Định lý Lax-Milgram và ứng dụng

LèI CÁM ƠN
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, tôi xin bày tó lòng
biet ơn sâu sac tói PGS. TS. Nguyen Năng Tâm ngưòi đã đ%nh hưóng
chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành khóa lu¾n
này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc,
các thay cô giáo trong Khoa Toán trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p.
Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia
đình, ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho
tôi trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành khoá lu¾n.
Hà N®i, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Lê Thu Phương


LèI CAM ĐOAN
Dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Nguyen Năng Tâm lu¾n văn thac
sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Đ%nh lý Lax-Milgram và úng
dung” đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n thúc cna bán thân, không
trùng vói bat cú lu¾n văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói lòng trân trong và biet ơn.
M®t so ket quá tác giá đã đưa ra dna trên nhung thành tnu khoa hoc
này.
Hà N®i, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Lê Thu Phương


Mnc lnc

Báng ký hi¾u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
v
Lài má đau................................................................................6
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%...........................................9
1.1. Không gian đ%nh chuan....................................................9
1.2. Không gian Hilbert...................................................14
1.3. Không gian Sobolev..................................................19
Chương 2. Đ%nh lý Lax-Milgram.............................................22
2.1. Bài toán bien phân....................................................22
2.1.1. Bài toán bien phân đoi xúng....................................................................23
2.1.2. Bài toán bien phân không đoi xúng.........................................................25

2.2. Đ%nh lý Lax-Milgram......................................................26
2.3. Đ%nh lý Lax-Milgram má r®ng.....................................29
2.3.1. Đ%nh lý Lax-Milgram trên không gian Banach phán xa............................29
2.3.2. Đ%nh lý Lax-Milgram trên không gian Banach.........................................34

Chương 3. M®t so Nng dnng................................................37
3.1. Úng dnng trong phương trình vi phân thưàng

37

3.2. Úng dnng trong phương trình đao hàm riêng .

42

iii

4

3.3. Úng dnng trong bat đang thNc bien phân và bài toán
toi ưu................................................................................. 52
Ket lu¾n.........................................................................................54
Tài li¾u tham kháo................................................................55


BÁNG KÝ HIfi
R

đưòng thang thnc

Rn

không gian Euclid n - chieu

∇

toán tú gradient

f : X → Y ánh xa tù X vào Y
"."V

chuan trong không gian V

inf f

c¾n dưói đúng cna ánh xa f

sup f

c¾n trên đúng cna ánh xa f

min f

giá tr% nhó nhat cna ánh xa f

max f

giá tr% lón nhat cna ánh xa f

ker f

hat nhân, hach cna ánh xa f

cl Ω

bao đóng cna t¾p Ω

clyeu∗ Ω

bao đóng yeu∗ cna t¾p Ω

div F

divergence, phân tán cna hàm vector F

ν

vector chí phương ngoài

(x∗, x)
∂u

ánh cna toán tú x∗ tai điem x
đao hàm riêng cna hàm u theo bien xi

∂xi
(x, y)

goi là tích vô hưóng cna hai nhân tú x và y

Q

chúng minh hoàn thành


LèI Mé ĐAU
Các bài toán bien phân đã xuat hi¾n tù rat lâu, thu hút đưoc sn quan
tâm cna nhieu nhà toán hoc noi tieng cna các the ký XVII – XIX và có
ánh hưóng rat lón đoi vói sn phát trien cna Giái tích toán hoc. Nhưng
phái đen the ký XX bài toán bien phân mói đưoc hình thành vói tư cách
là m®t lý thuyet toán hoc đ®c l¾p, vói nhieu hưóng nghiên cúu khác
nhau. Cho tói ngày nay nghiên cúu các bài toán bien phân chn yeu
đưoc t¾p trung vào ba van đe chính:
- Nghiên cúu đ%nh tính (đieu ki¾n can và đn đe có nghi¾m, các đ%nh
lý đoi ngau, sn ton tai nghi¾m, cau trúc t¾p nghi¾m, tính on đ%nh
nghi¾m, đ® nhay nghi¾m, . . . );
- Nghiên cúu đ%nh lưong (xây dnng các thu¾t toán tìm nghi¾m thóa

