Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.
Tôi xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS Nguyen
Năng Tâm, ngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình hưóng dan
tôi trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn.
Tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u trưòng Đai
hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà
trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã
tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu.
Tôi xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên và
tao moi đieu ki¾n đe tôi có the hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 10 năm 2010

Nguyen Th% Thanh


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.

Hà N®i, tháng 10 năm 2010

Nguyen Th% Thanh


Mnc lnc

Má đau

1

Chương 1. T¾p loi và hàm loi

3

1.1. Đ%nh nghĩa t¾p loi và các tính chat . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Đ%nh nghĩa hàm loi và các tính chat . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Hàm loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Các phép toán ve hàm loi.............................................. 11
1.2.3. Tính liên tuc cna hàm loi...............................................13
1.3. Ket lu¾n...........................................................................................15
Chương 2. Dưái vi phân hàm loi

16

2.1. Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ bán......................................... 16
2.2. M®t so phép toán dưói vi phân.................................................25
2.3. Ket lu¾n...........................................................................................31

Chương 3. Úng dnng cúa dưái vi phân hàm loi

32

3.1. M®t so tính chat cơ bán............................................................ 32
3.2. M®t so ví du...................................................................................35
3.3. Ket lu¾n...........................................................................................41
Ket lu¾n

42

Tài li¾u tham kháo

43


BÁNG KÍ HIfiU
Rn

không gian Euclid n chieu trên t¾p so thnc

R

t¾p so thnc (R =

R1) R = R ∪ { −∞, +∞}

t¾p so thnc

suy r®ng

..
n
x i2
"x"
i=1
=

chan Euclide cna x

F :X⇒Y
domf

ánh xa đa tr% tù X vào Y
mien huu hi¾u cna f

epif

trên đo th% cna f

int Ω

phan trong cna Ω

ri Ω

phan trong tương đoi cna Ω

cone Ω

nón loi sinh bói Ω

N (x¯, Ω)

nón pháp tuyen cna Ω tai x¯

∇f (x) hay f t(x)

đao hàm cna f tai x

f t(x; v)

đao hàm theo hưóng v cna f tai x

∂f (x)

dưói vi phân cna f tai x


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Nhung hàm so không khá vi xuat hi¾n thưòng xuyên và đưoc biet
đen tù lâu trong Toán hoc và các khoa hoc úng dung khác. Vì lý thuyet
vi phân co đien không the úng dung đưoc cho vi¾c kháo sát nhung đoi
tưong không khá vi, nên các lý thuyet vi phân suy r®ng đã ra đòi và đã
đưoc xây dnng. Lý thuyet vi phân suy r®ng đau tiên là lý thuyet vi phân
suy r®ng cho các hàm loi. Vói nhung cong hien quan trong cna T. R.
Rockafellar và m®t so nhà toán hoc khác, ngày nay Giái tích loi đã tró
thành m®t b® ph¾n quan trong và đep đe cna Giái tích toán hoc, góp
phan giái quyet đưoc nhieu bài toán trong thnc te ([1], [7]). Vói mong
muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve sn phát trien cna phép tính vi-tích phân

và úng dung cna nó, tôi đã chon nghiên cúu đe tài: “Dưói vi phân cna
hàm loi và úng dung”.

2. Mnc đích nghiên cNu
Đe tài nghiên cúu các ket quá đat đưoc ve dưói vi phân cna hàm loi
và m®t so úng dung vào bài toán toi ưu.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ khái ni¾m
dưói vi phân cna hàm loi và m®t so tính chat, tù đó trình bày úng dung
cna nó trong m®t so bài toán.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Dưói vi phân cna hàm loi và m®t so tính chat.
Úng dung cna dưói vi phân hàm loi.


2

5. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen
đe tài, sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích, giái tích loi,
giái tích đa tr%, toi ưu hoá.

6. NhÑng đóng góp cúa đe tài
Trình bày m®t cách có h¾ thong các kien thúc cơ bán ve dưói vi phân
cna hàm loi và m®t so tính chat. Nghiên cúu úng dung cna dưói vi phân
hàm loi trong m®t so bài toán.

Chương 1
T¾p loi và hàm
loi

Trong chương này chúng ta se trình bày nhung khái ni¾m cơ bán nhat
cna t¾p loi và hàm loi cùng vói nhung tính chat đ¾c trưng cna nó.

1.1.

