Phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ HỒNG ANH
PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO
BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM NGỌC ANH
Thái Ngun - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Ngọc Anh
Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun
Ngày tháng năm 2014
Có thể tìm hiểu tại
Thư Viện Đại Học Thái Ngun
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />MỤC LỤC
Lời cảm ơn 3
Lời nói đầu 4
Một số kí hiệu - chữ viết tắt 7
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về
ánh xạ khơng giãn và bất đẳng thức biến phân 9
1.1. Khơng gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Điểm bất động của ánh xạ khơng giãn 11
1.3. Bài tốn Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1. Phép chiếu trực giao . . 14
1.3.2. Bài tốn bất đẳng thức biến phân . . 14
1.3.3. Một vài ứng dụng . . . . 20
1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài tốn VIFIX 27
2.1. Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Phương pháp chiếu mở rộng 29
2.3. Phương pháp ánh xạ co 32
2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 3. Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài tốn VIFIX 44
3.1. Phương pháp chiếu mở rộng 45
3.2. Phương pháp tối ưu hóa điểm bất động 49
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2
3.3. Ứng dụng 54
3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Kết luận chung 61
Tài liệu tham khảo 62
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Ngun. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS.
Phạm Ngọc Anh (Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng), người
thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt
thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cơ giáo trong Khoa Tốn - Tin,
Phòng Đào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Tốn K6B trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Ngun, và các bạn đồng nghiệp đã tạo
điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong q trình học tập và nghiên
cứu tại trường.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người
thân ln khuyến khích, động viên tác giả trong suốt q trình học tập
và làm luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp q
báu của các thầy cơ và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, 2014 Trần Thị Hồng Anh
Học viên Cao học Tốn K6B,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Ngun
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />LỜI NĨI ĐẦU
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60, là
một cơng cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài tốn cân bằng.
Theo Harker và Pang, bài tốn bất đẳng thức biến phân được giới thiệu
lần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia. Những nghiên
cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các
bài tốn biến phân, bài tốn điều khiển tối ưu và các bài tốn biên có
dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn biến phân trong khơng
gian vơ hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn
sách "An introduction to variational inequalities and their application"
của Kinderlehrer và Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn
sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free
boundry problems" của Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984.
Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với các
bài tốn tối ưu khác. Bài tốn bù phi tuyến, xuất hiện vào năm 1964
trong ln án tiến sĩ của Cottle, là một trường hợp đặc biệt của bài
tốn bất đẳng thức biến phân. Gần đây, bài tốn bất đẳng thức biến
phân cũng là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Nhiều
tác giả đã quan tâm và xây dựng các kỹ thuật để giải quyết bất đẳng
thức biến phân và vấn đề tối ưu hóa liên quan. Một ứng dụng quan

trọng của bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
của một ánh xạ khơng giãn là mơ hình định tuyến lưu lượng mạng
điện thoại CDMA (Viết tắt của Code - Division mutiple access data
network) được đăng trong bài báo "Fixed point optimization algorithm
and its Application to power control in CDMA data networks", Iiduka,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />5
H. (2010), Mathematical Programming, Series A, doi 10.1007/s10107-
010-0427-x.[10] Bài tốn đặt ra là tìm một phương án tối ưu lưu lượng
trên các đường truyền nhằm đạt được chất lượng dịch vụ tốt nhất cho
tất cả các đường truyền kết nối trên mạng với một mạng dữ liệu cho
trước.
Trong luận văn này, chúng ta xét một số phương pháp giải bài tốn
bất đẳng thức biến phân là tìm điểm x
∗
∈ Fix(T ) sao cho
(A − γf)x
∗
, x −x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ F ix(T),
với T là ánh xạ khơng giãn của tập con lồi, đóng, khác rỗng C của khơng
gian Hilbert thực H, A : C → H là tốn tử tuyến tính bị chặn, dương
mạnh, và f : C → H là ánh xạ co với hệ số ρ. Luận văn đề cập đến hai
thuật tốn để giải quyết bài tốn bất đẳng thức biến phân: Thuật tốn
chiếu dạng ẩn
x
t
= T Pr
C
[I − t(A −γf)]x

