Đa nội suy Lagrange và ứng dụng trong toán sơ cấp

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

DƯƠNG TH± ANH

ĐA THÚC N®I SUY LAGRANGE
VÀ ÚNG DUNG TRONG TOÁN SƠ
CAP

Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 60 46 01 02

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưòi hưóng dan khoa hoc: TS. Nguyen Văn Khái

Hà N®i - 2016


LèI CÁM ƠN

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS.Nguyen Văn Khái ,
ngưòi thay đã t¾n tình hưóng dan tôi trong suot quá trình hoc t¾p đe tôi
có the hoàn thành lu¾n văn cna mình.
Tôi xin trân trong cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng Sau đai hoc, các thay
cô giáo trong Khoa Toán, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ
và tao moi đieu ki¾n cho tôi trong suot quá trình hoc t¾p tai trưòng.
Qua đây, tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn tói gia đình, ban bè đã luôn nng
h®, giúp đõ nhi¾t tình và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tôi hoàn thành
lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 12 năm 2016
Hoc viên

Dương Th% Anh


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna TS.Nguyen Văn Khái .
Trong quá trình nghiên cúu, tôi ke thùa các thành tnu cna các nhà khoa
hoc vói lòng biet ơn trân trong.

Hà N®i, tháng 12 năm 2016
Hoc viên

Dương Th% Anh


4

MUC LUC

Má đau

4

1 Cơ sá lý thuyet đa thNc n®i suy Lagrange

6

1.1 M®t vài van đe ve đa thúc...........................................................6
1.2

Bài toán n®i suy................................................................................7

1.3

Công thúc n®i suy Lagrange.............................................................9

1.4

Sai so cna phép n®i suy..................................................................10

1.5

Đa thúc Chebyshev.....................................................................11

1.6 Van đe chon moc n®i suy................................................................11
1.7

Sn h®i tu cna quá trình n®i suy.....................................................13

2 M®t so Nng dnng cúa đa thNc n®i suy Lagrange trong toán
sơ cap

17

2.1 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange trong bài toán tong
huu han.......................................................................................17

2.2 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange trong bài toán đa
thúc.............................................................................................32
2.3 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange trong bài toán n®i
suy bat đang thúc b¾c hai..........................................................67


Ket lu¾n
Tài li¾u tham kháo

5

73
74


Mé ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Trong thnc te có nhieu trưòng hop ta can phái xác đ%nh đưoc bieu thúc
cna hàm y = f (x), trong khi chí biet các giá tr% ròi rac y0, y1, ..., yn tai
các điem tương úng x0, x1, ..., xn. é m®t so trưòng hop khác, ta đã biet
bieu thúc cna hàm y = f (x) nhưng quá phúc tap. Khi đó ngưòi ta xây
dnng m®t đa thúc P (x) thóa mãn:
P (xi) = f (xi), i = 0, n.
Đa thúc P (x) xây dnng như trên đưoc goi là đa thúc n®i suy cna f (x)
úng vói các moc n®i suy x0, x1, ..., xn.
Các điem xi, i = 0, n đưoc goi là các moc n®i suy và bài toán xây dnng
đa
thúc P (x) như v¾y đưoc goi là bài toán n®i suy.
Đa thúc n®i suy Lagrange có nhieu úng dung trong toán sơ cap, thưòng

đưoc đe c¾p trong các đe thi chuyen cap, hoc sinh giói cap trưòng, cap
tính, cap quoc gia. Vì v¾y, vi¾c hình thành m®t chuyên đe chon loc
nhung van đe cơ bán ve bài toán n®i suy dưói góc đ® toán pho thông,
đ¾c bi¾t là nhung úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange đe giái các
bài toán trong các đe thi hoc sinh giói các cap là can thiet. Do đó dưói sn
hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Khái, tôi đã chon đe tài:
"Đa thÚc n®i suy Lagrange và Úng ding trong toán sơ cap"


2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu m®t so van đe cna đa thúc n®i suy Lagrange và úng dung
trong toán sơ cap.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange trong giái toán sơ
cap.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đa thúc n®i suy Lagrange.
Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange trong toán sơ cap.
5. Phương pháp nghiên cNu
Phương pháp n®i suy.
6. Đóng góp cúa lu¾n văn
H¾ thong hóa lai nhung van đe cơ bán cna đa thúc n®i suy Lagrange và
m®t so úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange trong toán sơ cap.


