Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

LèI CÁM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, tôi xin bày
tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS.TS. Nguyen Năng Tâm ngưòi đã đ%nh
hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành
khóa lu¾n này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc,
các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p và làm
lu¾n văn.
Cuoi cùng, tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè, đong nghi¾p đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe
tôi hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 11 năm 2011

Tran Th% Thu Hien


LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Nguyen Năng Tâm lu¾n
văn Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Nón ti¾m c¾n,
hàm ti¾m c¾n và úng dung” đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n thúc
cna bán thân, không trùng vói bat cú lu¾n văn nào khác.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tna
cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 11 năm 2011

Tran Th% Thu Hien

Mnc lnc

Báng kí hi¾u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Má đau

6

Chương 1. T¾p loi và hàm loi

8

1.1

T¾p loi và các tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Hàm loi............................................................................................14

Chương 2. Hàm ti¾m c¾n và nón ti¾m c¾n

8

21

2.1 Đ%nh nghĩa nón ti¾m c¾n.........................................................21
2.2 Tính đoi ngau cna nón ti¾m c¾n...............................................29
2.3 Tiêu chuan ve tính đóng..............................................................30
2.4 Hàm ti¾m c¾n..............................................................................36
2.5 Phép tính vi phân ó vô cnc.........................................................53
Chương 3. SN ton tai nghi¾m và tính on đ%nh trong bài toán
toi ưu

57

3.1 Các bài toán búc...........................................................................57
3.2 Hàm búc yeu..................................................................................62
3.3 Sn ton tai nghi¾m toi ưu.............................................................71
3.4 Tính on đ%nh cho các bài toán có ràng bu®c.........................75
Ket lu¾n.................................................................................................79
Tài li¾u tham kháo..............................................................................80


BÁNG KÍ HIfiU

R

đưòng thang thnc

R

đưòng thang thnc mó r®ng

Rn

không gian Euclid n - chieu

(x, y) tích vô hưóng cna x và y
"x"

chuan cna x

conv C bao loi cna t¾p C
af C bao affine cna t¾p C
pos C bao dương cna t¾p
C
intC
C

phan trong cna t¾p C
bao đóng cna t¾p C

ri C phan trong tương đoi cna t¾p C
ext C t¾p các điem biên cna t¾p C
extray Ct¾p các tia cnc biên cna t¾p
C σChàm giá cna t¾p C
δC hàm chí cna t¾p
C γChàm cõ cna t¾p C
K∗ nón cnc cna K
M⊥

phan bù trnc giao cna M


5

f∗ , f ∗∗ liên hop, liên hop b¾c hai cna f
lev(f, λ) t¾p múc cna hàm f
inf f c¾n dưói đúng cna hàm f
sup f c¾n trên đúng cna hàm f
min f giá tr% nhó nhat cna hàm
f max f

giá tr% lón nhat cna

hàm f Ker fhat nhân, hach cna
hàm f rge f

ánh cna hàm f

dom f mien huu hi¾u cna hàm f
epi f trên đo th% cna hàm f
∂f
đao hàm riêng cna hàm f theo bien xi
∂xi
∇f (x)

gradient cna f

C∞ nón ti¾m c¾n cna t¾p C
f∞

hàm ti¾m c¾n cna hàm

f Cf không gian hang cna f

Kf

nón ti¾m c¾n cna f

Lf không gian tuyen tính cna f
adc hang so theo phương ti¾m c¾n
als

hàm on đ%nh múc ti¾m c¾n.


Mé ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Giái tích loi đóng vai trò quan trong trong vi¾c nghiên cúu lý
thuyet các bài toán cnc tr% và các ngành toán hoc úng dung có sú
dung công cu giái tích và không gian tuyen tính. Sn tách t¾p loi và
bien đoi liên hop Legendre-Fenchel là nhung khái ni¾m cơ bán có tính
cơ só dan tói sn thành công cna giái tích loi. Hai khái ni¾m cơ bán
khác góp phan làm cho giái tích loi tró thành công cu giái tích tuy¾t
vòi là khái ni¾m cna nón ti¾m c¾n và hàm ti¾m c¾n.
Do đó, đưoc sn goi ý cna các thay giáng day chuyên ngành Toán
giái tích cùng vói sn giúp đõ cna thay Nguyen Năng Tâm, tôi chon đe
tài “Nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n và úng dung” đe nghiên cúu.
2. Mnc đích nghiên cNu
Nam đưoc các khái ni¾m và úng dung cna nón ti¾m c¾n và hàm
ti¾m c¾n đe bo sung kien thúc, cnng co và hieu biet sâu hơn ve Toán
giái tích và úng dung cna nó.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu ve nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n và úng dung.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n và m®t so úng dung.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Tìm hieu các thông tin trong sách báo liên quan đen n®i dung
nghiên cúu.
- Sú dung các phương pháp cna giái tích và đai so tuyen tính.
- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.


