Phương trình chuyển động của các trường thành phần trong phiến hàm dây

1

LèI CÁM ƠN
Em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói GS.TSKH Đào Vong Đúc, ngưòi đã
t¾n tình hưóng dan em hoàn thành lu¾n văn này.
Em xin cám ơn các thay cô giáo khoa V¾t lý và khoa Sau đai hoc trưòng
Sư pham Hà N®i 2 đã giáng day và tao moi đieu ki¾n tot nhat cho chúng
em hoc t¾p.
Tôi xin cám ơn gia đình, ban bè và đong nghi¾p đã luôn bên canh
và giúp đõ đ®ng viên tôi trong suot quá trình hoc t¾p.
Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá
NGUYEN XUÂN HUY


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, các ket
quá nghiên cúu đưa ra trong lu¾n văn chưa tùng đưoc công bo trong bat
kỳ m®t công trình nào khác.
NGUYEN XUÂN HUY


Mnc lnc
1 Các nguyên lý cơ bán cúa lý thuyet dây

6

1.1 Hat điem và hat dây......................................................................6

2

1.2

Phương trình Dây và khai trien toa đ® Dây................................ 7

1.3

Đai so Dây........................................................................................10

1.4

Các trang thái kích thích.........................................................13

1.5

Siêu dây và siêu toa đ®...................................................................16

Hình thNc lu¾n phiem hàm Dây.

20

2.1 Phiem Hàm trưòng dây mó........................................................20
2.1.1 Mien NS...............................................................................20
2.1.2 Mien R................................................................................. 23
2.2 Phiem hàm trưòng dây đóng......................................................25
2.2.1 Mien NS - NS.....................................................................25
2.2.2 Mien NS - R.......................................................................27
2.2.3 Mien R - NS.......................................................................30
2.2.4 Mien R - R......................................................................... 30
2.3 Tái BRST trong lý thuyet dây.................................................... 32
2.3.1

Tái BRST cho dây boson................................................ 34

2.3.2

Tái BTST cho siêu dây mó.............................................37

2.3.3

Tái BRST cho dây đóng................................................. 45

2.4 Tác dung phiem hàm dây boson.................................................46
2.5 Tác dung phiem hàm siêu dây....................................................50
2.5.1

Tác dung phiem hàm siêu dây NS..................................51

3


4

2.5.2
3

Tác dung phiem hàm siêu dây R....................................54

Các trang thái chân không.

57

3.1 Chân không cna dây boson........................................................57
3.2 Chân không cna siêu dây mó.....................................................59
3.2.1

Chân không cna siêu dây mó NS...................................59

3.2.2

Chân không cna siêu dây mó R....................................60

3.3 Chân không cna siêu dây đóng..................................................62
3.3.1

Dây boson đóng...................................................................62

3.3.2

Siêu dây đóng NS - NS.......................................................62

3.3.3

Siêu dây đóng NS - R.........................................................63

3.3.4

Siêu dây đóng R - NS.........................................................63

3.3.5

Siêu dây đóng R - R.......................................................63


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài.
Lý thuyet Dây đưoc xem là m®t phương hưóng nghiên cúu có nhieu
trien vong trong vi¾c xây dnng mô hình Đai thong nhat các tương tác cơ
bán. Dây có the ó vô so các trang thái kích thích, moi trang thái tương
úng vói m®t trưòng thông thưòng. Vói ý nghĩa đó có the dien tá bang
hình thúc lu¾n phiem hàm Dây. Phiem hàm Dây là t¾p hop vô han các
trưòng thông thưòng, moi trưòng úng vói m®t mode kích thích cna Dây.
Các trưòng thành phan này chính là các trưòng van g¾p trong lý thuyet
trưòng thông thưòng hi¾n nay Phương trình cho các trưòng thành phan
đưoc suy ra tù m®t phương trình chung cho phiem hàm Dây, và tù đó
cũng suy ra các moi liên h¾ giua các trưòng thành phan. Đó là cơ só đe
nghiên cúu ve tương tác giua chúng, và do v¾y có ý nghĩa thiet thnc
trong vi¾c
đánh giá bàn lu¾n ve các mô hình lý thuyet qua các h¾ quá đ%nh tính và
đ%nh lưong.
2. Mnc đích nghiên cNu.
Tìm hieu phương trình cho các trưòng thành phan đưoc suy ra tù
phương trình chung cho phiem hàm Dây.
3. NhÑng van đe chính đưac nghiên cNu.
Nghiên cúu hình thúc lu¾n phiem hàm Dây và tính toán các phương
trình chuyen đ®ng.
4. Đoi tưang nghiên cNu.
L¾p tác dung Dây và suy ra phương trình cho phiem hàm Dây.
Các phương trình chuyen đ®ng và các phương trình tương quan ve các
trưòng thành phan.
5. Phương pháp nghiên cNu.

