Một số vấn đề về Spline đa thức và ứng dụng

1

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hµ néi 2

NGUYỄN ANH HẢI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE ĐA
THỨC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hµ Néi, 2009


Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2

NGUYN ANH HI

MT S VN V SPLINE A
THC V NG DNG
Chuyên ngành: Toỏn gii tớch
Mã số: 60.46.01
Ngời hớng dẫn khoa học:TS. Nguyn Vn Khi

Hà Nội, 2009


Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS.

Nguyễn Văn Khải- Người thầy đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình hình thành, nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán,
Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tổ Toán trường THPT
Lục Ngạn số 1- Bắc Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả
hoàn thành luận văn này.
Sau cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến gia đình, bạn bè
đã luôn quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả


Mục lục

Trang

Trang phụ bìa……………………………………………………………..2
Lời cảm ơn………………………………………………………………..3
Lời cam đoan……………………………………………………………..4

Mục lục …………………………………………………………………..5
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 6
Chương 1...........................................................................................................8
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................................. 8
1.1 Một số khái niệm giải tích hàm……………………………………….8
1.1.1 Không gian véc tơ............................................................................8
1.1.2 Không gian mêtric......................................................................... 10
1.1.3 Không gian Banach........................................................................ 12
1.1.4 Không gian Hilbert........................................................................ 15
1.2 Ma trận đường chéo trội và đa thức nội suy............................................. 16
1.2.1 Ma trận đường chéo trội.......................................................................... 16
1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange………………………………………. 17 1.2.3
Đa thức nội suy Hermite..........................................................................17
Chương 2........................................................................................................18
CÁC SPLINE ĐA THỨC BẬC BA................................................................ 18
2.1 Các spline đa thức bậc ba với mốc cách đều......................................... 18
2.2 Spline đa thức với mốc không đều........................................................ 33
2.3 Một số tính chất của spline bậc ba........................................................ 36
2.4 Nội suy bậc ba với sự làm trơn............................................................. 40
Chương 3......................................................................................................45
SPLINE TỔNG QUÁT VÀ XẤP XỈ HÀM n BIẾN (n ≥ 2 )..........................45
3.1 Spline đa thức tổng quát....................................................................... 45
3.1.1 Một số khái niệm về spline và phương trình vi phân.....................45
3.1.2 Spline đa thức tổng quát................................................................ 51
3.2 Xấp xỉ hàm n biến (n ≥ 2 )................................................................... 57
Kết luận........................................................................................................... 74
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………...75


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề
tài

Lý thuyết đa thức nội suy có lịch sử
phát triển lâu dài cùng với vai trò quan
trọng của lý thuyết này, trong cả toán học
lý thuyết cũng như trong toán học ứng
dụng và các vấn đề thuộc khoa học kỹ thuật
khác.
Trong các đa thức nội suy thông
thường như là đa thức Lagrange, Newton,
Hermite có hạn chế căn bản là nếu tăng
mốc nội suy thì nói chung là bậc của đa
thức nội suy cũng tăng lên theo, điều này
rất không thuận tiện trong tính toán cụ thể.
Để khắc phục hạn chế đó, người ta
đã đề xuất các phương hướng khác nhau
và một trong những hướng đó là đề xuất các
hàm spline đa thức .
Các spline đa thức có ưu điểm là dù
mốc nội suy tăng lên nhưng xét trên mỗi
đoạn con của bài toán nội suy nó chỉ có bậc
thấp ( bậc

≤

3 nếu ta xét các spline bậc 3).

Với mục tiêu muốn tìm hiểu những
khái niệm cơ bản về các hàm spline, tôi đã

chọn đề tài:
“Một số vấn đề về spline đa
thức và ứng dụng ” để thực hiện luận
văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu


Luận

văn

nghiên cứu một số
vấn đề cơ bản nhất
về các hàm spline
và ứng dụng.
3. Đối tượng và
phạm vi nghiên
cứu
Luận
văn
nghiê
n cứu
không
gian
tuyến
tính

S các
3
spline

( bậc 3
Π và
)

một số tính chất
của nó, một vài
khái niệm về các
spline bậc n, cuối
cùng là một vài
ứng dụng của các
spline.


