Phương pháp NewTon - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Tran Th% Phương Lan

PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON
GIÁI Hfi PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC
Chuyên ngành: Giái tích
Mã so: 60 46 01

Ngưài hưáng dan: TS. Nguyen Văn
Hùng

Hà N®i - 2010


LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham
Hà N®i 2. Trưóc het, tác giá xin bày tó sn kính trong, lòng biet ơn sâu sac tói
thay giáo TS. Nguyen Văn Hùng đã luôn hưóng dan và chí báo chu đáo, t¾n
tình, nghiêm khac trong suot quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu lu¾n văn.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc, trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2 cũng như toàn the các thay cô giáo trong trưòng
đã quan tâm và dành cho tác giá nhung đieu ki¾n tot nhat trong thòi gian
hoc t¾p và nghiên cúu tai đây.
Tác giá xin chân thành cám ơn sn giúp đõ, tao đieu ki¾n cna Ban Giám
Hi¾u Trưòng THPT Tam Đáo, THPT Phúc Yên.
Tác giá xin chân thành cám ơn các ý kien đóng góp xác đáng cna các thay
giáo phán bi¾n đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn.

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên và
tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, đưoc
hoàn thành dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hùng.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc nghiên cúu vói sn trân trong biet ơn.
Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá


Mnc lnc

Má đau

1

Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%

3

1.1. Sai so tuy¾t đoi, sai so tương đoi

. . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Chu so chac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Sai so tính toán

5

1.2. Sai so thu gon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Sai so do phương pháp tính toán

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6. Xap xí ban đau...............................................................................10
1.7. Ma tr¾n ngh%ch đáo...............................................................................13
1.8. Các đ%nh lu¾t cơ bán cna hóa hoc áp dung cho các h¾ trong
dung d%ch chat đi¾n li...........................................................................16
1.8.1. Đ%nh lu¾t hop thúc...................................................................16
1.8.2. Đ%nh lu¾t báo toàn v¾t chat....................................................18
1.8.3. Đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong...........................................20

Chương 2. Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương
trình phi tuyen

23

2.1. Cơ só lí thuyet....................................................................................23
2.1.1. Phương pháp l¾p Newton-Raphson......................................23
2.1.2. Cách giái h¾ phương trình phi tuyen bang phương pháp
l¾p Newton - Raphson...............................................................24
2.2. Ví du áp dung....................................................................................26
Chương 3. Úng dnng cúa phương pháp Newton - Raphson

32

3.1. Giái h¾ phi tuyen 2 an............................................................................32
3.2. Giái h¾ phi tuyen 3 an............................................................................40
3.3. Tính cân bang trong các h¾ oxi hóa- khú phúc tap.........................46


Ket lu¾n

57

Tài li¾u tham kháo

58


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài

Trong khoa hoc công ngh¾ và trong thưc te có rat nhieu bài toán đưoc
chuyen thành bài toán giái h¾ phương trình
fi(x1, x2, . . . , xn) = 0

(i = 1, 2, . . . , n)

(1)

Tuy nhiên, chí trong m®t so trưòng hop đ¾c bi¾t ta mói có cách tìm
nghi¾m đúng cna h¾ phương trình đó, các trưòng hop còn lai đeu phái tìm
cách giái gan đúng. Neu h¾ phương trình đó xuat phát tù bài toán thnc
te thì bieu thúc fi(x1, x2, . . . , xn)(i = 1, n) cna h¾ (1) thưòng cũng chí biet
gan đúng. Vì the vi¾c giái đúng h¾ phương trình đó chang nhung không
thnc hi¾n noi mà nhieu khi không có ý nghĩa. Đoi vói lóp các bài toán đó thì
vi¾c xác đ%nh sai so là m®t van đe đáng quan tâm.
Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen là phương
pháp có lòi giái hay, có the áp dung cho moi h¾, đ¾c bi¾t nhung h¾ càng phúc
tap thì phương pháp này càng tó ra ưu vi¾t. Hơn nua, neu lna chon xap xí
ban đau tot thì phương pháp này cho ket quá rat nhanh và chính xác.
Qua nghiên cúu ve phương pháp này chúng ta thay mình hieu biet ve kien
thúc giái tích ó pho thông m®t cách rõ ràng, sâu sac hơn trưóc rat nhieu.
Đong thòi cũng thay đưoc m®t phan úng dung ưu vi¾t cna nó trong nghành
hóa hoc phân tích khi tính cân bang các h¾ oxi hóa - khú phúc tap. Vì v¾y vói
mong muon tìm hieu sâu sac hơn nua phương pháp này tôi manh dan chon
nghiên cúu đe tài: "Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương
trình phi tuyen " .
2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu m®t cách có h¾ thong kien thúc cơ bán cna phương pháp
Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen. Sau đó v¾n dung phương
pháp này giái m®t so h¾ phương trình phi tuyen 2 an, 3 an, tính toán cân

bang các h¾ oxi hóa khú phúc tap.


