2 ÷dx = x 3 − + C
x
3
x
a) E =
∫ (x
b) F =
2
1
5
2
x+2−2
3
−
3 − 2 ( x + 2 ) 3 dx =
3 − 3( x + 2) 3 + C
dx
=
x
+
2
x
+
2
(
)
(
)
÷
∫ 3 x+2
∫
5
2
Bài toán 8.5: Tính: a) A =
∫ ( 2 x − 3)
x − 3dx
b) B =
1
∫ 1 − x dx
Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 3
a) Đổi biến: Đặt t =
x − 3 ⇒ x = t 2 + 3 ⇒ dx = 2t.dt
A = 2 ∫ ( 2t 2 + 3) dt = 2 ∫ ( 2t 4 + 3t 2 ) dt
2
3
4
2
= t 5 + 2t 3 + C = ( x − 3) 2 ( 2 x − 1) + C
5
5
b) Đặt t = 1 − x ⇒ x = ( 1 − t ) ⇒ dx = −2 ( 1 − t ) dt
2
Q = 2∫
t −1
1
dt = 2 ∫ 1 − ÷dt
t
t
= 2 ( t − ln t ) + C = −2
Bài toán 8.6: Tính: a)
∫
(
(
)
x + ln 1 − x + C
dx
x 1+ x
)
b)
2
∫
1
x2 + 9
dx
Hướng dẫn giải
a) Đặt t = 1 + x ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2t.dt
∫
1+ x
t 2 dt
1
dx = 2∫ 2
= 2 1 + 2 ÷dt
x
t −1
t −1
1
1
= 2 ∫ dt + ∫
−
÷dt = 2t + ln t − 1 − ln t + 1 + C
t −1 t +1
= 2 1 + x + ln
1+ x −1
+C
1+ x +1
b) Đặt t = 1 + x ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2t.dt
∫
1+ x
t 2 dt
1
dx = 2∫ 2
= 2 1 + 2 ÷dt
x
t −1
t −1
1
1
= 2 ∫ dt + ∫
−
÷dt = 2t + ln t − 1 − ln t + 1 + C
t −1 t +1
= 2 1 + x + ln
b) Đặt t = x +
1+ x −1
+C
1+ x +1
x 2 + 9 ⇒ dt = 1 +
÷dx ⇒
x2 + 9
x
dx
x2 + 9
=
dt
t
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 4
∫
dx
x +9
2
=∫
dt
= ln t + C = ln x + x 2 + 9 + C
t
7/3
∫
Bài toán 8.7: Tính: a) K =
0
x +1
dx
3
3x + 1
3
b) L =
∫
2
dx
x +1 − x −1
Hướng dẫn giải
t3 −1
a) Đặt t = 3 x + 1 ⇒ x =
⇒ dx = t 2 dt
3
3
7
thì t = 2 .
3
Khi x = 0 thì t = 1, x =
2
1
K = ∫ ( t 4 + 2t ) dt =
31
3
1
b) L = ∫
22
(
2
t5 t3
46
+ ÷ =
15 3 1 15
2
3
3
1
7−3 3 + 2 2
x + 1 + x − 1 dx = ( x + 1) 2 + ( x − 1) 2 ÷ =
3
3
1
)
a
Bài toán 8.8: Tính: a) A =
∫
a /2
a − x dx
2
2
b) B =
0
∫
0
dx
a − x2
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt x = a sin t với −
π
π
≤ t ≤ thì dx = a cos t
2
2
Khi x = 0 thì t = 0, x = a thì t =
A=a
π /2
2
∫
cos t .cos tdt = a
π /2
2
0
∫
0
π
.
2
a2
cos tdt =
2
2
π /2
∫ ( 1 + cos 2t ) dt
0
π /2
a 2 sin 2t
π a2
= t +
=
÷
2
2 0
4
b) Đặt x = a sin t với −
π
π
< t < thì dx = a cos tdt
2
2
Khi x = 0 thì t = 0; x =
B=
π /6
∫
0
a cos tdt
=
a cos t
π /6
a
π
thì t = .