Đ%nh nghĩa t¾p loi và các tính chat

Đ%nh nghĩa 1.1.1. ([3], tr 3, đ%nh nghĩa 1.1) T¾p A ⊂ Rn đưoc goi
là loi neu vói moi x, y ∈ A và moi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1
thì λx + (1 − λ)y ∈ A.
Đ%nh lý 1.1.1. ([7], tr 10, đ%nh lý 2.1) Giao cúa m®t ho tùy ý các
t¾p loi trong Rn là m®t t¾p loi trong Rn.
Chúng minh. Giá sú Aα ∈ Rn (α ∈ I) là các t¾p loi vói I là t¾p chí so
bat kì, ta can chúng minh t¾p A = ∩ Aα là loi.
α∈I

loi

Lay tùy ý x1, x2 ∈ A. Khi đó x1, x2 ∈ Aα, vói moi α ∈ I. Do Aα là

cho nên λx1 +(1−λ)x2 ∈ Aα vói moi λ ∈ [0, 1], do đó λx1
+(1−λ)x2 ∈ A. Vì v¾y A là t¾p loi.
H¾ quá 1.1. ([7], tr 10, h¾ quá 2.1.1) Cho bi ∈ Rn; βi ∈ R; i ∈ I vói
I là t¾p chs so tùy ý. Khi đó A = {x ∈ Rn | (x; bi) ≤ βi; i ∈ I} là
m®t t¾p loi trong Rn.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho A và B là hai t¾p hop tuỳ ý trong Rn

A + B = {a + b | a ∈ A; b ∈ B} ;
αA = {αa | a ∈ A} .


8

Đ%nh lý 1.1.2. ([3], tr 4, m¾nh đe 1.2) Giá sú Ai ⊂ Rn loi; λi ∈ R
(i = 1, 2,..., m). Khi đó λ1A1 + λ2A2 + ... + λmAm là loi.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Vectơ x ∈ Rn đưoc goi là to hop loi cúa các vectơ
m
.
n
λi = 1 sao
x1, ..., xm ∈ R neu ton tai λi ≥ 0 (i = 1,
cho
2,..., m)
i=1
m
.
x=
λ ix i.
i=1

Đ%nh lý 1.1.3. ([7], tr 11, đ%nh lý 2.2) M®t t¾p trong Rn là loi khi và
chs khi nó chúa tat cá các to hop loi cúa các phan tú cúa nó.
A là t¾p loi trong Rn khi và chs khi
A = {x =

m.

m

λixi | xi ∈ A;

.

λi = 1; λi ≥ 0; i = 1, m,

∀m ∈ N}.
i=1

i=1

Chúng minh. ⇐ / Chon m = 2, khi đó A là t¾p loi theo đ%nh nghĩa.
⇒ / Giá sú A là t¾p loi, ta lay tùy ý x1, x2, ..., xm ∈ A; λ1, ..., λm ≥
0
và

m
.

i=1

m

λi = 1 ; x =

.

i=1

λix i.

Ta chúng minh x ∈ A bang quy nap theo m.
Vói m = 1 : x1 ∈ A; λ1 = 1, khi đó x = x1 ∈ A.
Vói m = 2 : x1, x2 ∈ A; λ1+λ2 = 1 mà A loi suy ra x =
λ1x1+λ2x2 ∈ A
theo đ%nh nghĩa.
Giá sú x ∈ A đúng vói m − 1 , ta có
m

.

m

λixi ∈ A; ∀xi

.

λi = 1; λi ≥ 0; i ∈ N.

i=1

∈ A;
i=
1
m

Xét x =

.

λix i =
i=1

m−
1

. λ ix i + λ m x m .

i=
1

Neu λm = 0 thì x ∈ A theo giá thiet quy nap.


9

Neu λm = 1 thì λ1 = ... = λm−1 = 0 khi đó x = xm ∈
A. Neu 0 < λ < 1 ta có
1 − λm = λ1 + ... + λm−1 > 0


λi
1 − λm
≥

m−
1

Vì .
i=1

λi
1−

0 (i = 1, ..., m
− 1).

m−1

= 1 nên theo giá thiet quy nap y =
.