mãn các tiêu chuan cho trưóc, xác đ%nh t¾p nghi¾m, . . . );
- Úng dung (giái quyet các bài toán ve kinh te, bat đang thúc bien
phân, bài toán cân bang, phương trình vi phân, phương trình đao hàm
riêng,. . . ).
M®t trong nhung van đe quan trong cna bài toán bien phân là
nghiên cúu sn ton tai và duy nhat nghi¾m. Đã có rat nhieu các công
trình toán hoc nghiên cúu ve van đe này, trong đó phái ke đen hai nhà
toán hoc Peter
D. Lax và Arthur Milgram vói đ%nh lý Lax-Milgram, cho ta m®t đieu ki¾n
6


7

đe xác đ%nh bài toán bien phân có nghi¾m duy nhat (xem [7], [13], [14]).
Tù đ%nh lý Lax-Milgram đã đ¾t ra rat nhieu câu hói và hưóng mó r®ng
khác nhau. Trong không gian Hilbert bài toán bien phân có nghi¾m duy
nhat. Li¾u đieu này còn đúng trong không gian Banach? Đã có nhieu nhà
khoa hoc quan tâm nghiên cúu ve câu hói này và đã chúng minh đưoc
tính duy nhat nghi¾m trong không gian Banach (xem [8], [13], [14]).
Khi mó r®ng không gian cho đ%nh lý Lax-Milgram tính chat tuyen
tính cna ánh xa a(·, ·) (xem 2.2) đưoc giu nguyên. E. Zeidler đã đi
đau trong vi¾c nghiên cúu mó r®ng trong trưòng hop a(·, ·) là phi tuyen
(xem
muc 2.15 trong [19]).
Ta thay, đ%nh lý Lax-Milgram cho chúng ta m®t ket quá rat đep trong
bài toán bien phân, cũng như trong phương trình toán hoc. Như v¾y, m®t
câu hói đ¾t ra rat tn nhiên là:
Li¾u có ton tai nhung lóp hàm đn r®ng thóa mãn đ%nh lý LaxMilgram hay không?
Hay có ton tai nhung lóp hàm không thóa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý

Lax-Milgram nhưng van có ket lu¾n như the không (chính là m®t cách
mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram theo hưóng làm yeu đieu ki¾n cna toán tú
a(·, ·))?
Ngưòi đau tiên đi theo hưóng này là B. Ricceri (xem [16]), sau đó
là J. Saint Raymond (xem [15]) và Nguyen Đông Yên, Bùi Trong Kim
(xem [18]).
Ket quá đat đưoc tù đ%nh lý Lax-Milgram và các dang mó r®ng có
úng dung r®ng rãi trong nhieu lĩnh vnc toán hoc khác nhau như toi ưu


8

hóa, phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng (xem [5], [6],
[7], [8], [10]).
Đe tài “Đ%nh lý Lax-Milgram và úng dung” nham nghiên cúu hưóng
mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram tù không gian Hilbert sang không gian
Banach và các úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram trong phương trình
vi phân, phương trình đao hàm riêng, toi ưu hóa.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Chương này, ta trình bày m®t so kien thúc cơ bán ve: không gian đ%nh
chuan, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đao hàm
riêng se đưoc sú dung trong các phan sau. Ngoài ra, trong phan này còn
chúng minh m®t so bat đang thúc trong không gian Sobolev nham giái
quyet các bài toán ve úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram.

1.1. Không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.1. Không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính

đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng R cùng vói m®t
ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là "·" và đoc là chuan, thóa
mãn các tiên đe sau đây:
1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú không là
θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) "αx" = |α| "x";
3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y".
So "x" goi là chuan cúa vector x. Ta ký hi¾u không gian đ%nh chuan
là (X, "·"). Neu trên X chs trang b% m®t chuan ta có the ký hi¾u là X
9


10

Các tiên đe 1), 2), 3) goi là h¾ tiên đe chuan.
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X goi
là dãy cơ bán, neu
lim
m,n→∞

"xn − xm " = 0.

