Lý thuyết KKM trong không gian G-lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
------------------------------------

HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT KKM
TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN
HỌC

HÀ NỘI - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
------------------------------------

HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT KKM
TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN
HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Quốc Bình

HÀ NỘI - 2016

Lài cám ơn
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen TS. Tran Quoc Bình, ngưòi
thay đã đ%nh hưóng chon đe tài và nhi¾t tình hưóng dan đe tôi có the
hoàn thành lu¾n văn này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, các
thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc sư
pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p tai trưòng.
Nhân d%p này tôi cũng xin gúi lòi cám ơn đen gia đình, ban bè đã co
vũ, đ®ng viên đe tôi hoàn thành lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 11 năm 2016
Tác giá

Hoàng Th% Mai Phương


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn chí báo và hưóng dan cna TS. Tran
Quoc Bình, lu¾n văn chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài:”Lý
thuyet KKM trong không gian G-loi” đưoc hoàn thành bói sn nh¾n
thúc và tìm hieu cna bán thân tác giá.
Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung ket quá cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 11 năm 2016
Tác giá

Hoàng Th% Mai Phương

Mnc lnc
Má đau

4

1 Các kien thNc bo tra

6

1.1 Không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff.............6
1.2 Nguyên lý ánh xa KKM...................................................................8
1.2.1 Bo đe KKM...........................................................................8
1.2.2 Nguyên lý ánh xa KKM và bat đang thúc Ky Fan . 10
1.2.3 Dang hình hoc cna bat đang thúc Ky Fan....................13
1.2.4 Bo đe KKM cho các t¾p hop mó....................................14
1.2.5 Đ%nh lý minimax.............................................................. 15
1.2.6 Các đ%nh lý điem bat đ®ng............................................17
2 Lý thuyet KKM trong không gian G-loi

19

2.1 Giói thi¾u........................................................................................19
2.2 Không gian loi suy r®ng...............................................................22
2.3 Đ%nh lý KKM và đ%nh lý sánh đôi............................................23
2.4 Đ%nh lý giao toàn the khác.........................................................27
2.5 Tính chat hình hoc ho¾c tiet di¾n............................................. 28
2.6 Đ%nh lý điem bat đ®ng kieu Fan-Browder................................30
2.7 Đ%nh lý ton tai cna phan tú cnc đai...........................................32
2.8 Giái tích thay phiên....................................................................... 34
2.9 Bat đang thúc Minimax.................................................................35

1


2.10 Bat đang thúc bien phân..............................................................40
2.11 Xap xí tot nhat................................................................................42
2.12 Các đ%nh lý điem bat đ®ng........................................................43
2.13 Đ%nh lý minimax loai von Neumann..........................................45
2.14 Đ%nh lý cân bang Nash...............................................................46
Ket lu¾n

49

Tài li¾u tham kháo

50

2


Báng kí hi¾u
2X
(X)
X co(A)

ho tat cá các t¾p con cna X
lóp các t¾p con huu han khác rong cna
bao loi cna t¾p A

(u.s.c)

núa liên tuc trên

(l.s.c)

núa liên tuc dưói


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Nguyên lý điem bat đ®ng Browder và dang tương đương cna nó, bo
đe KKM đưoc chúng minh trong không gian huu han chieu. Năm 1961,
Ky Fan đã chúng minh m®t dang tương tn cna bo đe KKM cho không
gian vô han chieu goi là nguyên lý ánh xa KKM, ngày nay đưoc xem
như trung tâm cna lý thuyet KKM. Sau Ky Fan, rat nhieu nhà toán hoc
trên the giói đã mó r®ng nguyên lý ánh xa KKM và cùng vói nó là m®t
loat các van đe liên quan như Đ%nh lý sánh đôi, bat đang thúc Ky Fan,
dang hình hoc cna bat đang thúc Ky Fan, Bo đe KKM cho các t¾p mó,
các đ%nh lý điem bat đ®ng, đ%nh lý minimax...
M®t trong nhung hưóng phát trien đó là Sehie Park, nhà Toán hoc
Hàn Quoc, khi ông đưa ra khái ni¾m không gian G-loi, m®t dang tong
quát hóa cna nhieu dang loi trùu tưong đó cna các nhà toán hoc khác.
Trong không gian G-loi ta có m®t cau trúc loi (trùu tưong) mà không
can đen tính tuyen tính. Ngoài nguyên lý KKM, ông cũng thu đưoc m®t
loat các ket quá liên quan, tương đương vói nguyên lý KKM, như ta đã
nói ó trên. Ngoài chương 1 là kien thúc chuan b%, đe c¾p đen lý
thuyet KKM trong không gian vecto tôpô thông thưòng, thì chương 2,
chương chính cna lu¾n
văn, trình bày bài báo cna Sehie Park.