3. Nhi¾m vn nghiên cNu

2

- Giái h¾ phi tuyen bang phương pháp Newton - Raphson.
- Tính toán cân bang các h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton Raphson .
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
- Nghiên cúu m®t cách có h¾ thong kien thúc cơ bán cna phương pháp
Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen.
- Tính cân bang các h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphson.
Lu¾n văn đưoc chia làm 3 chương ( ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài
li¾u tham kháo )
Chương 1: M®t so kien thúc bo tro.
Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen.
Chương 3: Úng dung cna phương pháp Newton - Raphson.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Phương pháp giái gan đúng cna lý thuyet giái tích so.
- Phương pháp phân tích đ%nh tính và đ%nh lưong cna hóa hoc.
6. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
- Tính cân bang các h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphson
giái h¾ phương trình phi tuyen.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%

1.1.

Sai so tuy¾t đoi, sai so tương đoi

Trong tính toán, ta thưòng phái làm vi¾c vói các giá tr% gan đúng cna các
đai lưong. Ta nói a là so gan đúng cna a∗, neu a không sai khác a∗ nhieu.
Đai lưong ∆a = |a − a∗| goi là sai so th¾t sn cna a. Nói chung chúng ta
không biet a∗ nên ta cũng không biet ∆a. Tuy nhiên ta có the tìm đưoc
∆a ≥ 0, goi là sai so tuy¾t đoi cna a, thóa mãn đieu ki¾n:
|a − a∗| ≤ ∆a

(1.1)

hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a. Đương nhiên ∆a thóa mãn đieu ki¾n ( 1.1)
càng nhó càng tot.
Hai so gan đúng có cùng sai so tuy¾t đoi se có múc đ® chính xác khác
nhau neu đ® lón cna chúng khác nhau, so bé hơn se có đ® chính xác kém hơn.
Đe bieu dien chính xác đieu này ngưòi ta dùng khái ni¾m sai so tương đoi,
đưoc kí hi¾u là δa và xác đ%nh như sau:
∆a
δa
|a|
=
Ví dn 1.1.
Giá sú a∗ = π, a = 3, 14. Do 3, 14 ≤ a∗ ≤ 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta
có
the lay ∆a = 0, 01.
M¾t khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 do đó có the coi ∆a = 0,
001.
Ví dn 1.2.
Đo đ® dài hai đoan thang AB, CD ta đưoc a = 10cm và b = 1cm vói

∆a = ∆b = 0, 01. Khi đó ta có δa =
0,01

10

= 0, 1% còn δb =

= 1% hay

0,01
1

δa = 10δb. Hien nhiên rang phép đo a chính xác hơn han phép đo b m¾c dù


4

∆a = ∆b. Như v¾y đ® chính xác cna m®t phép đo phán ánh qua sai so tương
đoi.
1.2.

Sai so thu gon

M®t so th¾p phân a có dang tong quát như sau:
a = ±(βp10p + βp−110p−1 + · · · +

p−
s

10p−s)

β
trong đó 0 ≤ βi ≤ 9(i = p − 1, p − s); βp > 0 là nhung so nguyên.
Neu
p − s ≥ 0 thì a là so nguyên; p − s = −m(m ≥ 0) thì a có phan th¾p
phân gom m chu so. Neu s = ∞, a là so th¾p phân vô han. Thu gon m®t
so a là vút bó m®t so các chu so bên phái a đe đưoc m®t so a ngan gon
hơn và gan đúng nhat vói a.
Quy tac thu gon:
Giá sú a = βp10p + · · · + βj 10j + · · · +

s10
−

p−s

và ta giu lai đen so hang

βp
thú j. Goi phan vút bó là µ, ta đ¾t
a = βp 10p + . . . + βj+110j+1 + β˜j 10j
trong đó
β˜j
=

.

βj + 1 neu 0, 5 × 10j < µ <

10j
neu 0 ≤ µ < 0, 5 × 10j

βj
.