4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và của lý thuyết nội suy.
5. Giả thuyết khoa học
Trình bày hệ thống hóa lại những vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy và
nêu một vài áp dụng của đa thức nội suy spline.
6. Bố cục của luận văn
Nội dung của luận văn chủ yếu gồm ba chương:
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2 Các spline đa thức bậc ba
Chương 3 Spline tổng quát và xấp xỉ hàm n biến (n ≥ 2)


Chng 1
MT S KIN THC CHUN B
1.1 Mt s khỏi nim gii tớch hm
1.1.1 Khụng gian vộc t
nh ngha 1.1.1.1 Cho tp hp E m cỏc phn t c kớ hiu :

ur r ur
, ,

v trng K m cỏc phn t c kớ hiu l: x , y, z
Gi s trờn E cú hai phộp toỏn:
- phộp toỏn trong, kớ hiu + : E x E E
r r
ur r
(,) a + ;
- phộp toỏn ngoi, kớ hiu . : K x E E
r
ur
(x,) a x.
tha món cỏc tớnh cht ( hay cỏc tiờn ) sau :
ur r r ur r r ur r r
a) ( + ) + = + ( + ) , E;
,
r
r ur ur r ur ur
b) Tồn tại E sao cho + = + = E;
ur
ur ur ur ur r
ur
c) Với mỗi tồn tại ' E sao cho ' + = + ' = ;
ur r r ur ur r
d) + = + , E;
ur ur ur ur
e) ( x+ y ) = x + y E
K;

và x,y
ur r
ur r ur r
f) x( + ) = x + x , E và x K;
ur
ur ur
g) x(y) = (xy) E và K;
x,y
ur ur
h) 1. = trong đó 1 là phần tử đơn vị của trờng
K.
Khi ú E cựng vi hai phộp toỏn nh trờn c gi l khụng gian vộc t
trờn trng K, hay K- khụng gian vộc t hay khụng gian vộc t.
Khi K = R thỡ E c gi l khụng gian vộc t thc (hay khụng gian
tuyn tớnh thc), cũn khi K = C thỡ E c gi l khụng gian vộc t phc.


ur
Định nghĩa 1.1.2.2 Hệ véc tơ (αi ) ∀ i = 1,2,…,n được gọi là độc lập tuyến
n
uur r
tí ∑ x i αi = 0 kéo theo xi = 0 víi ∀i
n = 1,2,..., n.
h
n
ế
u
i=1
uur
H (αi ) ∀i = 1,2,…,n được gọi là

ệ phụ thuộc tuyến tính nếu nó
v
é
c
t
ơ
không độc lập tuyến tính.
ur
Định nghĩa 1.1.1.3 Cho hệ véc tơ (αi )
∀ i∈ I.
H uur
ệ (αj )
∀ j∈ J
c⊂ I
o
n

được gọi là hệ con độc lập
tuyến tính tối đại của


lập tuyến tính và nếu thêm

d
E = n).
i
m

bất cứ véc tơ nào vào hệ con

E

hệ đã cho nếu nó là hệ độc

K

đó ta đều được một hệ phụ

=
n
(
h
a
y
d
i
m

thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.1.4 Giả sử E
là một K- không gian véc tơ.
Một hệ véc tơ trong E
được gọi là một hệ sinh
của E nếu mọi véc tơ của
E
đều biểu thị tuyến tính qua hệ
đó.
Khi E có một hệ sinh
gồm hữu hạn phần tử thì E
được gọi là một K- không

Định nghĩa 1.1.1.6 Tập con W của một
K- không gian véc tơ E được gọi là
không gian véc tơ con của E nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:

-W ổn định với hai phép toán của
E, nghĩa là :
ur
r
ur r
Một hệ véc tơ trong E
aα + β∈ W;
gọi là cơ sở của E nếu nó
)
là hệ sinh độc lập tuyến
∀

gian véc tơ hữu hạn sinh.

tính.
Định nghĩa 1.1.1.5 Cho E là
không gian véc tơ có cơ sở
gồm hữu hạn phần tử thì số
các phần tử trong cơ sở đó
được gọi là số chiều của
không gian véc tơ.
Khi E là một K - không
gian véc tơ có số chiều n
ta viết:

α
,
β
∈
W
,

ur

ur
b) ∀ α∈ W và ∀x∈ K
th× xα∈ W.
-W cùng với hai phép toán của E
( hạn chế trên W) là một K- không gian
véc tơ.


1.1.2 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.2.1 Cho X là tập khác rỗng, hàm thực ρ : X x X → R được
gọi là một khoảng cách (hay mêtric) trên X nếu các tính chất sau được thỏa
mãn:
a) ρ(x, y) ≥ 0
∀x, y

∈X
vµ

b) ρ(x, y) = ρ(y, x)
∀x, y

ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
∈ X;

c) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)
∀x, y, z

∈ X (bÊt ®¼ng thøc tam
gi¸c).

