Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo giảng dạy chun
ngành Tốn Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập và thực hiện đề tài.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Khuất Văn Ninh đã trực tiếp hướng dẫn
tơi trong suốt q trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh đề tài. Xin cảm ơn
các bạn học viên lớp K11 Tốn Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp
quý báu cho bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tơi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả


MỤC LỤC

Mục lục

3

Mở đầu

5

Chương 1. Một số khái niệm mở đầu………………………………….......7
1.1.

Không gian metric………………………………………………7
1.1.1. Định nghĩa không gian metric…………………………...7
1.1.2. Tập mở và tập đóng……………………………………...7
1.1.3. Ánh xạ liên tục…………………………………………...8
1.1.4. Khơng gian metric đầy…………………………………...8
1.1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co………………………. . .9

1.2.

Không gian tuyến tính định chuẩn……………………………...9

1.3.

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp…………………………………..11

1.4.

Phương trình loại hai với tốn tử đơn điệu
và liên tục Lipschit……………………………………………..13

Chương 2. Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình
loại hai với tốn tử đơn điệu và liên tục Lipschitz…………16
2.1.

Sự tồn tại nghiệm………………………………………………16


2.2.

Ước lượng tốc độ hội tụ………………………………………..20

Chương 3. Giải phương trình tốn tử loại hai trong một số khơng gian
định
3.1.

chuẩn…………………………………………………….25

Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong
khơng gian R1 …………………………………………………..25
3.1.1. Định nghĩa……………………………………………...25
3.1.2. Sự tồn tại nghiệm……………………………………….25

3.2.

Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong
khơng gian R2 ………………………………………………….30
3.2.1. Định nghĩa………...……………………………………30
3.2.2. Sự tồn tại nghiệm……………………………………….31

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn giải phương trình tốn tử đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng
đề cập đến. Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình tốn tử rất rộng lớn
và có hiệu lực thực tiễn mạnh mẽ. Trong đó có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu về việc tìm nghiệm của phương trình tốn tử loại hai đặc biệt là phương
trình loại hai với tốn tử đơn điệu và liên tục Lipschitz x + Ax = f. Trong
thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần


đúng do đó có rất nhiều cơng trình tập trung nghiên cứu các phương trình tốn
tử theo quan điểm xấp xỉ.
Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử rất phong
phú và đa dạng. Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình
loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương
pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp được thực hiện thơng qua việc chia
nhỏ bài tốn phức tạp thành những bài tốn đơn giản có thể giải được bằng
phương pháp ánh xạ co.
Phương pháp này đã sử dụng q trình lặp thơng qua một số hữu hạn
các bước theo tham số  và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp
ánh xạ co.
Bởi vậy tôi đã chọn đề tài “Một số ứng dụng của phương pháp thác
triển theo tham số để giải phương trình tốn tử” để thực hiện luận văn của

mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết của phương pháp
thác triển theo tham số để giải phương trình tốn tử và ứng dụng của phương
pháp.


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu nói trên của luận văn, những nhiệm vụ
nghiên cứu của luận văn là:
Nghiên cứu lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số đối với
phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz.
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình
tốn tử loại hai trong một số khơng gian định chuẩn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Áp dụng phương pháp lặp qua một số hữu hạn các bước theo tham số
 và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co để tính nghiệm

gần đúng của phương trình.
5. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải
phương trình tốn tử loại hai trong một số không gian định chuẩn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo
TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả mong rằng luận văn này sẽ có những đóng góp
hữu ích trong việc giải và nghiên cứu phương trình tốn tử.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, của thầy
giáo TS. Khuất Văn Ninh, cảm ơn các thầy (cơ) giáo phịng sau đại học, khoa
Tốn trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng bạn bè, đồng nghiệp đã động
viên, khích lệ và tạo điều kiện tốt nhất giúp hoàn thành đề tài này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả


Chương 1

Một số khái niệm mở đầu
1.1. Không gian metric
1.1.1. Định nghĩa không gian metric
Ta gọi là không gian metric một tập hợp X ≠  cùng với một số ánh xạ
d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:
1. (x, y X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 x = y, ( tiên đề đồng nhất)
2. (x, y  X) d(x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng)
3. (x, y, z X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác)
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x & y. Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1, 2, 3 gọi là
các tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là: M = (X, d)
1.1.2. Tập mở và tập đóng
Lân cận
Định nghĩa 1.1.2
Cho khơng gian metric M = (X, d). Ta gọi là lân cận của điểm x X
trong khơng gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy.
Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.1.3
Cho khơng gian Metric M = (X, d) và tập A X. Tập A gọi là tập mở
trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói
cách khác, nếu điểm x  A, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.