2
6
π
∫ dt = 6
0
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 5
b
Bài toán 8.9: Tính: a) C =
b
dx
∫
x +b
0
∫
b) D =
2
x 2 + b .dx
0
Hướng dẫn giải
a) Đặt t = x +
C=
b + 2b
∫
b
x 2 + b ⇒ dt = 1 +
dt
= ln t
t
b + 2b
b
(
= ln 1 + 2
(
b
b) D =
∫
x 2 + bdx = x + x 2 + b
0
b
=b 2−
∫
x2 + b − b
0
x +b
b 2 b
−
nên D =
2
2
2
0
0
b
−
∫
0
x2 + b
b
1
x +b
2
dx =
0
=
dt
t
dx
1
x +b
2
(
dx
b 2 1
− ln 1 + 2
2
2
1 + x2
dx
x4
∫
x +b
2
x2
dx = b 2 − D + b ∫
2
Bài toán 8.10: Tính: a) K =
)
b
dx
)
0
b
∫
÷dx ⇒
x2 + b
x
2
b) L =
∫
1/2
(x
2
)
+ 1) dx
x x4 + 1
Hướng dẫn giải
1
t
a) Đặt x = ⇒ dx =
1/2
−1
dt
t2
K = − ∫ t 1 + t 2 dt = −
1
2
b)
L=
∫
1/2
1
2
1
1 5 5
2 2
2
1
+
t
d
1
+
t
=
−
−
2
2
(
)
(
)
÷
∫1
3 8
1/2
1
2
1
1
x 2 dx =
dx− ÷
∫
2
x
1
1/2
1
x2 + 2
x
−
+
2
÷
x
x
1+
2
2
1
1
13 + 3
= ln x − + x − ÷ + 2 ÷ = ln
÷
x
x
13 − 3
1/2
1
∫
Bài toán 8.11: Tính: a) A = x
0
1
2
1 − x dx b) B = ∫ x 5 1 − x 2 dx
2
0
Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 6
π
π
≤ t ≤ ÷ ⇒ dx = cot dt
2
2
a) Đặt x = sin t −
Khi x = 0 thì t = 0, x = 1 thì t =
A=
π /2
∫
0
1
=
4
π /2
∫
0
1
sin t cos tdt =
4
2
2
π
2
π /2
∫ sin
2
2tdt
0
π /2
1 − cos 4t 1 sin 4t
π
= t −
÷ =
2
8
4 0
16
b) Đặt t = 1 − x 2 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇒ xdx = −tdt
Khi x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 0 .
0
B = ∫ ( 1− t
1
)
2 2
1
t7 2 5 1 3
8
.t ( −t ) dt = ∫ ( t − 2t + 1) t dt = − t + t ÷ =
3 0 105
7 5
0
1
4
2
2
Bài toán 8.12: Tính:
1
a) I =
a/ 3
x 2 dx
∫
b)
x2 + x + 1
0
J=
∫
0
xdx
a2 + x2 +
(a
2
+ x2 )
3
Hướng dẫn giải
2
1 3
x + x + 1 = x + ÷ + , ( x 2 + x + 1) ' = 2 x + 1
2 4
2
a) Ta có
2
1 3
+ B ( x + 1) + C
Đặt x = A x + ÷ + ÷
÷
2
4
2
Đồng nhất thì được A = 1, B = −2, C = −
1
nên
2
2
1
1 3
2x + 1
1
1
I = ∫ x + ÷ + −
−
2
3
2 4
0
1 3 2
1 3
2 x+ ÷ +
x+ ÷ +
2 4
2 4
÷
÷
÷dx
÷
÷
1
2x + 1 2
1
1
=
x + x + 1 − ln x + + x 2 + x + 1 ÷÷
8
2
0
4
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 7
=
3 3 −1 1
2
− ln 1 +
÷
4
8
3
a/ 3
xdx
∫
b) J =
a2 + x2 . 1 + a2 + x2
0
xdx
2
2
Đặt t = 1 + a + x ⇒ dt =
J=
2 a +1
(
dt
= 2 t
t
∫
a +1
)
2 a +1
a +1
=2
a2 + x2
(
2a + 1 − a + 1
4096
Bài toán 8.13: Tính: a) K =
∫
128
⇒ xdx = ( t − 1) dt
xdx
3
x2 − 4 x
)
6
b) L =
∫
4
dx
x2 − 5x + 6
Hướng dẫn giải
a) Đặt x = t12 thì dt = 12t 11dt
Khi x = 128 thì t = 2, x = 4096 thì t = 2 .
2
9 4
t14
t4
K = 12 ∫ 5
dt = 12 ∫ t + t + 5 ÷dt
t −1
t −1
2
2
2
t10 t 5 1
= 12 + + ln t 5 − 1 ÷
10 5 5
b) Đặt t =
2
2
464 − 4 2 1
31
= 12
+ ln
÷
5
5 4 2 −1
x−2 + x−3
1
1
x − 2 + x − 3 ⇒ dt
+
÷dx
2
x
−
2
2
x
−
3
1
1
⇒ dt =
+
÷dx ⇒
2 x −2 2 x −3
6
L=∫
4
2+ 3
dx
( x − 2 ) ( x − 3)
:
2dt
∫ t = ln t
2 +1
dx
( x − 2 ) ( x − 3)
2+ 3
2 +1
= ln
=
2dt
t
2+ 3
2 +1
Bài toán 8.14: Tính:
1
a) A =
∫ ( x + 1)
0
dx
x2 + 2x + 2
1/2
b) B =
∫ (x
0
dx
2
− 1) x 2 + 2
Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 8
1
1
dt
⇒ x = − 1 ⇒ dx = − 2
x +1
t
t
a) Đặt t =
1/2
dt
A=−∫
2
. Đặt u = t + t + 1 ⇒
t2 +1
1
Do đó A = −
dt
t2 +1
=
du
u
(
( 1+ 5 ) /2
2 1+ 2
du
( 1+ 5 ) /2
= − ( ln u ) 1+ 2 = ln
u
1+ 5
∫
1+ 2
)
2t 2
2dx
⇒ dt =
b) Đặt t = x + 2 ⇒ x =
2
1− t
( x2 + 2) x2 + 2
2
2
3/2
3/2
dt
1
D= ∫ 2
=
3t − 1 2 3
2
1 t 3 −1
=
ln
÷
2 3 t 3 + 1 ÷
1
1
−
÷dt
3 −1 t 3 +1
∫ t
2
3/2
=
2
1
2 3
ln
(
)
6)
5 3 − 12 3
(
23 7 − 2
Bài toán 8.15: Tính:
1
a) I n = ∫
0
1
(1+ x )
n
n
1+ x
n
1
∫
dx
n
b) J n = x . 1 − xdx
0
Hướng dẫn giải
1
a) I n =
∫ (1+ x )
n
0
=
1
1 + xn − xn
n
1 + xn
dx = ∫
0
1
1
1
− ∫ xd
n
1 + xn 0 0 n 1 + xn
x
1
n
1 + xn
1
dx − ∫
0
xn
(1+ x )
n
n
1 + xn
dx
1
xn
−
dx
÷ ∫
n n
n
0 (1+ x ) . 1+ x
1
1
1
xn
xn
1
= n +∫
dx − ∫
dx = n
n n
n
2 0 ( 1 + xn ) n 1 + xn
2
0 (1+ x ) . 1+ x
b) u = x n , dv = 1 − xdx
n −1
Khi đó du = nx dx, v = −
2
Jn = − x
3
(
1− x
)
3
1
2
3
( 1− x)
3
1
2n n −1
+
x ( x − 1) 1 − xdx
3 ∫0
0
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 9
= 0+
Vậy J n =
2n
2n
J n −1
( J n−1 − J n ) ⇒ J n =
3
2n + 3
2n 2 ( n − 1) 2
2n +1.n !