2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích nghiên cúu cna lu¾n văn là trình bày m®t so ket quá
nghiên cúu ve nguyên lý KKM trong không gian G-loi và các đ%nh lý
tương đương vói nó.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là nghiên cúu nguyên lý KKM
trong không gian G-loi và các đ%nh lý tương đương vói nó.

4. Đoi tưang nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n văn là nguyên lý KKM trong không
gian G-loi và các đ%nh lý tương đương vói nó.

5. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop, phân tích, đánh giá và sú dung các kien thúc cơ bán
cna không gian vectơ tôpô đe nghiên cúu ve nguyên lý KKM trong
không gian G-loi và các đ%nh lý tương đương vói nó.

6. Đóng góp mái
Lu¾n văn se là m®t tong quan ve nguyên lý KKM và các đ%nh lý
điem bat đ®ng chung trong không gian vectơ tôpô.


Chương 1
Các kien thNc bo tra
Chương này trình bày m®t so kien thúc cơ bán ve nguyên lý KKM
đưoc PGS.TSKH Đo Hong Tân trình bày trong sách cna mình [1].
Ngoài ra, chương này còn trình bày m®t so không gian: không gian
vectơ tôpô, không gian vectơ tôpô loi đ%a phương Hausdorff đe phuc vu
cho các chương sau.

1.1

Không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff

Đ%nh nghĩa 1.1.1. (Không gian tôpô) Cho t¾p X ƒ= ∅. M®t ho τ ⊆
P(X) các t¾p con cna X đưoc goi là m®t tôpô trên X neu nó thóa mãn
các tính chat sau:
i) ∅, X ∈ τ ;
ii) Giao cna m®t so huu han các phan tú thu®c τ thì thu®c τ ;
iii) Hop cna m®t ho tùy ý các phan tú thu®c τ thì thu®c τ
. Khi đó (X, τ ) đưoc goi là m®t không gian tôpô.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thnc
X. M®t tôpô τ trên X đưoc goi là tương thích vói cau trúc đai so cna X


neu các ánh xa + và . liên tuc. Túc là:
(i) Vói moi x, y ∈ X và moi lân c¾n W cna x + y, ton tai các lân c¾n
U
cna x, V cna y sao cho U + V ⊆ W .
(ii) Vói moi λ ∈ R, x ∈ X và vói moi lân c¾n W cna λx, ton tai ε > 0
và lân c¾n V cna x sao cho µV ⊆ W vói moi µ ∈ (λ − ε, λ + ε).
Khi đó, τ đưoc goi là tôpô tuyen tính trên X và X đưoc goi là m®t không
gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. (T¾p loi) T¾p X ⊂ Rn đưoc goi là loi neu:
λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Đ%nh nghĩa 1.1.4. (Không gian tôpô loi đ%a phương) M®t không gian
vectơ tôpô X goi là không gian loi đ%a phương (và tôpô cna nó goi là
tôpô loi đ%a phương) neu trong X có m®t có só lân c¾n cna goc toàn
t¾p loi.

Vì khi t%nh tien m®t t¾p loi ta lai đưoc m®t t¾p loi nên trong không
gian loi đ%a phương moi điem đeu có m®t cơ só lân c¾n loi.
Ví dn 1.1.1. Không gian đ%nh chuan là m®t không gian loi đ%a phương
sinh bói hình cau đơn v%: V0 = {B (0; 1)}. Lúc đó, cơ só lân c¾n goc
tương úng là V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0}.
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho không gian tôpô X thóa mãn đieu ki¾n vói moi
c¾p điem khác nhau x1, x2 ∈ X đeu có hai lân c¾n V1, V2 cna x1, x2
sao cho V1 ∩ V2 = ∅ (có nghĩa là, hai điem khác nhau bao giò cũng
có the tách đưoc bói hai lân c¾n ròi nhau). Khi đó, không gian tôpô X
đưoc goi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô cna nó goi
là tôpô tách hay tôpô Hausdorff.


