Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến (K,Uo) - Lõm chính quy đều

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN TH± LIfiU

ĐIEM BAT Đ®NG
CÚA LéP TOÁN TÚ PHI TUYEN
(K, u0) - LÕM CHÍNH QUY

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

HÀ N®I - 2011


NGUYEN TH± LIfiU

ĐIEM BAT Đ®NG
CÚA M®T LéP TOÁN TÚ PHI TUYEN
(K, u0) - LÕM CHÍNH QUY
Chuyên ngành: TOÁN GIÁI TÍCH
Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan: PGS - TS - GVCC. Nguyen Phn Hy

HÀ N®I - 2011


LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Phó giáo sư - Tien
sĩ - Giáng viên cao cap Nguyen Phu Hy, ngưòi thay đã hưóng dan và
truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu trong hoc t¾p và
nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá
vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên
môn. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi
vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và to Giái tích cùng
các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot
đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin trân trong cám ơn ban giám hi¾u trưòng THPT Ngô Sĩ
Liên - Bac Giang, to Toán - Tin, các đong nghi¾p và gia đình đã tao
moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn thành tot
lu¾n văn.

Hà N®i, tháng 12 năm 2011
Tác giá

Nguyen Th% Li¾u


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS - TS - GVCC. Nguyen Phu Hy.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 12 năm 2011
Tác giá

Nguyen Th% Li¾u


Mnc lnc
Má đau.......................................................................................... v
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1. Không gian đ%nh chuan thnc.......................................................1
1.1.1. Các đ%nh nghĩa.......................................................................1
1.1.2. M®t so không gian đ%nh chuan thnc...................................4
1.2. Không gian Banach thnc núa sap thú tn..................................14
1.2.1. Nón trong không gian đ%nh chuan thnc............................14
1.2.2. Quan h¾ thú tn trong không gian E...................................15
1.2.3. Không gian Banach thnc núa sap thú tn...........................22
1.2.4. Không gian Eu0.......................................................................23
1.2.5. M®t so không gian Banach thnc núa sap thú tn..............27
Chương 2. Toán tN (K, u0) - lõm chính quy.........................42
2.1. Toán tú (K, u0) - lõm...................................................................42
2.1.1. Các đ%nh nghĩa.....................................................................42
2.1.2. M®t so tính chat đơn gián ve toán tú (K, u0) - lõm . . . 43
2.1.3. Ví du ve toán tú (K, u0) - lõm

48

2.2. Toán tú (K u0) - lõm chính quy.................................................52
2.2.1. Đ%nh nghĩa............................................................................52
2.2.2. M®t so tính chat đơn gián ve toán tú (K, u0) - lõm

chính quy...........................................................................................52
2.2.3. Ví du ve toán tú (K, u0) - lõm chính quy..........................56
iii


iv

Chương 3. SN ton tai điem bat đ®ng cúa toán tN (K, u0) lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....

59

3.1. M®t so đ%nh lí ve sn ton tai điem bat đ®ng cna toán tú (K,
u 0)
- lõm chính quy.....................................................................................59
3.2.....................................................................................Ví
du áp dung.....................................................................................66
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
68


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Nhieu van đe cna toán hoc, v¾t lí, ky thu¾t dan đen vi¾c xét
phương trình:
Ax − x = 0

(1)

trong đó A là m®t toán tú tác đ®ng trong m®t không gian hàm nào đó,
x là phan tú phái tìm. Phan tú x thoá mãn (1) goi là điem bat đ®ng cna
toán tú A.
Ngưòi đ¾t nen móng cho vi¾c nghiên cúu điem bat đ®ng cna
toán tú A là nhà toán hoc ngưòi Balan Stefan Banach vói nguyên lí noi
tieng: nguyên lí ánh xa co (công bo năm 1922). Tiep đen có nhieu
nhà toán hoc có các công trình nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna
toán tú trong các không gian hàm. Nhà toán hoc Nga noi tieng
M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cúu lóp toán tú phi tuyen - Toán tú lõm
(1956) ve điem bat đ®ng và vectơ riêng; Sau đó giáo sư tien sĩ khoa
hoc I.A.Baxtin mó r®ng các ket quá cho lóp toán tú phi tuyen (K, u0) lõm (1984).
Các lóp toán tú trên có chung tính chat u0 - đo đưoc. Tính chat
u0 – đo đưoc trong đ%nh nghĩa toán tú lõm khien cho vi¾c úng dung
các ket quá g¾p khó khăn. Tuy nhiên ton tai nhung lóp toán tú phi
tuyen không có tính chat u0 – đo đưoc, nhưng cũng có nhung tính
chat như toán tú lõm. M®t trong nhung lóp toán tú như the là lóp
toán tú lõm chính quy.
v