.
... J 0 =
2n + 3 2n + 1 5
3.5... ( 2n + 3)
x
Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a > 0 thỏa mãn điều kiện:
∫
a
f ( t)
dt + 6 = 2 x với mọi x > 0 .
t2
Hướng dẫn giải
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số
f ( t)
t2
Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x > 0
F ( x) − F ( a) + 6 = 2 x
Cho x = a ta được a = 9 và F ( x ) − F ( 0 ) + 6 = 2 x
nên F ' ( x ) =
f ( x)
1
1
⇒ 2 =
⇒ f ( x ) = x3
x
x
x
Bài toán 8.17: Tính: a)
x
x
∫ ( 2 − 3 ) dx
2
b)
∫
5 x ( 1 − 5− x )
3x
dx
Hướng dẫn giải
a)
∫( 2
x
−3
)
x 2
4x
6x
9x
dx = ∫ ( 4 − 2.6 + 9 ) dx =
−2
+
+C
ln 4
ln 6 ln 9
x
x
x
x
b)
∫
5 x ( 1 − 5− x )
3x
5
x
x
÷
5
5 −1
3x
3
−x
dx = ∫ x = ∫ ÷ − 3 ÷dx =
+
+C
3
÷
5 ln 3
3
ln
3
∫
sin x
Bài toán 8.18: Tính: a) e cos xdx
b)
∫e
x
1
dx
− e− x
Hướng dẫn giải
a)
∫e
sin x
cos xdx = ∫ esin x d ( sin x ) = esin x + C
1
t
x
b) Đặt t = e x thì dt = e dx ⇒ dx = dt
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 10
∫e
=
x
1
1
1
1 1
1
dx = ∫
dt = ∫ 2
dt = ∫
−
÷dt
−x
−1
−e
t −1
2 t −1 t +1
t(t −t )
1
1 ex −1
ln
t
−
1
−
ln
t
+
1
+
C
=
ln
+C .
(
)
2
2 ex +1
Bài toán 8.19: Tính: a)
∫ ( 1 + tan x )
2
e 2 x dx b)
( x + 1) dx
∫ x ( 1 + xe )
x
Hướng dẫn giải
a)
∫ ( 1 + tan )
2
e 2 x dx = ∫ ( 1 + tan 2 x + 2 tan x ) e 2 x dx
= ∫ ( tan x.e 2 x ) dx = tan x.e 2 x + C
x
b) Đặt t = 1 + xe x thì dt = ( x + 1) e dx
( x + 1) dx
∫ x ( 1 + xe )
x
t −1
xe x
1 1
= ∫
− ÷dt = ln
+ C = ln
+C
t
1 + xe x
t −1 t
∫
∫
3 x
Bài toán 8.20: Tính: a) I = x .e dx
b) J = e
3 x −9
dx
Hướng dẫn giải
∫
∫
3 x
x 3
2 x
a) Đặt u = x 3 , v ' = e x thì J = x .e dx = e x − 3 x .e dx
Đặt u = x 2 , v ' = e x thì
∫ x .e dx = x e
2
x
(
2 x
− 2 ∫ xe x dx = 2 xe x − I
)
x
3
2
Do đó J = e x − 3x + 6 x − 6 + C
2
b) Đặt t = 3 x − 9 ⇒ 3 x = t + 9 ⇒ dx =
J=
2
tdt
3
2 t
t
t
t
te dt . Đặt u = t , v ' = et thì ∫ te dt = t.e − e + C
∫
3
nên J =
2
3
(
3x − 9e
∫
3 x −9
−e
Bài toán 8.21: Tính: a) ln xdx
3 x −9
) +C
b)
∫
x ln xdx
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = ln x, dv = dx . Khi đó du =
1
dx, v = x . Ta có:
x
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 11
1
∫ ln xdx = x ln x − ∫ x. x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C
b) Đặt u = ln x, v ' =
∫
1
2 3
x ⇒ u ' = , v = x 2 . Ta có:
x
3
2 32
2 12
2 32
4 32
x ln xdx = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C
3
3
3
9
Bài toán 8.22: Tính: a)
∫
( ln x )
2
x
dx b) ∫ x ln
x
dx
1+ x
Hướng dẫn giải
a)
∫
( ln x )
2
x
1
2
dx = ∫ ( ln x ) d ( ln x ) = ln 3 x + C
3
1
x2
x
,v =
, du = xdx . Khi đó du =
b) Đặt u = ln
x(1+ x)
2
1+ x
∫ x ln
x
x2
x
1
x
dx = ln
− ∫
dx
1+ x
2 1+ x 2 1+ x
x2
x
1 1
x2
x
1
1
= ln
+ ∫
− 1÷dx = ln
+ ln 1 + x − x + C
2 1+ x 2 1+ x
2 1+ x 2
2
Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm
3
a) I = x ln ( 2 x ) dx
2
b) J = x cos ( 2 x ) dx
∫
∫
Hướng dẫn giải
3
a) Đặt u = ln ( 2 x ) , dv = x dx . Khi đó du =
Ta có: I =
1
x4
dx, v = .