t
, ∀t ∈ (0, 1),
và thuật tốn chiếu dạng hiện
x
n+1
= β
n
x
n
+ (1 −β
n
)T P r
C
[I − α
n
(A − γf)]x
n
, ∀n ≥ 0.
Đồng thời, luận văn đã chứng minh sự hội tụ mạnh của hai thuật tốn
này đến nghiệm duy nhất của bài tốn bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của một ánh xạ khơng giãn (V IF IX) trong khơng
gian Hilbert thực. Nội dung chính của luận văn được viết trong bài báo
"Algorithms Construction for Variational Inequalities", Yonghong Yao,
Yeong - Cheng Liou and Shin Min Kang (2011), Fixed point Theory
Appications, doi: 10.1155/ 2011/794203, ID 794203.[11]
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về ánh xạ khơng giãn và bất đẳng
thức biến phân. Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về khơng gian
Hilbert, bài tốn bất đẳng thức biến phân, các ví dụ, các kiến thức về
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />6
ánh xạ khơng giãn, điểm bất động của ánh xạ khơng giãn, phép chiếu

và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân.
Chương 2. Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài tốn (V IFIX).
Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng dạng ẩn và phương
pháp ánh xạ co để giải bài tốn (V IFIX).
Chương 3. Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài tốn (V IF IX).
Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng, phương pháp tối ưu
hóa điểm bất động và ứng dụng của phương pháp này.
Thái Ngun, tháng 06 năm 2014
Học viên
Trần Thị Hồng Anh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />MỘT SỐ KÍ HIỆU - CHỮ VIẾT TẮT
R
n
khơng gian Euclide n-chiều
H khơng gian Hilbert thực
|β| trị tuyệt đối của số thực β
x := y x được gán bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
 x  chuẩn của véc tơ x
x, y tích vơ hướng của hai véc tơ x, y
A ⊂ B tập A là tập con thực sự của tập B
A ⊆ B tập A là tập con của B
A ∪ B A hợp với B
A ∩ B A giao với B
A × B tích Đề-các của hai tập A và B
argmin{f(x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C
δ
C
(·) hàm chỉ trên C

x
n
→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
P r
C
(x) phép chiếu mêtric, hay còn gọi là phép chiếu
trực giao của điểm x trên tập C
lim := lim sup giới hạn trên
lim := lim inf giới hạn dưới
co bao lồi đóng
V I bài tốn bất đẳng thức biến phân
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />8
V IF IX bài tốn bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động
T HV I bài tốn bất đẳng thức biến phân tam cấp
BV I bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp
V I(F, C) bài tốn bất đẳng thức biến phân với
ánh xạ giá F trên C
DV I(F, C) bài tốn đối ngẫu của bài tốn V I
B(O, R) hình cầu tâm O bán kính R
CP (F, C) bài tốn bù tuyến tính
F
nat

C
ánh xạ giá tự nhiên
Sol(F, C) tập nghiệm của bài tốn V I
Sol(F, C)
∗
tập nghiệm của bài tốn đối ngẫu DV I
I ánh xạ đồng nhất
∂f(x) dưới vi phân của f tại x
N
C
(x) nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C
F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
1.1. KHƠNG GIAN HILBERT VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT
Trong phần đầu của chương này, ta nhắc lại một số vấn đề cơ bản
thuộc khơng gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu, tốn tử compact
và tốn tử bị chặn. Chương này ta tham khảo các tài liệu [5], [9], [2]
Ta nói hai vectơ x, y của một khơng gian Hilbert H trực giao với
nhau, và kí hiệu x⊥y, nếu x, y = 0. Từ định nghĩa ấy có thể suy ra
ngay các tính chất đơn giản sau đây:
a) Nếu x⊥y thì y⊥x. Ta có x⊥x khi và chỉ khi x = 0. Vectơ 0 trực
giao với mọi vectơ x.
b) Nếu x⊥(y
1
, y
2
, , y