vi

Năm 1987, trong bài báo đăng trên tap chí Toán hoc, t¾p XV,
so 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyen Phu Hy đã xây dnng khái ni¾m toán
tú lõm chính quy và sn mó r®ng các đ%nh lí quan trong ve điem bat
đ®ng đoi vói toán tú lõm cho toán tú lõm chính quy. Vói mong muon
mó r®ng các ket quá tương úng đoi vói toán tú lõm chính quy cho
lóp toán tú phi tuyen (K, u0) – lõm chính quy, tôi đã chon đe tài:
“Điem bat đ®ng cúa m®t láp toán tN phi tuyen
(K, u0) - lõm chính quy”.

2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn “Điem bat đ®ng cúa m®t láp toán tN phi tuyen
(K, u0) - lõm chính quy” nham đưa ra đưoc m®t so tính chat ve toán
tú (K, u0) - lõm chính quy và sn ton tai điem bat đ®ng cna lóp toán
tú đó.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói muc đích đã nêu ó trên, nhung nhi¾m vu nghiên cúu cna
lu¾n văn là:
+ Nghiên cúu m®t so tính chat ve toán tú (K, u0) - lõm chính quy.
+ Nghiên cúu sn ton tai điem bat đ®ng cna toán tú (K, u0) - lõm
chính quy .
+ V¾n dung m®t so ket quá nghiên cúu vào m®t so không gian đ
%nh chuan thnc cu the.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
+) Đoi tưong nghiên cúu: Toán tú (K, u0) - lõm chính quy.
+) Pham vi nghiên cúu:
- Tính chat điem bat đ®ng cna toán tú (K, u0) - lõm chính quy;


vii

- Sn ton tai điem bat đ®ng cna toán tú (K, u0) - lõm chính quy;
- V¾n dung m®t so ket quá nghiên cúu vào m®t so không gian
đ%nh chuan thnc cu the.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Sú dung phương pháp nghiên cúu tài li¾u.
- V¾n dung (hay áp dung) m®t so ket quá nghiên cúu vào m®t
so không gian đ%nh chuan thnc cu the.
6. DN kien đóng góp mái
- Xây dnng khái ni¾m toán tú (K, u0)– lõm chính quy và ví du.

- Trình bày m®t cách h¾ thong các tính chat cna toán tú
(K, u0) – lõm chính quy.
- M®t so đieu ki¾n ton tai điem bat đ®ng cna toán tú
(K, u0) – lõm chính quy.
- V¾n dung các ket quá đat đưoc trong m®t so không gian đ
%nh chuan thnc cu the.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1. Không gian đ%nh chuan thNc
1.1.1. Các đ%nh nghĩa
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyen tính thnc E. M®t chuan trên
E là m®t ánh xa tù E vào R, kí hi¾u "."(đoc là chuan), thóa mãn các
đieu ki¾n sau:
i,∀x ∈ E, "x" ≥ 0, "x" = 0 khi và chí khi x = θ (θ là phan tú
không trong không gian E);
ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, "αx" = |α| "x";
iii,∀x, y ∈ E, "x + y" ≤ "x" + "y" (bat đang thúc tam giác).
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Không gian tuyen tính thnc E cùng vói m®t chuan
trên nó goi là m®t không gian đ%nh chuan thnc, kí hi¾u (E, ".") hay E.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho không gian đ%nh chuan E. Dãy điem
∞
{xn}n= ⊂ E goi là h®i tu đen x ∈ E neu lim "xn − x" = 0,
n →∞

1

hay
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0, "xn − x" < ε.

∗

Dna vào các đ%nh nghĩa trên ta de dàng chúng minh đưoc m®t so
tính chat sau:
1


2

M¾nh đe 1.1.1. Trong không gian đ%nh chuan thnc E, neu dãy điem
∞

{xn}n= h®i tn đen x thì dãy chuan {"xn"}h®i tn tói "x". Nói khác đi
1

"x" là m®t hàm liên tnc cúa bien x.
Chúng minh. Theo bat đang thúc tam giác ta có:
"x" = "x − y + y" ≤ "x − y" + "y"
hay
"x" − "y" ≤ "x − y" .
Đoi vai trò cna x, y ta lai có
"y" − "x" ≤ "x − y" .
Do đó ta có
|"x" − "y"| ≤ "x − y" .
Suy
ra

|"xn" − "x"| ≤ "xn − x" (n = 1, 2, . . .) .