1.2

Nguyên lý ánh xa KKM

1.2.1

Bo đe KKM

Trưóc het ta nhac lai khái ni¾m n-đơn hình.
Cho X là m®t không gian vectơ, t¾p hop S trong X đưoc goi là m®t nđơn hình neu S = co {u0, u1, ..., un} vói u0, u1, ..., un ∈ X và các
vectơ u1 − u0 , ..., un − u0 là đ®c l¾p tuyen tính. Các điem ui đưoc goi
là các đính. Bao loi cna k + 1 đính đưoc goi là k-di¾n cna S. Moi x
∈ S đưoc bieu dien duy nhat dưói dang:
x=

n
.

i=0

n

xiui, vói xi ≥ 0,
i=0

.

xi = 1.

Dùng bo đe Sperner ve phép gán so trong phép tam giác phân m®t
đơn hình do Sperner đưa ra tù 1928, Knaster, Kuratowski và
Mazurkiewicz đã chúng minh bo đe quan trong sau trong không gian
R n.
Bo đe 1.2.1 (Bo đe KKM). (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz,1929)
Cho m®t n-đơn hình S = co {u0, u1, ..., un} trong Rn và các t¾p
hop đóng F0, F1, ..., Fn trong S thóa mãn đieu ki¾n: vói moi t¾p hop
con I ⊂
{0, 1, ..., n} ta có
co {ui : i ∈ I} ⊂
n
T

Khi
đó

S

Fi .

(KKM)

i∈I

Fi ƒ=

∅.
i=0

Đ%nh lý 1.2.1. (Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer, 1912) Moi ánh xa liên
tnc tù hình cau đơn v% đóng trong Rn vào chính nó đeu có điem bat
đ®ng.


Chúng minh. Vì hình cau đơn v% đóng trong Rn đong phôi vói m®t nđơn hình S nên ta chí can chúng minh rang ánh xa liên tuc T : S → S
se có điem bat đ®ng trong S.


Vói moi x ∈ S ta có x = (x0, x1, ..., xn) và y = Tx = (y0, y1, ..., yn).
Vói
moi i = 0, 1, ..., n ta đ¾t Fi = {x ∈ S : xi ≥ yi}. Do T liên tuc nên các
Fi
đeu đóng. Ta se chúng minh các Fi thóa mãn đieu ki¾n (KKM).
Lay I ⊂ {0, 1, ..., n} và x ∈ co {ui : i ∈ I}. V¾y x = (x0, x1, ..., xn)
vói
xi = 0 neu i

I và xi > 0 neu i ∈ I và y = (y0, y1, ..., yn) vói yi

∈/
≥
n
.
S
0,
yi = 1. Đe chúng minh x ∈
Fi ta can chúng minh ton tai i0
∈I
i=
1

i∈I

đe cho x ∈ Fi0 , túc là xi0 ≥ yi0 . Giá sú ngưoc lai rang xi < yi vói moi
i ∈ I. Khi đó ta g¾p mâu thuan:
n
.
.
1=
xi =
i=0

i∈I

xi <

.

n

yi ≤

.

yi = 1.

i=0

i∈I

n
T

Fi.
V¾y đieu ki¾n KKM đưoc thóa mãn. Theo bo đe KKM , ton tai
i=0
x∗ ∈
Khi đó ta có x∗ ≥ y∗ vói i = 0, 1, ..., n trong đó các y∗ là toa đ® trong
tâm
i
T x∗ .
n

i

i

cna y∗ =

n.
Vì xi = . y∗i = 1, các bat đang thúc trên phái là đang thúc, túc là
i=0

∗

x∗

i=0

∗

∗

= yi vói moi i = 0, 1, ..., n. V¾y ta có x
=y
i

∗

∗

=
Tx

và nguyên lý đã

đưoc chúng minh.
M¾nh đe 1.2.1. Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer tương đương vói bo
đe KKM.