Neu µ = 0, 5 × 10j
thì

β˜ j
=

βj

neu βj là chan

βj + 1 neu βj là lé

Ví dn 1.3. π ≈ 3, 141592 ≈ 3, 14159 ≈ 3, 1416 ≈ 3, 142 ≈ 3, 14 ≈ 3, 1 ≈
3.


5

Sai so thu gon Γa thóa mãn đieu ki¾n:
|a − a| ≤ Γa
Vì
a = βp10p + . . . + βj 10j + µ

còn

a = βp 10p + · · · + βj+110j+1 + β˜j 10j
,

nên
|a − a| = |(βj − β˜j )10j + µ| < 0, 5 ×
10j .
Sau khi thu gon, sai so tuy¾t đoi tăng lên:
|a − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ ∆a + Γa.
1.3.

ChÑ so chac

Chu so có nghĩa là moi chu so khác " 0 " và cá "0", neu nó kep giua hai
chu so có nghĩa ho¾c nó đai di¾n cho hàng đưoc giu lai.
Ví dn 1.4.
a = 0,0030140. Ba chu so " 0 " đau không có nghĩa.

10p−s) goi
Moi chu so có nghĩa βi cna a = ±(βp10p + βp−110p−1 + · · · + p−
s
là chu so chac, neu

β
∆a ≤ ω × 10i

trong đó ω là tham so cho trưóc. Tham so ω đưoc chon đe m®t chu so von
đã chac sau khi thu gon van là chu so chac. Giá sú chu so chac cuoi cùng cna
a trưóc khi thu gon là βi. Đe βi+1 và các chu so trưóc nó van chac, phái có
∆a + Γa ≤ ω × 10i+1. Suy ra ω × 10i + 0, 5 · 10i+1 ≤ ω × 10i+1 hay ω9 ≥ 5 .

Ta
se goi chu so chac theo nghĩa hep (r®ng) neu ω = 0, 5(ω = 1).
Khi viet so gan đúng, chí nên giu lai m®t ho¾c hai chu so không chac đe
khi tính toán, sai so chí tác đ®ng đen chu so không chac thôi.


6

1.4.

Sai so tính toán

Khi giái bài toán ta phái thnc hi¾n các phép tính thông thưòng và luôn
luôn phái làm tròn các ket quá trung gian. Sai so tao ra bói tat cá các lan
làm tròn như v¾y goi là sai so tính toán.
Trong tính toán ta thưòng g¾p bon loai sai so sau:


1. Sai so giá thiet: Do mô hình hóa, lí tưóng hóa các bài toán thnc te, sai
so này không loai trù đưoc.
2. Sai so phương pháp: Các bài toán thưòng g¾p rat phúc tap, không the
giái đúng đưoc mà phái sú dung các phương pháp gan đúng. Sai so này
se đưoc nghiên cúu cho tùng phương pháp cu the.
3. Sai so các so li¾u: Các so li¾u thưòng thu đưoc bang thnc nghi¾m do đó
có sai so. Sai so cna các so li¾u gan đúng đã đưoc nghiên cúu trong muc
1.1.
4. Sai so tính toán: Các so von đã có sai so, còn thêm sai so thu gon nên
khi tính toán se xuat hi¾n sai so tính toán.
Giá sú tìm đưoc đai lưong y theo công thúc:
y = f (x1, x2, . . . , xn)

Goi x∗, y∗(i = 1, n) và xi, y(i = 1, n) là các giá tr% đúng và gan đúng
i
cna đoi so và hàm so. Neu f khá vi liên tuc thì
.
n
∗
∗
∗
∗
|y − y | = |f (x1, x2, . . . , xn) − f (x , x , . . . , x )| = |f t ||xi − x∗|
1

trong đó f t là đao hàm
∂f

i

2

n

tính
tai các điem trung gian. Do
∂f

∂xi

∂xi

khá bé, ta có the coi

.n
∆y = |f t (xi 1 , x2, . . . , xn)|∆xi.
i=1

Do
∆y đó

.n
=
|
∂

δy =
|y|

i=1

lnf|∆xi .
∂xi

Sau đây là sai so cna phép tính cơ bán:
a) Sai so các phép tính c®ng, trù:
Giá sú tính

nên

i

i

i=1

.n
y = xi

ta

có
i=1

n

∂f
∂xi

=1

liên tuc, ∆xi


.

∆y = ∆xi.
i=1

n

.