Phương pháp nghiên cúu siêu đoi xúng
Hình thúc lu¾n đai so Dây.
Phương pháp tính.


Chương 1
Các nguyên lý cơ bán cúa lý thuyet
dây
1.1

Hat điem và hat dây.

Trong lý thuyet trưòng lưong tú, chat ngưòi ta xem hat như là m®t đoi
tưong không kích thưóc điem chuyen đ®ng trong không - thòi gian.
Nhưng đen năm 1968 thì mô hình Veneziano hình thành, phán ánh moi
quan h¾ đoi ngau giua hai quá trình tán xa và hny c¾p. Lien sau đó
ngưòi ta nh¾n thúc đưoc rang vói mô hình này thì các hat cơ bán can
đưoc xem như các Dây, đoi tưong có kích thưóc m®t chieu - dây chuyen
đ®ng trong không - thòi gian. Cu the:
Khi xem như m®t điem thì khi chuyen đ®ng trong không - thòi gian tù
v% trí 1 đen v% trí 2, hat ve ra m®t đưòng goi là đưòng the .xµ.τ ...
Khi xem như m®t dây thì khi chuyen đ®ng trong không - thòi gian tù
v% trí 1 đen v% trí 2, hat quét nên m®t m¾t goi là lá the. .Xµ .τ, σ...
Trong đó:
τ : có the xem như thòi gian riêng cna Dây, −∞ < τ < +∞.
σ : có the xem như đ® dài xác đ%nh v% trí tùng điem trên dây, 0 ≤ σ ≤ π
Ta viet dưói dang vector hai chieu trên lá the như:
.
.
λα = τ, σ , λ0 = τ, λ1 = σ

Lúc này chuyen đ®ng cna hat dây trong không - thòi gian đưoc mô tá

6


7

bói tác dung:
S= 1
2π
¸1
=
2
∂σX
π

¸

d2ληαβ ∂αXµ.∂β Xµ

(1.1)

rµ

dτ dσ

.

∂ τµ ∂τ

−

.∂σXµ

.

(1.2)

ηαη là metric MinKowski trên lá the:
η00 = 1, η11 = −1, η01 = η10 = 0

1.2

Phương trình Dây và khai trien toa đ® Dây.

Xuat phát tù phương trình Euler - Lagrange:
δL
∂

α

δL
.
. = 0
δ ∂α Xµ

Ta có Lagrange trên lá the:
1
L = ηαβ ∂αXµ.∂β Xµ
2π

δL
=0
δXµδL
. 1
.
.
δ .
.
α
µ
λ
δ
=∂ X
η γ ∂γ ∂δ
δ ∂αXµ
δ
X Xλ
2π

(1.3)

(1.4)

.

Quy ưóc:
α, β, γ, δ = 0, 1 : chí so trên lá the.
µ, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, · · · , D − 1 : chí so trong không gian

(1.5)

(1.6)


. δL .
α µ
δ
=∂ X

.
. δ . . 1η ∂γ λ
γδ
∂ Xλ
δ ∂α Xµ
X
δ
2π
.
1
δ
.2. .D. γ λ δ ρ.
=
. ηγδ ηλρ ∂ X ∂
2π δ .
α
µ
X
∂ X
. .
.
.