x
4
x 4 ln ( 2 x )
x 4 ln ( 2 x ) x 4
x3
− ∫ dx =
− +C
4
4
4
16
2
b) Đặt u = x , dv = cos ( 2 x ) dx . Khi đó du = 2 xdx, v = −
sin ( 2 x )
.
2
x 2 sin ( 2 x )
Ta có: J =
− ∫ x sin ( 2 x ) dx
2
Đặt u = x, dv = sin ( 2 x ) dx . Khi đó du = dx, v =
cos ( 2 x )
:
2
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 12
∫ x sin ( 2 x ) dx = −
x cos ( 2 x )
cos ( 2 x )
x cos ( 2 x ) sin ( 2 x )
+∫
dx =
+
+C
2
2
2
4
x 2 sin ( 2 x ) x cos ( 2 x ) sin ( 2 x )
nên J =
+
−
+C
2
2
4
Bài toán 8.24: Tính:
a) I = sin ( ln x ) dx
x
b) J = e ( cos x + 2 x sin x ) dx
∫
∫
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = ln x thì x = eu nên dx = eu du
A = ∫ sin u.eu du = ∫ sin ud ( eu ) = sin u.eu − ∫ cos u.eu du
= sin u.eu − ∫ cos u.d ( eu ) = sin u.eu − cos u.eu − ∫ sin u.eu du
Từ đó suy ra A =
1
x ( sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ) + C
2
b) Đặt u = e x , dv = cos x . Khi đó du = 2 xe x dx, v = sin x
2
2
x
x
x
∫ e .cos xdx = e .sin x − ∫ 2 xe .sin xdx
2
2
2
x
x
nên J = e ( cos x + 2 x sin x ) = e .sin x + C
∫
2
2
1
Bài toán 8.25: Tính: a) K =
∫( x
0
2
1
+ x + 1) e dx
b) L =
x
∫( x
3
0
+ 2 ) e x dx
Hướng dẫn giải
x
a) Đặt u = x 2 + x + 1, dv = e x dx . Khi đó du = ( 2 x + 1) dx, v = e .
K = ( x + x + 1) e
21
x
1
0
1
1
− ∫ ( 2 x + 1) e dx = 3e − 1 − ∫ ( 2 x + 1) e x dx
x
0
0
Đặt tiếp u = 2 x + 1, dv = dx thì được K = 2 ( e − 1) .
b) Đặt u = x 3 + 2, dv = e x dx . Khi đó du = 3 x 2 dx, v = e x .
1
L = e ( x + 2 ) − 3∫ x 2e x dx
x
3
1
0
0
Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L = 4 .
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 13
ln 4
Bài toán 8.26: Tính: a) A =
∫
ln 2
dx
e −1
x
1
b) B = ∫
xe x
0 ( 1+ x)
2
dx
Hướng dẫn giải
x
a) Đặt u = x 2 + x + 1, dv = e x dx . Khi đó du = ( 2 x + 1) dx, v = e .
1
1
0
0
K = ( x 2 + x + 1) e x − ∫ ( 2 x + 1) e x dx = 3e − 1 − ∫ ( 2 x + 1) e x dx
1
0
Đặt tiếp u = 2 x + 1, dv = dx thì được K = 2 ( e − 1) .
b) Đặt u = x 3 + 2, dv = e x dx . Khi đó du = 3 x 2 dx, v = e x .
1
L = e ( x + 2 ) − 3∫ x 2e x dx
x
1
3
0
0
Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L = 4 .
ln 4
Bài toán 8.26: Tính: a) A =
∫
ln 2
dx
e −1
x
1
b) B =
xe x
∫ ( 1+ x)
2
dx
0
Hướng dẫn giải
x
x
2
a) Đặt t = e − 1 ⇒ e = t + 1 ⇒ dx =
3
A=
∫t
1
2tdt
t2 +1
π
dt
. Đặt t = tan u thì B =
6
+1
2
1
1
ex
ex
dx − ∫
dx
2
1
+
x
1
+
x
)
0
0 (
b) B = ∫
−e x 1 1 e x
e
ex
=∫
dx −
+∫
dx ÷ = − 1 .