Đ%nh nghĩa 1.3. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach,
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
Đ%nh lý 1.1 (Nguyên lý ánh xa co). Cho không gian Banach V , m®t ánh
xa co T đi tù V vào chính nó, nghĩa là ton tai m®t hang so, 0 ™ M <
1 thóa mãn
"T v1 − T v2 " ™ M "v1 − v2" , ∀v1, v2 ∈ V.
Khi đó, ton tai duy nhat điem u thu®c V sao cho u = T u.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng so
thnc R. Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi là tuyen tính

neu ánh xa A thóa mãn các đieu ki¾n:
1) (∀x, xr ∈ X)A(x + xr) = Ax + Axr;
2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R)A(αx) = αAx.
Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính. Khi toán tú A
chs thóa mãn đieu ki¾n 1) thì toán tú A goi là c®ng tính, còn khi toán tú
A chs thóa mãn đieu ki¾n 2) thì A goi là toán tú thuan nhat. Khi Y =
R
thì toán tú tuyen tính A thưòng goi là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho không gian đ%nh chuan X và Y . Toán tú
tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n, neu
ton tai hang so C > 0 sao cho


"Ax" ≤ C "x" , ∀x ∈ X.
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian
đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Chuan cúa toán tú A,
kí ki¾u là "A", đưoc xác đ%nh bói
.
.
.
.
"A" = inf C > 0 "Ax" ≤ C "x" , ∀x ∈ X .
Đ%nh lý 1.2 (Tính chuan cna toán tú). Cho toán tú tuyen tính A tù
không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Neu toán
tú A b% ch¾n thì:
"A" = sup "Ax"
"x"≤1

ha
y

"Ax" = sup "Ax" .
"x"=1

Đ%nh lý 1.3 (Tính liên tuc cna toán tú ngưoc). Toán tú tuyen tính A
ánh xa không gian đ%nh chuan X lên không gian đ%nh chuan Y có
toán tú ngưoc A−1 liên tnc khi và chs khi ton tai hang so α > 0 sao
cho
Khi đó A−1 ≤

1
α

"Ax" ≥ α "x" (∀x ∈ X).
.

Đ%nh nghĩa 1.7. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Ký
hi¾u L(X, Y ) là t¾p hop tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù
không gian X vào không gian Y .
Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: Tong cna hai toán tú A, B
thu®c
L(X, Y ) là toán tú, ký hi¾u A + B, xác đ%nh bang h¾ thúc:
(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X.


Tích cna vô hưóng α ∈ R vói toán tú A ∈ L(X, Y ) là toán tú, ký
hi¾u
là αA, xác đ%nh bang h¾ thúc:
(αA)(x) = α(Ax).
De dàng kiem tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép

toán tong và tích trên đây thóa mãn h¾ tiên đe tuyen tính.
T¾p L(X, Y ) tró thành m®t không gian tuyen tính trên trưòng R.
Đ%nh lý 1.4. Neu Y là không gian Banach, thì L(X, Y ) là không
gian Banach.
Đ%nh lý 1.5 (Nguyên lý thác trien Hahn-Banach). Moi phiem hàm tuyen
tính liên tnc f xác đ%nh trên không gian tuyen tính con X0 cúa
không gian đ%nh chuan X(X0 ƒ= X), đeu có the thác trien lên toàn
không gian X vói chuan không tăng, nghĩa là có the xây dnng đưoc
phiem hàm tuyen tính liên tnc F xác đ%nh trên toàn không gian X sao
cho:
1) F (x) = f (x)(∀x ∈ X0);
2) "F "X = "f"X0 .
H¾ quá 1.1 (xem [2]). Cho Y là không gian tuyen tính con cúa không
gian đ%nh chuan X và x0 ∈ X là m®t phan tú thóa mãn đieu ki¾n
d(x0, Y ) = inf "x0 − y" = d > 0.
y∈Y

Khi đó, ton tai phiem hàm tuyen tính liên tnc f xác đ%nh trên không
gian X sao cho:
1) f (y) = 0, (∀y ∈ Y );
1
2) "f" = ;
d
3) f (x0) = 1.


Đ%nh nghĩa 1.8 (xem [2]). Cho không gian đ%nh chuan X trên trưòng
so thnc R. Ta goi không gian L(X, R) các phiem hàm tuyen tính
liên tnc trên không gian X, là không gian liên hop (hay không gian đoi
ngau) cúa không gian X và ký hi¾u X ∗ (thay cho ký hi¾u L(X, R)).