.
1
δ ∂γ X λ
δ ∂δ X ρ
+ ∂γ .
.
.∂ δ X ρ X
=
ηγδ
δ ∂α Xµ
2π
λ .
.
ηλρ
δ ∂αXµ
1
.
.
= ηγσηλρ σγ σ λ ∂ σ X ρ + ∂γ X σ ∂ σ σ ρ
α µ
α µ
.
2π
1 .
σ ρ
γ λ σ ρ
=
ηαδ η µρ ∂ X + ∂ X σ δ
α µ
2π

1
=

2π
1

{∂αXµ + ∂αXµ}

Hay:

(1.8)
(1.9)

(1.10)
(1.11)
(1.12)

=

∂α Xµ .
π
Thay vào .1.4. ta đưoc:

(1.7)

(1.13)
.
.
∂α ∂α X µ = 0

(1.14)

∂α ∂αXµ = 0
.
.
∂ α ∂ α X µ ≡ ∂2 − ∂ 2 X µ = 0
r

σ

Đó là phương trình sóng
m®t chieu
vói nghi¾m
tong
quát. là:
.
.
.
.
.
µ
µ
Xµ λ = X τ − σ + X τ + σ
R

L

(1.15)
(1.16)

(1.17)

é đây:
X Rmô tá các mode "chuyen đ®ng phái".
µ
X Lmô tá các mode "chuyen đ®ng trái".
µ

Đoi vói dây mó ta đ¾t đieu ki¾n biên là:
Xtµ ≡ ∂σ Xµ = 0 tai

σ = 0, π

(1.18)


.

Lúc này ta có bieu thúc khai trien:
.
.
.
1 µ
1 µ.
µ
X τ−σ = x + p τ−σ
i
−
R
µ.

.

X iτ + σ =
−

2
1

µ in.
1α e τ

.

(1.19)

−σ

2
n
n=±1,±2,···
.
1 µ.
.
µ
1
x + p τ+σ
2

n

.

.
τ

(1.20)

−σ
µ in

L

2

. .
Xµ λ

n
2 α e n
n=±1,±2,···
.
1 αµeinτ . cos nσ
−i
n n
n=±1,±2,···

2

= xµ + pµτ

(1.21)

 xµ như toa đ® cna khoi tâm dây.
µ
Trong đó:  p như xung lương cna khoi tâm dây.
 α n như các dao đ®ng tú quy đao.
µ

Yêu cau Xµ phái thnc nên xµ và pµ phái thnc và:
µ

αµ+ = α
−n
n
Đoi vói dây đóng ta đ¾t đieu ki¾n tuan hoàn:
.
.
.
.
µ
µ
X τ, σ = X τ, σ + π
Lúc này ta có bieu thúc khai trien:
.
.
.
1
1 .
µ

X τ − σ = xµ + pµ τ − σ
i
−
R

.
µ.
X iτ + σ =
−
L

. .
µ
iX λ

2
1

.

.
µ 2in
1α e τ

.

(1.23)

−σ

2
n
n=±1,±2,···
.
1 .
.
1
xµ + pµ τ + σ
2

2
2
µ
= x + p µτ

(1.22)

n

.

.
τ

(1.24)

−σ

2
−

2

µ 2in

α˜ e n n
n=±1,±2,···
.
. µ −2inτ
.
2inτ
+2inσ
e
α
e
+
α˜ µ
1
n
n
ne

n=±1,±2,···

(1.25)


Vói:
α n : dao đ®ng tú quy đao ưóng vói "chuyen đ®ng phái."
µ µ
α˜n : dao đ®ng tú quy đao ưóng vói "chuyen đ®ng trái."

Vói dây mó ta có:
X˙ µ ≡ ∂τ X µ =
.
n=−∞

αµneinτ . cos nσ

(1.26)


µ

Xt ≡ ∂σXµ =
.