n
) thì x⊥(α
1
y
1
+ α
2
y
2
+ + α
n
y
n
).
c) Nếu x⊥y
n
, y
n
→ y (∀n → ∞) thì x⊥y.
d) Nếu tập M trù mật trong H thì M
⊥
gồm một phần tử duy nhất là
0, nghĩa là x⊥M ⇒ x = 0.
e) Nếu x⊥y thì x + y
2
= x
2
+ y
2
(định lý Pythagore).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />10
f) Nếu {x
n
} là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ x
n
trực giao từng
đơi một) thì chuỗi
∞

n=1
(x
n
) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi
∞

n=1
x
n

2
< ∞.
Định lí 1.1.1 ([5]). Cho M là khơng gian con đóng của khơng gian
Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng
x = y + z với y ∈ M, z ∈ M
⊥
, (1.1)
trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là x − y ≤ x − u với
mọi u ∈ M.
Tốn tử compact là một lớp quan trọng của tốn tử bị chặn.

Định nghĩa 1.1.1. Tốn tử A : H → H được gọi là tốn tử compact
nếu với mọi dãy {x
n
} bị chặn trong trong H, dãy {Ax
n
} chứa dãy con
hội tụ.
Định lí 1.1.2 ([9]). Mọi tốn tử compact đều bị chặn.
Định lí 1.1.3 ([9]). Cho A là tốn tử compact trong khơng gian Hilbert
H và B là tốn tử bị chặn trên H. Khi đó, AB và BA là tốn tử compact.
Định nghĩa 1.1.2. Một tốn tử được gọi là hữu hạn chiều nếu miền
giá trị của nó là hữu hạn .
Định lí 1.1.4 ([9]). Tốn tử bị chặn hữu hạn chiều là compact.
Định lí 1.1.5 ([9]). Giới hạn của dãy hội tụ đều các tốn tử compact
là compact. Trong trường hợp đặc biệt, nếu T
1
, T
2
, , T
n
là các tốn tử
compact trong khơng gian Hilbert H và T
n
− T  → 0 khi n → ∞ với
mọi tốn tử T trên H thì T là compact.
Hệ quả 1.1.1. Giới hạn của dãy hội tụ các tốn tử hữu hạn chiều là
tốn tử compact.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />11
Định lí 1.1.6 ([9]). Một tốn tử T trên khơng gian Hilbert H là compact
nếu và chỉ nếu nó biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Tức là

T là compact nếu và chỉ nếu x
n
 x thì T x
n
→ Tx với bất kì x
n
, x ∈ H.
1.2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN
Trong mục này, ta nêu một số khái niệm về ánh xạ khơng giãn và các
định lí điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert
thực H với tích vơ hướng ·, · và chuẩn · .
Định nghĩa 1.2.1. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Ánh
xạ T : C → C là ánh xạ khơng giãn nếu
T x −T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.2.2. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ
T nếu T x = x. Kí hiệu: FixT là tập các điểm bất động của T . Tức là
F ixT = {x ∈ C : Tx = x}.
Định nghĩa 1.2.3. Tập C có cấu trúc chuẩn tắc trong khơng gian định
chuẩn X nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH > 0
ddeuf chứa một điểm x ∈ H sao cho: sup{x − z : z ∈ H} < diamH.
Bây giờ, ta nhắc lại một số định lý điểm bất động quan trọng.
Định lí 1.2.1 ([2], Kirk). Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu, có
cấu trúc chuẩn tắc trong khơng gian định chuẩn X và T : C → C là
một ánh xạ khơng giãn. Khi đó, T có điểm bất động trong C.
Chứng minh. Đặt
F =

L ⊂ C : L lồi, đóng, khơng rỗng, T (L) ⊂ L

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />12
F = ∅ vì C ∈ F. Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂) trở thành
tập hợp được sắp thứ tự bộ phận.
Đặt G = {L
α
} với L
α
∈ F và lồng nhau. Khi đó
∩
α
L
α
= ∅ vì C
compact yếu và T (
∩
α
L
α
) ⊂
∩
α
L
α
, vậy
∩
α
L
α
là cận dưới của G. Theo bổ
đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu H.