Đ%nh nghĩa 1.9. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian phán
xa, neu X = X∗∗.
H¾ quá 1.2. Không gian phán xa là không gian Banach.
Đ%nh lý 1.6. Không gian con đóng cúa m®t không gian phán xa là
không gian phán xa.
Đ%nh nghĩa 1.10 (xem [2]). Cho không gian đ%nh chuan X, X∗ là
không gian liên hop cúa không gian X. Vói moi x ∈ X ta xét ho γx tat
cá các t¾p con cúa không gian X có dang:
.
.
. X |fj (y) − fj (x)| < s, j = 1, 2,
Vx = V (x; f1, f2, ..., fn) = y ∈
.
..., n ,
trong đó n là so nguyên dương tuỳ ý, f1, f2, ..., fn là n phan tú tuỳ ý
cúa không gian X∗ , s là so dương tuỳ ý.
De dàng kiem tra ho γx có các tính
chat: 1) (∀ ∈ X)γx ƒ= ∅, ∀Vx ∈ γx =⇒
x ∈ Vx; 2) V1 ∈ γx, V2 ⊃ V1 =⇒ V2 ∈
γx;
3) ∀V1 ∈ γx, ∀V2 ∈ γx =⇒ V1 ∩ V2 ∈ γx;
4) ∀Vx ∈ γx =⇒ ∃Wx ∈ γx sao cho (∀y ∈ Wx)Vx ∈ γy .
Do đó, ton tai m®t tôpô duy nhat trên không gian X sao cho tai moi
điem x ∈ X ho γx là m®t cơ só lân c¾n cúa điem x. Tôpô này goi là
tôpô yeu trên không gian X. Ký hi¾u tôpô đó là τ (X, X∗ ).


14

Đ%nh nghĩa 1.11. Tương tn, ta có khái ni¾m cúa tôpô yeu∗ trên không

gian X∗ , kí hi¾u là τ ∗ (X ∗ , X∗∗).
Đ%nh nghĩa 1.12. Cho không gian đ%nh chuan X. Dãy (xn) ⊂ X
goi là h®i tn yeu tói phan tú x ∈ X, neu vói moi lân c¾n yeu U cúa
x, tìm đưoc so nguyên dương n0 sao cho vói moi n ≥ n0 thì xn ∈ U,
ký hi¾u:
yeu

xn −→ x(n → ∞).
Đ%nh lý 1.7. Cho không gian đ%nh chuan X. Dãy điem (xn) ⊂ X
h®i tn yeu tói điem x ∈ X khi và chs khi f (xn) → f (x) vói moi f ∈
X∗ .
Đ%nh lý 1.8. Cho không gian đ%nh chuan X. Neu dãy điem (xn) ⊂ X
h®i tn yeu thì dãy đó b% ch¾n.
Đ%nh lý 1.9. Dãy (fn) ⊂ X∗ h®i tn yeu tói f ∈ X ∗ khi và chs
khi
f (xn) → f (x) vói moi f ∈ X ∗ .
Đ%nh lý 1.10 (xem [2]). Dãy (fn) ⊂ X∗ h®i tn yeu và X là không
gian Banach, thì dãy "fn" b% ch¾n.

1.2. Không gian Hilbert
Đ%nh nghĩa 1.13. Cho không gian tuyen tính X trên trưòng so thnc R.
Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi ánh xa tù tích
Descartes X × X vào R, ký hi¾u (·, ·), thoá mãn các tiên đe:
1) (∀x, y ∈ X)(y, x) = (x, y);
2) (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ R)(αx, y) = α(x, y);


4) (∀x ∈ X)(x, x) > 0, neu x ƒ= θ (θ là ký hi¾u phan tú
không),

(x, x) = 0, neu x = θ.
Các phan tú x, y, z, ... goi là các nhân tú cúa tích vô hưóng, so (x,
y) goi là tích vô hưóng cúa hai nhân tú x và y, các tiên đe 1), 2),
3), 4) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng.
Đ%nh lý 1.11 (Bat đang thúc Schwarz). Đoi vói moi x ∈ X ta đ¾t
,
"x" = (x, x).
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bat đang thúc Schwarz
|(x, y)| ≤ "x" "y" .
,
H¾ quá 1.3. Công thúc "x" = (x, x) xác đ%nh m®t chuan trên
không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.14. Không gian tuyen tính trên trưòng so thnc R cùng
vói m®t tích vô hưóng goi là không gian tien Hilbert.
Đ%nh lý 1.12. Tích vô hưóng (x, y) là m®t hàm liên tnc cúa hai bien x
,
và y theo chuan "x" = (x, x).
Đ%nh nghĩa 1.15. T¾p H ƒ= ∅ là không gian Hilbert neu t¾p H
thóa mãn:
1) H là không gian tien Hilbert;