αµneinτ . sin nσ

(1.27)

n=+∞
µ

α0 ≡ pµ

é đây:

Vói dây đóng ta có:
X˙ µ ≡ ∂τ X µ =
.
X

tµ

.
n=−∞

µ

≡ ∂σX =

.n
e2inτ e
αµ
e2inτ

−2in
τ

++2inσ
.
α˜ e
n
µ

−2in
τ

(1.28)

µ +2inσ

.

.

αµ
e ne
α˜
n

n=+

é đây:
pµ

µ

µ

α ≡ α˜ ≡
0

1.3

0

−

(1.29)

1 ∞

2

Đai so Dây.

Tensor năng - xung lưong trên lá the:
µ

Tαβ ≡ ∂α X .∂β Xµ

−

1η ∂γ Xµ.∂ X u
αβ
γ m
2

Ta l¾p các toán tú:
¸
1 inτ
.
.
L ≡−
dσ
T
cos
nσ
−
iT

sin
nσ
,
π
00
10
n
−
e
(1.31)

(1.30)

n∈Z

0

Đ¾c bi¾t:

1
Vói: P0 ≡
π

¸

L0 ≡
π
0

1

¸
0

π

dσT00 = −P0

(1.32)

−
dσTπ00 là véc tơ năng - xung lưong trên lá the.


Tù 1.30 ta suy ra:

1 γ µ
chí so lá the là γ = 0, 1
T00 = ∂0Xµ∂0Xµ 2∂ X ∂γ Xµ
.
−
1.
µ
1 µ
∂
X
∂
X
−
∂

X
∂
X
0
0 µ
1 µ
= ∂0 X µ ∂0 Xµ 2
−
1
.
.
= ∂ 0 Xµ∂ 0 Xµ + ∂ 1 X µ ∂ 1 X µ
2.
.
= 1 X˙ µ X˙ µ + X tµ X t
µ
2

(1.33)
(1.34)

(1.35)
(1.36)


Tương tn:

T10
=

1X tµ X˙
2

(1.37)

µ

Thay vào bieu thúc 1.31 và sú dung bieu thúc (1.11),.1.12. ta tính
đưoc:
∞
1
µ
vói dây mó
(1.38)
Ln = Ln = − . α kαµ,n+k
−
2 k=−∞
Ln = Ln + ∞L˜ n
vói dây đóng
(1.39)
1
µ
.
α˜ α˜ µ,n+k
(1.40)
˜
Ln ≡ −
−k
2 k=−∞
L˜ n = L˜ −n

n = L−n
M¾c khác ta cũng
và
có:
L+
µ
Bây
µ giò ta xem α ,
α˜

+

vói
µ n > 0 như các toán tú hny và
α

n

,
α˜
µ
−n

n

như
−n

các toán tú sinh. Như v¾y ta đ%nh nghĩa lai Ln , L˜ n dưói dang tích
normal:

∞
1
µ
.
:
α
αµ,n+k :
(1.41)
L˜n ≡ −
−k
2 k=−∞
∞
1
µ
.
:
α˜
α˜ µ,n+k :
(1.42)
L˜n ≡ −
−k
2 k=−∞
Ta tính đưoc giao hoán tú:
.

Ln , Lm
=

.

∞

1 .
4

.

µ

αµ,n+k, α

α−k

γ

n+
k

αγ,m+l

.

(1.43)

k,l=−∞

Áp dung đong nhat thúc dang:
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
AB, CD = B, C DB + C A, D B + A B, C D + AC B, D
.
.
Ket hop vói αµ , αγ = −m.ηµγ σm+n,0
m

n

Ta đưoc:
1

∞


.

.

.

Ln , Lm = n − m

−

.

.

.

2
k=−inft
y

µ

α−k αµ,n+m+k.