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng. Giả sử d =
diamH > 0. Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho
r = sup {z −x : x ∈ H} < d.
Đặt D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} = ∅, trong đó B(z, r) là hình cầu đóng
tâm z bán kính r. Lấy z bất kì trong D, do T là khơng giãn, ta có
T (H) ⊂ B(T z, r) nên coT (H) ⊂ B(T z, r). Vì coT (H) là tập hợp lồi,
đóng trong C nên cũng là compact yếu, hơn nữa coT (H) ⊂ coH = H nên
T (coT (H)) ⊂ T(H) ⊂ coT (H), vậy coT (H) ∈ F. Mặt khác coT (H) ⊂
H và H là cực tiểu nên coT (H) = H .Từ đây ta có H ⊂ B(T z, r), suy
ra T z ∈ D, vậy T (D) ⊂ D với z bất kì trong D.
Ta sẽ kiểm tra D lồi, đóng. Cho z
1
, z
2
∈ D và z = αz
1
+ (1 − α)z
2
với α ∈ [0, 1]. Khi đó x − z
i
  r, i = 1, 2 với mọi x ∈ H. Từ đó
x −z  r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D lồi. Nếu z
n
∈ D và z
n
→ z
thì x − z
n
 < r suy ra x − z  r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D
đóng.

Tóm lại D ⊂ C là tập lồi, đóng và bất biến đối với T , vậy D ∈ F. Từ
D ⊂ H và H là cực tiểu, suy ra D = H. Khi đó, với mọi u, v ∈ D = H
ta có u −v  r, từ đây : d = diamH = diamD  r < d, ta gặp mâu
thuẫn. Vậy, H chỉ gồm một điểm, tức là: H = {x
∗
}. Do H là bất biến
đối với T nên ta có T x
∗
= x
∗
Định lí 1.2.2 ([2], Browder-Gohde). Cho C là một tập hợp lồi, đóng,
bị chặn trong khơng gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ khơng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />13
giãn. Khi đó, tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và khơng
rỗng.
Chứng minh. Theo giả thiết X lồi đều nên X phản xạ, do đó C là
compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo Định lý Kirk, tập hợp
các điểm bất động T khơng rỗng, ngồi ra nó đóng vì T liên tục. Ta
chỉ còn chứng minh tính lồi của tập hợp này. Cho u = T u, v = T v và
m = λu+(1−λ)v với một λ ∈ [0, 1] nào đó. Khi đó u−m = (1−λ)(u−v)
và v −m = λ(v − u). Vì T là ánh xạ khơng giãn nên ta có
u − Tm + T m −v  u −m + m − v = u −v.
Do u −v = (u − Tm) + (T m −v) nên
u − v  u −T m + T m −v.
Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được
u − v = u − Tm+ T m − v.
Đặt x = u − T m, y = T m − v, ta có x + y = x + y. Vì X lồi
đều thì X lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại α > 0 để cho
u − Tm = α(T m −v). Suy ra
T m =

1
1 + α
u +
α
1 + α
v = βu + (1 −β)v
với β =
1
1 + α
. Ta sẽ chứng minh β = λ bằng phản chứng. Giả sử β > λ,
ta có
T v −T m = v − Tm = βu −v > λu − v = v − m,
điều này mâu thuẫn với tính khơng giãn của T. Tương tự, nếu β < λ
thì mâu thuẫn: T u − T m < u − m. Vậy β = λ nên T m = m. Vì
mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên
tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định lý đã được chứng
minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />14
1.3. BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
1.3.1. Phép chiếu trực giao
Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của một
khơng gian Hilbert thực H. Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu
trực giao của một điểm x ∈ H trên C dưới chuẩn Euclide  ·, ký hiệu
P r
C
(x), được xác định bởi
P r
C
(x) = argmin{x −y : y ∈ C}. (1.2)
Tính chất 1.3.1.