Trưòng hop tong đai so rat nhó, nghĩa là y << 1 thì ∂y = ∆x >> 1, do

i
| |
i=1

|y|

đó ket quá không chính xác. Ta khac phuc bang cách tránh công thúc đưa
đen hi¾u cna hai so gan nhau.
b) Sai so cna phép tính nhân chia:
Giá sú

x1 . . . xp
y=

Khi đó
−
suy ra

.p

lny = lnxi

xp+1 . . . xn
n
.
lnxj

i=1

j=p+1

.n
δy = δxi. và ∆y = |y|δy.
i=1

c) Sai so cna phép tính lũy thùa, khai căn, ngh%ch đáo
Cho y = xα, khi đó δy = | d lny|∆x = |α|δx.
d
x

- Neu α > 1 ( phép lũy thùa ) thì δy > δx, do đó đ® chính xác giám.
- Neu 0 ≤ α < 1 ta có phép khai căn, khi đó δy < δx, hay đ® chính xác tăng.
- Neu α = 1, ta có phép ngh%ch đáo, δy = δx, nghĩa là đ® chính xác không
đoi.
Ví dn 1.5.
Di¾n
tích
hình≈vuông
S = 12,34; ∆S = 0, 01 tính canh a.
Ta có a
= √S
3, 5128.
Vì

∂S =

=

∆S

Nên

0,01
12,34

≈ 0, 0008

∆a ≈ 3, 5128 × 0, 0004 ≈ 1, 4 × 10−3

S


Như v¾y a có 4 chu so chac và a ≈ 3, 513.


Ví dn 1.6.
Hãy tính tong:

1

1
A=

13

−

23

1

1
+

33

−

43

1

1
+

53

−

63

Giái . A là tong cna 6 phân so. Ta có the tính trnc tiep A mà không can
phái thay nó bang m®t tong đơn gián hơn. Vì v¾y ó đây nó không có sai so
phương pháp. Đe tính A ta thnc hi¾n phép chia đen ba chu so th¾p phân và
đánh giá các sai so quy tròn tương úng:
1

1

= 1 = 1, 000 vói θ1 = 0

1
= 8 = 0, 125 vói θ2 = 0
1
−4
=
0,
037
vói
θ
=
10
3
= 27
1
= 0, 016 vói θ = 4 10−4
4
= 64
1
= 0, 008 vói θ5 = 0
= 125
1
=
= 0, 005 vói θ = 4 10−4
6
216

13
1

213

313
413
513
63

V¾
y

A ≈ a = 1, 000 − 0, 125 + 0, 037 − 0, 016 + 0, 008 − 0, 005 = 0,
899.
|A − a| ≤ |1 − 1| + | − 0, 125| + | − 0, 037| + | − 0, 016| + | − 0, 008|
3

1

1

1

2
3

1

1

3

4

3

3

5
3

1
− 0, 005|
63
≤ θ1 + θ2 + θ3 + θ4 + θ5 + θ6 = 9 × 10−4
+|

Do đó a = 0, 899 là giá tr% gan đúng cna A vói sai so tính toán 9 ×
10−4. Ta viet A ≈ 0, 899 ± 9 × 10−4
1.5.

Sai so do phương pháp tính toán


Khi giái gan đúng m®t bài toán phúc tap ta phái thay m®t bài toán đã cho
bang m®t bài toán đơn gián hơn có the giái đưoc thông qua vi¾c thnc hi¾n


9

các phép tính thông thưòng. Phương pháp thay bài toán phúc tap bang bài
toán đơn gián hơn như the goi là phương pháp gan đúng. Sai so do phương
pháp gan đúng tao ra goi là sai so phương pháp.
Ví dn 1.7.

Hãy tính tong

1

1
−
n 1
+
(
1)
··
P = 3− 3+ 3 − · · · −
3
n
2
1
3 ·
1

1

vói sai so tuy¾t đoi không vưot quá 5 × 10−3.
Giái . Ve phái cna P là m®t chuoi so đan dau h®i tu. Do đó vi¾c tính P là
hop lí. Nhưng ve phái cna P có vô han so hang, ta không the c®ng het so này
đen so khác mãi đưoc. Do đó đe tính P ta phái sú dung m®t phương pháp
gan đúng, cu the P thay bang tong n so hang đau
1
P≈

13

(−1)

1
−

23

1
+

33

n−1

−···+

1
n3

.