7

6. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
Trình bày đưoc m®t cách có h¾ thong các kien thúc cơ bán ve
nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n và m®t so tính chat. Nghiên cúu đưoc
m®t so úng dung cna nón ti¾m c¾n và hàm ti¾m c¾n trong giái tích
bien phân và toi ưu hóa.


Chương 1
T¾p loi và hàm
loi
Tính loi đóng m®t vai trò cơ bán trong các bài toán toi ưu.
Chương này trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá cơ bán ve t¾p loi,
hàm loi.

1.1

T¾p loi và các tính chat

Đ%nh nghĩa 1.1.1. T¾p C ⊂ Rn loi neu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1] thì

tx + (1 − t)y ∈ C.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Giao cna tat cá các t¾p loi chúa t¾p C ⊂ Rn đưoc
goi là bao loi cna C, kí hi¾u conv C.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. T¾p C ⊂ Rn đưoc goi là đa tap affine neu
∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C.
Tù đ%nh nghĩa ta có Rn, các điem, các đưòng thang và các siêu
phang trong Rn là các đa tap affine. Đa tap affine đóng và loi.
M¾nh đe 1.1.1. (Xem [4])
Cho C là t¾p con khác rong trong Rn. Các m¾nh đe sau tương đương
(a) C là đa tap affine.
(b) C = x + M = {y | y − x ∈ M}, M là không gian con.
(c) C = {x | Ax = b}, A ∈ Rm×n, b ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Giao cna tat cá các t¾p affine chúa t¾p C ⊂ Rn
đưoc goi là bao affine cna C, kí hi¾u af A.


9

Nh¾n xét 1.1.1. af A là t¾p affine nhó nhat chúa A.
M¾nh đe 1.1.2. (Xem [4]) Giá sú C ⊂ Rn khi đó,
(a) conv C là to hop loi cúa các phan tú thu®c C, túc là,
m

m

. ti = 1}.
conv C = { . tixi | xi ∈ C, ti ≥
i=1 0,
i=1

(b) af C là m®t đa tap affine và conv C ⊂ af C.
(c) af C = af(conv C).
M¾nh đe 1.1.3. (Xem [4])
Cho {Ci | i ∈ I} là ho các t¾p loi Ci ⊂ Rni ta có:
(a) C1 × · · · × Cm loi trong Rn1 × · · · × Rnm.
T
(b)
Ci loi vói ni = n, ∀i.
i∈I

m
.

(c
Ci loi vói ni = n, ∀i.
) i=1
(d) Ánh cúa t¾p loi qua ánh xa tuyen tính là m®t t¾p loi.
Đ%nh lý 1.1.1. (Đ%nh lý Caratheodory) (Xem [2])
Cho C ⊂ Rn, khi đó ∀x ∈ conv C là to hop loi cúa không quá n + 1
điem khác nhau cúa C, túc là ∃a0, ..., am ∈ C và λ0, ..., λm ≥ 0 vói m
≤ n sao cho

m
.
i=1

m

λi = 1 và x =

.

λ ia i .

i=1

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi, các t¾p
int C = {x ∈ Rn | ∃ε > 0, x + εB ⊂
\
C} C = (C + εB)
ε>0

lan lưot đưoc goi là phan trong và bao đóng cna C.
Đ%nh nghĩa 1.1.6. Phan trong tương đoi cna C ⊂ Rn là phan trong
cna C trong af C, kí hi¾u ri C
ri C = {x ∈ af C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ af C ⊂ C}.