(1.44)


M®t cách tong quá ta có:
.
.
.
.
. .
Ln, Lm = n − m Ln+m + A n .σn+m,0

(1.45)

Trong đó A.n. đưoc goi là so hang d% thưòng và tính đưoc là:
. .

.
D . 2
An =
nn
1
D : so chieu không - thòi gian
−
12
Cuoi cùng ta đưoc:
.

.

D
.
.
= n − m Ln+m +

Ln , Lm
.
nn
12
.
.
.
.
L˜n, ˜Lm = n − m˜Ln+m +
D.
nn
12

2

.
− 1 .σn+m,0

(1.46)

.
− 1 .σn+m,0

(1.47)

2

Đai so đưoc tao nên như trên đưoc goi là đai so Virasoro d% thưòng
hay còn goi là đai so dây Boson, là nen táng cna lý thuyet dây Boson. Và
Dây đưoc xây dnng như trên có khá năng mô tá các trang thái có spin
nguyên.
Đe khac phuc nhưoc điem
này ngưòi ta đã xét đen siêu Dây. Đe mô tá
siêu Dây, ngoài toa đ® xµ.τ, σ. ngưòi ta đưa thêm vào toa đ® spinor trên
µ
lá the Ψ A .τ, σ., A = 1, 2. Tương tn đoi vói siêu Dây ta có siêu Đai so
bao
gom các vi tú giao hoán Ln và các vi tú phán giao hoán Gr:
.
b
(1.48)
Gs = −

− µ,s+k
α

k

µ
k∈Z

Gr = −
α

bµ,r+k

.

µ

(1.49)

−
k

k∈Z
µ

µ

s

s

Trong đó b .d . là các siêu dao đ®ng tú, tuân theo h¾ thúc phán giao
hoán:
Mien NS : Siêu đai so Neveu - Schwars
1

2


.

.

.

.
= n − m Ln+m +

.
− 1 σn,−m

Ln , Lm
.
Dn n
1
8
1.
.s
{Gs, Gr} = 2Ls+r + 2 −
σs,−r

4
D
1
2
.
.
.
.
Ln, Gs = n − s Gn+s
2

(1.50)

(1.51)

(1.52)


13

Mien R: Siêu đai so Ramond
.

Ln , Lm

8

.

1

.
.
= n − m Ln+m +

2
1

1.4

σn,−m

(1.53)

Dn

1
{Gs, Gr} = 2Ls+r +

.

3

2

σs,−r

(1.54)

Ds
.

.
.
Ln, Gs = n − s Gn+s
2

(1.55)

Các trang thái kích thích.

Xét không gian Fock các trang thái kích thích tao nên do tác dung các
toán tú sinh αµ+ và α˜ µ+ , n > 0, lên trang thái nen chân không |0).
Chuan
n
n
> 0. Chang han:
cna các trang thái này không phái tat cá đeu
. . nαn . .
. ..
.. .
0
n
n
= −n < 0
(1.56)
0
0+ .
=
0
0

0+
.α
.0
α ,α
.
0
Do đó α0+
n |0) không the xem là trang thái v¾t lý. Không gian các trang
thái chí là m®t không gian con cna toàn không gian Fock nói trên, thóa
mãn m®t so đieu ki¾n nhat đ%nh. Trưóc het, trang thái v¾t lý phái có chuan
> 0.
Cu the, xét m®t không gian trang thái v¾t lý |φ) là không gian con cna
không gian Fock:
• Đoi vói dây mó, ta có:

.

.

L0 − a0 |φ) = 0

(1.57)

Ln |φ) = 0,

(1.58)

• Đoi vói dây đóng, ta có:
.
.

L0 − a0 |φ) = 0,
Ln |φ) =
0,
a0 : thông so Regge.

n>0
.