Vì v¾y, neu {xn} h®i tu tói x thì lim "xn − x" = 0, dan đen

n →∞

|"xn" − "x"| → 0 khi n → ∞ hay "xn" → "x" khi n → ∞. M¾nh
đe đưoc chúng minh.
M¾nh đe 1.1.2. Trong không gian đ%nh chuan thnc E, neu dãy điem
∞

{xn}n= h®i tn thì dãy chuan {"xn"} b% ch¾n.
1

Chúng minh. Giá sú xn → x khi n → ∞, theo m¾nh đe 1.1.1 ta có
"xn" → "x" khi n → ∞.
Do đó
∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0, "xn" ≤ "x" + 1.
Đ¾t K là so lón nhat trong các so "x1" , "x2" , ..., "xn" , "x" + 1. Khi
đó
∀n, "xn" ≤ K hay {"xn"} b% ch¾n.


M¾nh đe 1.1.3. Trong không gian đ%nh chuan thnc E, neu dãy điem
∞

∞
{xn}n= h®i tn tói x, dãy điem {yn}n=
h®i tn tói y và trong R dãy so
1∞

{αn}n= h®i tn tói α thì:

1

1

xn + yn → x + y, n → ∞,
αnxn → αx, n → ∞.
Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tnc (x, y ∈ E, α ∈ R).
Chúng minh. Do xn → x khi n → ∞ và yn → y khi n → ∞ nên ta có
"xn − x" → 0, n → ∞
"yn − y" → 0, n → ∞.

và

Ta lai
có

"(xn + yn) − (x + y)" ≤ "xn − x" + "yn − y" .
"(xn + yn) − (x + y)" → 0, n → ∞

Do đó

hay xn + yn → x + y, n → ∞, trong không gian E; đong thòi
"αnxn − αx" = "αnxn − αnx + αnx − αx"
≤ "αn (xn − x)" + "(αn − α) x"
≤ |αn| "xn − x" + |αn − α| "x" .
Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn|} b% ch¾n;
còn xn → x, n → ∞ nên "xn − x" → 0, n → ∞.
Do đó |αn| "xn − x" + |αn − α| "x" → 0 khi n → ∞
hay "αnxn − αx" → 0, n → ∞. Vì v¾y αnxn → αx, n → ∞ trong
không gian E.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho không gian đ%nh chuan E. Dãy điem
∞
{xn}n= ⊂ E goi là dãy cơ bán trong E neu lim "xn − xm " =
n,m→∞
1

0
hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có "xn − xm" < ε.
∗

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho không gian đ%nh chuan E. Không gian E goi là
không gian Banach neu moi dãy cơ bán trong E đeu h®i tu.
1.1.2. M®t so không gian đ%nh chuan thNc
1.1.2.1. Không gian Rn (n ∈ N∗)

De kiem tra Rn = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}
(n ∈ N∗)
vói hai phép toán thông thưòng
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ,
αx = (αx1, αx2, ..., αxn) ,
trong đó α ∈ R, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn
là m®t không gian tuyen tính thnc vói phan tú không là θ = (0, 0, ...,
0).
Ta có Rn là không gian đ%nh chuan thnc vói chuan cna phan tú
x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn xác đ%nh bói
‚
...
"x" =, n

i

x2 .

(1.1)

i=1

Th¾t v¾y, ta kiem tra các đieu ki¾n cna chuan:
..
.
.n 2
*) ∀x ∈ Rn
n
2
x
hoàn
toàn
xác
đ
i
ix ≥ 0 nên "x" ≥
thì
%nh và
0.
n
i=1
i=1
.
2

"x" = 0 ⇔
i x = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n ⇔ x = θ.
i=1
..
.
.
2
n
n
α2
(xi) = |α| "x".
*) ∀x ∈ Rn, ∀α ∈ R, "αx"
2
i=1
(αxi) =
=
i=1


*) ∀x, y ∈ Rn, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn
.
.
n
n
. 2
.
"x +
(xi +
x + 2xiyi + y2
2=

2
y"
yi) =
i

i=1

i

i=1

=

.
n

n

2

i
i=1
n

x +2

.

i=1

n

xiyi +
n

n

.
≤ 2.

2
+
.x .
i

i=1

.
x2.

.