Nh¾n xét 1.1.2. x ∈ ri A ⇔ ton tai lân c¾n mó V cúa x trong Rn
sao cho V ∩ af A ⊂ A.
Ví dn 1.1.1. Trong R2, A = [a, b], khi đó ri A = (a, b).
M¾nh đe 1.1.4. (Xem [4])
Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Khi đó
(a) ri C ƒ= ∅ và af C = C.
(b) Neu x ∈ C và y ∈ C thì
tx + (1 − t)y ∈ ri C,

∀t ∈ [0, 1]

và do đó ri C loi.

(c) C = ri C, ri C = ri C.
M¾nh đe 1.1.5. (Xem [4])
Cho C, D là hai t¾p loi trong Rn. Khi đó, vói α, β ∈ R
ri(αC + βD) = α ri C + β ri D.
Vì v¾y, vói α = −β = 1, ta có
0 ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D ƒ= ∅.
M¾nh đe 1.1.6. (Xem [4])
Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Khi đó
(a) ri C ⊂ C ⊂ C.
(b) C = C; ri(ri C) = ri C.
(c) A(C) ⊂ A(C) và ri A(C) = A(ri C)
trong đó A : Rn → Rn là ánh xa tuyen tính.
Hơn nua, A−1(S) = {x ∈ Rn | A(x) ∈ S} là ngh%ch ánh cúa A vói S ⊂
Rn .
Khi đó, neu A−1(ri C) ƒ= ∅ thì
ri(A−1C) = A−1(ri C);

A−1(C) = A−1(C).


Đ%nh nghĩa 1.1.7. T¾p K ⊂ Rn đưoc goi là nón neu
∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K.
Neu K là nón và là t¾p loi thì ta nói K là nón loi.
Ví dn 1.1.2. Các t¾p sau đây trong Rn
{x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, ..., n}
{x ∈ Rn | xi > 0, i = 1, ..., n}
là các nón loi.
M¾nh đe 1.1.7. (Xem [4])
Giá sú K ⊂ Rn, các m¾nh đe sau tương đương
(a) K là nón loi;

(b) K là nón thóa mãn K + K ⊂ K.
Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho K ⊂ Rn, nón cnc cna K là m®t nón đưoc xác
đ%nh
K∗ = {y ∈ Rn | (y, x) ≤ 0, ∀x ∈ K}.
Lưõng cnc (hay là song cnc) cna K là nón K∗∗ = (K∗)∗.
Tính trnc giao cna các không gian con là m®t trưòng hop đ¾c
bi¾t cna cnc cna nón. Cho M là không gian con cna Rn
M ∗ = M ⊥ = {y ∈ Rn | (y, x) = 0, ∀x ∈ M}.
M¾nh đe 1.1.8. (Xem [4])
Cho K ⊂ Rn, nón cnc K ∗ đóng, loi và K∗∗ = conv K. Neu K
đóng và loi thì K∗∗ = K.
M¾nh đe 1.1.9. (Xem [4])
Cho K ⊂ Rn là nón loi. Khi đó
int K ƒ= ∅ ⇔ K∗ là nón nhon .


Đ%nh nghĩa 1.1.9. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi khác rong, nón pháp tuyen
cna C tai x, kí hi¾u NC (x) đưoc đ%nh nghĩa

 {v ∈ Rn | (v, x − x) ≤ 0 ∀x ∈ C} neu x ∈ C
NC (x) =
.
∅
neu x ∈/ C
Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi khác rong, nón tiep tuyen
cna C tai x, kí hi¾u TC (x) đưoc đ%nh nghĩa
TC (x) = {d ∈ Rn | ∃ t > 0, x + td ∈ C}.
Vói x ∈ C, nón NC (x) và TC (x) là cnc cna nhau.
M¾nh đe 1.1.10. (Xem [4])
Nón Ki ⊂ Rn, i = 1, ..., n. Khi

đó
(a) K1 ⊂ K2 ⇒ K ∗ ⊂
K∗
2

(b) K = K1 + K2 ⇒ K

và K∗∗ ⊂ K∗∗ .
1
∗

= K

1
∗

2
∗

∩K .