Chúng minh. Chí can chúng minh bo đe KKM tù nguyên lý điem bat
đ®ng Brouwer. Ta se dùng phán chúng.
Cho S = {u0, u1, ..., un} là m®t đơn hình và F0, F1, ..., Fn là các t¾p
hop
n
T
đóng trong S thóa mãn đieu ki¾n (KKM), nhưng
Fi = ∅. Khi đó vói
i=0

moi x ∈ S và vói moi i = 0, 1, ..., n ta đ¾t αi(x) = d(x, Fi) là khoáng
cách
n
T
tù x đen Fi. Vì
Fi = ∅ nên vói moi x ∈ S ton tai i sao cho x ∈/ Fi ,
túc
i=0


là αi(x) > 0 do Fi đóng. V¾y ta có the đ%nh nghĩa hàm
µi(x) =

αi(x)
n
.

, x ∈ S, i = 0, 1, ..., n

αj

(x)
j=0
n

Các hàm µi có tính chat: liên tuc, 0 ≤ µi(x) ≤ 1,
moi
x ∈ S. Vói moi x ∈ S ta đ¾t Tx

n
.

.

µi(x) = 1 vói

i=0

µi(x)ui. Do S loi ta có Tx ∈

S,

=

i=1

ngoài ra T liên tuc vì µi liên tuc. Theo nguyên lý Brouwer, ton tai x∗ ∈ S
mà x∗ = T x∗ .

n
∗

∗

Đ¾t I = {i : µi(x ) > 0}. Khi đó ta có T x =
µi(x∗)ui.

.

µi(x∗)ui =

.

i∈I

S

Nhưng vì µi (x ) > 0 khi và chí khi x ∈/ Fi vói moi i ∈ I,
nên x∗ ∈/

i∈I

i=0
∗

∗

Fi.

Đieu này mâu thuan vói
.
S
x∗ = T x∗ =
µi(x∗)ui ∈ co {ui : i ∈ I} ⊂
Fi
i∈I

i∈I

do đieu ki¾n (KKM). V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh.
1.2.2

Nguyên lý ánh xa KKM và bat đang thNc Ky Fan

Nguyên lý ánh xa KKM là m®t mó r®ng cna bo đe KKM ra không
gian vô han chieu và là trung tâm cna lý thuyet KKM, m®t b® ph¾n cơ
bán và quan trong cna giái tích phi tuyen.
Trưóc khi phát bieu nguyên lý ánh xa KKM, chúng ta đ%nh nghĩa ánh
xa KKM.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. (Ánh xa KKM)


Cho C là m®t t¾p hop trong không gian vectơ tôpô, ánh xa đa tr% F :
C→
2X đưoc goi là ánh xa KKM neu vói moi t¾p huu han A trong C ta có
co(A) ⊂ F (A),
S
ó đây F (A) =

F (x)
x∈A

(KKM)


Đ%nh lý 1.2.2. Nguyên lý ánh xa KKM
Cho C là m®t t¾p hop trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X, F :
C → 2X là m®t ánh xa KKM vói giá tr% đóng. Khi đó vói moi t¾p huu han
A ⊂ C ta có:
T
x∈A

F (x) ƒ= ∅.

Chúng minh. Ta se chúng minh bang phán chúng, giá sú ton tai m®t t¾p
n
T
F (xi) = ∅. Đ¾t L là không gian
huu han {x1, x2, ..., xn} trong C
i=1
mà
con tuyen tính cna X sinh bói {x1, x2, ..., xn} và d là m®t khoáng cách
trên
L tương thích vói tôpô cám sinh tù X. Kí hi¾u ∆ = co {x1, x2, ..., xn}.
T
Đ¾t G(xi) = F (xi) L, i = 1, 2, ..., n. Vói moi x ∈ ∆, đ¾t αi(x)
= d(x,
G(xi)).
Tn

Vì
F (xi) = ∅
nên

n
T
i=1

G(xi) = ∅. Do đó vói moi x ∈ ∆, ton tai m®t i

i=1

sao cho x ∈/ G(xi ), suy ra αi (x) > 0 do G(xi ) đóng. V¾y ta có the đ¾t
αi(x)
µi(x) = n
,x∈∆
.
αj
(x)
j=0
n

Các hàm µi đeu liên tuc và 0 ≤ µi(x) ≤ 1,
∆.
Đ¾t Tx =

n
.