.
L˜ 0 − a0 |φ) = 0
L˜ n |φ) = 0, n > 0

(1.59)
(1.60)
(1.61)


14

Tù các phương trình trên ta tìm pho khoi lưong cna các trang thái kích
thích:


• Đoi vói dây mó:
∞
1 .
µ
: α αµk :
L0 = −
−k

2k=−∞
∞
−∞
1
1
.
1.
µ
µ
µ
: α αµk :
k=− : α α
: − : α0 αµ0 : − k=
−k
=− 1
−k µk
2
∞
2
1
−∞
1 2
1
.
1.
µ
µ
µ
α αµk
k=− α α

µk −k − α 0αµ0 − k=
−k
=− 1
2
∞
∞
2
1
1
12
1
.
.
2
µ
µ
α αµk
αµ, k α −
=−
−
−k
p − k
2 k=1
2
k=
∞
∞
1
1
1 1

.
2
. µ
2
µ
α α
p
α αµk
µk
=−
−
−k
2 k=1 −k − 2
2 k=
1

∞
.

2

=− p −
2
k=

1

α

µ

−k

αµk

(1.62)

1

The .1.62. vào .1.58. ta đưoc:
.
p2 |φ) = −2
M 2 ≡ −2 .

∞

a0 +

.
α

µ

.
αµ

k=1
∞

a0 +

.

.
α

k=1

|φ)

(1.63)

−kk

µ

(1.64)

αµk

−k

Vói M 2 là toán tú bình phương khoi lưong cna dây. Tác dung
.
nên trang thái kích . thích:
n n ···n

.
.φ
.

1 2

p

..

+

µ+

1

2

µ1
∼
αn2αn

µ+

· · · αnp |0)

(1.65)

p

Chính trang thái riêng cna M2 vói tr% riêng tương úng:
.
.
.

p
−a0 +
m2 = 2
i=1

ni


..
.
. n1 n2 np .
.
···
M .φ
2

.
=2
−a0

(1.66)
. .
.
p
. . . n1n2 np .
.
···
+
.φ
ni

i=1

(1.67)


• Đoi vói dây đóng:
1 2

.

k=
1

− p
8

.

2

∞

α αµk L˜ 0 = −
−k
p

−

L0 =

1

∞
µ

µ

α˜ α˜µk

−

−k

k=
1

(1.68)

The vào .1.61. ta đưoc:
.

p2 |φ) =
−8

∞

a0 +

α

k=1

αµk

µ

.

|φ) =
−8

≡

∞

k=1

. . Tác dung lên trang thái kích thích:
Tương tn:
n n ···n ,m m
+
up+ γ+
u
.
···m
1 2

p

1

2

.

q

φ

···
φn

∼

n1

.

p

n1

(1.71)
q

Là trang thái riêng cna M 2 úng vói tr% riêng tương úng:
.
.
.
.

p.
p
.
m2 = 8 −a0 +
= 8 −a0 +
ni

(1.72)

mi
i=1

..
.
. n1n2 np,m1m2 mq.
2
.
···
···
M .φ

i=1

.
=8
−a0

Suy ra:

−k

γ+
n

.φ˜ · · ·
q
1
φ˜

1

.

(1.69)
.
.
∞
α˜
a0 +
µ µk
α˜
−k
(1.70)
k=1

.

−k

k=1

..φ

.

|φ)
a0 +
µ α˜ µk
α˜

−k

.≡
.
∞
−8
a0 +
µ αµk
α

.

M2
−8

.

.

p

.

. .. .
.
.
.
n
n
n
,m
m
m
1 2
p
1 2
q
+
.
···
···
.φ
ni
p

i=1
q

ni =

.

(1.73)
mi

(1.74)


i=1

i=1

Chú ý: é trang thái cơ bán úng vói p = 0, q = 0 thì m2 = −2a0
vói dây mó và m2 = −8a0 vói dây
đóng. Như v¾y khi a0 > 0 .chang
han vói dây Boson a0 = 1 . thì m2 < 0 các hat tương úng goi là tachyon.
Hi¾n nay
đang tìm cơ che đe khú tachyon đó là cơ só đưa vào toán tú chieu GSO.


1.5

Siêu dây và siêu toa đ®.