λm

λi
xi ∈ A,
1 − λm

i=1

tù đó vói y ∈ A, xm ∈ A, 1 − λm > 0 và (1 − λm) + λm = 1
suy ra
x = (1 − λm)y + λmxm ∈ A do A là t¾p loi.
Đ%nh lý 1.1.4. M®t t¾p A trong R là loi khi và chs khi A liên thông.
Chúng minh. ⇒ / Giá sú A không liên thông , khi đó A là hop cna
hai t¾p mó ròi nhau. Giá sú A = B ∪ C; B ∩ C = ∅; B, C mó,
vói
B = (x, y); C = (z, t), ó đó y < z.

Suy ra
loi.

y+z

A, mâu thuan vì A

2
∈/

⇐ / Giá sú A không loi, khi đó ton tai α ∈ (0, 1) và x, y ∈ A, x < y
sao cho
αx + (1 − α)y ∈/ A
Lay z ∈ A suy
ra

.

z ƒ= αx + (1 −
α)y ⇒

z > αx + (1 − α)y
z < αx + (1 − α)y

Lai do x < αx + (1 − α)y < y nên A = B ∪ C vói
B = {s ∈ A : s < αx + (1 −
α)y} C = {s ∈ A : s > αx +
(1 − α)y}
Đieu này mâu thuan vói tính chat A liên thông.
Ví dn 1.1.1. Các t¾p loi trong R:

∅, {x} , (a, b), (a, b] , [a, b) , [a, b] , R


1.2.

Đ%nh nghĩa hàm loi và các tính chat

1.2.1.

Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.2.1. ([1], tr 78) Cho hàm f : S → R, trong đó S ⊂ Rn;
R = R ∪ {−∞, +∞}, các t¾p
dom f = {x ∈ S | f (x) < +∞} ,
epi f = {(x, α) ∈ S × R | f (x) ≤ α} ,
đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cúa hàm f.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. ([3], tr 39, đ%nh nghĩa 2.4) Hàm f : S → R đưoc
goi là loi neu trên đo th% cúa nó là m®t t¾p loi trong S × R. Neu
dom f ƒ= ∅ và f (x) > −∞ vói moi x ∈ S ta nói hàm f là chính
thưòng.
Ví dn 1.2.2. a) Hàm
f :R→R
f (x) = x2
.

2

epi f = (x; µ) ∈ R × R | f (x) = x ≤ µ

.

là t¾p loi trong R × R.
Th¾t v¾y, lay hai điem bat kỳ (x1, µ1) ∈ epi f, (x2, µ2) ∈ epi
f , túc là µ1 ≥ x12, µ2 ≥ x22.
Ta can chúng minh λ (x1, µ1) + (1 − λ) (x2, µ2) ∈ epi f ; 0 ≤
λ≤1
Đieu này tương đương vói
(λx1 + (1 − λ)x2, λµ1 + (1 − λ)µ2) ∈ epif
2

⇔ λµ1 + (1 − λ)µ2 ≥ (λx1 + (1 − λ)x2)
⇔ λµ1 + (1 − λ)µ2 ≥ λ2x12 + (1 − λ)2x22 + 2λ(1 −
λ)x1x2.
Mà λµ1 + (1 − λ)µ2 ≥ λx12 + (1 − λ)x22.


Và
λx12 + (1 − λ)x22 ≥ λ2x12 + (1 − λ)2x22 + 2λ(1 − λ)x1x2
2

⇔ (λ − λ2)x12 + .(1 − λ) − (1 − λ) . x22 − 2λ(1 −
λ)x1x2 ≥ 0
⇔ λ(1 − λ)x12 + λ(1 − λ)x22 − 2λ(1 − λ)x1x2 ≥ 0
⇔ λ(1 − λ)(x1 −
x2 )

2

≥ 0 (luôn đúng).

Suy ra epi f là hàm loi nên f là hàm loi.
b) Hàm
f :R→R
f (x) = x3
không là hàm loi vì
.
.
epi f = (x; µ) ∈ R × R | f (x) = x3 ≤ µ
không loi trong R × R.
Th¾t v¾y, lay hai điem bat kỳ (0, 0) ∈ epif, (−1, −1) ∈ epif ,
lay
1
λ = khi
đó
2
λ(0, 0) + (1 − λ)(−1,
−1) =

1

1

.