CHƯƠNG 1
CƠ Sé LÝ THUYET ĐA THÚC N®I SUY LAGRANGE

1.1

M®t vài van đe ve đa thNc

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Đa thúc b¾c n cúa an x trên trưòng so thnc R là
bieu thúc có dang:
P (x) = anxn +
an

n−1

x
−1

+ . . . + x + a0 ,

a1

trong đó, ai ∈ R, an ƒ= 0, n ∈ N∗. Ta goi an là h¾ so cao nhat cúa đa
thúc,
a0 là h¾ so tn do cúa đa thúc.
T¾p hop tat cá các đa thúc có b¾c ≤ n và đa thúc 0 đưoc kí hi¾u là Pn.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Đa thúc vói h¾ so nguyên là đa thúc có dang:
P (x) = anxn +
an
trong đó, ai ∈ Z.

n−1

x
−1

+ . . . + x + a0 ,

a1

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Giá tr% cúa đa thúc P (x) tai x0 là
P (x0) = anxn +
0
an

n−1

1x
−

+ . . . + a 1x 0 + a 0 .

0

Nghi¾m cúa đa thúc P (x) là so x¯ ∈ C sao cho P (x¯) = 0.
Đ%nh lý 1.1.1. (Euclid) cho đa thúc P (x) b¾c n và đa thúc Q(x) b¾c
m (m < n) vói các h¾ so thnc. Khi đó, ton tai các đa thúc duy nhat S(x)
và R(x) sao cho
P (x) = Q(x).S(x) + R(x),

(1.1.1)


trong đó, R(x) có b¾c r nhó hơn b¾c cúa Q(x).
Đ%nh lý 1.1.2. Moi đa thúc b¾c n ≥ 1 luôn có đú n nghi¾m phúc.
Đ%nh lý 1.1.3. Moi đa thúc P (x) b¾c n vói h¾ so thnc đeu có the

bieu dien dưói dang
mY

P (x) = an

i=1

s

(x − di)

Y

(x2 + bkx + ck),

k=1

trong đó, di, bk, ck ∈ R, 2s + m = n,kb2 − 4ck < 0, m, n ∈ N∗.
1.2

Bài toán n®i suy

Đ%nh nghĩa 1.2.1. i) H¾ n + 1 điem phân bi¾t {xi} vói xi ∈ [a,
b], i = 0, n đưoc goi là các moc n®i suy.
ii) Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh trên [a, b]. Đa thúc P (x) có b¾c
thap nhat thóa mãn P (xi) = f (xi) vói i = 0, n đưoc goi là đa thúc
n®i suy cúa hàm so y = f (x) úng vói các moc n®i suy {xi} (i =
0, n).
Bài toán xây dnng đa thúc n®i suy như v¾y goi là bài toán n®i suy.
Đ%nh lý 1.2.1. Cho n + 1 moc n®i suy x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] và n + 1

giá tr% thnc y0, y1, . . . , yn. Khi đó ton tai duy nhat đa thúc Pn(x) ∈ Pn
sao cho
Pn(xi) = yi = f (xi) vói i = 0, n.

(1.2.2)

ChNng minh.
Giá sú đa thúc P (x) = a0 + a1x + . . . + anxn vói n + 1 h¾ so bat đ
%nh ai, i = 0, n. Tù đieu ki¾n (1.2.2) ta có h¾ n + 1 phương trình
tuyen tính vói (n + 1) an ai (i = 0, n).
n
a0 + a 1 x 1 + . . . + a
i nx = yi (i = 0, n)

(1.2.3)


H¾ có nghi¾m duy nhat khi và chí khi đ%nh thúc cna ma tr¾n h¾ so cna nó
khác 0. Đ%nh thúc cna h¾ phương trình này là
.
..
.
n
... x .
. 1 x0
.
0 .
.
2
n

x
0 . . . x .
V (x0, x1, . . . , xn) = ..
1 .
.
. 1 x1
1
x2
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .. .
..
.
2
n .
. 1 xn xn . . . xn .