Tập A gọi là tập đóng trong khơng gian M, nếu mọi điểm khơng

thuộc A đều là điểm ngồi của A, hay nói cách khác, nếu điểm x A, thì
tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Định lý 1.1
Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập mở, mọi hình
cầu đóng là tập đóng.
1.1.3 Ánh xạ liên tục
Cho hai khơng gian metric M1 = (X, d1), M2 = (Y , d2), ánh xạ f từ
không gian M1 đến không gian M2.
Định nghĩa 1.1.4
Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 X nếu:
( > 0) (  > 0) (xX:
d1(x,

x0 ) <  thì d2 ( f (x), f ( x0 ) ) <

)

Định nghĩa 1.1.5
Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A X, nếu ánh xạ f liên tục tại mọi
điểm xA. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.1.6
Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A X nếu:
( > 0) ( > 0)
(x,

x  A:
'

x ) <  , d2 ( f (x), f ( x ) ) <
'

'

d1(x,

)

1.1.4. Không gian metric đầy
Định nghĩa 1.1.7
Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn)  X gọi là dãy cơ
bản trong M nếu:
*
(> 0) ( n0 N ) (m, n ≥ n0) thì d(xn, xm) <
 hay

) 0

lim d (x ,
x
n ,m

n

m

Định nghĩa 1.1.8
Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ
bản trong không gian này hội tụ.

1.1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co
Định nghĩa1.1.9
Cho hai không gian metric M = (X, d 1), M = (Y, d2). Ánh xạ A
không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số , 0 ≤
< 1 sao cho:
d2 (Ax,Ax ) 
d (x , x ),x , x X
1
'

'

'

Nguyên lý ánh xạ co
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào chính nó
đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x
X

thoả mãn hệ thức Ax x

Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ T: X→X thỏa mãn điều
kiện:
d(Tx, Ty) ≤ d(x, y) với hằng số < 1 và x, y X.
*

*

*

Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x X sao cho x  Tx ,hơn nữa với
mọi
x0 X thì dãy

*
xn nN xác định bởi xk+1 = Txk, kN, là hội tụ đến x , đồng

thời ta có ước lượng:
*

d(x n, x ) ≤



n

d (x , x )

1

1

0

1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.2
Ta gọi khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn)
là khơng gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thoả mãn các
tiêu đề sau đây:

1. (x X) x ≥ 0, x = 0 x =  (Kí hiệu phần tử không là )
2. (x  X) (  
P)

x = 

x


3. (x, y  X) x
y

≤ x + y

Số x gọi là chuẩn của vectơ x.
Kí hiệu khơng gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề
chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2
Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
x  X, nếu lim
n

xn
x

0 . Kí hiệu lim xn x hay xn
n

x (nœ)

Định nghĩa 1.2.3
Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu:
lim xn xm 0

n,m

Định nghĩa 1.2.4
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ
Xét phương trình có dạng
x + Ax = f

(1.2.1)

Định lý 1.2
Giả sử X là không gian định chuẩn, A là toán tử tác dụng từ miền
D(A)  X vào X.
Giả thiết những điều sau đây được thực hiện
*

1. Phương trình (1.2.1) có nghiệm tại điểm trong x của miền D(A).
2. Đối với số dương a tùy ý, và đối với các x, y tùy ý thuộc D(A) ta có bất
2

2

đẳng thức a(x y) (Ax-Ay) a2 x y  Ax-Ay
*

3. A bị chặn địa phương tại điểm x .

Khi đó:
1. Nghiệm x

*

duy nhất.