Lý thuyet dây Boson có nhung han che, chang han sn ton tai các tachyon,
so chieu không - thòi gian ngoai phu quá nhieu. Ngoài ra, như đã thay cau
trúc lý thuyet, dây boson không có khá năng mô tá các trang thái có spin
bán nguyên. Nham khac phuc các nhưoc điem này, ngưòi ta đưa vào siêu
đoi xúng trên lá the, the hi¾n qua sn bien đoi qua lai giua các toa đ®
không
- thòi gian X µ.τ, σ. vói các đoi tác cna chúng - các siêu toa đ® phán giao

hoán ψµ.τ, σ.. Đoi vói không - thòi gian cna
µ dây đó là các vector, còn đoi
vói lá the là các spinor hai thành phan ψ .τ, σ., A = 1, 2. Ngoài ra,
chúng
A
là nhung đai lưong thnc .Majorana.:
.
.A
µ +
(1.75)
(ψ ) = ψµ+ =
ψ

µ
A

A

Lúc
này
.
. v% trí
. cna
. dây trong không - thòi gian đưoc xác đ%nh bói cá
X µ τ, σ và ψµ τ, σ , và dây đưoc goi là siêu dây.
Chuyen đ®ng cna siêu dây đưoc mô tá bói tác dung dang:
S = S .x.

Vói:

¸
1
2π
¸
S . ψ. =
1
S .x. =

(1.76)

+ S.ψ.

d2ληαβ ∂αXµ.∂β Xµ

(1.77)

d2 ληαβ ∂¯µ ρα ∂β ψµ

(1.78)

2π
µ

Ta hãy tìm phương trình chuyen đ®ng cho ψA ..Tù .1.78. ta có:
δL
δψ

i

ρα

.B

∂ ψ
=
A α µB
. 0
ρ
δL
2
π
i .
.
¯ρα A
ψ
.
.
=
µ
2π
δ ∂α ψA
A
µ

(1.79)

(1.80)


=−

i

.

0

ρα

.B

ψµB ρ
A
2π
B
i . 0 .
=−
ρ ρ α A ψµB
2π

(1.81)
(1.82)


Thay ket quá vào phương trình Euler - Lagrange
δL
δL
µ
δψ − ∂0 . α ψ Aµ = 0
A

δ∂
.

(1.83)

ta đưoc phương trình chuyen đ®ng:
ρα ∂α ψ µ = 0

(1.84)

Viet tưòng minh
. cho tùng
. µthành phan:
.
. µ
∂τ + ∂σ ψ = 0 , ∂τ − ∂σ ψ = 0

(1.85)

• Siêu dây mó: Đieu ki¾n biên:.
.
.
.
µ
µ
Ψ τ, 0 = Ψ τ, 0

(1.86)

1

2

1

2

µ

µ

1

2

Khi đã bu®c đieu ki¾n trên thì dau tương đoi giua ψ và ψ tai σ = 0
tró nên có ý nghĩa. Lúc này ta phân bi¾t làm hai trưòng hop:
.
.
1. Đieu ki¾n biên Neveu - Schwars mien NS :
.
.
µ.
µ.
Ψ τ, π = −Ψ τ, π
(1.87)
1

2

.

.
2. Đieu ki¾n biên Ramond mien R :
.
.
.
.
µ
µ
Ψ τ, π = Ψ τ, π
1

(1.88)

2

Nghi¾m cna các phương trình chuyen đ®ng thóa mãn các đieu ki¾n
biên trên tương úng có bieu thúc tong quát như sau:
.
1. Mien NS:
.
µ.
ir τ −σ
ψ τ, σ =
b µe .
.
(1.89)
1
1

µ

.

.

√

ψ τ, σ =
1
√

2

2. Mien
R:

µ

.

2 .

√

b µe

ir τ +σ

.

(1.90)

in τ −σ

(1.91)

.

r

2

r∈Z+21

.

.

ψ τ, σ =
1
1

r
r∈Z+21

dµ e
n

2 n∈Z−0

.

.