(1.2.4)

Đ%nh thúc này đưoc goi là đ%nh thúc
Vandermonde. Đe tính V chúng ta xét hàm V (x)
sau đây:
.
.. 1 x0
.
. 1 x1
. .
V (x) = V (x0, x1, . . . , xn−1, x) =
. ...
...

.
.
.. 1
xn 1
.
−

.. 1
.

x

.
. . . xn .
0 ..
n
... x .
1 .
... ... .
. . . xn
. . . xn

(1.2.5)

..

.
...

Rõ ràng V (x) ∈ Pn. Hơn nua V (x) = 0 tai x0, x1, . . . , xn−1 hay V (x) có

n nghi¾m là x0, x1, . . . , xn−1. Do đó
V (x0, x1, . . . , xn−1, x) = A(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1).
(1.2.6)
trong đó h¾ so A là đai lưong chí phu thu®c vào x0, x1, . . . , xn−1. Đe
tính A ta khai trien (1.2.5) theo dòng cuoi cùng, thay ngay A = V (x0, x1,
. . . , xn−1). Suy ra
V (x0, x1, . . . , xn−1, x)
= V (x0, x1, . . . , xn−1)(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1).
(1.2.7)
Đ¾c bi¾t


V (x0,
x1 , . . . ,
xn−1,
xn )


12

= V (x0, x1, . . . , xn−1)(xn − x0)(xn − x1) . . . (xn − xn−1).
(1.2.8)
Tù V (x0, x1) = x1 − x0 và (1.2.8) ta có
V (x0, x1, x2) = (x1 − x0)(x2 − x0)(x2 − x1).
Tù đó suy ra

V (x0, x1, . . . , xn−1, xn) =
Y

(xi − xj ).

(1.2.9)

0≤j
Vì x0, x1, . . . , xn phân bi¾t nên V ƒ= 0.
Do đó, h¾ (1.2.3) có nghi¾m duy nhat (a0, a1, . . . , an), tù đó đa thúc P
(x) thóa mãn đieu ki¾n (1.2.2) là ton tai duy nhat.

Q

Đa thúc n®i suy P (x) ó đ%nh lý 1.2.2 đưoc goi là đa thúc n®i suy cna hàm
y = f (x) vói n + 1 moc n®i suy {xi}.
1.3

Công thNc n®i suy Lagrange

Đ¾t

Q

(x − xi)

iƒ=j

φj (x) = Q
Rõ ràng φj (x) là đa thúc b¾c n
và

− x i)

(xj
iƒ=j


1, i = j
φj (xi) = 

0, i ƒ= j
Đ¾t Pn (x)
=

n
.

φj (x) yj, de thay deg Pn (x) ≤ n, Pn (xj ) = yj ∀j
= 0, n.

j=0

Pn (x) như trên đưoc goi là đa thúc n®i suy Lagrange úng vói moc n®i suy
x0, x1, ..., xn.
Nh¾n xét: Neu y = f (x) là đa thúc b¾c N và x0, x1, ..., xn là moc n®i
suy


13

(n ≥ N ) thì đa thúc n®i suy Pn (x) = f (x)

1.4

Sai so cúa phép n®i suy

Giá sú P (x) là đa thúc n®i suy b¾c n cna f (x) trên đoan [a, b], túc
là
P (xi) = f (xi), i = 0, n. Giá sú f (x) là hàm khá vi liên tuc đen cap n
+ 1,
kí hi¾u M = sup
a≤x≤b

|f (n+1)(x)|, ta có công thúc đánh giá sai so sau
M

|f (x) − P (x)|
(n + 1)!

≤

|(x − x0 ) . . . (x − xn )|.