1
2
(c) K = K1 ∩ K2 vói K1, K2 đóng ⇒ K ∗ = K ∗
1
Neu 0 ∈ int (K1 − K2) thì K ∗ = K ∗ + K ∗
1
2
(d)

+ K∗ .
2

Vói ho nón {Ki | i ∈ I} trong Rn
[
\
∗
K=
Ki ⇒ K = i K ∗ .
i∈I

i∈I

(e) Cho A : Rn → Rn là ánh xa tuyen tính và K là nón loi đóng cúa
Rn. Khi đó
{x|Ax ∈ K}∗ = {AT y | y ∈ K}.
Neu 0 ∈ int (K − rge A) trong đó rge A = {Ax | x ∈ Rn} thì
{x | Ax ∈ K}∗ = {AT y | y ∈ K}.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Nón K ⊂ Rn đưoc goi là sinh huu han neu nó viet
đưoc dưói dang
p
.
tpap | ai ∈ Rn, ti ≥ 0, i = 1, ..., p}.
K ={
i=1


Đ%nh nghĩa 1.1.12. Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Ta nói véc
tơ d là m®t phương lùi xa cna C neu
x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.

T¾p tat cá các phương lùi xa cna C đưoc goi là nón lùi xa cna C và
đưoc ký hi¾u là o+(C). V¾y
o+(C) = {d ∈ Rn | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.
Ví dn 1.1.3. Xét t¾p C = {(x1, x2) | x1 > 0, x2 > 0} ∪ {(0, 0)}.
Khi đó, d = (d1, d2) ∈ o+(C) ⇔ x + λd ∈ C, ∀λ > 0, ∀x = (x1, x2) ∈
C.


 x + λd >
1
1
0
 
x + λd >
2

2

0
⇔  

 x1 + λd1 =
0

 x + λd =
2
2

⇔


d >0
1

d >0
2




⇒ o+(C) = C

  d1 = 0

d =0
2

0
M¾nh đe 1.1.11. (Xem [2])
Cho C là t¾p loi đóng khác rong. Lúc đó, o+(C) là nón loi đóng
và (a) d ∈ o+(C) ⇔ ∃x0 ∈ C, ∀λ > 0 : x0 + λd ∈ C.
T
(b) o +(C) =
λ(C − x0); vói moi x0 ∈ C.
λ>0

Đ%nh nghĩa 1.1.13. Cho C ⊂ Rn là t¾p khác rong, nón nhó nhat chúa
C đưoc goi là bao dương (hay bao conic) cna C, kí hi¾u pos C
pos C = {λx | x ∈ C, λ > 0} ∪ {0}.
Bao dương pos C cũng đưoc goi là nón sinh bói C.

Đ%nh nghĩa 1.1.14. T¾p P ⊂ Rn đưoc goi là t¾p đa di¾n neu nó có
dang
P = {x ∈ Rn | (ai, x) ≤ bi, i = 1, ..., p}
trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R, i = 1, ..., p.
Khi bi = 0, ∀i = 1, ..., p thì P đưoc goi là nón đa di¾n.


Đ%nh nghĩa 1.1.15. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi khác rong. T¾p F ⊂ C
đưoc
goi là m¾t (hay di¾n, be m¾t) cna C neu
∀x, y ∈ C, F ∩ [x, y] ƒ= ∅ thì [x, y] ⊂ F.
Đ%nh nghĩa 1.1.16. Điem z ∈ C đưoc goi là biên cna C neu {z} là
m¾t, túc z không the viet đưoc dưói dang
z = λx + (1 − λ)y, x, y ∈ C, x ƒ= y, λ ∈ (0, 1).
T¾p các điem biên cna C, kí hi¾u ext C.
Đ%nh nghĩa 1.1.17. Tia cnc biên cna C là hưóng cna núa đưòng
thang là m¾t cna C.
T¾p các tia cnc biên cna C kí hi¾u là extray C.
Đ%nh lý 1.1.2. (Đ%nh lý Krein - Milman) (Xem [4])
Cho C là t¾p loi đóng khác rong không chúa đưòng thang nào. Khi đó
C = conv(ext C ∪ extray C).
Đ%nh lý 1.1.3. (Đ%nh lý Minkowski) (Xem [4]) Cho C là t¾p loi
compact khác rong trong Rn. Khi đó
C = conv(ext C).

1.2

Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho f : Rn → R, các t¾p

dom f = {x ∈ Rn | f (x) < ∞}
epi f = {(x, α) ∈ Rn × R | f (x) ≤ α}
đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cna f .