(i) Với mỗi x ∈ H, P r
C
(x) tồn tại và duy nhất,
(ii) x −P r
C
(x), y − Pr
C
(x) ≤ 0, ∀y ∈ C, x ∈ H,
(iii) P r
C
(x) − Pr
C
(y)
2
≤ Pr
C
(x) − Pr
C
(y), x −y, ∀x, y ∈ H,
(iv) P r
C
(x) − Pr
C
(y) ≤ x −y, ∀x, y ∈ H,
(v) P r
C
(x)−Pr
C
(y)
2

≤ x−y
2
−Pr
C
(x)−x+y−P r
C
(y)
2
, ∀x, y ∈
H,
(vi) P r
C
(x) − y
2
≤ x − y
2
− P r
C
(x) − x
2
, ∀x ∈ H, y ∈ C.
1.3.2. Bài tốn bất đẳng thức biến phân
Định nghĩa 1.3.2. Cho C = ∅ là một tập lồi, đóng trong H và F :
C → H. Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C),
được phát biểu dưới dạng:
Tìm x
∗
∈ C sao cho F (x
∗
), x −x

∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.3)
Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá. Một biểu diễn hình học
của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có dạng: x
∗
∈ C là một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />15
nghiệm của V I(F, C) khi và chỉ khi góc tạo bởi véc tơ F (x
∗
) và véc tơ
y −x
∗
là góc nhọn hoặc vng với mọi y ∈ C. Ta có thể định dạng điều
này dưới dạng nón pháp tuyến ngồi tại điểm x
∗
của tập C như sau:
N
C
(x
∗
) = {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Véc tơ w ∈ N
C
(x
∗
) được gọi là véc tơ pháp tuyến ngồi tại điểm x
∗
∈ C.
Bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) chỉ ra rằng: x
∗

∈ C là
nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) khi và chỉ khi
F (x
∗
) là một véc tơ pháp tuyến ngồi tại x
∗
của C, hay
0 ∈ F (x
∗
) + N
C
(x
∗
).
Định nghĩa 1.3.3. Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của một khơng
gian Hilbert thực H và một ánh xạ F : C → H. Ánh xạ F được gọi là
(a) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu
F (x) −F (y), x −y ≥ βx −y
2
, ∀x, y ∈ C.
(b) đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) −F (y), x −y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y.
(c) đơn điệu trên C, nếu
F (x) −F (y), x −y ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
(d) giả đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C,
F (y), x −y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.
(e) tựa đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C,
F (y), x −y > 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />16
(f) tựa đơn điệu hiển trên C, với mỗi x, y ∈ C,

F (y), x −y > 0 ⇒ F (z), x −y, ∀z ∈ (
x + y
2
, y).
Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1.3.3.
(a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d) =⇒ (e) ⇐= (f) ⇐= (d).
Mệnh đề 1.3.1. Điểm x
∗
là một nghiệm của bài tốn bù CP (F, C) nếu
và chỉ nếu x
∗
là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C).
Chứng minh. Nếu x
∗
là nghiệm của bài tốn bù CP (F, C), thì x
∗
∈
R
n
+
, F (x
∗
) ∈ R
n
+
và F (x
∗
), x
∗
 = 0. Khi đó,

F (x
∗
), x −x
∗
 = F (x
∗
), x−F (x
∗
), x
∗
 = F (x
∗
), x ≥ 0, ∀x ∈ R
n
+
.
Mặt khác, giả sử x
∗
∈ R
n
+
là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến
phân V I(F, C). Đặt
e
i
= (0, , 0, 1, 0, , 0), y = x
∗
+ e
i
,

trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó, y ∈ R
n
+
và
0 ≤

F (x
∗
), x
∗
+ e
i
− x
∗

=

F (x
∗
), e
i

= F
i
(x
∗
).
Do vậy,
F (x
∗

) = (F
1
(x
∗
), , F
n
(x
∗
)) ∈ R
n
+
. (1.4)
Từ bất đẳng thức
F (x
∗
), x −x
∗
, ∀x ∈ R
n
+
,
và x = 0 ∈ R
n
+
, suy ra
F (x
∗
), x
∗
 ≤ 0.