Chúng minh.
Giá sú f (x) có đao hàm liên tuc đen cap (n + 1) trên đoan [a, b].
Xét F (x) = f (x) − Pn(x) − cω(x),
n
Q
trong đó ω(x)
(x − xi), c là hang so đưoc chon tù đieu ki¾n F (x¯)
=

=0
i=0

vói x¯ (x¯ ƒ= xi ∀i = 0, n) là điem can đánh giá sai so, tù đó:
f (x¯) −
(1.4.10)
c=
Pn (x¯)
ω(x¯)
De thay F (x) có ít nhat (n + 2) nghi¾m phân bi¾t là x0 , x1 , ..., xn và x¯
trên
đoan [a, b], theo đ%nh lí Rolle thì F r (x) có ít nhat (n + 1) nghi¾m
phân bi¾t trong khoáng (a, b), F
b) nghĩa là:
f
V¾
y

(n+1)

(ξ) − nP
0.

(n+1)

(x) có ít nhat m®t nghi¾m ξ ∈ (a,

(n+1)
(ξ) −

c(n + 1)! =

(n+1)
(ξ)
c=f
(n + 1)!

Tù (1.4.10) và (1.4.11) ta có f (x¯) −
f
Pn (x¯) =

(1.4.11)
(n+1) (ξ)

(n+1)!

ω(x¯).


.
Đ¾t M = max . f

(n+1)

.
(x). . Khi đó vói x ∈ [a, b], ta có:

x∈[a,b]

R(x) = |f (x) − Pn(x)|

=

.
.f

(n+1)

(n +
1)!

(ξ).

.
|ω(x)| .


R(x) = |f (x) − Pn(x)|
≤

Tù đó

M
(n + 1)!

|ω(x)| ,

trong đó R(x) là ưóc lưong sai so cna hàm so y = f (x) và đa thúc
n®i suy Lagrange cna nó.
Như v¾y
R(x) ≤

M

.
|ω(x)| ; M =
max
x∈[a,b]

n+
1

.
(x).

(n
. + 1)!
cho ta ưóc lưong sai so fcna hàm so y = f (x) cho trưóc và đa thúc n®i
suy Lagrange cna nó tai moi điem.
1.5

Đa thNc Chebyshev

Đ%nh nghĩa 1.5.1. Vói n ∈ N, ta goi đa thúc Tn(x) = cos(n. arccos
x)
vói x ∈ [ − 1; 1] là đa thúc Chebyshev b¾c n.
Đ%nh lý 1.5.1. Các đa thúc Chebyshev thóa mãn h¾ thúc truy hoi sau
đây:Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x), ∀n ≥ 1.
Đ%nh lý 1.5.2. 1. Tn(x) có n nghi¾m đơn:
2k − 1
π, k = 1, 2, ..., n

xk = cos
2n
k
2. Trên đoan [−1; 1] thì Tn(x) đat cnc tr% tai n + 1 điem tk = cos π
n
vói
k = 0, 1, ..., n và Tn(tk) = (−1)k.
1.6

Van đe chon moc n®i suy

Khi ưóc lưong sai so cna đa thúc n®i suy ta có
M

|P (x) − f (x)|
|ω(x)|.
(n + 1)!
≤


vói ω(x)
=
moc n®i

n
Q

(x − xi). Trong muc này ta se trình bày van đe chon các

i=0

suy xi ∈

[a; b] đe max |ω(x)| là nhó nhat.
x∈[a;b]

Tù giá thiet f (x) xác đ%nh trên [a; b], bang m®t phép đoi bien
1
t=
[2x − (a + b)]
b−a
thì đoan [a; b] đưoc chuyen thành [−1; 1] vói các m®c n®i suy thu®c đoan
[−1; 1].
Đ%nh nghĩa 1.6.1. Tn(x)
=
thap hơn).

+ ( các so hang
b¾c

1
n

2n−1
x

Tn(x). Tn(x) =

Đ%nh lý 1.6.1. (Chebyshev). Vói 1 ≤ n ∈ N ∗ , Ký hi¾u Pn là lóp tat cá
các đa thúc b¾c n vói h¾ so cao nhat là 1. Khi đó vói moi P (x) ∈ Pn
thì:

.
.
= max .T n(x). ≤ max |P (x)| .
∈[−1,
x∈[−1,
2n−1
1

Chúng minh.