Cặp (X, ρ ) trong đó tập X khác rỗng còn ρ là khoảng cách trên X gọi là
không gian mêtric, sau này ta còn có thể viết X thay cho (X, ρ ) nếu ρ đã
được cố định.
Định nghĩa 1.1.2.2 Với mỗi x cố định, tập S(x , r) = { x∈X : ρ(x, x )
< r}
0

0

0

được gọi là hình cầu mở tâm x0 bán kính r.
Tương tự, tập S(x0 , r) = {x ∈X : ρ(x, x được gọi là hình cầu đóng
tâm x0 bán kính

) ≤ r}

r.
Định nghĩa 1.1.2.3 Dãy

}
đến phần tử x∈X , kí
hiệu

{x

n

trong không gian mêtric X được gọi là hội tụ

xn → x nếu ρ(xn , x) → 0
khi n

→∞.

Ánh xạ A từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y được gọi là
liên tục tại điểm x∈X

nếu với mọi dãy xn → x ta cã A(xn ) → A(x) .

Định nghĩa 1.1.2.4 Dãy {x

n

} là dãy Côsi ( hay dãy cơ bản) nếu :

∀ε > 0, ∃ N(ε), ∀n, m
≥ N(ε):

ρ(xn ,xm ) < ε .

Không gian mêtric X được gọi là đầy ( hay đầy đủ ) nếu mọi dãy cơ bản
hội tụ đến một phần tử nào đó thuộc X.
Định nghĩa 1.1.2.5 Giả sử X là không gian mêtric và ánh xạ A : X → X .
Khi đó ta nói:
a) x0 ∈X gäi lµ ®iÓm bÊt ®éng cña A nÕu A(x0 ) = x0 ;


b)A là ánh xạ co nếu 0 < q < 1 sao cho (A(x), A(x'))
q (x, x')
x,
x'
X. S q c gi l hng s co.
nh lý 1.1.2.6 (Nguyờn lý ỏnh x co ) Cho A l ỏnh x co trong khụng gian
mờtric X vi mi hng s co q.
Khi ú:
a) Tồn tại và duy nhất x X sao cho A(x ) = x .
*

*

*

b) Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn ) (n 0) xuất phát từ x0 X bất kỳ đều
*

hội tụ tới x .
Ngoi ra, ta cú c lng sau:
1

(xn , x ) q (1 q) 0(x , x ), n 1;
*

n

1

(1.1)

1

(xn , x ) q(1 q) n1
(x
n
1.
(1.2)
*

, x ), n

Chng minh:
Vỡ (xn+1, xn ) = (A(x
), A(x
n
n1
n
1
q (x , x )

n

)) q(x , x
0

n1

) ...

nên (xn ,x n+m ) (xn , xn+1 ) + (xn+1 ,x n+2 ) + ... + (xn+m1 ,x n+m )
q (x0 , x ){1 + q + ... + q
n

m 1

}

1

q (1 q) (x
, x ).
0
n

T ú suy ra dóy

}

{x

l dóy c bn, li do X y nờn x = lim x
.
n
*

n

n

Cho n trong ng thc

x

n+1

= A(xn ) , ta

x = A(x ) .
*

c
Gi s , l hai im bt ng ca A, ta cú:
0 (,) = (A(), A()) q(,).
T ú ta suy ra (,) = 0 hay = .
Vy im bt ng l duy nht.
Cho m trong bt ng thc:
(x , x ) q (1
n 1
q)
n

(x0 , x1 ) ; ta c

*


ρ(x , x ) ≤ q (1
n
−1
− q)
*

n

ρ(x0 , x1 ) .


Để nhận được đánh giá (1.2) ta đánh giá:
ρ(xn , x
n+m) ≤ qρ(x
n−1, x ){1 + q

m−1

}

n

+ ... + q

−1

≤ q(1 − q) ρ(xn−1 , x n ).
Chuyển qua giới hạn khi m → ∞ ta có (1.2) suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.2.7 Giả sử ∀x, y ∈ S(x 0 , r) trong đó X là không gian mêtric
⊂X
đầy và ρ(A(x), A(y)) ≤ pρ(x, y) với hằng số p ∈(0,1) .
Khi đó, nếu ρ(A(x0 ), x0 ) ≤ (1
− p)r

thì A có duy nhất một điểm bất động

trong S(x 0 , x) .
1.1.3 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.3.1 Giả sử E là không gian tuyến tính trên R.
Hàmρ : E → R

được gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thỏa mãn các

điều kiện sau:
a) ρ (x)
≥ 0

∀x ∈ E vµ
nÕu

ρ (x) = 0 th× x =0;

b) ρ (λx) λ ρ(x) ∀ λ ∈ R vµ x∈E;
=

c) ρ (x + y)

≤ ρ (x) + ρ (y)
∀ x,y

∈ E.

Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn ρ (x trên nó được gọi là
)
không gian tuyến tính định chuẩn. Sau này ta viết x thay cho ρ đối với
∀x
∈E

và gọi là chuẩn của véc tơ x.
Không gian định chuẩn E là không gian mêtric với khoảng cách:
ρ(x, y) =

x−y


∀x, y ∈ E.
Không gian tuyến tính định chuẩn là đầy đối với mêtric trên được gọi là
không gian Banach.
Ví dụ 1: C[a,b] là một không gian Banach.
Thật vậy, ta xét C[a,b] là không gian các hàm số liên tục trên [a,b].
Với x(t), y(t)∈ C[a,b] và ∀k ∈ R, ta định nghĩa :
( x + y )(t) = x(t) + y(t) ∀ t∈[a,b];


(kx)(t) = kx(t) ∀t ∈[a,b].

Rõ ràng C[a,b] cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính
trên R.
Với∀ x∈C[a,b], đặt x = max x(t) th× ta cã thÓ chøng
minh ®−îc

. là

t∈[a,b]

một chuẩn trên C[a,b] và C[a,b] cùng với chuẩn nêu trên là một không gian
Banach.
Ví dụ 2: Với mỗi số thực p ≥ 1 tùy ý, ký hiệu là tập tất cả các dãy số thực
lp
( hoặc phức ) khả tổng bậc p: l =

{

):
∑x
∞

x

= (x
p

n

n=1

p

}

< +∞ .

n

Với x = (xi ) ∈l p , y = (yi ) ∈l p , ta định nghĩa:
(x + y)i = (xi + yi ) ∀i ∈ N;
(kx)i = k.xi ∀i ∈ N
thì lp là một không gian tuyến tính trên R.
∞

Với ∀ x∈l p , ta
®Æt

p  p

x =p  ∑ x n  .
 n=1 
1

Ta có thể chứng minh được . là một chuẩn trên l p và l p cùng với
chuẩn trên là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.3.2 Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên R.
Ánh xạ A : X→Y được gọi là một toán tử tuyến tính nếu :
A(x1 + x2 ) = Ax1
+ Ax2

víi ∀x1 , x2 ∈X;

A(λx) = λA(x) víi ∀λ ∈R vµ x∈ X.
Đặc biệt Y
≡R
tính trên X.

thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến


Định nghĩa 1.1.3.3 Toán tử tuyến tính A từ không gian tuyến tính định chuẩn
X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y được gọi là giới nội (hay bị chặn )


nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho:
∀x∈X ta cã A
x

Y

≤M x .
X

Toán tử tuyến tính được gọi là liên tục nếu nó giới nội.
Gọi L(X,Y) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X → Y.
Ta đưa vào L(X,Y) hai phép toán:
(A+B ) x = A x+ B x;
(λA) x = λ(A x)
trong ®ã A, B ∈L(X,Y) ∀x
λ∈R.

∈X và
A , ta có thể kiểm tra được L(X,Y) là không gian tuyến
A
=
sup
Đặt x
x≠0

x

tính định chuẩn.
Khi đó L(X,Y) được gọi là không gian đầy nếu Y đầy và khi Y
≡R

thì

*

L(X,R) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu X = L(X,R).
Ví dụ 3: Trong không gian hữu hạn chiều

X
n
=R

và toán tử tuyến tính A được cho bởi dạng ma trận

(a

khi có một cơ sở cố định

)

n

ij

j=1

n

Ba chuẩn thường được dùng trong R là:
n

x 1 = ∑ xi ;
i=1

x = 2



n

∑x


2
i

i=1

12
.
 vµ x∞ = max x
i

1≤i≤n

Khi đó ba chuẩn tương ứng của ma trận A là:
n
= max ∑
aij ;
A1
i=1
1≤ j≤n

i,

.


A

=
2

{max (A A)}
T

2

1

i

1in

trong đói (A A) là các giá trị riêng của ma trận đối xứng A A
và
T

T

n

aij .
A = max
1in
j=1


1.1.4 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.4.1

Cho X là một không gian tuyến tính.

Ánh xạ ϕ : Xx X → R thỏa mãn các điều kiện sau:
a) ϕ(x, x) ≥ 0 ∀x∈X vµ ϕ(x,
x) = 0

⇔ x=0;

b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) ∀x, y ∈ X ;

c) ϕ(αx1 + βx2 , y) = αϕ(x1, y) + βϕ(x2 , y)
∀x1,x2 ,y ∈ X vµ α, β∈R.
Khi đó ϕ(x, y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y trên X và
được kí hiệu là (x,y).
Nhận xét:

Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó xác định một tích

vô hướng (.) thì ánh xạ . : X → R được xác định bởi

= (x, x) là một

x
chuẩn trên X .
Ánh xạ ρ : XxX → R được xác định bởi :
ρ(x, y) = x − y(x=y, x y)
là một khoảng cách trên X và (X, ρ ) được gọi là một không gian mêtric.
Khoảng cách ρ được xác định như vậy được gọi là khoảng cách cảm sinh
bởi tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.4.2

Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (.).