Bài tính Pn đơn gián hơn bài toán tính P . Lúc đó |P −P n | là sai so phương
pháp, và so n đưoc chon sao cho sai so phương pháp ay c®ng vói sai so tính
toán van còn nhó hơn 5 × 10−3. Ta có:
1
1
1
.
3
|P − Pn| ≈ |

−
+ · · · (n + 1)
3
3
(n + 1)
(n + 2)
|<
(theo lí thuyet chuoi đan dau). Vì v¾y vói n = 6 ta thay :
1
|P − Pn| ≤ 1
< 3 × 10−3.
= 343
73
Ta chú ý rang P6 = A đã tính ó trên (xem ví du 1.6 )
P6 ≈ A ≈ 0, 899 ± 9 × 10−4.
V¾y có the lay P ≈ 0, 899. Đe xét sai so ta có
P − 0, 899 = P − P6 + A − 0, 899.
|P − 0, 899| ≤ |P − P6 | + |A − 0, 899|.


1

−30

|P − 0, 899| ≤ |3 × 10

+ 9 × 10−4 ≤ 4 × 10−3.


10

V¾y ta tính đưocP ≈ 0, 899. vói sai so tuy¾t đoi không vưot quá 4 ×
10−3
P = 0, 899 ± 9 × 10−4.
Qua ví du 1.6 và ví du trên ta thay sai so tong hop cuoi cùng có phan cna
sai so phương pháp và có phan cna sai so tính toán.
1.6.

Xap xí ban đau

Thông thưòng quá trình tìm nghi¾m r cna phương trình
f (x) = 0

(1.2)

( ó đây f ( x ) là hàm thnc m®t bien x ) đưoc chia làm hai phan. M®t là,
phan xap xí ban đau cna nghi¾m ( thưòng đưoc goi là nghi¾m xap xí ). Hai
là, tinh che nghi¾m xap xí đó đe có đưoc m®t nghi¾m xap xí mói có đ® chính
xác mong muon.
Vi¾c tìm xap xí ban đau x0 cho nghi¾m r cna phương trình (1.2) thưòng
do sn dn đoán dna trên thông tin ve hàm f có đưoc, ho¾c bang cách ve đo
th% tìm điem x0 sao cho f (x0) ≈ 0. Ngoài ra, ta cũng có the tìm đưoc x0 dna
vào đ%nh lý sau:
Neu f ( x ) là m®t hàm thnc liên tnc trên [ a ; b], (a < b ), có f (a)·f (b) < 0
thì ton tai ít nhat m®t nghi¾m r cúa f( x ) trong khoáng (a;b).
Vi¾c tìm m®t đoan [ a ; b] như v¾y goi là cô l¾p nghi¾m.
Bây giò ta xét m®t so thu¾t toán tìm xap xí ban đau cho nghi¾m thnc cna
phương trình đai so có dang:
f (x) = Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + x +
−1

an
an

=0

(1.3)

vói các h¾ so thnc ai(i = 0, n). Phương trình đai so (1.3) nói chung , có the
có các ngi¾m thnc khác nhau ho¾c nghi¾m thnc kép. Neu ta kí hi¾u nghi¾m
cna (1.3) là các so r1, r2, . . . , rn thì Pn(x) có the viet dưói dang:
Pn(x) = a0(x − r1)(x − r2)(x − r3) · · · (x − rn)
Giá thiet rang: |r1| > |r2| > . . . > |rn|


11

Neu các nghi¾m ri có môđun khác nhau nhieu, thì xap xí ban đau cna
nghi¾m có the lay tù đ%nh lý :
.
a1
=
r ;
i
−
a0

a2
a0

a3

= − . r i rj
a
rk
0

;

...;

.
= − ri rj ;
i
an =
n
a0 (−1) r1r2

. . . rn .

i
Vì r1 có môđun lón hơn nhieu so vói các nghi¾m khác, cho nên tù đang
thúc đau tiên ta có

a1 = r (1 + r2 + . . . +rn )
1
a0
r1
r1

a1 ≈ −r1a0

Suy ra

Tù đang thúc thú hai cna h¾ trên suy ra:
a2 = r
r
a0

1

[(1 + r3 + . . . +rn ) + (r3 + . . . +rn ) + r3 · r4 + . . . +rn−1 · r ]
n
2
r1
r1 ·
r1 · r2
r2
r2
r1
r2
a2 ≈ r1r2a0

Suy ra

Quá trình này đưoc tiep tuc cho đen đang thúc cuoi cùng ta đưoc:
a1 ≈ −r1a0 ,
a3 ≈ −r1r2r3a0 ,

a2 ≈ r1r2a0 ,

...

, a n ≈ r1 r2 . . . r n a 0 .