(0, 0) + −( 1,
1) =
2
2

1

− ,−
2
2

không thu®c epi f .
Ví dn 1.2.3. ([3], tr 40, ví du 1.4) Cho hàm chí δ(. | A)
.
0 khi x ∈ A;
δ(x | A) := +∞ khi x ∈/ A.
Neu A là t¾p loi, A ⊂ Rn thì δ(. | A) là hàm loi.
Th¾t v¾y, khi x ∈ A thì epi δ = {(x, µ) ; µ ≥ 0} là t¾p
loi. Khi x ∈/ A thì epi δ = ∅ là t¾p loi.
V¾y epi δ loi nên δ(. | A) là hàm loi.

1

.


Đ%nh lý 1.2.1. ([3], tr 40, đ%nh lý 2.1) Giá sú A là t¾p loi trong Rn,
hàm f : A → (−∞; +∞]. Khi đó, f loi trên A khi và chs khi
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1)
∀λ ∈ [0; 1]; ∀x, y ∈ A.
Chúng minh. ⇒ / Giá sú f là hàm loi, ta có the xem như λ ∈ (0; 1)
vì vói λ ∈ {0; 1} thì (1.1) hien nhiên đúng.
Lay r = f (x); s = f (y). Vì f loi suy ra dom f loi.
Th¾t v¾y, dom f là hình chieu trên X cna epi f
dom f = {x : f (x) < +∞} = {x : ∃r, (x, r) ∈ epi f} .
Như v¾y dom f là ánh cna t¾p loi epi f qua m®t ánh xa tuyen

tính, do đó dom f loi.
Neu x ho¾c y không thu®c dom f , giá sú x không thu®c dom f
thì
f (x) = +∞, do λ ∈ (0; 1) nên f (x) = +∞ suy ra λf (x) =
+∞ và (1.1) đúng.
Neu x, y ∈ dom f suy ra λx + (1 − λ)y ∈ dom f (vì dom f
loi) suy ra f (λx + (1 − λ)y) = +∞.
Do epi f loi nên vói moi (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epi f ; λ ∈
(0; 1) ta có
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈
epif
suy ra f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s.
V¾y f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
⇐ / Giá sú (1.1) đúng. Lay tùy ý (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epi f ; λ
∈ [0; 1].
Ta phái chúng minh
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f.
Vì (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epif nên f (x) ≤ r; f (y) ≤ s. Tù
đó suy ra
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s


hay (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epi f .
V¾y λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f .
Đ%nh lý 1.2.2. (Bat đang thúc Jensen)([3], tr 42, đ%nh lý 2.2)
Giá sú f : Rn → (−∞; +∞]. Khi
. đó f là m®t hàm loi khi và chs
m
khi
λi = 1; moi x1, ..., xm ∈ R ta

có vói moi λi ≥ 0(i = 1, ..., m);
i=1

f (λ1x1 + ... + λmxm) ≤ λ1f (x1) + ... + λmf (xm).
(1.2)
Chúng minh. Không giám tong quát, giá sú λi ≥ 0 (i = 1, ..., m).
Ta có, neu xi ∈/ dom f thì f (xi) = +∞; λi f (xi) = +∞.
Khi đó (1.2) hien nhiên đúng.
Do dom f loi nên neu f (xi) < +∞; i = 1, ..., m thì
.. m
.
m
< +∞ vì .
f
λ ix i
λixi ∈ dom f .
i=1

i=1

Neu xi ∈ dom f , do epi f loi và (xi, f (xi)) ∈ epi f ; i = 1,
..., m nên
theo đ%nh lý 1.1.3 ta có
(λ1x1 + ... + λmxm; λ1f (x1) + ... + λmf (xm) ∈ epi f.
Tù đó suy ra f (λ1x1 + ... + λmxm) ≤ λ1f (x1) + ... + λmf
(xm).
M¾nh đe 1.2.1. ([3], tr 42, m¾nh đe 2.1) Giá sú f : Rn → R, f là
hàm loi khi và chs khi
f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s;
∀λ ∈ (0; 1); ∀x, y : f (x) < r; f (y) < s.

Đ%nh nghĩa 1.2.3. ([3], tr 43, đ%nh nghĩa 2.5) M®t hàm f xác đ%nh
trên Rn đưoc goi là thuan nhat dương neu f (λx) = λf (x) vói moi
x ∈ Rn; moi λ > 0.
Đ%nh lý 1.2.3. ([3], tr 44, đ%nh lý 2.4)
Hàm thuan nhat dương f : Rn → (−∞; +∞] là loi khi và chs khi
f (x + y) ≤ f (x) + f (y); ∀x, y ∈ Rn.