Mặt khác, theo giả sử x
∗
∈ R
n
+
và theo (1.4), ta có F(x
∗
), x
∗
 ≥ 0. Như
vậy,
F (x
∗
), x
∗
 = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />17
Trong bài tốn bất đẳng thức V I(F, C), với mỗi x ∈ C và λ > 0,
xét ánh xạ F
nat
C
: C → C được xác định bởi
F
nat
C
(x) = x −P r
C
(x − λF(x)).
Ánh xạ F
nat

C
thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C. Mối
quan hệ giữa nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C)
và ánh xạ giá tự nhiên F
nat
C
được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.3.2. Một điểm x
∗
là một nghiệm của bài tốn bất đẳng
thức V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là khơng điểm của ánh xạ F
nat
C
, hay
0 = F
nat
C
(x
∗
).
Chứng minh. Theo định nghĩa nghiệm x
∗
của bài tốn bất đẳng thức
biến phân V I(F, C) và λ > 0, ta có
λF (x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Hay

x
∗
− [x
∗
− λF (x
∗
)], y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Theo tính chất (ii), bất đẳng thức này tương đương với
x
∗
= P r
C
(x
∗
− λF (x
∗
)),
hay x
∗
là khơng điểm của ánh xạ giá tự nhiên F
nat
C
.
Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn bất đẳng
thức biến phân V I(F, C) được chứng minh đều dựa vào định lí điểm
bất động Browder.
Định lí 1.3.1. Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của
khơng gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó,

bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />18
Chứng minh. Theo tính chất (1.3.1) (i), ánh xạ P r
C
còn được gọi là ánh
xạ khơng giãn trên C. Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu P r
C
(I −λF ) :
C → C là một ánh xạ liên tục. Từ C là một tập lồi compact khác rỗng
và P r
C
(I − λF ) liên tục, theo Mệnh đề 1.3.2 và Tính chất 1.3.1, tồn
tại duy nhất khơng điểm x
∗
∈ C của ánh xạ giá tự nhiên F
nat
C
sao cho
0 = F
nat
C
(x
∗
). Áp dụng Tính chất 1.3.1 (iii) với x = x
∗
− λF (x
∗
),
y − Pr
C

(x
∗
− λF (x
∗
)), x
∗
− λF (x
∗
) − Pr
C
(x
∗
− λF (x
∗
)) ≤ 0, ∀y ∈ C.
Kết hợp điều này với P r
C
(I − λF)(x
∗
) = x
∗
, suy ra
y − x
∗
, x
∗
− λF (x
∗
) − x
∗

 ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có
F (x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vậy, x
∗
là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C).
Định lí 1.3.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó, bài
tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
R > 0 sao cho bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩B(0, R)) có
một nghiệm x
R
thỏa mãn x
R
 < R.
Chứng minh. Giả sử bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có 1
nghiệm x
∗
∈ C. Chọn R thỏa mãn R > x
∗
. Khi đó
F (x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.

Do đó, x
∗
∈ C ∩B(0, R) và
F ∩(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ B(0, R).
Như vậy, bài tốn V I(F, C ∩B(0, R)) có nghiệm x
∗
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />19
Ngược lại, giả sử x
R
là một nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến
phân V I(F, C ∩ B(0, R)) thỏa mãn x
R
 < R. Khi đó, với mỗi y ∈ C,
tồn tại  ≥ 0 đủ nhỏ sao cho z = x
R
+(y−x
R
) ∈ C ∩B(0, R). Theo định
nghĩa của nghiệm x
R
của bài tốn V I(F, C ∩B(0, R)), ta có x
R
∈ C và
0 ≤ F (x
R

), z −x
R
 =  F (x
R
), y − x
R
, ∀y ∈ C.
Điều này có nghĩa rằng x
R
là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến
phân V I(F, C).
Hệ quả 1.3.1. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một
khơng gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H thỏa mãn
điều kiện bức, hay tồn tại x
0
∈ C sao cho

F (x) −F (x
0
), x −x
0

x − x
0

→ +∞ khi x → +∞, x ∈ C.
Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.
Chứng minh. Chọn H và R sao cho H > F (x
0
), R > x