,
2) H là không gian Banach vói chuan "x" = (x, x), x ∈ H.
Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cúa không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con cúa không gian H.


Đ%nh lý 1.13 (F.Riesz). Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc trong không
gian Hilbert đeu có the bieu dien duy nhat dưói dang
f (x) = (x, a), x ∈ H

trong đó, phan tú a ∈ H đưoc xác đ%nh duy nhat bói phiem hàm f và
"f" = "a" .
Nh¾n xét 1.1. Tù đ%nh lý Riesz ta có moi phiem hàm tuyen tính liên
tnc f trên không gian Hilbert H tương úng m®t đoi m®t vói phan tú
a ∈ H. Tương úng này vùa tuyen tính, vùa đang cn. Vì v¾y, ta có the
đong nhat moi phiem hàm f ∈ H∗ vói phan tú a ∈ H, nghĩa là H ∗ =
H, nói m®t cách khác, không gian Hilbert H là tn liên hop.
Đ%nh nghĩa 1.16 (xem [7], [15]). M®t dang song tuyen tính a(·, ·)
trên m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan H là b% ch¾n ho¾c liên
tnc, neu
∃C < ∞ sao cho
|a(u, v)| ™ C "u"H "v"H , ∀u, v ∈ H,
và búc trên V ⊂ H, neu
∃α > 0 sao cho a(v, v) “ α "v"2H , ∀v ∈ V.
Nh¾n xét 1.2. Hang so C đưoc goi là hang so liên tnc, hang so α đưoc
goi là hang so búc. Trong lu¾n văn, khi ta nhac đen dang song tuyen
tính, liên tnc (b% ch¾n), búc thì ta m¾c đ%nh hang so liên tnc C và
hang so búc α.


Đ%nh lý 1.14. Cho H là không gian Hilbert, và giá sú rang a(·, ·) là m®t
dang song tuyen tính đoi xúng, liên tnc trên H và búc trên V ⊂ H. Khi
đó, (V, a(·, ·)) là m®t không gian Hilbert.
Chúng minh. Vì a(·, ·) là búc nên a(·, ·) xác đ%nh trên V .
,
Đ¾t "v"V = a(v, v), ∀v ∈ V thì "·"V xác đ%nh m®t chuan trên V
. Đe chúng minh đ%nh lý 1.14 ta chí can chúng minh (V, "·"V ) đay. Giá
sú rang dãy {vn} là dãy Cauchy trên (V, "·"V ).
Theo giá thiet, a búc nên {vn} cũng là dãy Cauchy trên (H, "·"H ).
Vì H là không gian đay nên ton tai v ∈ H sao cho vn → v trên chuan

"·"H . M¾t khác, V đóng trong H nên v ∈ V .
Do a(·, ·) b% ch¾n nên ton tai c1 > 0 sao cho
√
"v − vn"V ™ c1 "v − vn"H .
Do đó, vn → v trong chuan "·"V và (V, "·"V ) là không gian đay.
Đ%nh nghĩa 1.17. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không
gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tú A∗ ánh xa không
gian
Y vào không gian X goi là toán tú liên hop vói toán tú A, neu
(Ax, y) = (x, A∗y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Đ%nh lý 1.15. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó, ton tai toán tú A∗ liên
hop vói toán tú A ánh xa không gian Y vào không gian X.
Đ%nh lý 1.16. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó, toán tú liên hop A∗ vói
toán tú A cũng là toán tú tuyen tính b% ch¾n và "A∗" = "A".