2


*

*

2. Tồn tại hình cầu S = S(x , r) với tâm x .

1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Kí hiệu X là khơng gian Banach, A là tốn tử tuyến tính tác động trong
X
Trong X xét phương trình tốn tử tuyến tính:
x = Ax + f

(1.3.1)

trong đó f là phần tử cho trước thuộc X.
Để giải phương trình (1.3.1) ta xây dựng phép lặp nhờ các đẳng thức
sau:
xn Axn-1  f , n = 1,2,3….

(1.3.2)

Trong đó x0 X là phần tử tùy ý.
Định lý 1.3
Giả sử toán tử tuyến tính A tác động trong X và A <1.
Khi đó dãy xn hội tụ đến nghiệm duy nhất x

*

của phương trình (1.3.1)

n

và x n x*  A . x0 x *
xn

Hay x*



A

x1 x0

n

1
A

Chứng minh
Đặt Bx = Ax + f

Ta có

Ax1  f Ax2
 f

Bx1
Bx2

 Ax1
Ax2

 A(x1 x2 )


A x1 x2

Đặt q = A , theo giả thiết 0 ≤ q <1 nên B là ánh xạ co từ X vào X. Mặt
khác X là không gian metric đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co tồn tại duy
*

*

*

*

nhất x sao cho Bx = x hay Ax + f = x

*

*

Vậy x là nghiệm của (1.3.1)
*
Theo nguyên lý ánh xạ co, x = lim x
n

Ta có:

n


x2  Ax Ax  A x x
1
0
1
0
x1  Ax Ax
2
1
x3 

A

A x2 x1


2

x1 x0

x2
.
.
.

m

xm1 xm  Ax Ax
m
m1


A xm xm1


A x1
x0

, m

Với mọi p nguyên dương ta có:

xnp xn x x
...
n p
n p
1

n

 A ( A

p1



A

...
1)

p

2
n

A 1 A
1 A
xnp
xn

np 1

(
A

xn 1
xn

np
2

 A

...


A ) x1 x0
n

x1 x0

p

x1 x0


A

n

1
A

x1
x0

(*)

Cho n   xnp xn 0
xn là dãy cơ bản và X là khơng gian đủ
xn hội tụ.

Gọi lim
x
n

x* thì x* là điểm bất động của ánh xạ Bx = Ax + f
n

Từ (*) cho p   thì x x* ta được
n
p
*

x x 
n

A

n

x x
1

1  A
*

x x  Ax



0

Ax
A(
*
x

*

x )


n

n 1

n1

 A x



n1

*

x ... A n

x



x

*

0

Hơn nữa ta còn có:
xnp xn  x
xn p ...
n p
1


xn 1 xn


 xnp xnp 1 ... xn xn
xn xn 1
1
p
p 1 

( A A
... A ) xn xn1

1A p

A
x x
n
n1
1A
1
x x
x x  A
np

n

n

1
A

Do xn  là dãy cơ bản, cho p   ta
được
*

 x x 
n

A
1 A

n1

lim xn

p

x
*


p

x x
n

n 1

Định lý 1.3.2
Giả sử A là một toán tử tuyến tính tác động trong X. Nếu một luỹ thừa
Ak nào đó của A có tính chất

k

A
1

thì dãy xn được xác định theo công

thức (1.3.2) hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của phương trình (1.3.1) và
*

*
( k k )nk

xn x 
A
xk x

Định nghĩa 1.3.1
( A) lim nn được gọi là bán kính phổ của tốn tử A.
A

n

Định nghĩa 1.3.2
Nếu tốn tử A tác động trong X và (A) < 1 thì phương trình
(1.3.1) có một nghiệm duy nhất, nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.3.2).
1.4. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz
Xét phương trình loại hai
x + Ax = f
Trong đó A là tốn tử tác dụng từ khơng gian Banach X vào X, f là
phần tử cho trước.