1]

1]

.
.
Rõ ràng: max T (x). = 1 .
.x∈[−1, 1] n
2n−1
1
Giá sú có P (x) ∈ Pn sao cho max |P (x)|
, khi đó xét đa thúc
2n−
x∈[−1, 1]
<
1
.
.
Q(x) = Tn(x) − P (x) thóa mãn đieu ki¾n:
a) deg (Q(x)) ≤ n − 1.

k
.
. (−1)
b) Q(tk) = Tn(tk) − P (tk) 2n 1 − P (tk), ∀k = 0, ..., n.
−
=
1
Vì |P (tk)|
nên Q(tk) luân phiên có dau âm, dương, đieu này chúng
n−1
<
2


tó Q(x) phái có ít nhat n nghi¾m, vô lý. Đ%nh lý đưoc chúng minh.
H¾ quá 1.3.1
max .

xn + a1xn−1 + ... + an
≥
.

x∈[−1, 1]

.

.

1

, ∀a1, a2, ..., an ∈ R.

2n−1


Ket lu¾n: Neu ta chon các moc n®i suy x0, x1, ..., xn chính là các nghi¾m
1
cna đa thúc Chebyshev Tn+1(x) thì ωn+1(x)
Tn+1(x) và lúc đó có ưóc
=
2n
lưong tot nhat cna phép n®i suy là:
M
R(x) = |f (x) − Pn(x)|
(n + 1)!
≤
=
1.7

1
.
|ωn+1(x)| (n + 1)! 2n
M

SN h®i tn cúa quá trình n®i suy

Trong thnc hành không phái lúc nào cũng ưóc lưong đưoc phan dư cna
công thúc n®i suy vì không luôn luôn tính đưoc đao hàm cap cao cna m®t
hàm f (x) cho trưóc. Có the nghĩ rang khi so moc n®i suy tăng lên thì
đa thúc n®i suy Pn(x) cna hàm f (x) càng xap xí tói hàm so f (x) đó.

Neu đúng như v¾y thì ta có the tien hành phép n®i suy và dù không ưóc
lưong đưoc phan dư, nhưng ta se làm phép tính thêm chính xác neu tăng
thêm moc n®i suy. Van đe này đưoc goi là sn h®i tu cna quá trình n®i suy
và đưoc phát bieu lai m®t cách chính xác như sau: Xét hàm y = f (x)
xác đ%nh trên đoan [a, b] . Giá sú vói moi so ∀ n ∈ N∗ ta có n + 1 moc
n®i suy
x

(n)
0

(n)

(n)

, x1 , ..., xn trên đoan [a, b] , như v¾y ta có ma tr¾n tam giác dang:
(0)

x0

(1)

x

0
(2)

x

0

(1)

x1

(2
)
x1

(2)

x2

(1.7.12)

...
(n)

x

0

...

(n)

x1

...

(n)

xn


Vói moi n, ta xây dnng đa thúc n®i suy Lagrange Pn(x) cna hàm so
(n)
(n)
(n)
y = f (x) úng vói (n + 1) moc n®i suy x , x , ..., x .
0

1

n


Đ%nh nghĩa 1.7.1. Quá trình n®i suy đưoc goi là h®i tn neu:
lim
n→∞

Pn(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b]

(1.7.13)

Quá trình n®i suy đưoc goi là h®i tu đeu neu như Pn(x) h®i tu đeu ve
f (x) trên đoan [a, b].
Ví dn 1: Giá sú f (x) là m®t đa thúc (theo nghĩa thông thưòng) b¾c N0
nghĩa là
f (x) = a0xN0 + a1xN0−1 + ... + a0 (a0 ƒ= 0).

Khi đó, ∀n ≥ N0 thì Pn(x) ≡ f (x) (moc n®i suy chon bat kỳ),
v¾y
lim
n→∞ Pn(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b].
Ví dn 2:


Xét
x sin . ., x ∈ (0, 1]
f (x)
π
x

=

0, x = 0
(n)

Vói n ∈ N

∗

(n)

1

(n)

, x2

ta chon moc n®i suy là: x0 = 1, x1
=
=
2
1
i
(n)
(n)
xn =
. sin(i+1)π = ∀0
. Khi đó de thay f i(x
...,n
)=
(i + 1)
n+1
∗
và ∀n ∈ N , tù đó đa thúc n®i suy Lagrange Pn(x) ≡ 0 ∀n, v¾y:
lim
n→∞