Đ%nh nghĩa 1.18. Toán tú tuyen tính b% ch¾n A ánh xa không gian
Hilbert H vào chính nó goi là tn liên hop, neu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Toán tú tn liên hop còn đưoc goi là toán tú đoi xúng.
Đ%nh lý 1.17. Neu A là toán tú tn liên hop ánh xa không gian Hilbert
H vào chính nó, thì
"A" = sup |(Ax, x)| .
"x"=1

Đ%nh nghĩa 1.19. Cho không gian Hilbert H. T¾p K ⊂ H goi là t¾p
compak yeu trong không gian H, neu moi dãy vô han (xn) ⊂ K đeu
chúa dãy con h®i tn yeu trong không gian H.

Đ%nh lý 1.18. Neu t¾p K b% ch¾n trong không gian Hilbert H, thì K là
t¾p compak yeu trong không gian H.
Đ%nh lý 1.19 (Stampacchia, xem [18]). Cho H là không gian Hilbert,
K là t¾p con, loi, đóng khác rong cúa H, a(·, ·) : H × H −→ R là
m®t dang song tuyen tính sao cho ton tai hang so C > 0 và α > 0
thóa mãn:
|a(u, v)| ™ C "u" "v" ∀u, v ∈ H,
|a(u, u)| “ α

2

∀u ∈ H.

"u"
Khi đó, vói moi y ∈ H, ton tai duy nhat vector x ∈ K sao cho
a(x, xr − x) “ (y, xr − x)

∀xr ∈ K.


1.3. Không gian Sobolev
Đ%nh nghĩa 1.20 (Đao hàm suy r®ng, xem [1], [7]). α = (α1, ..., αn)
là kí hi¾u đa chs so vói αi là các so nguyên không âm, |α| = α1 + ...
α

+ αn. Giá sú ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn, khi đó ξα = ξ 1 ...ξαn . Đao hàm
(suy r®ng)
cap α đưoc kí hi¾u
là

1

n

∂
Dα = Dxα = α1 |α| αn .
∂x ...∂x
n

1

Đ¾c
bi¾t,

.
∇=

∂ , ..., ∂
.
∂x 1
∂xn

.

Đ%nh nghĩa 1.21 (xem [1]). Kí hi¾u Lp(Ω), 1 ™ p < ∞, là không
gian
đ%nh chuan bao gom tat cá các hàm u(x) khá tong cap p theo
Lebesgue trong Ω vói chuan

"u"Lp(Ω)

p 1

p
¸
=  |u| dx .
Ω

Đ¾c bi¾t, vói p = 2 thì L2(Ω) là không gian Hilbert vói tích vô hưóng,
¸
(u, v) = uv dx
Ω

và chuan tn
nhiên,



¸
"u" = 

 21
u2 dx .

Ω

Đ%nh lý 1.20 (Bat đang thúc Holder, xem [3]). Giá sú u, v là hai hàm
1 1

trong không gian L2(Ω), p và q là hai so thnc sao cho p > 1,
1.

p

+

q

=


Khi đó ta nh¾n đưoc bat đang thúc tích phân H¨older

p1 ¸
 q1
¸
¸
p
q
|uv| dx ™  |u| dx  |v| dx .
Ω

Ω

Ω

Đ%nh nghĩa 1.22 (Không gian Sobolev, xem [7]). Không gian W pm (Ω)
vói 1 ™ p < ∞ là không gian bao gom tat cá các hàm u(x) ∈
Lp(Ω), sao cho ton tai các đao hàm suy r®ng moi cap α, |α| ™ m,

thu®c Lp(Ω). Trong W m (Ω), 1 ™ p < ∞ ta trang b% chuan
p


"u"W m
p

=

(Ω)



p 1
¸ |D u(x)|
.
dx .
p α
|α|™m Ω

m
Đ¾c bi¾t, vói p = 2 thì không gian W
(Ω) là không gian Hilbert.
2
Khi
1
m = 1 ta ký hi¾u lai W
(Ω) = H1(Ω) hay
2



2
2
¸
(|∇v| + v ) dx < ∞) . Ω
H1(Ω) = v ∈ L2(Ω) .

.


Có



H 0 (Ω)
1 =

v ∈ L2(Ω)
.


.