Định nghĩa 1.4.1
Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là liên tục
Lipschitz nếu đối với các phần tử tuỳ
ý

ước lượng sau đây đúng:

x1 , x2
X

Ax1 Ax2 L x1 x2

Trong đó . là chuẩn của khơng gian X, L = const > 0
Định nghĩa 1.4.2
Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là đơn điệu
nếu đối với các phần tử tuỳ
ý
đây đúng: x
1

x2

x1 , x2
X

và đối với số 0 tuỳ ý ước lượng
sau

 x1 x2 Ax1 Ax2 

Bổ đề 1.3
Giả sử A là một ánh xạ đơn điệu tác động trong không gian Banach X.
Khi đó đối với các phần tử tuỳ ý x1, x2

và đối với các số dương tuỳ ý

X
1 , 2 , 0 1 2 bất đẳng thức sau đây đúng:
x
x

 


1



  x x   

 1

Chứng minh
Giả sử ngược lại tồn tại những phần tử

dương tuỳ ý 1 ,2 , 0
1  2

x1, x2 x1 x2
,
0



2



và những số

bất đẳng thức sau đây đúng:

x1 x2 1 Ax1 Ax2  x1 x2 2 Ax1 

Ax
2

(1.4.1)



Do tính đơn điệu của ánh xạ A, từ bất đẳng thức (1.4.1) suy ra:
x1 x2

 x1 x2 2 Ax1 Ax2  x1 x2 1 Ax1


Ax2



(1.4.2)


Mặt khác, đối với các phần tử tuỳ ý x, y  X phụ thuộc điều kiện
x  x y thì bất đẳng thức

đúng.

x+y  x

,  
(1 ) 0
y

K (r) v : v X , r
Thật vậy, hình cầu v


lồi trong không gian Banach X.

(1.4.3)

là một tập bị chặn, đóng và


Do đó giao của hình cầu K(r) với tia

P v : v x ty; x, y X ,0 t


với điều kiện x r,

0 là một đoạn M (r) K(r) P  v: v x ty, 0 t t(r)

y

trong đó tham biến dương t(r) được xác định từ điều kiện x t(r) y r
Vì K (r1 )

khi r1

K(r2 )

nên hàm t(r) tăng khi r tăng

r2

Từ điều kiện t(r) tăng với r  ( x ,

và từ bất đẳng thức

)

x t(r1 ) y r r
1
2


Suy ra rằng x t1 y

t2

(1.4.4)

x t2
y



đối với t1 ,

x t(r2 ) y

dương tuỳ ý, t1 < t2 , và đối với các phần tử tuỳ ý x, y  X,

x  x t1 y

Từ bất đẳng thức (1.4.4) suy ra bất đẳng thức (1.4.3) đúng.
Ta đưa vào kí hiệu:
x x x , y (Ax
1

2

1

1

Ax ),
2

2 1


1

Khi đó hệ thức (1.4.2) có thể viết dưới dạng:
x  x (1) y  x
y

(1.4.5)

So sánh (1.4.3) và (1.4.5) ta thấy sự mâu thuẫn.
* KẾT LUẬN
Chương 1 trình bày một số khái niệm quan trọng trong một số không
gian định chuẩn phục vụ cho nội dung hai chương sau.


Phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương trình loại hai với toán tử đơn
điệu và liên tục Lipschitz là đối tượng nghiên cứu chính trong chương 2 và
chương 3.


Chương 2

Phương pháp thác triển theo tham số đối
với phương trình loại hai với tốn tử đơn
điệu và liên tục Lipschitz
2.1 Sự tồn tại nghiệm
Xét họ một tham biến các phương trình tốn tử
x + Ax = f, 0  
1

(2.1.1)

Với = 0 ta có phương trình thường x
= f Với = 1 ta có phương trình:
x+

Ax = f (Phương trình loại hai)

(2.1.2)

Nếu tốn tử A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì có thể
chỉ
ra được 0 0 sao
cho

0L 1 bằng cách cố định một số tự nhiên N sao
cho

1
N > L và đặt 0 
N

Khi đó phương trình x 
0
Ax=f
Thật vậy

x 1 , x 2  X : 0 A x 1
0 A x 2

xác định một toán tử co 0 A


0

A x 1  Ax

2

Do A thoả mãn điều kiện Lipschitz nên
0 A x 1 -A x 2  0 L x 1  x 2
 0 A x 1 -0 A x 2   L x x
0
1
2

Mà 0 0 L 1
suy ra

0 là toán tử co.
A

được.


Giả sử nghiệm của
phương trình (2.1.1) là
x( ) và giả sử x( 0 )
tìm


Như vậy ta đã cho trượt một bước theo tham biến từ phần tử
0

x(0) = f theo hướng đến phần tử x(1) = u
Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến  sẽ đến
nghiệm của phương trình (2.1.2) sau một số hữu hạn bước.