Đ%nh nghĩa 1.2.2. Hàm f đưoc goi là chính thưòng neu dom f ƒ=
∅ và
f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn.
Trái lai, f đưoc goi là phi chính.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Vói moi α ∈ R ta goi t¾p hop sau là t¾p múc cna f
lev(f, α) = {x ∈ Rn | f (x) ≤ α}.
Cho f : Rn → R, kí hi¾u
inf f = inf{f (x) | x ∈ Rn}
argmin f = argmin{f (x) | x ∈ Rn}
= {x ∈ Rn | f (x) = inf f}.
Đ%nh lý 1.2.1. (Xem [4])
Cho f : Rn → R, các m¾nh đe sau tương đương:
(a) f núa liên tnc dưói trên Rn;
(b) epi f là t¾p đóng trong Rn × R;
(c) T¾p múc lev(f, α) đóng trong Rn, ∀α ∈ R.
Đ%nh nghĩa 1.2.4. Bao đóng cna hàm f , kí hi¾u là f , đưoc xác đ
%nh sao cho
epi(f ) = epi f.
Đ%nh nghĩa 1.2.5. Hàm f : Rn → R đưoc goi là loi neu epi f là t¾p
loi khác rong trong Rn × R.
Hàm f đưoc goi là lõm neu −f loi.
Đ%nh lý 1.2.2. (Xem [2])
Hàm f : Rn → R đưoc goi là loi khi và chí khi
∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1) ⇒ f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f
(y).

Đ%nh lý 1.2.3. (Bat đang thúc Jensen) (Xem [2])
Cho f : Rn → R. Khi đó f là hàm loi khi và chí khi ∀λi ≥
.
0, i = 1, ...,m m,
λi = 1, ∀xi ∈ Rn
i=1

f (λ1x1 + · · · + λmxm) ≤ λ1f (x1) + · · · + λmf (xm).
Ví dn 1.2.1. Hàm chí δC (.) cna t¾p loi C ⊂ Rn là hàm loi

0
neu x ∈ C
δC (x) = 
 +∞ neu x ∈/ C
Th¾t v¾y, vói ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1) ta có

0
neu tx + (1 − t)y ∈ C
δC (tx + (1 −
 +∞ neu tx + (1 − t)y ∈/ C
t)y) =
- Neu x, y ∈ C thì δC (x) = δC (y) = 0.
Vì C loi nên tx + (1 − t)y ∈ C ⇒ δC (tx + (1 − t)y)
= 0. Do đó, δC (tx + (1 − t)y) = tδC (x) + (1 −
t)δC (y).
y ∈/ C

 x ∈ C, y

thì
Neu ∈/ C

x ∈/ C, y ∈ C
δC (tx + (1 − t)y) = +∞ và tδC (x) + (1 − t)δC (y) = +∞
 x,

V¾y
δC (tx + (1 − t)y) = tδC (x) + (1 − t)δC (y) vói ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈
(0, 1)
Suy ra, hàm chí δC (.) là hàm loi.
Đ%nh nghĩa 1.2.6. Hàm f : Rn → R đưoc goi là núa liên tuc dưói (lsc)
tai x neu
f (x) lim inf f (y).
≤ y→x
f đưoc goi là núa liên tuc dưói neu nó núa liên tuc dưói tai moi x ∈ Rn.


M¾nh đe 1.2.1. (Xem [4])
Hàm loi f : Rn → R ∪ {+∞} núa liên tnc dưói tai x mà f (x) < ∞
khi và chí khi f (x) = f (x).
M¾nh đe 1.2.2. (Xem [4])
Cho fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 1, ..., p là m®t dãy các hàm loi
p

chính
thưòng.
Neu

T

ri(domfi) ƒ= ∅ thì

i=1

f1 + · · · + fp = f1 + · · · + fp .
Đ%nh nghĩa 1.2.7. Cho f : Rn → R, bao loi cna f kí hi¾u là conv
f
đưoc xác đ%nh như sau
conv f (x) = inf{r ∈ R | (x, r) ∈ conv(epi f )}
n+1

n+
1

n+
1

t f (xi) . tixi = x, xi ∈
= inf
{ . i
dom f,
i=1 |

. ti = 1}.

i=1

n

Đ%nh nghĩa 1.2.8. Cho f : R → R ∪ {+∞}, hàm f
∪ {+∞}
đưoc xác đ%nh

i=1
∗

: Rn → R

f ∗ (y) = sup{(x, y) − f (x)}
x

đưoc goi là hàm liên hop cna f .
Hàm liên hop b¾c hai cna f đưoc xác đ%nh
f ∗∗ (x) = sup{(x, y) − f ∗ (y)}.
y

Nh¾n xét 1.2.1. (Xem [4]) Tù đ%nh nghĩa ta có
(x, y) ≤ f (x) + f ∗ (y) ∀x ∈ dom f, y ∈ dom f ∗
Bat đang thúc trên goi là bat đang thúc Fenchel.
Khi conv f chính thưòng, luôn có f ∗ và f ∗∗ chính thưòng, núa liên
tnc dưói, loi và có quan h¾ sau
f ∗∗ (x) = conv f ; f ∗∗ ≤ f.