1+ x 0 0 1+ x ÷ 2
1+ x
0
1
π
∫
π
∫
2x
2
Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J = e sin xdx
0
x
0
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = cos x, dv = e x , du = − sin x, v = e x
π
π
0
0
I = cos x.e x + ∫ e x .sin xdx = −1 − eπ + ∫ sin xd ( e x )
π
0
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 14
= −1 − e + ( sin x.e
π
x
)
π
π
− ∫ e x cos xdx = −1 − eπ − I
0
0
Do đó 2 I = −1 − eπ ⇒ I = −
1 + eπ
.
2
π
π
π
1
1 2x
1 2x
2x
b) J = ∫ ( 1 − cos 2 x ) d ( 2 ) = e ( 1 − cos 2 x ) − ∫ e .sin 2 xdx
40
4
20
0
Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J =
1 2π
( e − 1) .
8
2
Bài toán 8.28: Tính a) I =
1
1
3x
dx
x
−x
3
+
3
0
1 x+ x
1
+
x
−
÷e dx
∫0.5
x
b) J = ∫
Hướng dẫn giải
2
a) I =
∫e
x+
1
x
2
dx +
0,5
Đặt u = e
x+
1
x
1
1 x+
∫0,5 x − x ÷ e x dx
1
1 x+ x
, dv = dx . Khi đó du = x − x ÷e dx, v = x
2
1 2
1
x+
1 x+
Ta có: ∫ x − ÷e x dx = xe x
x
0,5
Suy ra I = xe
x+
1 2
x
0,5
2
−
∫e
x+
1
x
dx
0,5
0,5
3
= e 2,5 .
2
1
1
3− x
dx thì J + E = ∫ dx = 1
b) Xét E = ∫ x
−x
3
+
3
0
0
1
1
3x − 3− x
1
1
5
dx =
.ln ( 3x + 3− x ) =
ln
và J − E = ∫ x
−x
3 +3
ln 3
ln 3 3
0
0
Do đó: J =
1
1
5
ln ÷.
1 +
2 ln 3 3
1
Bài toán 8.29: Tính: a) A =
∫
−1
1 − x2
dx
1 + 2x
1
∫
2 x
b) B = x e sin xdx
0
Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 15
0
a) A =
∫
−1
1
1 − x2
1 − x2
dx + ∫
dx
1 + 2x
1 + 2x
0
0
∫
Đặt x = −t thì
−1
1
Do đó A =
∫
1
(1+ 2 )
1 − x2
x
1+ 2
0
1
1 − x2
2t 1 − t 2
2x 1 − x2
dx = ∫
dt = ∫
dx
1 + 2x
1 + 2t
1 + 2x
0
0
Đặt x = sin t thì A =
x
1
dx = ∫ 1 − x 2 dx
0
π
.
4
b) Đặt u = x 2 sin x, dv = e x dx thì
1
B = e x sin x − ∫ e x ( 2 x sin x + x 2 cos x ) dx
x
1
2
0
0
1
1
= e sin1 − 2 ∫ xe sin xdx − ∫ x 2e x cos xdx
x
0
0
Từ đó tính được B = e sin1
1
dx
Bài toán 8.30: Tính a) I = ∫ x
2
−1 ( e + 1) ( x + 1)
b) J =
π
sin 2 x
∫−π 3x + 1 dx
Hướng dẫn giải
a) Đặt x = −t thì dx = − dt . Khi x = −1 ⇒ t = 1, x = −1 ⇒ t = 1 .
−1
1
1
dx
dt
et
I
=
=
−
=
Ta có
∫−1 ( e x + 1) ( x 2 + 1) ∫1 ( e−t + 1) ( t 2 + 1) −∫1 ( et + 1) ( t 2 + 1) dt
1
ex
I=∫ x
dx
2
−1 ( e + 1) ( x + 1)
1
nên 2 I = I + I =
∫t
−1
dt
π
π
= . Vậy I = .