.

µi(x) = 1 vói moi x ∈

i=1

µi(x)ui, do ∆ loi ta đưoc m®t ánh xa liên tuc T : ∆ → ∆ ⊂

L
i=1

vói L huu han chieu.
Theo đ%nh lý Brouwer, ton tai x∗ ∈ ∆ mà x∗ = T x∗ . Đ¾t I = {i : µi(x∗)
> 0}, ta đưoc
.
S
x∗ = T x∗ =
µi(x∗)ui ∈ co {ui : i ∈ I} ⊂
Fi vì F là ánh xa KKM.


i∈I

i∈I

M¾t khác, vì vói moi i ∈ I ta có αi (x ) > 0 nên
G(xi). Vì x∗ ∈ L
x∗ ∈/
S
∗
∗

F (xi), ta g¾p mâu thuan,
nên x
F (xi ) vói moi i ∈ I, túc là x
∈/
∈/
v¾y nguyên lý đưoc chúng minh.

∗

i∈I


T

Đe ý rang trong nguyên lý trên ta chí khang đ%nh x∈A F (x) ƒ= ∅ vói
moi A huu han trong C. Tính chat này thưòng đưoc phát bieu là "ho
{F (x) : x ∈ C} có tính chat giao huu han". Muon có ket quá manh hơn:
T
x∈C F (x) ƒ= ∅ ta phái thêm m®t trong hai giá thiet sau:
a) C là t¾p hop huu han, ho¾c
b) ton tai x0 ∈ C sao cho F (x0) compact.
Khi đó chí vi¾c thay moi F (x) bói F (x) ∩ F (x0) ta đưoc m®t ho t¾p
hop đóng trong m®t t¾p hop compact. Lúc này, đe ∩x∈CF (x) ƒ= ∅
chí can đòi hói tính giao huu han cna ho {F (x) : x ∈ C}.
M®t h¾ quá quan trong cna nguyên lý ánh xa KKM, đưoc sú dung
r®ng rãi trong giái tích phi tuyen là m®t bat đang thúc do Ky Fan chúng
minh năm 1961.
Đ%nh lý 1.2.3. (Ky Fan, 1961 ) Cho X là không gian vectơ tôpô Hausdorff,
C là m®t t¾p hop loi, compact trong X, f : C × C → R là m®t hàm so
thóa mãn các đieu ki¾n sau:

i) f (x, y) tna lõm theo x vói moi y co đ%nh;
ii) f (x, y) núa liên tnc dưói theo y vói moi x co đ%nh;
iii) f (x, x) ≤ 0 vói moi x ∈ C.
Khi đó, ton tai y∗ ∈ C sao cho f (x, y∗) ≤ 0 vói moi x ∈ C.
Chúng minh. Ket lu¾n cna đ%nh lý (goi là bat đang thúc Ky Fan) đưoc
suy ra tù nguyên lý ánh xa KKM như sau.
Vói moi x ∈ C đ¾t F (x) = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0}. Vì hàm f núa liên tuc
dưói theo y nên F (x) là t¾p hop đóng.
Ta se kiem tra đieu ki¾n KKM bang phán chúng. Giá sú ton tai x1, x2, ...,
xn ∈
C và x ∈ co {x1 , x2 , ..., xn } mà
x ∈/

n
S

F (xi). Khi đó

i=1


x=
Vì x
∈/

1
n
S

n

.
i=

n

αixi, αi ≥ 0,

.

i=1

αi = 1.

F (xi), i = 1, 2, ..., n nên theo đ%nh nghĩa cna t¾p hop F
(xi), ta

i=1

có
f (xi, x) = f (xi,

.n
i=1

αixi) > 0, i = 1, 2, ..., n.