Đ%nh lý 1.2.4. (Fenchel-Moreau) (Xem [4])
Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm loi. Khi đó hàm liên hop f ∗ chính
thưòng, núa liên tnc dưói và loi khi và chí khi f chính thưòng.
Hơn nua,
(f )∗ = f ∗

và f ∗∗ = f.

Đ%nh nghĩa 1.2.9. Giá sú fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 1, ..., m là các
hàm chính thưòng, tong ch¾p infimal cna f1, ..., fm là hàm h đưoc xác
đ%nh
m
.
h(x) = (f1⊕· · ·⊕fm)(x) = inf{f1(x1)+· · ·+fm(xm) |
xi =
x} ∀x ∈ Rn.
i=1

Đ%nh nghĩa 1.2.10. Cho hàm f : Rn → R khá vi, gradient cna f tai x
kí hi¾u ∇f (x) đưoc xác đ%nh
∇f (x) = ( ∂f , · · · ∂f
(x)
(x) ,
).
∂xn
∂x1
Đ%nh nghĩa 1.2.11. Cho hàm f : Rn → R là hàm loi, x ∈ Rn, f (x) <
∞, dưói gradient cna hàm f tai x là véc tơ g ∈ Rn sao cho
f (y) − f (x) ≥ (g, y − x) ∀y ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.2.12. T¾p tat cá dưói gradient cna f tai x đưoc goi là
dưói vi phân cna f tai x ∈ Rn, kí hi¾u ∂f (x). Túc là,
∂f (x) = {g ∈ Rn | f (y) − f (x) ≥ (g, y − x) ∀y ∈ Rn}.
Đ%nh nghĩa 1.2.13. Hàm f đưoc goi là khá dưói vi phân neu ∂f (x) ƒ=
∅.
M¾nh đe 1.2.3. (Xem [4])

Cho hàm f : Rn → R là hàm loi, chính thưòng. Khi đó
∂f (x) ƒ= ∅, b% ch¾n ⇔ x ∈ int (dom f ).
Đ%nh nghĩa 1.2.14. Cho C là t¾p khác rong trong Rn đ%nh nghĩa hàm
σC : Rn → R ∪ {+∞} như sau:
σC (d) = sup{(x, d) | x ∈ C}


đưoc goi là hàm giá cna C.
Đ%nh nghĩa 1.2.15. Mien xác đ%nh cna σC đưoc đ%nh nghĩa bói
dom σC = {x ∈ Rn | σC (x) < ∞}
đưoc goi là nón chan cna C, kí hi¾u là b(C).
Đ%nh nghĩa 1.2.16. Hàm π : Rn → R ∪ {+∞} thuan nhat dương neu
0 ∈ dom π và π(λx) = λπ(x), ∀x, ∀λ > 0.
M¾nh đe 1.2.4. (Xem [4]) Cho C là t¾p khác rong trong Rn, hàm tna
σC có các tính chat sau:
(a) σC là hàm loi, thuan nhat dương và núa liên tnc dưói.
(b) Nón chan dom σC là nón loi.
(c) σC = σC = σconv C = σconv C .
(d) σC < +∞ ⇔ C b% ch¾n.
(e) Neu C loi thì σC = σri C .
Đ%nh lý 1.2.5. (Xem [4])
Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn và
B(d) = σC (d) + σC (−d), d ∈ Rn
Khi đó, B(d) ≥ 0 và
(a) x ∈ af f C ⇔ (x, d) = σC (d), ∀d vói B(d) = 0.
(b) x ∈ ri C ⇔ (x, d) < σC (d), ∀d vói B(d) > 0.
(c) x ∈ int C ⇔ (x, d) > σC (d), ∀d ƒ= 0.
(d) x ∈ C ⇔ (x, d) ≤ σC (d), ∀d.
Nh¾n xét 1.2.2. (Xem [4])
Giá sú C ⊂ Rn, δ(., C) là hàm chí cúa t¾p C. Khi đó

Cδ(x)
∗

= sup{(y, x) − δC (y)}
y

= sup (y, x) = σC (x).
y∈C


Do đó, σ∗ (.) = (δ∗ )(.))∗ = δC
(.) = δ
C

C

(.).
C

Neu C là t¾p loi đóng thì
C
σ
∗

(.) = δC (.).

Giái tích loi xuat hi¾n như m®t công cu có sn ánh hưóng manh
me tói sn phát trien cna toi ưu hóa và giái tích bien phân. Các ket quá
đưoc đưa ra m®t cách tong quát trong chương này nham muc đích
giói thi¾u các kien thúc can thiet cna giái tích loi se đưoc sú dung

trong lu¾n văn này. Phan chi tiet và chúng minh cho các ket quá trong
chương này có the tham kháo thêm trong tài li¾u so [1], [2] và [3].


Chương 2
Hàm ti¾m c¾n và nón ti¾m c¾n
Cho m®t t¾p con cna Rn chúng ta quan tâm tói vi¾c nghiên
cúu dáng đi¾u cna nó ó vô t¾n. Đieu này dan tói khái ni¾m cna nón
ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n thông qua trên đo th% cna nó. Sú dung giái
tích thnc cơ bán và các khái ni¾m hình hoc chúng ta phát trien m®t
công cu toán hoc đay đn đe xú lý dáng đi¾u ti¾m c¾n cna t¾p, hàm
và các phép toán hàm cám sinh.

2.1

Đ%nh nghĩa nón ti¾m c¾n

Trưóc tiên ta nhac lai m®t so khái ni¾m sau:
Dãy xk trong Rn đưoc goi là h®i tu tói x neu
"xk − x" → 0 khi

k→∞

Kí hi¾u: xk → x ho¾c lim xk = x.
k→∞

Điem x đưoc goi là điem tu cna dãy {xk} neu ton tai dãy con cna
dãy {xk} h®i tu tói x.
M®t dãy trong Rn h®i tu tói x khi và chí khi dãy đó b% ch¾n và x
là điem tu duy nhat cna nó.

Cho {xk} là m®t dãy trong Rn. Chúng ta quan tâm tói vi¾c làm
the nào đe giái quyet các trưòng hop khi dãy {xk} không b% ch¾n. Đe
dan tói m®t vài tính chat h®i tu chúng ta xét phương dk = xk "xk"

−1

.

Tù đ%nh lý Bolzano-Weierstrass trong giái tích co đien suy ra ton


22

tai dãy con h®i tu
d = lim
k→∞

dk, K ⊂ N, d ƒ= 0.

Giá sú dãy {xk} thóa mãn "xk" → +∞.
Khi đó, ∃tk = "xk" , k ∈ K ⊂ N sao cho
lim t = + và lim
∞
k→∞ k
k→∞

xk
tk

= d.

Đieu này dan chúng ta tói khái ni¾m sau.
Đ%nh nghĩa 2.1.1. Dãy {xk} ⊂ Rn đưoc goi là h®i tu tói phương d ∈
Rn
neu
xk
∃{tk}, tk → +∞ sao cho lim
= d.
k→∞

k

Đ%nh nghĩa 2.1.2. Cho C là t¾p khác rong trong Rn. Khi đó nón ti¾m
n

c¾n cna t¾p C, kí hi¾u C∞, là t¾p hop các véc tơ d
∈R
phương cna dãy {xk} ⊂ C. Túc là,
C∞ = {d ∈
R

n

là giói han theo

xk

| ∃tk → +∞, ∃xk ∈ C vói

lim

k→∞

k

= d}.

Ví dn 2.1.1. Cho C là t¾p loi đa di¾n, C = {x ∈ Rn | Ax ≤ b},
trong đó A là ma tr¾n cap (m × n) và b ∈ Rn. Ta có
xk = d.
d ∈ C∞ ⇔ ∃tk → +∞, ∃xk ∈ C vói lim
k→∞

k

Lay xk ∈ C, khi đó vói ∀k ∈ N : tk → +∞, ta có
xk ∈ C ⇔ Axk ≤ b ⇔ A(t−1xk) ≤ t−1b.
k

k

Chuyen qua giói han trong bat đang thúc trên ta có Ad ≤ 0.
V¾y C∞ = {d ∈
R

n

| Ad ≤ 0}.