+1 2
4
2
−π
b) Đặt x = −t thì dx = − dt nên:
π
J =−∫
π
π
sin 2 t
3x.sin 2 x
dt = ∫
dx
x
1
1
+
3
−π
+1
3t
π
1
π
Do đó 2 J = ∫ sin xdx = ∫ ( 1 + cos 2 x ) dx ⇒ J =
2 −π
2
−π
2
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 16
3
∫ (
2
)
∫
5
Bài toán 8.31: Tính a) A = ln x − x dx b) B = x ln xdx
2
2
1
Hướng dẫn giải
3
3
2x −1
1
dx = 3ln 6 − 2ln 2 − ∫ 2 +
a) A = x ln ( x − x ) − ∫
÷dx = 3ln 3 − 2
2
x −1
x −1
2
2
3
2
b) Đặt u = ln x, dv = x 5 dx . Khi đó du =
dx
1
, v = x6
x
6
2
2 5
x 6 ln x
x dx 32
7
B=
−
= ln 2 −
÷ ∫
3
4
6 1 1 6
e
e
∫
2
Bài toán 8.32: Tính a) C = x ln xdx
b) D =
1
∫( x
1
2
− x + 1) ln xdx
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = ln 2 x, dv = xdx . Khi đó du =
2ln x
1
dx, v = x 2
x
2
e
e
e
x2 2
e2
C = ln x ÷ − ∫ x ln xdx = − ∫ x ln xdx
2 1
2
1 1
Đặt u = ln x, dv = xdx . Khi đó du =
e
e
dx
x2
,v =
x
2
e
x2
1
e2 1 2
e2 − 1
x
ln
xdx
=
ln
x
−
xdx
=
−
e
−
1
⇒
C
=
( )
∫1
2
2 ∫1
2 4
4
1
(
)
2
b) Đặt u = ln x, dv = x − x + 1 dx thì:
e
e
x3 x 2
x3 x 2
1
D = − + x ÷ln x − ∫ − + x ÷ dx
3 2
3 2
x
1
1
=
e
x2 x
e3 e 2
2e3 e 2 31
− + e − ∫ − + 1÷dx =
− +
3 2
3
2
9
4 36
1
e
Bài toán 8.33: Tính: a) I =
∫
1
4
1 + ln x
ln x
dx b) J = ∫
dx
x
x
1
Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 17
e
a) I =
∫ ( 1 + ln x )
1
2
1
4
∫
b) J = 2 ln xd
1
e
( x) = ( 2
= 4ln 4 − 4
(
)
3
1
2
d ( 1 + ln x ) = ( 1 + ln x ) 2 = 2 2 − 1
2
3
1
( x)
4
1
x .ln x
)
4
1
4
− 2∫
1
dx
x
= 4 ( ln 4 − 1)
Bài toán 8.34: Tính: a) A =
π /2
3
∫ cos x ln ( sin x ) dx
∫
b) B = ln
π /4
2
x −1
dx
x +1
Hướng dẫn giải
a) A =
π /2
π /2
∫ ln ( sin x ) d ( sin x ) = sin x.ln ( sin x )
π /4
π /4
−
π /2
∫ cos xdx
π /4
π /2
2
2
2− 2
=
ln 2 − sin x =
ln 2 −
4
4
2
π /4
3
3
x −1
2x
b) B = x ln
÷ − ∫ 2 dx = 3ln 3 − 6ln 2
x +1 2 2 x −1
3
Bài toán 8.35: Tính: a) C =
3 + ln x
∫ ( x + 1)
2
dx
b) D =
1
3
∫
(
x ln x + x 2 + 1
x2 + 1
0
) dx
Hướng dẫn giải
3
3
3
3 + ln x
dx
−1
+∫
a) C = ∫ ( 3 + ln x ) d
÷= −
x + 1 1 1 x ( x + 1)
x +1
2
3
3
3 + ln 3 3
1
dx
1
27
=−
+ + ∫ dx − ∫
= 3 + ln ÷
4
2 1x
x +1 4
16
1
)
(
x
2
b) Đặt u = ln x + x + 1 , dv =
(
D = x + 1.ln x + x + 1
2
2
)
x +1
2
3
0
thì:
3
−
∫ dx = 2ln 3 −
3
0
Bài toán 8.36: Tính:
e
a) I =
∫
1
( 1 + 2 x ) ln x + 3 dx
1 + x ln x
2
b) I = ∫
1
x + 2ln x
( x + 1)
3
dx
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 18
Hướng dẫn giải
e
∫
a) Ta có I =
( 1 + 2 x ) ln x + 3 dx = e 2 ( 1 + x ln x ) + ( 1 + ln x ) dx
∫
1 + x ln x
1
e
1 + x ln x
1
e
e
1 + ln x
1 + ln x
e
= 2 ∫ dx + ∫
dx = 2 x 1 + ∫
dx = 2 ( e − 1) + J
1 + x ln x
1 + x ln x
1
1
1
e
1 + ln x
∫ 1 + x ln x dx
Tính J =
1
Đặt t = 1 + x ln x ⇒ dt = ( 1 + ln x ) dx
Khi x = 1 thì t = 1 , khi x = e thì t = 1 + e
nên J =
1+ e
∫
1
2
b) I =
dt
1+ e
= ln t 1 = ln ( 1 + e ) nên I = 2 ( e − 1) + ln ( 1 + e )
t
x + 2ln x
∫ ( x + 1)
1
3
1
1
2ln x
dx = ∫
−
+
÷dx
2
3
3
( x + 1) ( x + 1) ÷
1 ( x + 1)
2
2
2
2
2
1
1
1
ln x
7
ln x
=−
+ .
