Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng. Qua đây, cho
phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS. Hà Đức Vượng - người
thầy đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học
và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và quan tâm trong suốt thời
gian học tập tại Trường ĐHSP Hà Nội 2.

Hà nội, ngày 1 tháng 10 năm 2010
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi.
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân
trọng và biết ơn.

Hà nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả


MỤC LỤC

Lời cảm ơn

..........................................

Lời cam đoan

.......................................

Mục lục

.............................................

Mở đầu

.............................................

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric

.............................

1.2. Không gian metric xác suất

......................

1.3. Không gian metric xác suất Menger

...............

4
11
17

Chương 2. Điểm bất động của các ánh xạ co trong không
gian metric
2.1. Các lớp ánh xạ co
2.2. Điểm bất động

.............................

26

................................

28

Chương 3. Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất
3.1. Các lớp ánh xạ co xác suất

.......................

38

................................

46

............................................

54

3.2. Điểm bất động

Kết luận

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán khác nhau của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến
việc nghiên cứu vấn đề sau:
Cho X là một không gian bất kỳ, ánh xạ T : M
→ M

là một ánh

xạ đi từ tập hợp con M của không gian X vào chính nó. Phương trình
Tx
= x ∈ M ), dưới các điều kiện cụ thể, ta khẳng định sự tồn
tại
(x
nghiệm của nó. Điểm x
∈ M

thỏa mãn phương trình Tx
= x

được gọi là

điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M.
Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giải
quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong
Khoa học kỹ thuật nói chung. Điều này dẫn đến một lĩnh vực nghiên cứu
mới thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này
đã hình thành nên:"Lý thuyết điểm bất động".
Lý thuyết điểm bất động đã phát triển theo 2 hướng chính:
Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên
tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).
Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng
co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất
động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach. Từ đó lớp ánh
xạ này đã được mở rộng bởi nhiều tác giả khác như Rakotch, Sadovskij,
Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler, ...
Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự


5

mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách d(x,y), người ta xét hàm phân bố
F

x ,y

(t biểu diễn xác
)

suất để cho d(x,y) < t , với t là một số thực. Khái niệm này đã thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar
đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết
thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983. Các lớp ánh xạ co cùng với
kết quả về điểm bất động của chúng đã được nghiên cứu trong các không
gian này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn
tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

“Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất
động”.
Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản là công cụ cho
những nội dung nghiên cứu ở chương sau như: khái niệm về không gian
metric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác và
không gian metric xác suất Menger.
Chương 2: Trình bày khái niệm về các lớp ánh xạ co trong không
gian metric: ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co
Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh
xạ co Meir – Keeler. Cuối cùng là kết quả về định lý điểm bất động của
các lớp ánh xạ co này.
Chương 3: Nội dung chính của chương này là sự mở rộng khái
niệm các lớp ánh xạ co nói trên sang không gian metric xác suất. Mối
quan hệ giữa lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. Cuối cùng
là các kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co trong không gian
metric xác suất.


2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là xây dựng một bài tổng quan về các lớp
ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric. Mở rộng các kết
quả đó sang không gian metric xác suất. Công trình nghiên cứu dựa trên
kết quả của PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trong bài báo:
"A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces"
đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica năm 1998.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động của ánh xạ co
trong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xác
suất.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về: “Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác

suất và điểm bất động”.

5. Phương pháp nghiên cứu
− Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

6. Dự kiến đóng góp mới
Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động.
Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian
metric và không gian metric xác suất.


Chương
1

Kiến thức chuẩn bị

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự
mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách d(x,y), người ta xét hàm phân bố
F

x ,y

(t biểu diễn xác
)

suất để cho d(x,y) < t , với t là một số thực. Khái niệm này đã thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và
Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất,
viết thành sách chuyên khảo suất bản năm 1983. Trong chương này
chúng tôi hệ thống
lại các khái niệm cơ bản về không gian metric và không gian metric xác
suất, không gian metric xác suất Menger.

1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1 [1]. Tập hợp X ≠ ∅ cùng với một ánh xạ
d

từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực  được gọi là không

gian metric, ký hiệu là (X,d ) , nếu d thoả mãn:
1. d (x,y ) ≥ 0,d

(x,y ) = 0

⇔ x =y, ∀x,y ∈ X . 2.
d (x,y ) = d (y, x ), ∀x,y
∈ X .


3. d (x,y ) ≤ d (x, z

)+

d

∀x,y ∈ X .

(z,y ),

Ánh xạ d :X
× X

→  gọi là metric trên X, số d (x,y ) gọi
là khoảng


9

cách giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm,
các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề metric.

Định nghĩa 1.1.2 [1]. Cho không gian metric (X,d ) . Một tập hợp
con bất kỳ M ≠ ∅ của tập hợp X cùng với metric d trên

X làm thành một
không gian metric. Không gian metric

)

(M,d

gọi là không gian metric

con của không gian metric đã cho.

Ví dụ 1.1.1. Với hai vectơ bất kỳ x
,..., x ), y = (y ,y
= (x ,
,...,y )
x
1

2

1

k

2

k

k

thuộc không gian vectơ thực k chiều  (k là số nguyên dương nào đó)
ta đặt:
k

d(x,y) = (x j y j ) 2 .
j 1

(1.1)
k

 .

Ta có d (x,y) là một metric
trên
Chứng minh.
Hiển nhiên ta
có:

k

 x
j 1

Vậy d (x,y ) ≥ 0 .

2

j

y j  ≥ 0 với mọi x,y ∈  .

k


Nếu

k

 x
j 1

2

j

y j 

1
0
= 0 , thì ta có:


k

2

∑ (x
− y )

Ta suy ra

j =1

= 0.

j

j

2

Hay

(x
y )

j

j

Do đó ta
có

− =
0,
∀j

= 1, 2,...,k.

x j = y = 1, 2,...,k.
, ∀j

x = y.

Vậy d

(x,y) =

k

= y, ∀x,y ∈  .

0

⇔ x
Hiển nhiên ta có:
d (x,y ) =

2

k

∑ (x
j =1

j

− yj )

k

2

= ∑( y j − x
j =1

Vậy d (x,y ) = d (y, x

),

j

)

= d (y, x ).

k

∀x,y ∈  .
Bây giờ ta kiểm tra tiên đề 3 về metric. Trước hết ta chứng minh
bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski.
Với 2k số thực aj, bj (j = 1, 2,...,k) ta có:
a
k
b

∑

j

j

≤


j =1

k

a
j 1

Thật vậy:

2

j

.

k

b
j 1

2
j

.

(1. 2)

 k (a
0≤  b


2
− ab) 

k

∑

∑
 j =1

i j




j i

i =1

=

∑
i

k

2

j
i =1 =
1


= 2 

∑

k

j

k

i

2

a b
− 2.

j

k
j

i
j
= =
1
1

∑∑
k

i

a ba +
i
b
=
1

k

j
=
1

j

i

a 2b 2

  a b 2  .


2 

k 2
b k
−
∑

a  j 2

∑ j j 

j



∑ 

 j =1  
  j =1 
k

j =1

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.2).
Với 3 vectơ bất kỳ
x

= ( ,..., x ),y = (y ,y ), = ( ,..., z )
z z ,z

x ,x
,...,y
1

thuộc 

k

2

1

k

2

1

k

k

ta có:

2

d (x,y)
=

k

−y
∑ (x
j =1

k

2
jj

)



∑ (x
− z ) + (z
− y )


=

2

j

j

j

k

= (x − z )
∑+ 2.

2

jj

j

j =1

k

j =1



∑
k

j =1

z −
)(
) +y

x
(−
z

j

jj

j

k

(z − y
2
)
∑
j =1

k

−
y

j

j


2
− z )2 . ∑ (z
≤ d (x, z) + j2.
2
)
j

∑ (x
j =1

+ d
2
(z,y)

j =1

2

2

= d (x, z) + 2 d.(x, z).d(z,y) + d (z,y)
= d(x, z) + d(z,y)2 .


Ta có
d(x,y) ≤ d(x, z) + ∀x, ∈  k .
d(z,y),
y, z


Vì vậy hệ thức (1.1) là một metric trên không gian k .
Không gian metric tương ứng ký hiệu là k .
Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C

 
 a, 
b

là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị thực,

xác
đoạnđịnh và liên tục trên

số bất kỳ
x

a,b (−∞ < a < b <
,
+∞). Với hai hàm
 

= x(t),y
ta đặt:
a,
b
= y(t) ∈ C  
 

d (x,y) = max x

(1.3)

( t ) − y (t )
a ≤t ≤b

Vì các hàm số x (t ),y
(t )

liên tục trên đoạn a,b , nên các hàm số
 

này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 
a,b . Suy ra hệ thức (1.3) xác định
 
vào tập số thực  .
một ánh xạ từ tích Descartes C   ×C 

a,b 

a,b 

Dễ dàng thấy ánh xạ (1.3) thoả mãn các tiên đề về metric.
Thật vậy, với x,y, z ∈C = x(t),y
a,
b ,

= y(t), z
x

= z(t) ta có:

 

d ( x,y ) = max x
(t ) − y (t)

≥ 0 với mọi t ∈ a,b .

 

a ≤t ≤b

Ta có

d(x,y) = 0 ⇔ max x
a ≤t ≤b

(t ) − y (t) =

⇔ x(t) − y(t) = 0
⇔ x(t) − y(t) = 0

0


⇔ x = y.
Vậy d

(x,y) =

0

⇔ x
Ta kiểm tra tiên đề 2:

= y , ∀x,y
∈ C
a,

b 





.


Ta có

d(x,y) = max x
a ≤t ≤b

= max x
a ≤t ≤b

(t ) − y ( t )

(t ) − y (t)

= d (y, x ), ∀x,y
∈ C
a,
 

Vậy d (x,y ) = d ∀x,y ∈ C
a,
b 

(y, x ) ,







.



.

.

Bây giờ ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác, nghĩa là:
d (x,y ) ≤ d (x, z

)+

Ta có

d

(

a ≤t ≤b

≤ max x

a ≤t ≤b

(t ))− z( (t)

a,b

,d

+ z

a ≤t ≤b

)+

d (x,y ) ≤ d (x, z
z ∈ C

(C

(t ) − y

(t ) − z (t) +

= d (x, z

Vậy



a ≤t ≤b

= max x

Suy ra ta
có

b 

(z,y ) ;

d(x,y) = max x

( t)

∀x,y, z ∈
C
a,

(t ) − y (t)

max z

( t ) − y (t)

d (z,y), ∀x,y,
z ∈ C
a,
b 



.

) + d (z,y ), ∀x,y,
a,



) là không gian metric, với metric d

b

.


 

được xác định bởi

(1.3)
 

Ví dụ 1.1.3. Cho tập hợp X ≠ ∅. Với hai phần tử bất kỳ x,y
∈ X , ta đặt
0

1

khi x
d (x,y ) 

khi x

≠y
= y.

Khi đó (X,d là một không gian metric.

)

(1.4)


10

Chứng minh.
Thật vậy hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes X
× X vào tập hợp số thực  . Ta kiểm tra hệ thức (1.4) về các tiên

đề metric. Với hai phần tử bất kỳ x,y ∈ X .
Ta thấy nếu x
= y
Nếu x
≠ y

thì theo (1.4) ta có d (x,y ) = 0 .

thì theo (1.4) ta có d (x,y ) = 1 .

Vậy ta có d (x,y ) ≥ 0, ∀x,y
∈ X.

= y.

d

(x,y) =

0 ⇔ x Do đó (1.4)

thỏa mãn tiên đề 1 về metric. Bây giờ ta
kiểm tra tiên đề 2 về metric.
Với hai phần tử bất kỳ x,y ∈ X .
Nếu x
= y

thì y = x , do đó d ( x,y ) = d (y, x

Nếu x
≠ y

thì y ≠ x , do đó d

(x,y) =

Vì vậy d (x,y ) = d (y, x

1,

d (y, x

)=

)=

0.

1.

) với

mọi x,y ∈ X . Do đó (1.4) thỏa mãn
tiên đề 2 về metric.
Cuối cùng, ta kiểm tra tiên đề 3 về metric, đó là bất đẳng thức tam giác.
Với ba phần tử x,y, z
∈ X
Giả sử x
= y

ta có:

thì d (x,y ) = 0 . Theo chứng minh trên ta có
d (x, z

)≥

0 ,d (y, z

)≥

0.


10
Do đó d (x,y ) ≤ d (x, z
Nếu x
≠ y
Nếu z
= x

)+

d ( z,y ) .

thì d (x,y ) = 1 . Với hai phần tử còn lại:
thì
z

≠ y , khi đó d (x, z

(z,y) =

1 . Suy ra

)=

0,d

21

Nếu z
= y

thì
z

d (x,y ) = d (x, z

)+

≠ x , khi đó d (x, z

(z,y) =

≠ x , z thì d (x, z
≠ y
có

)=

d (x,y ) < d (x, z
Vì vậy ta
có

d (x,y ) ≤ d (x, z

)=

1, d

0 . Suy ra

d (x,y ) = d (x, z
Nếu
z

d (z,y ).

)+

d (z,y ).

d (z,y ) = 1, khi đó ta

)+

d (z,y )

)+

d (z,y ) với mọi
x,y, z ∈ X .

Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 3 về metric.
Vậy hệ thức (1.4) là một metric trên X . Không gian metric tương
ứng
gọi là không gian metric rời rạc.
Nhận xét 1.1.1. Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định được các

metric khác nhau. Chẳng hạn trên cùng tập hợp k , ngoài metric
Eukleides, có thể xác định các metric sau đây:
Với hai phần tử bất kì

(x , x ,..., x ),y =
(y ,y ,...,y )
x=

1

1

k

2

2

thuộc k ta

k

đặt:
k

d1 (x,y) =
x −j yj , d
∑
− y .

2

max x

1≤j ≤k

j =1

Dễ dàng ta kiểm tra được d và
1
d

(x,y) =

2

cũng là các metric
trên

k

 .


22

1.2. Không gian metric xác suất
Định nghĩa 1.2.1 [8]. Một ánh xạ F : 
→
0,1

được gọi là hàm phân bố

 
(distribution function) nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và


inf F = 0,
sup F

= 1.

t ∈

t ∈

+
:  → 0,1 , được xác định như sau:
 

khi t > 0
t


F (t) = t + u
t = 0.
−v
u,v

khi


 0

Ta có Fu,v (t) là hàm phân bố.

Ví
F dụ 1.2.1. Cho

Chứng minh.
Trước hết ta chứng
minh
Với t
,t
1

Fu,v (t) là hàm không giảm.
+

2

∈  , giả sử 0
< t < t

ta có:

1

F

u,v

u,v

Ta phải chứng minh F
u,v (t
1

2

(t )
1

= t1
,
t1 u v

(t ) =
2

)≤

u,v

t2

t2 u v

.

F

2

(t ) . Thật
vậy, ta có

(t2 − t1 ) u − .v
t
− 1
=
t2 u v
t1 u v
t2 + u − v t1
t2

(

+ u− v
Do t > > 0 nên t > 0.
2
1
F

)

)(


2

Mặt

khác

−
t
+ u
− v
1

Suy ra

>
0,t

+ u
> 0.
−
v
2


(t

≥ 0.

− t1 ) u

2

− v

(t

Hay

2

+ u− v

)(t

1

+ u

− v

)

t

t

2

1

t2 u v −
t1 u v ≥ 0 .
Ta có

Fu,v (t1

)≤

u,v

F2

(t ).

Vậy Fu,v (t) là hàm không giảm.
Tiếp theo ta chứng
minh

F

u,v

(t) là hàm nửa liên tục dưới.

Do Fu,v (t) là hàm liên tục nên nó là hàm nửa liên tục dưới.
Cuối cùng ta
tính
Ta có

sup F
và
t ∈

(t )

inf F
t ∈

(t

u,v
+


u − v 


 1−
lim

=

lim
t →+∞ t →+∞ 
t+ u−
v


t u v


u v
= lim 1 − lim
t u v

t →+∞
t →+∞
t

sup Fu,v (t )
Vậ
y

.

+ u,v

= 1.
t ∈

+

Mặt khác, do
u,v

= 1.