Xét phương trình loại hai:
x + Ax = f

(2.1.3)

trong đó A là tốn tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử
cho trước.
Giả thiết A(0) = 0
Định lý 2.1
Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là liên tục
Lipschitz và đơn điệu. Khi đó phương trình (2.1.3) có nghiệm duy nhất với
phần tử tuỳ ý f X.
Chứng minh
Giả sử ánh xạ A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L
1

Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N > L và đặt   .
0

N

Ta viết phương trình (2.1.3) dưới dạng sau:
x  A x = x +

1

A x =f
Ax+
1

A x + .. .+
1

N

N

N

Hay x  A x = x+ 0 A x+ 0 Ax +...+ 0 A x = f
Thực hiện N-1 phép thay biến:
y   0 A x F1 x
x 
  y A F -1 y  F y
 
0

.
.
.

1

2

(2.1.4)




v  
0

AF
F

 1
1

 1
2

. .. F

 1
N  2

v F

v
N 1


Sau các phép thay biến trên phương trình (2.1.3) có dạng:

0 AF11

FN 
 f

F 1...F 1
N 1
2

Ta sẽ chứng minh ánh
xạ 

AF

1

1
0

1

F

1

(2.1.5)

... F

là ánh xạ co với hệ số co

N 1

2

q  0 L 1

Thật vậy:
Do  0 A

là toán tử co do đó với y tuỳ ý thuộc X phương trình

F1 x x 0
Ax=y

có nghiệm duy nhất.

Vì vậy tốn tử F 1
và
1

F2 xác định tại tất cả các điểm của khơng gian X.

Tốn tử F 1 thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1 vì:
1
y1 , y2 X , đặt F
1





y1  x1 , F1 y 2 x 2

Từ tính đơn điệu của A ta có:

F 1 y  F
y
1

1

1

1

x
 x

2

1

x
 x

2

  (
Ax
1

2

0

 Ax )
1

2

 ( x1 0 A x 1 ) (x 2 0 A x 2 )
 y1  y 2

Suy ra toán tử 0 A

1

là toán tử co với hệ số L 0 < 1 và do đó tốn
tử

1

F21 cũng thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1.

Thật vậy sử dụng bổ đề (1.3.1) đối với ánh xạ A ta thu được:
F 1 z  F
z
2

1

1

2

2

 y
 y

1

 x 
Ax

2

1

0

 x  A x
1

2

0

2

 x1 x2 0 (Ax 1 Ax 2 )
 x1 x2 20 (Ax 1 Ax 2 )
 ( x1 0 Ax 1 ) ( x2 0 Ax 2 ) 0 Ax 1 0 Ax

y  y  AF 1 y

AF 1 y

1

2

( y 

0

1

1

0

1

2

2


AF

1

y
1

 z1 z 2

) ( y

0

1

1

2

 A F
0

1

1
2

y )


Một cách tương tự ta có thể chứng minh rằng tất cả các toán tử
1

F ( k 1, 2,..., N
k
1)

được xác định trên tồn khơng gian và liên tục

Lipschitz với hệ số L = 1.
Do đó ánh xạ


1 AF
0

 1 .

1

1

F
2

1

...F

là ánh xạ co với hệ số co

N

q  0 L

Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.1.5) với f tuỳ ý
có nghiệm duy nhất 

Như vậy phương trình xuất phát (2.1.3) tương đương với phương trình
(2.1.5) cũng giải được duy nhất với phần tử tuỳ ý f.
Cụ thể đối với phương trình:
x + Ax = f
trong đó A là tốn tử tác dụng từ khơng gian Banach X vào X, f là phần tử
cho trước. Giả thiết A(0) = 0.
Giả sử hằng số Lipschitz là L và L 1.
2

Trong trường hợp này có thể lấy số N = 2.
Khi đó
x  A x = x +

1

Ax+
1

2

Đặt y  x 

1
2

A x =f

(2.1.6)

2

A x  F
1
x

(2.1.7)

Phương trình (2.1.6) tương đương với phương trình
y 

1
2

AF

1
1

y  f

(2.1.8)