Tù đây suy ra:
a1 + r1a0 ≈ 0 ,

, a2 + r 2 a1 ≈ 0 ,

a3 + r3a2 ≈ 0 , . . ., an + rnan−1 ≈ 0 ;
Vì
v¾y:
r ≈−
1

a1
0
2

Nguyên lí Decard:

,r ≈
a2
−
1

3

an

,
.
.
.
,
r
≈
−
.
n
,r ≈
a
n
−
a3
−
1
2


12

Neu trong phương trình (1.3) hai h¾ so canh nhau khác dau, ta nói rang có
sn đoi dau. Neu hai h¾ so canh nhau cùng dau, ta nói rang có sn giu nguyên
dau.
Lưu ý ó đây ta chí nói đen các h¾ so khác 0.


12

Phương trình (1.3) đưoc goi là đay đn neu nó không có h¾ so a nào bang
0.
Nguyên lí Decard đưoc phát bieu như sau:
So nghi¾m dương cúa phương trình (1.3) bang ho¾c kém hơn m®t so
chan
so lan đoi dau trong dãy h¾ so cúa phương trình đó, nhung h¾ so là so 0
không tính đen.
So nghi¾m âm cúa phương trình (1.3) bang ho¾c kém hơn m®t so chan
so lan đoi dau trong h¾ so cúa phương trình f(- x) = 0.
Neu phương trình là đay đú, thì so nghi¾m âm bang so lan giu nguyên
dau trong h¾ so cúa phương trình ho¾c kém hơn nó m®t so chan.
i. Tìm nghi¾m có môđun lán ho¾c bé nhat cúa phương trình đai so
(1.3):
Nghi¾m đơn cna (1.3), vói a0 = 1, có môđun lón nhat cũng có the đưoc
xap xí tù phương trình
2

x + a1x + a2 = 0 ho¾c x + a1 = 0
Neu nghi¾m đơn có môđun lón hơn nhieu so vói các nghi¾m khác thì các
xap xí này cho ta ket quá tương đoi chính xác.
Nghi¾m có giá tr% môđun nhó nhat cna (1.3) cũng có the tính xap xí tù
phương trình
an−2x 2 + a
n−1x + an = 0 ho¾c an−1x + an = 0.
ii. Lưac đo Horner
Lưoc đo horner dùng đe chia m®t đa thúc
a0xn + a1xn−1 + · · · +
an

1x

+ an

−

cho m®t nh% thúc x − x0. Ket quá sau phép chia se là m®t đa thúc b¾c n - 1
là b0xn−1 + b1xn−2 + · · · + − sao a mãn:
ch
bn
o
thó


2x

+b
a0xn + a1xn−1 + · · · +
an

13
n−1
−1 x +
an

và phan dư se là R, se chí cho m®t so
= (x − )(b0 xn−1 + · · · +
x0

b

n−
2

x+
b

n−
1

)+
R


13

So sánh các h¾ so cna hai đa thúc bang nhau ta đưoc:
b0 = a 0 , b1 = a 0 x 0 + a 1 , b2 = b 1 x 0 + a 2 , . .
. , bn−1 = bn−2x0 + an−1,

R = bn−1x0 +

an.
Thông thưòng lưoc đo chia đa thúc cho m®t nh% thúc đưoc sap xep như sau:
a0
a1
a2
a3 . . . an−1
an
x0

b 0x 0

b 1x 0

b0 = a0

b1

b2

1.7.

b2x0 . . . bn−2x0
b3

...

bn−1x0

bn−1

R

Ma tr¾n ngh%ch đáo

Ma tr¾n ngh%ch đáo cna ma tr¾n vuông A cap n là m®t ma tr¾n, kí hi¾u
A−1 thóa mãn đieu ki¾n:
AA−1 = A−1A = I
Ma tr¾n có ma tr¾n ngh%ch đáo A−1 khi và chí khi detA ƒ= 0 và khi đó
ta có the tìm A−1 bang cách tính giá tr% các phan bù đai so Aij , i, j = 1, 2, . .

. , n sau đó ta có the áp dung các công thúc:






A11 A21 . . . An1 
A12 A22 . . . An2 

·
· ... · 

A1n A2n . . . Ann

−1

A


1 
= detA 


Ngoài ra cũng có the áp dung phương pháp dưói đây hay đưoc dùng
trong l¾p trình tính toán bang máy tính.
Viet thêm ma tr¾n I vào bên phái ma tr¾n A

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0 


a
a . . . a2n 0 1 . . . 0

(A, I) = 21 22


 ·
· ... · · · ... ·


an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1

(1.4)