(1.3)


Chúng minh. ⇒ / Giá sú hàm thuan nhat dương f là loi. Lay x, y ∈ Rn
1
1
f (x + y) = x) + f (
y) 2 2
2f (
.
1
≤ 2 1f (x) +
f (y) 22

.

= f (x) + f (y).
⇐ / Giá sú (1.3) đúng. Lay (xi, ri) ∈ epi f (i = 1, 2), ta có
(x1 + x2, r1 + r2) ∈ epi f , bói vì f (x1 + x2) ≤ f (x1) + f
(x2) ≤ r1 + r2. Mà f là hàm thuan nhat dương nên neu (x, r) ∈
epi f thì f (x) ≤ r và λf (x) = f (λx) ≤ λr (0 < λ < ∞) suy ra
λ(x, r) ∈ epi f .
V¾y epi f đóng đoi vói phép c®ng và phép nhân vô hưóng.

Hay λ(x1, r1) + (1 − λ)(x2, r2) ∈ epi f vói moi λ ∈ [0;
1].
Tù đó suy ra epi f là loi, suy ra f là hàm loi.
Đ%nh lý 1.2.4. M®t hàm thnc m®t bien ϕ(t) khá vi trong m®t
khoáng mó (a, b) ⊂ R loi khi và chs khi ϕt(t) là hàm tăng.
Chúng minh. ⇒ / Lay t1 < t2 < t3 vói t1, t2, t3 ∈ (a, b), bói vì hàm
ϕ(t)
loi và
t3 − t2
t2 − t1
t1 +
t2
t3.
t
t
−
−
3
3
=
Cho
t1
t1
nên

tù đó ta có

ϕ(t2)
≤

t3 − t2

t2 − t1
ϕ(t1) +
ϕ(t3),
t3 −
t3 −
t1

t1

t2 − t1
ϕ(t2) − ϕ(t1)
[ϕ(t3) − ϕ(t1)] ,
t3 −
≤
t1
t3 − t2
V¾y
ϕ(t3) − ϕ(t2) ≥


t3 − t1

[ϕ(t3) − ϕ(t1)] .
ϕ(t2) − ϕ(t1) ϕ(t3) − ϕ(t1)
t2 − t1

t3 − t1

≤

≤

ϕ(t3) −
ϕ(t2)
.
t3 − t2


Cho t2 → t1+ roi cho t2 → t3− ta có
ϕ(t3) − ϕ(t1)
t
ϕ (t1)
≤ ϕt(t3).
t3 −
≤
t1
Suy ra ϕt(t) tăng.
⇐ / ϕt(t) tăng kéo theo vói moi [t1, t2] ⊂ [a, b] và moi λ ∈ (0, 1) ta
có
¸ t2
0≤λ
[ϕt(t) − ϕt(λt)]dt
t1
.
ϕ(t1 + λ(t2 −
t1))
= λ ϕ(t2) − ϕ(t1) −

+

λ
= λ [ϕ(t2) − ϕ(t1)] − ϕ(t1 + λ(t2 − t1)) + ϕ(t1).
Do đó

λ

ϕ(t1)

.

ϕ(t1 + λ(t2 − t1)) ≤ ϕ(t1) + λ [ϕ(t2) − ϕ(t1)]
ϕ((1 − λ)t1 + λ(t2 − t1)) ≤ (1 − λ)ϕ(t1) + λϕ(t2).

hay

Suy ra ϕ(t) loi.
1.2.2.

Các phép toán ve hàm loi

Đ%nh lý 1.2.5. Cho f là m®t hàm loi. f : Rn → (−∞; +∞] và ϕ là
m®t hàm loi ϕ : R → (−∞; +∞] không giám, khi đó h = ϕ(f (x))
cũng loi.
Chúng minh. Vói moi x1, x2 ∈ Rn; λ ∈ (0; 1)
h((1 − λ)x1 + λx2) = ϕ(f ((1 − λ)x1 + λx2))
≤ ϕ((1 − λ)f (x1) + λf (x2))
≤ (1 − λ)ϕ(f (x1)) + λϕ(f (x2))
≤ (1 − λ)h(x1) + λh(x2).

(do f loi và ϕ không giám).
Tù đó suy ra h loi.


Đ%nh lý 1.2.6. ([3], tr 47, đ%nh lý 2.6) Cho fi (i = 1, ..., m) là hàm
loi, chính thưòng trên Rn khi đó f1 + f2 + ... + fm là m®t hàm loi
trên Rn.