Vì f (x, y) tna lõm theo bien thú nhat nên t¾p hop {z ∈ C : f (z, x) >
0}
là loi. T¾p hop này chúa moi xi nên cũng chúa x =
n.

f (

i=
1

n.

αixi ,

i=1

n.

i=1

αixi. V¾y ta có:

αixi) = f (x, x) > 0, trái vói đieu ki¾n iii).

V¾y F là ánh xa KKM.
T
T
Vì C compac nên ta có
F (x) ƒ= ∅. Lay y∗ ∈ x∈C F (x) ta
x∈C
đưoc
∗
f (x, y ) ≤ 0 vói moi x ∈ C. Đ%nh lý đã đưoc chúng minh.

1.2.3

Dang hình hoc cúa bat đang thNc Ky Fan

M®t trong nhung h¾ quá cna nguyên lý ánh xa KKM là đ%nh lý sau
đây ve tính chat cna t¾p hop loi.
Đ%nh lý 1.2.4. (Ky Fan, 1984) Cho C là m®t t¾p hop loi, compact trong
m®t khoáng không gian vectơ topo tách và t¾p hop A ⊂ C × C thóa
các đieu ki¾n sau:
i) Vói moi x ∈ C, t¾p hop {y ∈ C : (x, y) ∈/ A} là loi,
ii) Vói moi y ∈ C, t¾p hop {y ∈ C : (x, y) ∈ A} là đóng,
iii) Vói moi x ∈ C ta có (x, x) ∈ A.
Khi đó ton tai x0 ∈ C sao cho {x0} × C ⊂ A.
Chúng minh. Vói moi y ∈ C, đ¾t


F (y) = {x ∈ C : (x, y) ∈ A}
Như v¾y ta đã có m®t ánh xa F : C → 2C . Tù đieu ki¾n ii) suy ra F
(y) đóng vói moi y ∈ C. Ta se chúng minh rang F là ánh xa KKM bang
phán chúng.
Giá sú ton tai x1 , x2 , ..., xn ∈ C và z ∈ co {x1 , x2 , ..., xn } mà z
n
S

∈/

F (xi ), túc là z
∈/

F (xi), i = 1, 2, ..., n. Theo đ%nh nghĩa cna F , ta

i=1

có (z, xi ) A. Vì z ∈ co {x1, x2, ..., xn} nên khi chon αi vói αi ≥ 0, sao
∈/
n
.
ch
αixi = z ta se có (z, z) ∈ A, mâu thuan vói đieu ki¾n iii). V¾y F
i=1
o
là ánh xa KKM.
T
F (x). Lai theo đ%nh
Theo nguyên lý ánh xa KKM, ton tai x ∈
0

x∈C

nghĩa cna F , đieu này có nghĩa là (x0, y) ∈ A vói moi y ∈ C, túc là
{x0} × C ⊂ A. Đ%nh lý đưoc chúng minh.
Tù đ%nh lý này trnc tiep suy ra bat đang thúc Ky Fan. Th¾t v¾y,
neu hàm f : C × C → R thóa mãn ba tính chat nêu trong bat đang
thúc Ky Fan thì t¾p hop A = {(x, y) : f (x, y) ≤ 0} thóa mãn ba đieu
ki¾n cna đ%nh lý trên. Khi đó ket lu¾n {x0} × C ⊂ A chính là f (x0,
y) ≤ 0 vói moi y ∈ C (bat đang thúc Ky Fan). Vì v¾y, đ%nh lý trên là
m®t dang khác cna
bat đang thúc Ky Fan khi ta thay vi¾c xét hàm f bang vi¾c xét t¾p
hop dưói múc 0 cna nó.
1.2.4

Bo đe KKM cho các t¾p hap má

Trong chúng minh bo đe KKM, tính đóng (mó) cna các t¾p hop F0, F1,
..., Fn là bat bu®c. M®t đieu bat ngò lý thú là tính đóng (mó) ó đây có the
thay bang tính mó.