+
2
dx
=
+
2
∫1 ( x + 1) 3 12 ∫1 ( x + 1) 3 dx
x + 1 1 2 ( x + 1) 2
1
2
Tính J =
ln x
∫ ( x + 1)
3
dx
1
Đặt u = ln x, dv =
J =−
dx
( x + 1)
2
ln x
2 ( x + 1)
+
2
1
3
. Khi đó du =
dx
1
1
,v = − .
x
2 ( x + 1) 2
2
2
1
dx
ln 2 1 1
1
1
=
−
+
−
−
÷dx
2 ∫1 x ( x + 1) 2
18 2 ∫1 x x + 1 ( x + 1) 2 ÷
2
ln 2 1
x
1
ln 2 1 4 1
=−
+ ln
+
+ ln − ÷
÷ =−
18 2 x + 1 x + 1 1
18 2 3 6
=−
ln 2 1 4 1
+ ln −
18 2 3 12
Suy ra I =
7
4 ln 2 5
ln 2 1 4 1
+ 2 −
+ ln − ÷ = ln −
−
12
3 9
72
18 2 3 12
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 19
ln 2
Bài toán 8.37: Tính: a) I =
∫
0
1
x
dx
x
e + e− x + 2
b) I =
2 + xe x
∫0 x 2 + 2 x + 1dx
Hướng dẫn giải
ln 2
a) Ta có I =
x
dx =
x
e + e− x + 2
∫
0
Đặt u = x, dv =
∫
0
( e x + 1)
0
2
dx
dx . Khi đó du = dx, v = − 1
ex + 1
( e + 1)
2
x
ln 2
ln 2
∫
xe x
ex
x
+
Ta có: I = − x
e +1 0
Tính J =
ln 2
ln 2
∫
0
dx
ln 2
=
+
x
e +1
3
ln 2
∫e
dx
+1
x
0
dx
dt
. Đặt e x = t thì x = ln t ⇒ dx =
x
e +1
t
Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2
2
2
2
2
dt
1 1
J =∫
= ∫ −
÷dt = ln t 1 − ln t + 1 1
t t + 1) 1 t t + 1
1 (
5
= 2ln 2 − ln 3 nên I = ln 2 − ln 3 .
3
1
1
1
1
1
−2
xe x
xe x
I
=
dx
+
dx
=
+
dx
=
1
+
b) Ta có
∫0 ( x + 1) 2 ∫0 ( x + 1) 2
∫0 ( x + 1) 2 dx
x + 1 0 ∫0 ( x + 1) 2
1
Tính
2
xe x
∫ ( x + 1)
2
xe x
x
dx . Đặt u = xe , dv =
0
x
Khi đó du = ( x + 1) e .dx; v = −
1
1
dx
( x + 1)
2
.
1
x +1
1
xe x
−1
dx
=
−
−
Ta có: ∫
( x + 1) e x dx
2
∫
x +1 0 0 x +1
0 ( x + 1)
xe x
1
1
e
e
e
= − + ∫ e x dx = − + e x dx = − 1
0
2 0
2
2
Thay vào ta được I =
e
2.
2
Bài toán 8.38: Chứng minh F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) :
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 20
)
(
1
2
a) F ( x ) = ln x + 1 + x + C ; f ( x ) =
1 + x2
1
x π
+ ÷ + C; f ( x ) =
cos x
2 4
b) F ( x ) = ln tan
Hướng dẫn giải
a)
b)
F '( x ) =
F '( x ) =
=
1+
x
1
x2 + 1 =
x + x2 + 1
x +1
2
⇒
đpcm.
1
1
.
x π
x π
2cos 2 + ÷ tan + ÷
2 4
2 4
1
1
1
=
=
π cos x
x π x π
2cos + ÷sin + ÷ sin x + ÷
2
2 4 2 4
Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f ( x ) =
e2 x
∫ t ln tdt
ex
Hướng dẫn giải
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; +∞ )
( ) ( )
f ' ( x ) = F ' ( e ) 2e − F ' ( e ) e
2x
x
Ta có: f ( x ) = F e − F e , suy ra:
2x
2x
x
x
= 4 xe 4 x − xe 2 x = xe 2 x ( 4e 2 x − 1)
f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − ln 2
Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2 .
∫
n x
*
Bài toán 8.40: Đặt I n = x e dx, n ∉ ¥ . Tính I theo I n −1 với n ≥ 2 . Suy ra I 3 .
Hướng dẫn giải
I n = ∫ x n d ( ex ) = x n .e x − n ∫ x n −1e x dx = x n .e x − nI n−1
3 x
2 x
x
x
Do đó I 3 = x e − 3I 2 , I 2 = x e − 2 I1 , I1 = xe dx = e ( x − 1) + C
∫
(
)
x
3
2
nên I 3 = e x − 3x + 6 x − 6 + C .
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 21
1
∫
n x
Bài toán 8.41: Cho I n = x e dx . Tính I n theo I n −1 .
0
Hướng dẫn giải
1
In = ∫ x d ( e
n
0
x
) = ( x .e )
n
x
1
1
− n ∫ x n −1e x dx = e − nI n −1
0
0
e
Bài toán 8.42: Cho J n =
∫ ( ln x )
n
e
n +1
dx . Chứng minh J n−1 ≤ J n ≤
1
Hướng dẫn giải
J n = x ( ln x )
n e
1
e
− n ∫ ( ln x )
n −1
= e − nJ n −1
1
Với 1 ≤ x ≤ e ⇒ 0 ≤ ln x ≤ 1 ⇒ J n +1 ≤ J n
Do đó J n = e − nJ n −1 ≤ e − nJ n
⇒ ( n + 1) J n ≤ e ⇒ đpcm.