,

i

,

y2

i

‚ i=1

‚

.

n

y2
+

.

y2
i

i=1

i=1
i
i=1

‚
‚
2
.
.
n

n
..
..
2
2
,

=
x
yi2 = ("x" + "y") .
,
i=1 +i
i=1
Do đó "x + y" ≤ "x" + "y".
V¾y công thúc(1.1)xác đ%nh m®t chuan trên Rn. Không gian đ%nh
chuan tương úng kí hi¾u là Rn và goi là không gian Eukleides.
Hơn nua sn h®i tu trong không gian Rn tương đương vói sn h®i tu theo
toa đ®.
Th¾t∞v¾y, giá sú dãy điem
.x(k).

(k)

(k)

1

2

vói x(k) = .x , x

Rn
k=1

h®i tu tói điem x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn khi k → ∞
Theo đ%nh nghĩa 1.1.3 ta có
.
.
n
∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗ : ∀k ≥ k0, x(k) − x
.
(k)
−
. x
=
xi
Suy
ra

.
.

(k)

.xi

.
.

i=1

,...,x

(k)

.∈

n

< ε.

i

− xi. < ε, ∀k ≥ k0, ∀i = 1, 2, . . . , n.

(1.2)

Các bat đang thúc (1.2) chúng tó vói moi i = 1, 2, . . . , n dãy so
thnc
(k)

,x i , h®i tu tói xi khi k → ∞. Sn h®i tu đó goi là h®i tu theo toa đ®.


vói x(k) = .x
Rn

Ngưoc
lai, giá sú dãy điem
(k) ∞
.x .

k=1

(k)

1

,x

(k)

2

,...,x

(k)

.∈

n

k = 1, 2, . . . h®i tu theo toa đ® tói điem x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
Theo đ%nh nghĩa ta có ∀ε > 0, vói moi i = 1, 2, . . . , n, ∃ki ∈ N∗ :
∀k ≥ ki

.
.
. (k)
.
ε
.xi − xi. < √ .

n


Đ¾t k0 = max {k1, k2, . . . , kn}
ta có
.

.

(k)

.
∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗ : ∀k ≥ k0, xi
.
− xi
<
.
.
.
(k)
.2
⇒ xi − xi
<
n
. . (k) .2
⇒

xi −
xi

i=1

Suy
ra

‚
. n
..
,

.
x

i

(k)

hay

√ , i = 1, 2, . . . , n
n
ε2, i = 1, 2, . . . , n
n
< ε2 .

.2

−

< ε, ∀k ≥ k0

xi

i=1

ε

(k
)

x

− x < ε, ∀k ≥ k0 .

Do đó dãy điem .x(k). h®i tu tói x trong Rn.
Ta cũng có không gian Rn là không gian Banach vói chuan
(1.1)
(m)
(m)
n
(m)
Th¾t ∞v¾y, giá sú dãy
⊂(m)
R vói x
= .x , x , . . . ,
.x(m).
x .
m=1

1

2

n

là m®t dãy cơ bán tùy ý trong Rn. Khi đó theo đ%nh nghĩa 1.1.7 ta có:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, p ≥ n0, x(m) − x(p) < ε
hay
‚
.
..
,

n.

x

i=1

Suy
ra

.
. (m)
.xi −
xi

(m)
i

(p)

−

.2
< ε.

xi

.

(p).

. < ε, ∀m, p ≥ n0, i = 1, 2, . . . , n.

(1.3)


Các bat đang thúc (1.3)chúng tó vói moi i = 1, 2, . . . , n dãy
(m)
,x
,∞
i

là dãy so thnc cơ bán nên ton tai giói han
.

lim x(m)
m→∞ i
(m)

m=1

= xi, i = 1, 2, . . .

. ,n
h®i tu theo toa đ® tói x

Đ¾t x = (x1, x2, . . . , xn) ta đưoc dãy x
nên
.
.
x(m) h®i tu tói x khi m → ∞ trong Rn. V¾y Rn là không gian Banach.


1.1.2.2.

Không gian C[a;b]

.
De kiem tra C[a;b] = x = x (s) : x (s) là hàm so xác đ%nh liên tuc trên [a;
.
b]
là m®t không gian tuyen tính thnc vói hai phép toán thông thưòng xác
đ%nh bói:
(x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈
[a; b]
(αx) (s) = αx (s) , s ∈ [a; b]
trong đó x = x (s) ∈ C[a;b], y = y (s) ∈ C[a;b], α ∈ R.
Vói moi x = x (s) ∈ C[a;b] đ¾t

"x" = max |x (s)| .