¸
(|∇v|
Ω

2



+

v2 ) dx < ∞), v.. = 0
∂Ω


là không gian con đóng cna không gian H1(Ω). Tích vô hưóng và
chuan trong không gian H1(Ω) đưoc cho tương úng là:
¸
(u, v)H1(Ω) = (∇u∇v + uv)dx;
Ω

"v"H1(Ω)


¸
=

Ω

1

(|
2
∇v|

+ v2

(1.1)

2

)dx

.

(1.2)


Đ%nh lý 1.21 (Bat đang thúc Poincaré, xem [1]). Giá sú Ω = {x ∈ Rn
:
ai < xi < bi, i = 1, ..., n}. Neu u(x)dx = 0,
¸
thì
Ω

¸

¸

p

|u(x)| dx ™ M

p

|∇u| dx,

Ω

Ω

ó đây p “ 1, còn M là hang so không phn thu®c vào u(x).
Nh¾n xét 1.3. Neu Ω ⊂ Rn b% ch¾n thì ∀v ∈ H1(Ω)
"v"L2(Ω) ™ "v"H1(Ω) ,

(1.3)

"∇v"L2(Ω) ™ "v"H1(Ω) .

(1.4)

Chúng minh. Th¾t v¾y, ∀v ∈ H1(Ω) ta có

"v"L2(Ω) = 

¸

Ω

2 1
v2dx


¸
™

+ |∇v|

2

2 1 = "v"H1(Ω) , (1.5)
)dx

(v2
Ω

và
2 1 = "v"H1(Ω) . (1.6)
12
 (v
¸ 2
2
¸
2 
+
|∇v|


)dx
∇v
dx
™
=


"∇v"L2(Ω)

Ω

Ω


Chương 2
Đ%nh lý Lax-Milgram
Trong phan đau cna chương này trình bày bài toán bien phân đoi xúng
và nghiên cúu ve sn duy nhat nghi¾m cna bài toán bien phân đoi xúng.
Tuy nhiên, trong thnc te bên canh các bài toán bien phân đoi xúng thì
có m®t lưong lón các bài toán, úng dung vói đieu ki¾n là không đoi xúng.
Phan chính trong chương này t¾p trung nghiên cúu đ%nh lý Lax-Milgram
cho bài toán bien phân đoi xúng, bài toán bien phân không đoi xúng
trong không gian Hilbert và m®t so hưóng mó r®ng trong không gian
Banach.

2.1. Bài toán bien phân
Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trưòng so thnc. Ta biet
rang, rat nhieu bài toán trong thnc te cũng như trong lý thuyet se
dan đen bài toán quen thu®c: cho A là toán tú tuyen tính tù H vào
chính nó, vói moi điem y thu®c H tìm x thu®c H sao cho
Ax = y.

22

(2.1)


23

Ve m¾t tong quát, vi¾c giái phương trình (2.1) là không he đơn gián và
không phái lúc nào phương trình cũng có nghi¾m. Nên ta thưòng chuyen

phương trình (2.1) ve dang yeu hơn đe nghiên cúu, cu the, ta nhân vô
hưóng cá hai ve cna phương trình (2.1) vói moi v thu®c H. Khi đó, ta
nh¾n đưoc bài toán yeu hơn, tìm x thu®c H sao cho
(Ax, v) = (y, v), ∀v ∈ H.

(2.2)

Đ%nh nghĩa 2.1. Bài toán tìm x thu®c H thoá mãn (2.2) đưoc goi là
bài toán bien phân.
Bang cách tong quát hoá, ta đ%nh nghĩa bài toán bien phân đoi xúng
và bài toán bien phân không đoi xúng m®t cách cu the trong muc 2.1.1
và muc 2.1.2.
2.1.1. Bài toán bien phân đoi xNng
Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trưòng so thnc, V là không
gian con đóng cna H, V

∗

là không gian đoi ngau cna V và a(·, ·) là

dang song tuyen tính đoi xúng, b% ch¾n, búc trên V . Bài toán bien
phân đoi xúng là bài toán 2.1
Bài toán 2.1 (Bài toán bien phân đoi xúng). Cho F ∈ V ∗, tìm u ∈ V
sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V .
Ví dn 2.1. Cho H = R2, V = R vói tích vô hưóng và chuan
Euclide, vói moi x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 ta đ¾t
a(x, y) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + x2y2,

(2.3)