Bài toán 8.43: Tính tích phân
1
∫
2
x2 − 1
b) I = ∫ 2 ln xdx
x
1
a) I = x 2 − x dx
2
0
Hướng dẫn giải
1
1
1
1
1 1/2
2 1/2
2
a) I = ∫ x 2 − x dx = − ∫ ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = − ∫ u du
20
22
0
2
2
2
=
(
)
1 1/2
1
1
u du (đặt u = ( 2 − x 2 ) ) = u 3/2 = 2 2 − 1 .
∫
21
3
1 3
2
b) I =
x2 − 1
∫1 x 2 ln xdx
Đặt t = ln x ⇒
dx
= dt , x = et , t ( 1) = 0, t ( 2 ) = ln 2 ⇒ I =
x
ln 2
∫ t(e
0
t
− e − t ) dt
Đặt u = t ⇒ du = dt , dv = et − e − t , chọn v = et + e − t
⇒ I = t ( et + e −t ) −
0
ln 2
ln 2
∫ (e
0
t
+ e −t ) dt =
5ln 2 − 3
2
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 22
Cách khác: Đặt u = ln x ⇒ du =
dv =
dx
x
x2 − 1
1
1
dx = 1 − 2 ÷dx ⇒ v = x +
2
x
x
x
2
2
2
2
1
1 dx 5
1
5
1
⇒ I = x + ÷ln x − ∫ x + ÷ = ln 2 − ∫ 1 + 2 ÷dx = ln 2 − x − ÷
x
x x 2
x
2
x 1
1
1
1
5
1 5
3
= ln 2 − 2 − ÷ = ln 2 − .
2
2 2
2
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài toán 8.1: Chứng minh F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) :
a) F ( x ) = x ln x − x; f ( x ) = ln x
b) F ( x ) = ln tan
x
1
+ C; f ( x ) =
2
sin x
Hướng dẫn
a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm
b) Dùng định nghĩa và công thức ( ln u ) ' =
∫
2
Bài tập 8.2: Tính: a) A = x 7 − 3 x dx
u'
u
b) P =
∫
x
3
x2 + 4
dx
Hướng dẫn
a) Đổi biến t = 7 − 3 x 2 . Kết quả −
3
1
2 2
7
−
3
x
(
) +C
3
2
3 2
b) Kết quả ( x + 4 ) 3 + C
4
Bài tập 8.3: Tính a)
∫
(
dx
x 1+ x
)
2
b)
∫ 2x
xdx
2
− 1 + 3 x2 − 1
Hướng dẫn
a) Đổi biến t = 1 + x . Kết quả −
2
+C
1+ x
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 23
b) Kết quả 1 ln
)
(
2
x2 − 1 + 1
2
2 x2 − 1 + 1
+C
Bài tập 8.4: Tính
a) I =
∫
1 + x dx
b) I =
2
∫
1 + 2x x2 + 1 + 2x2
1 + x + x2 + 1
dx
Hướng dẫn
a) Dùng nguyên hàm từng phần
Kết quả
)
(
1
ln x + 1 + x 2 + x 1 + x 2 + C
2
(
1
2
b) Kết quả x + x + 1
2
1
Bài tập 8.5: Tính: a) I =
∫
0
) ( x −1+
2
x3dx
)
x 2 + 1 + 2ln x + x 2 + 1 + 1 + C
3
b) J =
4 − x2
∫
x5 + 2 x3
x2 + 1
0
dx
Hướng dẫn
a) Đổi biến t = 4 − x 2 . Kết quả
b) Kết quả
16
−3 3
3
26
5
1
1
dx
x + x +1
0 1+
Bài tập 8.6: Tính: a) C = ∫
b) D = ∫
0
x 3dx
x + x2 + 1
Hướng dẫn
a) Trục căn thức ở mẫu. Kết quả
b) Kết quả D =
(
(
1
3 − 2 − ln 1 + 2
3
))
2 2 −1
15
Bài tập 8.7: Tính a)
∫ x e dx
4 x
12 x dx
b) ∫ x
16 − 9 x
Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.
(
)
4
3
2
x
Kết quả x − 4 x + 12 x − 24 x + 24 e + C
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 24
1
4 x − 3x
.ln x
+C
2 ( ln 4 − ln 3)
4 + 3x
b) Kết quả
Bài tập 8.8: Tính: a)
)
ln ( sin x )
2
∫ cos 2 x dx b) ∫ ln x + 1 + x dx
(
Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả tan x.ln ( sin x ) − x + C
)
(
2
2
b) Kết quả x ln x + 1 + x − 1 + x + C
∫
Bài tập 8.9: Tính a) I = x ln
1− x
dx
1+ x
e
b) J =
ln x
dx
2
x
1
∫
Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần
1 2 1− x 1 1+ x 1
x ln
+ ln
− x+C
2
1+ x 4 1− x 2
Kết quả
b) Kết quả 1 −
2
e
Bài tập 8.10: Tính:
a) I =
π /2
∫ (e
sin x
0
+ cos x ) cos xdx
b) J =
π /2
∫e
3x
sin 5 xdx
0
Hướng dẫn
a) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần.
Kết quả e +
π
−1
4
3π
2
b) Kết quả 3.e + 5
34
1
∫ (
)
Bài tập 8.11: Tính: a) I = ln x + 1 dx
1
2
e
b) J =
∫ ( ln x )
2
dx
1
Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả ln 2 − 2 +
π
2
b) Kết quả e − 2
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 25