Khoảng cách ρ cảm sinh bởi tích vô hướng mà (X, ρ ) trở thành một
không gian mêtric đủ thì X cùng với tích vô hướng (.) được gọi là một không
gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.4.3 Cho không gian Hilbert X. Hệ các phần tử {e i }i∈N của X

được gọi là trực chuẩn nếu:
1
nÕu
ej ) = i= j (ei ,
 0 nÕu i ≠ j.


Hệ {ei } được gọi là trực giao nếu (ei , ej ) = 0 với i ≠ j .
i∈N
Định lý 1.1.4.4 Giả sử hệ

{e

là một hệ độc lập tuyến tính trong không
i i∈N
trực chuẩn.
gian Hilbert X. Khi đó có thể xây dựng được một hệ {e

}
}

Giả sử {e

Định nghĩa 1.1.4.5

}
i

Hilbert X với mỗi x ∈X
.

Ta lập tổng Fourier
Sn

i

i∈N

n

= ∑ ci
ei

i∈N

là một hệ trực chuẩn trong không gian

với ci = (x, i e ) .

i=1

Khi đó ta nói chuỗi Fourier hội tụ đến x nếu S
−x
n

Định lý 1.1.4.6 Trong không gian Hilbert X và {e

}

→ 0 khi n → ∞.
là một hệ trực chuẩn.

i

i∈N

Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương:
∞

a) x =

∑(x , e )e ∀x ∈ X;

i =1

i

i

∞

b) x ∑
2
=)
2

(x, e
i

i

∀x∈X ( ®¼ng thøc Parseval );

i=1

c) NÕu z ∈X sao cho (z, ∀i∈ N th× z = 0;
*
ei ) = 0
d) Bao ®ãng cña kh«ng gian con
trïng víi X.
sinh bëi {e }
i

i∈N

1.2 Ma trận đường chéo trội và đa thức nội suy
1.2.1 Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa1.2.1.1

Cho ma trận vuông A = (a) .
n

i,
j=1

Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong
hai tính chất sau:
n


a

∑

) < a ∀i = 1,2,..., n;
ii
aij

j=1
j≠i
n

b

∑

) < ajj ∀j = 1,2,..., n.
ai

j
i=1
i≠ j

Định lý 1.2.1.2 Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến.


1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange
Định nghĩa 1.2.2.1 Cho hàm số y = f(x) ∀x
∈[a,b] .
Một hệ gồm (n + 1) điểm phân biệt

{x } víi x
i

∈[a,b]
và

y i = f(x i )
với

i

mọi i = 0,1,…,n được gọi là (n+1) mốc nội suy.
Đa thức P(x) có tính chất

P(xi ) = yi∀i
= 0,1,..., n

được gọi là đa thức nội

suy của hàm số y = f(x) ứng với các mốc nội suy xi∀i = 0,1,..., n.
Định nghĩa 1.2.2.2 Cho (n+1) mốc nội suy phân biệt x , x ,..., x và (n+1)
0
1
n
giá
trị f(x i )
= yi

∀i = 0,1,..., n.

Đa thức

Ln (x) và thỏa mãn điều kiện nội suy sau:
deg Ln (x) ≤ n vµ Ln (xi
∀i = 0,1,..., n
) = yi

được gọi là đa thức nội suy Lagrange bậc n của hàm f(x) ứng với (n+1) mốc
nội suy phân biệt

x0 , x1 ,..., xn .

1.2.3 Đa thức nội suy Hermite
Định nghĩa 1.2.3.1 Giả sử
x 0 , x1
,..., xn

y = f(x) là hàm số xác định trên [a,b] và

là (n+1) mốc nội suy trên [a,b].

Đa thức H (x) thỏa mãn các điều kiện nội suy sau:
2n+1
a) deg H2n+1 (x) ≤ 2n + 1;
b) H2n+1 (xi ) = f(x i ) ∀i = 0,1,..., n;
c) H'2n+1 (xi ) = f '(xi ) ∀i = 0,1,..., n
được gọi là đa thức nội suy Hermite của hàm y = f(x) trên [a,b] ứng với (n+1)
mốc nội suy

x0 , x1 ,..., xn .