Đ%nh lý 1.2.5. (Shih, 1986) Cho C là m®t t¾p hop loi trong không gian
vectơ tôpô tách, A là m®t t¾p hop con huu han cúa C, G : A → 2C là m®t


ánh xa KKM vói giá tr% mó. Khi đó
T
x∈A

G(x) ƒ= ∅

M®t úng dung quan trong cna đ%nh lý Shih là ket quá sau đây do Ky
Fan chúng minh bang m®t phương pháp khác. Ket quá này thưòng
đưoc nhac đen trong tài li¾u dưói cái tên "Đ%nh lý sánh đôi".
Đ%nh lý 1.2.6. (Ky Fan, 1984) Cho C là m®t t¾p loi trong không gian vectơ
n
S
A(i) = C.
tôpô tách A1, A2, ..., An là các t¾p hop đóng trong C sao
i=1
cho
Khi đó, vói moi t¾p huu han các điem x1, x2, ..., xn (không nhat thiet
khác nhau) trong C luôn ton tai t¾p hop I ⊂ {1, 2, ..., n} sao cho

T T
co {xi : i ∈ I} ( Ai) ƒ= ∅
i∈I

1.2.5

Đ%nh lý minimax

Cho X, Y là hai t¾p hop nào đó, f : X × Y → R là m®t hàm so.
Khi đó ta luôn có
sup inf f (x, y) ≤ inf sup f (x, y)
x∈X y∈Y

y∈Y x∈X

Các đ%nh lý nêu ra các đieu ki¾n đe xáy ra đang thúc goi là các đ%nh
lý minimax. Các đ%nh lý này thưòng xuat hi¾n trong lý thuyet trò chơi
và Toán Kinh te. C¾p điem (x0, y0) ∈ X × Y thoá mãn đang thúc
max min f (x, y) = min max f (x, y)
x∈X y∈
Y

y∈Y x∈X

goi là điem yên ngna ho¾c điem cân bang cna f .
Chúng ta đưa vào m®t ký hi¾u mói. Cho X, Y là hai t¾p hop loi,
compact trong hai không gian vectơ tôpô tách. Ánh xa đa tr% T : X →
2Y thu®c lóp B(X, Y ) neu nó thóa mãn:

1) Tx là t¾p hop loi vói moi x ∈ X,
2) T −1 y là t¾p hop mó vói moi y ∈
Y , 3) T −1 (Y ) = X,
ó đây ánh xa T −1 đưoc xác đ%nh như sau:
x ∈ T −1 y khi và chí khi y ∈ Tx
Như v¾y đieu ki¾n (3) tương đương vói Tx ƒ= ∅ vói moi x ∈ X, túc
là T xác đ%nh trên toàn X. Đe ý rang neu T ∈ B(X, Y ) và t là m®t
ánh xa đơn tr% liên tuc tù m®t t¾p hop loi, compact Z vào X thì T · t
∈ B(X, Y ). Th¾t v¾y ta có T (tz) loi vói moi z ∈ Z, (T · t)−1y =
t−1 (T −1 y) mó vói

moi y ∈ Y vì t liên tuc và (T · t)−1(Y ) =

t−1 (T −1 (Y )) = Z vì t xác đ%nh trên toàn Z. Ta se dùng ký hi¾u T ∈
B−1(X, Y ) neu Y −1 ∈ B(Y, X). Đ%nh lý điem bat đ®ng sau đây cũng
là m®t h¾ quá cna nguyên lý ánh xa KKM, thưòng goi là đ%nh lý
Browder-Fan.
Đ%nh lý 1.2.7. (Browder, 1968) Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact
trong hai không gian vectơ tôpô tách. Khi đó moi ánh xa T ∈ B(X, X)
đeu có điem bat đ®ng.
Đ%nh lý 1.2.8. (Mechaiekh, 1982) Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact
trong hai không gian vectơ tôpô tách và hai ánh xa T ∈ B(X, Y ) và S
T
∈ B−1(X, Y ). Khi đó, ton tai x0 ∈ X sao cho T x0 Sx0 ƒ= ∅.
Đ%nh lý 1.2.9. (Sion, 1958) Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact
trong hai không gian vectơ tôpô tách, f : X × Y → R là m®t hàm so
thóa mãn hai đieu ki¾n sau:
1) Vói moi x ∈ X, hàm f (x, .) tna loi và núa liên tnc dưói theo y,
2) Vói moi y ∈ Y , hàm f (., y) tna lõm và núa liên tnc trên theo x.