(1.4)

a≤s≤b

Khi đó C[a;b] là m®t không gian đ%nh chuan thnc vói chuan (1.4).
Th¾t v¾y, ta chúng minh công thúc (1.4) thóa mãn các đieu ki¾n cna
chuan:
*) ∀x ∈ C[a;b] thì max |x (s)| xác đ%nh và max |x (s)| ≥ 0 nên "x" ≥ 0.
a≤s≤b

a≤s≤b

"x" = 0 ⇔ max |x (s)| = 0 ⇔ x (s) = 0, ∀s ∈ [a; b] ⇔ x = θ vói θ là
a≤s≤b

phan tú không cna C[a;b] đưoc xác đ%nh bói
θ : [a; b] → R
s ›→ θ (s) = 0.
*) Vói moi x ∈ C[a;b], ∀α ∈ R ta có
"αx" = max |(αx) (s)| = max |αx (s)| = |α| max |x (s)| = |α| "x".
a≤s≤b

a≤s≤b

a≤s≤b

*) Vói moi x, y ∈ C[a;b] ta có
"x + y" = max |(x + y) (s)|

a≤s≤b

= max |x (s) + y (s)|
a≤s≤b

≤ max (|x (s)| + |y
(s)|)


a≤s≤b


≤ max |x (s)| + max |y (s)|
a≤s≤b

a≤s≤b

= "x" +
"y" .
Hơn nua, sn h®i tu trong không gian C[a;b] vói chuan (1.4) tương
đương vói sn h®i tu đeu cna dãy hàm liên tuc trên [a; b].
Th¾t v¾y, giá sú dãy hàm
{xn}

n=
1

∞

⊂ C[a;b] h®i tu tói hàm x ∈ C[a;b]

trong

không gian C[a;b]. Theo đ%nh nghĩa 1.1.3 ta có
lim "x − x" = 0
n

n→∞

hay
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , "xn − x" <
ε

suy
ra

max |xn (s) − x (s)| < ε.
Do đó

a≤s≤b

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |xn (s) − x (s)| < ε, ∀s ∈ [a; b]
hay xn (s) h®i tu đeu tói x (s) trên C[a;b].
Ngưoc lai, giá sú dãy hàm {xn (s)} ⊂ C[a;b] h®i tu đeu tói hàm so x
(s) trên C[a;b]. Khi đó x (s) liên tuc trên [a; b] nghĩa là x (s) ∈ C[a;b].
Theo đ%nh nghĩa sn h®i tu đeu cna dãy hàm thì ta có
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |xn (s) − x (s)| < ε, ∀s ∈ [a; b] .
Suy
ra

hay

max |xn (s) − x (s)| < ε
a≤s≤b

"xn − x" < ε vói xn = xn (s) , x = x (s)
.

Do đó dãy {xn} h®i tu tói x trong không gian C[a;b].
M¾t khác ta có C[a;b] là không gian Banach vói chuan (1.4).


Th¾t v¾y, giá sú {xn} là dãy cơ bán tùy ý trong không gian C[a;b]. Khi
đó, theo đ%nh nghĩa 1.1.7, ta có
ε
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n, m ≥ n0 : "xn − xm "
<

hay

2

ε
max |xn (s) − xm (s)| < .

a≤ s≤ b

Suy
ra
|xn (s) − xm (s)|

ε
2

, ∀m, n ≥ n0, ∀s ∈ [a; b] .

(1.5)

<
Các bat đang thúc (1.5) chúng tó rang vói moi s ∈ [a; b] co đ%nh, dãy
∞
{xn (s)}n= là dãy so thnc cơ bán nên h®i tu, túc là ton tai giói han
1

lim
n→∞

xn (s) = x (s) , s ∈ [a; b] .

Vì
|xn (s) − xm (s)|

<
nên khi cho m → ∞ ta có

ε
2

, ∀m, n ≥ n0 , ∀s ∈ [a; b]

|xn (s) − x (s)| ε

≤
< ε, ∀n ≥ n0 , ∀s ∈ [a; b] .
2
Do đó dãy hàm {xn (s)} h®i tu đeu tói hàm so x (s) ∈ C[a;b] trong
không
gian C[a;b] hay dãy hàm {xn} h®i tu tói x trong không gian C[a;b].
1.1.2.3.

m
Không gian D[a;b]

De kiem tra Dm gom các hàm so xác đ%nh và có đao hàm liên tuc
[a;b]
đen cap m trên [a; b] , (m ∈ N∗) là không gian tuyen tính thnc vói
hai phép toán thông thưòng như sau:
(x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b] ,


(αx) (s) = αx (s) , s ∈ [a; b] ,


trong đó x = x (s) ∈

[a;b] ,

Dm

y = y (s) ∈

Dm

m , ta đ¾t
Vói moi x ∈ D[a;b]

"x" =

, α ∈ R.
[a;b]

.

m

k=0

(k)
max
. ,.x . (s)., .
.
.