1
,...,
3
i = 0,

Pn(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Như v¾y, đa thúc n®i suy Lagrange f (x) nói trên lai h®i tu đen m®t
hàm hang 0 khác vói f (x).
Đ%nh lý dưói đây cho m®t đieu ki¾n đn đe quá trình n®i suy là h®i tu:

Đ%nh nghĩa 1.7.2. Cho hàm y = f (x) xác đ%nh trên [a, b]. Khi đó f
(x)


đưoc goi là hàm nguyên trên đoan [a, b] neu nó có the khai trien
thành


chuoi lũy thùa:
f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . . + ak(x − x0)k +
...
và chuoi này h®i tn vói moi x huu han.
Đ%nh lý 1.7.1. Giá sú hàm sô y = f (x) là hàm nguyên trên đoan [a,
b]. Khi đó vói bat kỳ ma tr¾n tam giác dang (1.7.12) thì dãy đa thúc
n®i suy Pn(x) đeu h®i tn tói f (x), ∀x ∈ [a, b].
ChNng minh.
Ta
có:

f (n+1)
(ξ)
f (x) −
Pn(x) =

Do đó |f (x) − Pn(x)|
≤
Ta có

f

(n+1)

(n)

−

(x
(n + 1)!

0
xn

(n)

−
)(x

x

1

−
) . . . (x x

Mn+1
− n+
(n + 1)!(b a)1 vói Mn+1 = max
|f

(n)

).

(n+1 (x)|.
)

x∈[a,b]

(x) =(n + 1)!an+1 + (n + 2)(n + 1) . . . 2an+2(x − x0) + . . .
+ (n + k)(n + k − 1) . . . kan+k(x − x0)k−1 + . . .

Tù đó có:
|f (n+1)(x)| =(n + 1)!|an+1| + (n + 2)(n + 1) . . . 2|an+2||(x − x0)| + .
..
+ (n + k)(n + k − 1) . . . k|an+k||(x − x0)|k−1 + . . .
V¾y: |f (n+1)(x)| = (n + 1)n+1|an+1| + (n + 2)n+1|an+2||(x − x0)| + .
..
x
Ta có .1 +
e x,
n

(n + k)n+1|an+k||(x − x0)|k−1 + . . . .
.n <

∀x > 0 cho nên:


.

n +k
.n+1
n+1

.
= 1 k−1
.n+1
+
n+1

< ek−1 .


Như v¾y có ưóc lưong sau:
|f (n+1)(x)|

k

+. . . .

1

≤ |an+1|+|an+2|(e|(x−x0)|)+. . .+|an+k|(e|(x−x0)|)

(n + 1)n+1

−

Nhân hai ve cna đang thúc vói [e(b − a)]n+1 ta đưoc:
|f (n+1)(x)|

n+
1

(n + 1)n+1
a)]

[e(b −

≤|an+1|[e(b −
a)]

n+
1

+ |an+2|[e(b −
a)]

n+
1

(e|(x − x0)|)

+ . . . + |an+k|[e(b − a)]n+1(e|(x − x0)|)k−1 + . .
..
(n+1)
.∞
|
(x)|
Tù

[e(b − a)]n+1
|ak |[e(b − a)]k.
f đó có:
≤
k=n+1
(n +
n+1
.∞
1)
k
Theo giá thiet f (x) là hàm nguyên, cho nên
k= |ak|x h®i tu vói
chuoi
0
.∞
moi x huu han, tù đó k= |ak|[e(b − a)]k h®i tu, v¾y rút ra
0
∞
.

lim

n→∞

|ak |[e(b − a)]k = 0.

k=n+1

[e(b − a)]n+1 = 0.

Tù đó có:
lim
n→∞

(1.7.14)

Mn+1
(n +

1)n+1

M¾t khác:
(n + 1)n+1
(n +
1)!

Mn+1
(n +
1)n+1

(b − a)n+1
=

< en+1 nên ta thu đưoc:
Mn+1

Mn+1
(n +
1)n+1

(n +
(b − a)n+1 và
n+1
1)
(n
+ 1)!