Tù đ%nh nghĩa ta suy ra các ket quá sau.

M¾nh đe 2.1.1. Cho C ⊂ Rn, C ƒ= ∅. Khi đó,
(a) C∞ là nón đóng.
(b) (C¯∞ = C∞ .
)
(c) Neu C là nón thì C∞ = C.
= {0}.
n
M¾nh đe 2.1.2. T¾p C ⊂ R b% ch¾n khi và chí khi C
∞

Chúng minh. Neu C b% ch¾n thì hien nhiên C∞ = {0}.
Ngưoc lai, neu C∞ = {0}.
Giá sú C không b% ch¾n, khi đó ∃{xk} ⊂ C, xk ƒ= 0
∀k ∈ N : tk = "xk " → +∞.
Do đó,
dk = xk "xk"

−1

∈ {d | "d" = 1}.

Suy ra, ton tai dãy con cna {dk} sao cho
lim dk = d, K ⊂ N và "d" = 1.
k∈K

Theo đ%nh nghĩa dk ∈ C∞ và dk ƒ= 0 ⇒ trái giá thiet C∞ =
{0}. V¾y C b% ch¾n.
Khái ni¾m sau se giúp chúng ta đơn gián hóa đ%nh nghĩa cna

C∞
trong trưòng hop đ¾c bi¾t C ⊂ Rn loi.
Đ%nh nghĩa 2.1.3. Cho C ⊂ Rn, C ƒ= ∅ và đ%nh nghĩa
xk
C 1 = {d ∈ Rn | ∀tk → +∞, ∃xk ∈ C vói lim
= d}
∞
→∞ t
k
1

C ti¾m c¾n đeu neu C∞ = C∞.
M¾nh đe 2.1.3. Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Khi đó, C ti¾m
c¾n đeu túc C ∞ = C∞1 .
1

1

Chúng minh. Tù đ%nh nghĩa cna C∞, C∞ ta có C∞ ⊂ C∞.
Lay bat kỳ d ∈ C∞ ⇒ ∃{xk} ∈ C, ∃sk → ∞ sao cho
d = lim
k→∞

sk−1xk.


Lay x ∈ C và đ¾t dk = sk−1(xk − x). Khi đó, ta có
lim
k→∞

dk = d; x + skdk ∈ C.

Lay {tk} là m®t dãy bat kì sao cho lim tk = +∞.
k∈K

Vói m co đ%nh m ∈ N, ∃k(m) vói lim k(m) = +∞,
m →∞

sao cho tm ≤ sk(m). = x +
Vì C loi nên xrm tm d

k(m).

Do đó,
lim
m→∞

tr −1x =
lim
m

m→∞

t−1(x + t
d
m

) = d.

m k(m)

m

Suy ra d ∈ C 1 . V¾y C 1 = C .
∞

∞

∞

Nh¾n xét 2.1.1. Chú ý, đieu ngưoc lai chưa chac đúng túc neu C ti¾m
c¾n đeu thì chưa chac C loi. Ví dn C = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤
4}. Ta có C b% ch¾n nên theo m¾nh đe 2.1.2 C = C 1 = {0},
nhưng
∞
∞
C không phái là t¾p loi.
M¾nh đe 2.1.4. Cho C ⊂ Rn, C ƒ= ∅ và t¾p chuan hóa, kí hi¾u
CN đưoc xác đ%nh
CN = {d ∈ Rn | ∃{xk} ∈ C, "xk" → +∞ vói

xk

= 1}.

lim
k→∞

"xk"

Khi đó, C∞ = pos CN .
Chúng minh. Ta luôn có pos CN ⊂
C∞.
Ngưoc lai, lay bat kì d ƒ= 0, d ∈ C∞ ⇒ ∃tk → +∞, ∃xk ∈ C sao
cho
d = lim t−1xk =
lim

t−1 "xk "

x

,

vói "xk" → ∞.


k→∞

k

k→∞

k

"xk"

Vì v¾y dãy {tk−1 "xk"} là dãy b% ch¾n không âm.
Do đó, tù đ%nh lý Bozano-Weierstrass suy ra ton tai dãy con