0
 và

F (x) −F (x
0
), x −x
0

≥ Hx − x
0
 ∀x ≥ R, x ∈ C.
Khi đó,

F (x), x −x
0

≥ Hx −x
0
 +

F (x
0
), x −x
0

≥ Hx −x
0
 − F(x
0
)x − x

0

≥ (H − F (x
0
))(x − x
0
)
> 0, ∀ x ≥ R. (1.5)
Theo Định lí 1.3.1, tồn tại một nghiệm x
R
của bài tốn bất đẳng thức
biến phân V I(F, C ∩B(0, R)). Hay

F (x
R
), x
R
− x
0

= −

F (x
R
), x
0
− x
R

≤ 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />20
Kết hợp điều này với (1.5), ta có x
R
 = R và do đó x
R
 < R.
Như vậy, x
R
là một nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân
V I(F, C ∩ B(0, R)). Theo Định lí 1.3.2, bài tốn V I(F, C) có nghiệm.
1.3.3. Một vài ứng dụng
Ví dụ 1.3.1. Bài tốn cân bằng mạng giao thơng.
Xét một mạng giao thơng cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi
• N : Tập hợp các nút của mạng.
• A : Tập hợp các cạnh mà mỗi cạnh là một đoạn đường.
Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử của O được
gọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi
điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp
các cạnh (được gọi là một tuyến đường).
• I : Tập hợp các phương tiện giao thơng.
• f
i
a
: Mật độ giao thơng của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A.
Đặt f là véc tơ có các thành phần f
i
a
với i ∈ I và a ∈ A.
• c
i

a
: Chi phí khi sử dụng phương tiện giao thơng i trên đoạn đường
a ∈ A. Đặt c là véc tơ có các thành phần c
i
a
với i ∈ I, a ∈ A. Chi
phí giao thơng hồn tồn phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f)
là hàm của biến f.
• d
i
w
: Nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên đoạn đường
w = (o, d) với o ∈ O, d ∈ D.
• λ
i
w
: Mức độ chi phí giao thơng trên tuyến đường w của phương tiện
giao thơng i.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />21
• x
i
w
: Mật độ giao thơng của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ D.
Giả sử trong mạng giao thơng trên, phương trình cân bằng sau được
thỏa mãn:
d
i
w
=


p∈P
w
x
i
p
, ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.6)
trong đó, P
w
là tập hợp các tuyến đường của w = (o, d) nối điểm nguồn
o và điểm đích d. Trên phương trình (1.6), thì nhu cầu sử dụng loại
phương tiện i trên tuyến đường w bằng đúng tổng mật độ giao thơng
của phương tiện đó trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích
của tuyến đường đó. Khi đó, ta có phương trình
f
i
a
=

p∈P
w
x
i
p
δ
ap
, ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.7)
trong đó
δ
ap
=




1 nếu a ∈ p,
0 nếu a /∈ p.
Với mỗi tuyến đường p nối điểm nguồn o và điểm đích p, đặt
C
i
p
=

a∈A
c
i
a
δ
ap
. (1.8)
Như vậy, C
i
p
là một chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường
p. Đặt d là véc tơ có các thành phần là d
i
w
với i ∈ I, w ∈ D × D. Một
cặp (d
∗
, f
∗

) thỏa mãn các điều kiện (1.6) và (1.7) được gọi là một điểm
cân bằng của mạng giao thơng, nếu
C
i
p
(f
∗
) =



= λ
i
w
(d
∗
) nếu x
i
p
> 0,
> λ
i
w
(d
∗
) nếu x
i
p
= 0,
với mỗi tuyến đường p và với mỗi i ∈ I. Theo định nghĩa này, tại điểm

cân bằng đối với mỗi loại phương tiện giao thơng và mỗi tuyến đường,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />22
chi phí thấp nhất khi có lưu lượng giao thơng trên tuyến đó. Trái lại,
chi phí sẽ khơng phải thấp nhất. Đặt
C = {(f, d) : ∃x ≤ 0 sao cho(1.6) và (1.7) đúng}.
Khi đó, ta có định lí sau:
Định lí 1.3.3. Một cặp véc tơ (f
∗
, d
∗
) ∈ C là một điểm cân bằng của
mạng giao thơng khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức
biến phân: Tìm (f
∗
, d
∗
) ∈ C sao cho
(c(f
∗
), λ(d
∗
)), (f, d) − (f
∗
, d
∗
) ≥ 0, ∀(f, d) ∈ C. (1.9)
Chứng minh. Điều kiện cân bằng (1.9) kéo theo rằng
[C
i
p