(1.6)

a≤s≤b

Khi đó Dm là không gian đ%nh chuan vói chuan xác đ%nh bói (1.6).
[a;b]
Th¾t v¾y, ta chúng minh công thúc (1.6) thóa mãn các đieu ki¾n cna
m®t chuan:
m thì x (s) xác đ%nh

.. và có ..đao hàm liên tuc đen cap
*) Vói moi x ∈ D[a;b]
m trên đoan [a; b] nên ton tai max x(k) (s) , k = 0, 1, . . . , m.
Do đó
.
.

.. a≤s≤b
..
..
.
m
(k)
ton tai
max x (s)
max x (s) ≥ 0 hay "x" ≥
và
0;
.
.
.
.
a≤s≤b
..
k=0
.. k=0 a≤s≤b
.
m
(k)
"x" = 0 ⇔

max x (s)
=0 ⇔
xk (s)
= 0, ∀s
.
. ∈ [a; b]
.
m

..

(k)

k=0 a≤s≤b

k = 0, 1, . . . , m ⇔ x = θ vói θ là phan tú không trong không
gian
D[a;b] đưoc xác đ%nh bói
m

θ : [a; b] → R
s ›→ θ (s) = 0
*) Vói moi x ∈ Dm , vói moi α ∈ R ta có
[a;b]
m.
"αx" =
max
,.(αx)
a≤s≤b
k=

0
.
m

.

(k)

(s).,
.
.

(k)
max
. ,.αx . (s).,
.
.
a≤s≤b
k=0 .
m
(k)
= |α|
max
. ,.x . (s).,
.
.

=

k=0

a≤s≤b

= |α| "x" .

.


m ta có
*) Vói moi x, y ∈ D[a;b]
m.
"x + y" =
max
.
(x + y)

=

≤

(k)

(s).,
.
.

.

a≤s≤b
k=

0
.
m

(k)
max
(s) + y. (k) (s).,
. ,.x
.
.

a≤s≤b

k=
0
m
.

. .
.,
,.
. (k)
. .
.
x (s) + y(k) (s)

max

≤

,.

.

a≤s≤b

k=
0
m
.

.

a≤s≤b

+
.

.
m

,.
.,
. (k)
.
x (s)

max
k=0

.

.

.
k=0

= "x" + "y"

.,
,.
. (k)
.
ma
y (s)
x
.
.

a≤s≤b

theo chuan (1.6) cna dãy {xn} tương

.
Hơn nua sn h®i tu trong Dm
[a;b]

đương vói sn h®i tu đeu cna dãy hàm {xn (s)} cùng vói dãy các đao
hàm
tương úng đen cap m h®i tu đeu trên [a; b] .

m
Th¾t v¾y, giá sú {xn} ⊂ D[a;b]
, xn → x khi n → ∞. Theo đ%nh nghĩa

1.1.3 ta
có

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , "xn − x" < ε
m

hay
.

. ,.(xn
max

− x)
k=0 a≤s≤b

⇒
max

.

,..
(k)
(xn. − x)
(s)

.,

(k
)

(s).., < ε
.

< ε, k = 0, 1, . . . , m


a≤s≤b

..
⇒ .(x −
n
x)

.

.
.
(k)
.
(s). < ε, k = 0, 1, . . . , m, ∀s ∈ [a; b] .

Suy ra (k)
dãy hàm {xn (s)} h®i tu đeu tói hàm x (s) cùng vói các dãy đao
hàm ,x (s), h®i tu đeu tói đao hàm x(k) (s) trên [a; b] , (k = 1, 2, . .
. , n).
n

Ngưoc lai giá sú dãy hàm {xn (s)} ⊂

[a;b]

h®i tu đeu tói hàm x (s) cùng

Dm
(k)

vói các dãy đao hàm ,xn (s), h®i tu đeu tói đao hàm x(k) (s) trên
[a; b] , (k = 1, 2, . . . , n).