Ví dn 1.2.4.
Cho
.
0 x A
∈
f1 =
là hàm loi, chính thưòng.
+∞ x ∈/
.A
f2 =

0

x

+∞

∈

B

là hàm loi, chính thưòng.

x ∈/

B
f1 + f2 loi không chính thưòng neu A ∩ B = ∅.
Th¾t v¾y, f1 + f2 loi theo Đ%nh lý 1.2.6, ta chúng minh f1 + f2
không chính thưòng.
Ta có, neu x ∈ A thì x ∈/ B khi đó f2 (x) = +∞ nên
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) = +∞ suy ra x ∈/ dom (f1 +
f2 ).
Neu x ∈ B thì x ∈/ A khi đó f1 (x) = +∞ nên
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) = +∞ suy ra x ∈/ dom (f1 +
f2 ).
V¾y dom (f1 + f2) = ∅, do đó f1 + f2 loi không chính thưòng.
Đ%nh lý 1.2.7. ([7], tr 33, đ%nh lý 5.3) Cho C là m®t t¾p loi trong
Rn+1
và đ¾t
f (x) = inf {µ | (x, µ) ∈ C} .
Khi đó f là hàm loi trên mien xác đ%nh.
Chúng minh. Lay µ1, µ2 ∈ R; λ ∈ (0;
1).
Giá sú f (x) < µ1; f (y) < µ2, ta có
f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)µ1 + λµ2.
Th¾t v¾y theo đ%nh nghĩa f ta có
f ((1 − λ)x + λy) = inf {µ | ((1 − λ)x + λy, µ) ∈ C} .
Vì f (x) < µ1 nên vói ε = µ − f (x) > 0; ton tai µ1 : (x, µ1)
∈ C và
µ1 < f (x) + ε.
Do đó f (x) < µ1 < µ1.

Tương tn, tù f (y) < µ2 suy ra ton tai µ2 : (y, µ2) ∈ C và
µ2 < f (y) + ε1 mà f (y) < µ2 < µ2.


Tù trên ta có ((1 − λ)x + λy; (1 − λ)µ1 + λµ2) ∈ C
và (1 − λ)µ1 + λµ2 < (1 − λ)µ1 + λµ2.
Do đó f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)µ1 + λµ2 < (1 − λ)µ1
+ λµ2. Tù đây suy ra f loi theo m¾nh đe 1.2.1.
1.2.3.

Tính liên tnc cúa hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian đ%nh chuan.
1) Ta nói rang f là hàm Lipschitz trên t¾p D ⊂ X, neu ton tai so k sao
cho
|f (x) − f (xt)| ≤ k"x − xt", ∀x, xt ∈ D.
2) Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a phương tai x ∈ X, neu ton tai so
o > 0 sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D.
3) Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a phương trên D, neu nó Lipschitz đ%a
phương tai moi điem cúa D.
M¾nh đe 1.2.2. ([8], tr 44, m¾nh đe 2.3) M®t hàm loi chính thưòng f
trên Rn là liên tnc tai moi điem trong cúa mien huu hi¾u cúa nó.
Đ%nh lý 1.2.8. ([8], tr 55, đ%nh lý 2.2) Cho m®t hàm loi chính thưòng
f trên Rn. Ta có các khang đ%nh sau là tương đương:
i) f là liên tnc tai điem x0 ∈ Rn;
ii) f là b% ch¾n trên tai lân c¾n cúa x0 ∈ Rn;
iii)int(epi f ) ƒ= ∅;
iv) int(dom f ) ƒ= ∅ và f là Lipschitz trên moi t¾p b% ch¾n chúa

trong
int(domf );
v) int(domf ) ƒ= ∅ và f là liên tnc trên int(domf ).
Chúng minh. [(i) ⇒ (ii)] Neu f là liên tuc tai m®t điem x0 thì ton
tai m®t lân c¾n U cna x0 thóa mãn f (x) < f (x0) + 1 vói moi x ∈
U.
[(ii) ⇒ (iii)] Tù giá thiet suy ra ton tai lân c¾n U cna x0 và c > 0
sao


cho f (x) ≤ c, vói moi x ∈ U . Đ¾t
.
.
n+1
V = (x, α) ∈ R
| x ∈ U, α > c ,
ta có V ⊂ epif và V là t¾p mó vì vói bat kì (x, α) ∈ V thì (x, α)
thu®c lân c¾n U × (c, +∞) ⊂ Rn+1, nên ta suy ra int(epif ) ƒ= ∅.
[(iii) ⇒ (iv)] Neu int(epif ) ƒ= ∅ thì ton tai m®t t¾p mó U
và m®t khoáng mó I ⊂ R thóa mãn U × I ⊂ epif , do đó U ⊂
domf , túc là int(domf ) ƒ= ∅. Xét t¾p compact bat kì C ⊂
int(domf ) và lay B là hình cau đơn v% trong Rn. Vói moi r > 0,
t¾p C + rB là

compact, và ho nhung t¾p đóng {(C +

rB)\int(domf ), r > 0} có giao là rong. Do tính compact cna C +
rB m®t ho con huu han cna nhung ho này phái có m®t giao bang
rong, do đó vói r > 0 ta phái có (C + rB)\int(domf ) = ∅, nghĩa
là (C + rB) ⊂ int(domf ). Bói M¾nh đe 1.2.2 hàm f là liên tuc trên

int(domf ). Kí hi¾u µ1 và µ2 là cnc đai và cnc tieu cna f trên C
+ rB.

r(x − xt)

t

Lay x, x là hai điem phân bi¾t trong C và lay z = x
"x −
+
z ∈ C + rB ⊂ int(domf ). Vì
x = (1 − α)xt + αz, α =
"

. Khi đó

xt "
"x − xt
,
r + "x − xt "

và z, xt ∈ domf
nên

f (x) ≤ (1 − α)f (xt) + αf (z) = f (xt) + α(f (z) − f
(xt)),
và
f (x) − f (xt) ≤ α(f (z) − f (xt)) ≤ α(µ1 − µ2)
µ1 − µ2
≤ k"x − xt", k =

.
r
Bói tính đoi xúng, ta cũng có f (xt) − f (x) ≤ k"x − xt". Do v¾y, vói
moi
x, xt thóa mãn x ∈ C, xt ∈ C


|f (x) − f (xt)| ≤ k "x − xt" ,
đieu này chúng minh cho tính Lipschitz cna f trên C.
(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng.


Ví dn 1.2.5. Hàm f (x) = x2, x ∈ R là hàm loi liên tuc trên
R. Hàm f (x) = −∞, x ∈ R là hàm loi không liên tuc trên R.

1.3.

Ket lu¾n

Trong chương này chúng ta đã trình bày đ%nh nghĩa, m®t so tính chat
cơ bán cna t¾p loi và hàm loi cùng vói m®t so ví du minh hoa.
M®t trong nhung úng dung chính cna lý thuyet vi phân là tìm cnc tr%
cna các phiem hàm. Tuy nhiên khi tìm cnc tr% cna m®t so phiem hàm
không trơn (không khá vi) tai m®t so điem thì lý thuyet vi phân nêu
trên không v¾n dung đưoc. Do đó, trong chương tiep theo ta se mó r®ng
khái ni¾m vi phân cho dưói vi phân cna hàm loi.


Chương 2

Dưái vi phân hàm loi

Trong chương này chúng ta se trình bày nhung kien thúc cơ bán cna
dưói vi phân cna hàm loi can dùng trong quá trình nghiên cúu m®t so
bài toán toi ưu không trơn.

2.1.

Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ bán

Đ%nh nghĩa 2.1.1. ([3], tr 110, đ%nh nghĩa 4.2) Cho f là hàm loi
chính thưòng trên Rn; khi đó vectơ x∗ ∈ Rn đưoc goi là vectơ dưói
gradient cúa f tai điem x0 neu
f (x) − f (x0) ≥ (x∗, x − x0) ∀x ∈ Rn.

(2.1)

T¾p tat cá các dưói gradient cúa f tai x0 đưoc goi là dưói vi phân
cúa
f tai x0 và đưoc kí hi¾u là ∂f (x0).
Hàm f đưoc goi là dưói khá vi tai x0 neu ∂f (x0) ƒ= ∅.
Ví dn 2.1.6. Cho f (x) = x2, x ∈ R.
a) Vói x0 = 0, ta có
x∗ ∈ ∂f (0) ⇔ x2 ≥ (x∗, x) ∀x ∈ R
⇔ x2 − x∗ x ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ x∗ = 0.
V¾y ∂f (0) = {0}.