(f
∗
) − λ
i
w
(d
∗
)].[x
i
p
− x
i
p
∗
] ≥ 0, ∀x
i
p
≥ 0. (1.10)
Thật vậy, nếu x
i
p
∗
> 0 thì C
i
p
(f
∗
) − λ
i
w

(d
∗
) = 0 và do đó (1.10) đúng;
nếu x
i
p
∗
= 0 thì C
i
p
(f
∗
) − λ
i
w
(d
∗
) > 0, như vậy (1.10) đúng.
Bất đẳng thức (1.10) đúng với mọi p ∈ P
w
, do đó ta có thể viết

p∈P
w
[C
i
p
(f
∗
) − λ

i
w
(d
∗
)].[x
i
p
− x
i
p
∗
] ≥ 0. (1.11)
Thay thế (1.6) vào (1.11), suy ra

p∈P
w
[C
i
p
(f
∗
)(x
∗
p
− x
i
p
∗
) − λ
i

w
(d
∗
)(d
i
w
− d
i
w
∗
)] ≥ 0. (1.12)
Nhưng hệ thức (1.12) đúng với mọi phương tiện i và mọi cặp w (nguồn-
đích), nên

i,w
C
i
p
(f
∗
)(x
i
p
− x
i
p
∗
) −

i,w

λ
i
w
(d
∗
)(d
i
w
− d
i
w
∗
)] ≥ 0. (1.13)
Kết hợp (1.7), (1.8) và (1.13) ta nhận được

i,a
C
i
a
(f
∗
)(f
i
a
− f
i
a
∗
) −


i,w
λ
i
w
(d
∗
)(d
i
w
− d
i
w
∗
)] ≥ 0, ∀(f, d) ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />23
Điều này kéo theo (1.9).
Giả sử x
∗
= (f
∗
, d
∗
) ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.9)
hay (1.13), ta cần chứng minh cũng thỏa mãn điều kiện cân bằng (1.9).
Với mỗi phương tiện i và một tuyến đường p ứng với một cặp w (nguồn-
đích). Ta xây dựng một điểm chấp nhận được x sao cho
x
j
q
= x

j
q
∗
(i, q) = (i, p), x
i
p
= x
i
p
∗
.
Khi đó d
j
v
= d
j
v
∗
(j, v) = (i, w), nhưng d
i
w
= d
i
w
∗
+ x
i
p
− x
i

p
∗
. Thay thế
các giả thiết này vào (1.13), ta có
C
i
p
(f
∗
)(x
i
p
− x
i
p
∗
) − λ
i
w
(d
∗
)(d
i
w
− d
i
w
∗
)] ≥ 0. (1.14)
Bây giờ, nếu x

i
p
∗
> 0, ta có thể lựa chọn x
i
p
sao cho x
i
p
> x
i
p
∗
hoặc
x
i
p
< x
i
p
∗
và ngược lại. Khi đó, 1.14 đúng nếu C
i
p
(f
∗
) −λ
i
w
(d

∗
) = 0. Mặt
khác, nếu x
i
p
∗
= 0 thì x
i
p
≥ x
i
p
∗
. Như vậy, từ bất đẳng thức biến phân
(1.9) suy ra rằng
C
i
p
(f
∗
) ≥ λ
i
w
(d
∗
).
Ký hiệu Sol(F, C) là tập nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến
phân V I(F, C). Thơng qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc
giải bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bài
tốn sau (kí hiệu DV I(F, C)):

Tìm x
∗
∈ C sao cho F(x), x −x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Bài tốn này thường được gọi là bài tốn đối ngẫu của bài tốn bất
đẳng thức biến phân V I(F, C). Ta kí hiệu tập nghiệm của bài tốn
DV I(F, C) là Sol(F, C)
∗
. Khi đó, tính chất của tập nghiệm Sol(F, C)
và mối quan hệ của nó với tập nghiệm Sol(F, C)
∗
như nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />