Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các nhà khoa học giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện đề tài.
Đặc biệt tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Văn Khải đã trực tiếp hướng dẫn
tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin cảm ơn các
bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp đã có những đóng
góp quý báu trong suốt quá trình viết luận văn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010.
Tác giả


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Khải.
Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành
quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010.
Tác giả


2

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . .

12

1.1.4. Một số hình thức hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.5. Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản

........................

1.2.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29
34

1.3. Hội tụ yếu và hệ đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.3.1. Một số khái niệm về hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.3.2. Một số vấn đề về đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Chương 2. Tính gần đúng phiếm hàm tích phân xác định
2.1. Một số công thức tính gần đúng tích phân I

............

44
44

2.1.1. Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1.2. Công thức Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1.3. Công thức Newton – Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.1.4. Công thức Chebyshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.5. Công thức Gauss – Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2. Sự hội tụ của quá trình tính gần đúng tích phân

.........

58


3
2.2.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.2.2. Định lý Polya về sự hội tụ của quá trình . . . . . . . . . . . .

59

tính gần đúng tích phân xác định
2.2.3. Sự không tồn tại của công thức tính gần đúng tích phân

61

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề tính gần đúng tích phân xác định là một vấn đề cổ điển của toán
học và đã được các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới quan tâm từ lâu,
những nhà toán học tên tuổi Lagrange, Newton, Cotes, Chebyshev, Gauss,
Beirstein,… gắn liền với quá trình phát triển của các công thức tính gần đúng
tích phân.
Lý thuyết tính gần đúng tích phân đã được đưa vào giảng dạy ở các bậc
đại học không chỉ trong chương trình đào tạo cử nhân Toán học mà còn
được giảng dạy cho cả các ngành Vật lý và đào tạo kỹ sư; điều đó nói lên vai
trò đặc biệt của nó.

Tuy nhiên, hầu hết các tài liệu tiếng Việt hiện này trình bày về lý thuyết
tính gần đúng tích phân đều mang màu sắc cổ điển, thiếu đi một cách nhìn
hiện đại. Chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân”

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn này làm sáng tỏ các vấn đề về tính gần đúng phiếm hàm tuyến
tính tích phân xác định và đặt phép tính tích phân dưới góc nhìn của khái
niệm phiếm hàm trong các không gian của giải tích hàm.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Một là, nghiên cứu các công thức tính gần đúng tích phân dưới góc nhìn
của phiếm hàm tuyến tính.
Hai là, nghiên cứu sự hội tụ quá trình tính tích phân.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


4
Nghiên cứu về các phiếm hàm tuyến tính trong các không gian
Banach, không gian Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cứu
Áp dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học. Cụ thể là áp
dụng các nguyên lý cơ bản trong giải tích hàm như: Nguyên lý ánh xạ co,
Nguyên lý bị chặn đều, các khái niệm hội tụ trong giải tích hàm.

6. Những đóng góp mới
Luận văn trình bày tương đối hệ thống vấn đề tính gần đúng phiếm hàm

tuyến tính tích phân xác định trên tập số thực.


Chương 1.

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Không gian Metric
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với
một ánh xạ d từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các
tiên đề sau:
1) Với mọi x, y
Î
2) Với mọi x, y
Î
3) Với mọi x, y, z
Î

X : d (x, y ) 0 ; d (x,y ) = 0
³
Û

x = y.

X : d (x, y ) d (y, x ).
=
X : d (x, y ) d (x, z ) + d (z, y ).
£

Ánh xạ d gọi là metric trên X .

Không gian metric được kí hiệu là (X ,d ).
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric (X ,d ) và dãy điểm (xn
Ì
x 0 Î X . Dãy điểm (xn ) được gọi là hội tụ tới
điểm
khi n ® ¥ , nếu với mọi e >

Ký hiệu:

lim x
=
n

0,
$n

*

0

Î ¥ , với "n
³

x 0 hay x n ®

)

X , điểm

x trong không gian X

0

n : d (x ,x ) < e .
0

x 0 (n ® ¥

n

0

).

n®¥

Điểm x 0 còn gọi là giới hạn của dãy (x n ) trong không gian X .


Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (X ,d ). Dãy điểm (xn
Ì

)

gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X , nếu với mọi e > 0 , tồn tại

X được


*

n Î ¥ , " m,n ³ n :
0
0

d (xn ,
x

)<

e.

Nhận xét 1.1.1. Mọi dãy điểm (x n ) Ì X hội tụ trong X đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X ,d ) gọi là không gian đầy, nếu mọi
dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử x 0 Î X .

1.1.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường số thực ¡ cùng với một
ánh xạ từ X vào ¡ , ký hiệu là ×, thỏa mãn các điều kiện sau:
1.

x ³ 0 "x Î
X

2.

ax = a
x

3.

x+y £ x +
y

đồng thời
x

= 0Û x = 0.

"x Î X , " Î ¡ .
a
" x, y Î X .

Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn
là X .
Mệnh đề 1.1.1. Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kỳ x, y
ta đặt
d (x, y ) = x - y .
Khi đó d là một metric trên X .
Nhận xét 1.1.2. Mệnh đề 1.1.1 chứng tỏ rằng khi trang bị khoảng cách
d (x , y )
=

x y

thì mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành

không gian metric. Do đó mọi khái niệm và mệnh đề đã đúng cho không
gian metric cũng đúng cho không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tuyến tính X và Y là một tập con khác
rỗng của X . Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong
Y được gọi là bao tuyến tính của Y (hay không gian con sinh bởi Y ) và ký
hiệu là span(Y ) .
Định nghĩa 1.1.7. Cho
Y

=

{x } là hệ các phần tử trong không gian tuyến
k

tính định chuẩn X . Nếu bao đóng của không gian span(Y ) trùng với X
(nghĩa là span (Y

)

X ) thì ta nói

{x } là hệ các phần tử đóng trong X .
k

=
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm
tới x Î
X

nếu lim

{x } của không gian định chuẩn X
n

gọi là hội tụ

= 0.

x xn -

n®¥

Ký hiệu lim x n = x .
n®¥

Định nghĩa 1.1.9. Dãy điểm
n

{x
(dãy Cauchy) nếu lim x x
n ,m ® ¥

n

} của không gian định chuẩn X

là dãy cơ bản

= 0.
m

Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản trong nó đều hội tụ.
Nói cách khác: Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy
với khoảng cách sinh bởi chuẩn d (x, y )
=

xy

,x, y Î
X

thì X được gọi là

không gian Banach.
Ví dụ 1.1.3. (Không gian các hàm liên tục)
Ký hiệu C é ù là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn éa,bù.
êëa,búû

ëê úû

Bởi vì mỗi hàm thực liên tục trên một đoạn là bị chặn trên đoạn đó nên ta có
thể xác định
f = sup
Î

{ f (x ) : x

}

éa,bù .

ëê úû


Nhận thấy f a

f xác định như trên cho ta một chuẩn trên không gian

C é ù, do đó C é

là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong C é

ù
êëa ,búû

êëa ,búû

ù
êëa,búû

đối với

chuẩn này là sự hội tụ đều.
Dưới đây ta chứng minh rằng C é

là không gian Banach.

ù
êëa ,búû

Thật vậy, cho f là một
dãy cơ bản trong C é ù. Khi đó
éa,b
n
êëa ,búû
ù
0,
*
$n
ÎÎ ¥ , " n, m

"³ e

êë úû

0

(x )-

f
n

e

(x ) £

f
m

.

(1)

3

Như vậy mỗi x Î

éa,bù cố định, dãy số (x ) ¥ là một dãy cơ bản
f
n
n=1
ëê úû
đầy nên tồn tại
f (x ) lim (x ), " x éa,bù. Ta sẽ chỉ ra
f
=
Î
n
n®¥
ëê úû

}

{

trong ¡ . Do ¡

f Î C

và
êëa,búû
é ù

fn ® f trong C é ù. Với x cố định thuộc C é

ù
êëa,
búû

êëa,búû

m ® ¥ và n ³

trong (1) cho

n ta được

(x )-

0

f

e

f (x )
£

Î

,"x

éa,bù, " n ³
n

êë úû
3
Vì f liên tục tại x nên tồn tại d > 0 sao cho
n
0
(f x )<
d
thì
éa,bù: x f
"x Î x

.

n

(2)

0

0

êë úû

0

n0

(x ) <
n0

0

e

.

(3)

3

Từ (2) và (3) suy ra
f (x
)-

f (x
£
0

)

f (x
)-

f (x )

+
n
0

(x )- (x ) + (x ) f (x )

f
f

f

n

n0

-

n0

0

0


e

+ e + e = e.
éa,bù: x 3 3 3
x
Như vậy ra đã chứng minh được rằng với " x Î

<

ëê úû

< d thì

0


f (x )- f

(x

)<
0

Tức là f là hàm liên tục trên éa,bù
(do
ëê úû
(2) suy ra dãy
f

(x )

{

n

}

hội tụ về hàm
¥

e.
x tùy ý thuộc éa,bù). Cũng từ
ëê úû

0

{f (x )} trong C

n=1

ëê

.

éa,bù
úû

Vậy C é ù là không gian Banach.
êëa ,búû

Ví dụ 1.1.4. ( Không gian các hàm thực liên tục trên đoạn éa,bù với chuẩn
ëê úû
tích phân)
Ký hiệu Lé

là không gian các hàm liên tục trên đoạn éa,bù. Trên L
é ù

êëa,búû
êëa,bú
ëê
ù

û

đối với mỗi hàm số x (t ) ta xác định một
hàm

x (t )
Rõ ràng hàm a

x (t =

)

úû

b

ò x (t )dt .
a

thỏa mãn ba tiên đề trong định nghĩa

x (t

)
chuẩn, vậy L é

là không gian định chuẩn. Ta sẽ chứng tỏ rằng L é

ù
êëa,búû

phải là không gian Banach.
Cho
éa,bù=
é0, 1ù. Trong
L
ê
ú
ë
û ëê
úû
ìï

(t ) =

x
n

không

ù
êëa,búû

é0,1ù

{

n

ëê úû

ï
1
ïï
ï n+1
í
2nt
khi
ï

(t )} như sau:

xét dãy hàm
x

kh
i

0£ t £

1

2

1

2

£ t £

1

2

+

1

2n


ï
ï0

1

+

1 £ t £ 1.

khi
2

ïî
Với mỗi m > n ³

(t )-

x
m

x= (t )
n

1 ta có:

1

ò
0

x)- (t
m

(t ) dt

x
n

2n


10

=

1 1
2 + 2n

ò

(- t )

x

(t ) dt .

x

m

n

1
2

Vì x

(t )
-

(t )

x
£

m

1 nên x

)-

n

(t

m

1

(t )

x
£

¾ ¾n ® ¥¾® 0 . Ta suy

ra
n

2n

{x (t )} là dãy cơ bản. Tuy nhiên dãy này không hội tụ.
Thật vậy, giả sử dãy hàm {x (t )} hội tụ tới hàm x (t ) nào đó trong L
dãy

n

n

tức
ëê úû

là
1

ò x (t )
n

0

x (t )dt ® 0 .

-

Tích phân này lại có thể viết
1
1

ò x (t )
n

-

x (t )dt
=

0

2

ò

1

xn

(t ) x (t )dt ò x (t ) x (t )dt .
n

-

+

-

0

1
2

Nên ta phải có:
1

1

t
ò x (- )
2

n

0

x (t )dt
®

0 và

ò
1

x n t x t dt ® 0 .
() ()
-

2

Nhưng rõ ràng
1
2

ò
0

1dt

x n (t ) ®
-

1

0 và

ò
1

0dt ® 0 .

(t )

xn -

2

Như vậy, hai hàm x (t ) và 1 cùng là giới hạn của
Ta cũng có x (t ) và 0 cũng là giới hạn của

{x (t )} trong L
n

{x (t )} trong L
n

é1 ù
êê ,1úú
ë2 û

.

é 1ù
ê ú
êë0, 2 úû

.

,

é0,1ù


T ú suy ra x (t ) =
1

Suy ra x
1ữ
ổ ử= ỗ
ỗ
ố2ứ
ữ

"t ẻ ộ ự
"t ẻ
ộ1 ự
ờ0;1 ỳ; v x (t ) =
ờ , 1ỳ
0

ờ 2ỳ

ờ2 ỳ

ở

ở

ỷ

ỷ

1ữ
0 v x ỗổ ử = 1.
ốỗ2ứ
ữ

iu ny vụ lý, do ú dóy

{x (t )} khụng hi t trong L

.

ộ0,1ự
ởờ ỳỷ

n

Vy L ộ ự khụng phi l khụng gian Banach.
ờở0,1ỳỷ

nh ngha 1.1.11 (Chun tng ng). Cho khụng gian tuyn tớnh X v
trờn ú xỏc nh hai chun . v . . Hai chun ny gi l tng ng nu
1

2

tn ti hai s dng a , b sao cho.
a x

Ê x
1

2

Ê b
x

"x ẻ X .
1

nh ngha 1.1.12. Cho khụng gian nh chun X v mt dóy cỏc phn t

{x }
è

n

X . Tng hỡnh thc
x + x + ... +

x
1

2

+ ...
n
Ơ

c gi l chui trong X v c ký hiu l

ồ

xn .

n=1

Phn t x n c gi l s hng th n ca chui. Vi mi n t
S = x + x
n

1

2

+ ... +
x

=
n

n

ồ

k=1

x
k

Ơ

v S n c gi l tng riờng th n ca chui
T ú ta c dóy S n

{}

nẻ Ơ

è

ồ

x n.

n=1

Ơ

X gi l dóy tng riờng ca chui

ồ

n=1

nh ngha 1.1.13. Cho khụng gian tuyn tớnh nh chun X v

xn .

{x } l
n


dãy phần tử trong X . Nếu dãy các tổng riêng
X
thì chuỗi x +
x
1

2

{S }Î

hột tụ đến S Î X

n

+ ... được gọi là hội tụ và S gọi là tổng của chuỗi

+ ... +

x

n

¥

này. Ta cũng nói dãy
n

å

x khả tổng và viết

n=1
¥

S =

å

n=1

xn .

Trường hợp ngược lại ta nói rằng dãy phân kỳ.
Định nghĩa 1.1.14. Chuỗi

¥

å

¥

å

x gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số

n=1

hội tụ.

xn

n
n=1

Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi

¥

å

x trong không gian Banach X

n
n=1

là hội tụ khi và chỉ khi với " e > 0, $n0 Î ¥ * sao cho " n
³
xn + 1 + ...

+

xn +
p

*

n 0, " p Î ¥ :

< e.

Chứng minh.
Do X là không gian Banach nên chuỗi hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng
riêng
X

{S }Î

"n
³

n ,"p Î ¥ :

là dãy cơ bản tức là với " e
>

n

0, $n Î ¥ * sao cho
0

*

0

S

- S
x
n+p
1

=
n

n+

+ ... +
x

< e.
n+p

Mệnh đề 1.1.2. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ
khi mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.


Chứng minh.
Điều kiện cần.
¥

Giả sử X là không gian Banach và chuỗi
n

å
n=1

x

hội tụ.


Khi đó với " e
>

0, $n Î ¥ * sao cho " n
³

*

n ," Î ¥ :
0

0

p

å

xn + < e .

j=1

Suy ra với " e
>

j

*

0, $n Î ¥ * sao cho " n
³
0
p

å

x

£

n+j

j=1

Theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi

n ,"p Î ¥ :
0

p

å

x

j=1

¥

å

n+j

< e.

x hội tụ. Vậy trong không gian Banach

n
n=1

mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Điều kiện đủ.
Giả sử rằng trong không gian định chuẩn X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối

{x } là

đều hội tụ. Lấy

một dãy cơ bản trong X . Theo định nghĩa với

n

"e
>

0,
$n

*

0

Î ¥ với " n, m ³
n

0

sao cho x x

< e.

n

m

æ1 ö
÷
Nhờ đó với số e là phần tử của dãy số
ta tìm được số n sao cho

÷
ç
k
çè2k ø÷
x

- x

nk + 1

1

£
=

(k

1, 2, ...) với n < n .
k

nk

k+1

2k
Từ đó suy ra chuỗi x
thiết, chuỗi

(x

1

)+ (x

n1

n2

n1

)

n

xn + ... +

2

(x

-

n

+ x - x

1

+ ...
+

nk + 1

xn

k+1

- x n + ... hội tụ. Theo giải
k

)

- x + ... hội tụ trong không gian
n
k

X và ký hiệu tổng của chuỗi này là s . Hiển nhiên
sé = lim
x

(

)+ (x

- x

)+ ... + (x


- x

)ù=

.

lim x
k®¥

êë

n2

n1

n1

nk + 1

nk

k®
¥

nk + 1

úû
Từ chứng minh trên và từ hệ thức
x - s £
n
1

x x
n

nk +

+ x
s n

k+1

® 0

(k, n ®

¥

)


suy ra s = lim x trong không gian định chuẩn X . Do đó X là không gian
n®¥
Banach.

n

Định lý được chứng minh.

1.1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.15. Cho hai không gian định chuẩn X
A :X ®

Y

và Y . Ánh xạ

được gọi là ánh xạ tuyến tính liên tục nếu

1) A là tuyến tính, nghĩa là
A (a x + by
)
=

a f (x ) b f (y ), " a ,
+
b Î

2) A là liên tục theo nghĩa mọi dãy

n

(x

): x

¡ , " x, y Î X .

® x thì A (x
®
*

)

A (x

*

).

n

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Trong trường hợp
Y = ¡ thì toán tử tuyến tính A thường được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Ví dụ 1.1.5. X
=

= ¡ , A (x , ..., x
=
m

k

¡ ,
Y

1

h =
i

k

å
j=1

a x (i
=
ij

k

) (h , ..., ) với
h

1

m

1, 2,..., m ).

(4)

j

Trong đó a i là những hằng số. Ma trận
j

2

éa a
êêa11 a 12
21

22
êê... ...
ê
a a
ê m1 m
ë

... a ù
1k ú
... a ú
2k ú
... ... ú
ú
... a mk úú
û

Được gọi là ma trận của toán tử A .
Nhận thấy (4) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ ¡
¡

m

. Thật vậy, cho A là một toán tử tuyến tính bất kỳ từ ¡

k

vào ¡

k

m

vào
. Gọi


e ,e , ...,e và e , e , ..., e là các cơ sở của ¡
k
1

2
k

1

2

x = (x , ..., x ) Î ¡
1

k

sao cho với mọi

m

và y = (h , ...,
h

k

và
¡
m

1

)Î

¡

m

:

m
k

x=

å

j=1

xiej .

m

y=

å

i=1

Vì A là tuyến tính nên Ax

k

hiei .

(A e ).

= å
x
j=1

Đặt Ax = h , ..., ,
(
)
h
Ae
1

=
(a

m
j

) ta có (4).

, ...,
a
1j

Định lý 1.1.2. Cho A : X ®
Y

mj

là toán tử tuyến tính giữa hai không gian định

chuẩn X và Y . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
(i)

A liên tục.

(ii)

A liên tục tại 0 Î X .

(iii) A bị chặn trên hình cầu đơn vị, nghĩa là

(iv) Tồn tại hằng số C >

sup
:

{ A (x )

}

x £ 1 < +¥ .

0 để
A (x ) £ C x , " x Î X .
Chứng minh.

(i ) Þ (ii ). Hiển nhiên.
(ii ) (iii ). A là ánh xạ tuyến tính nên A
Þ

0 và vì A liên tục tại 0 Î X

(0) =

nên tồn tại d > 0 sao cho

A

(x
j

)
=


A (x )-

Từ đó suy ra

A (0) £

1, " x

£ d.


A (x ) = 1 A dx Ê 1 , "
( )
x
d

Ê 1.

d

Vy
sup

(iii ) (iv ). t C
ị

sup
x

=

x ạ 0 thỡ do x
x

{

}

{ A (x ) :

ta cú

d

< +Ơ .

}

Ê 1 . Theo gi thit C < + Ơ . Nu

= 1 v tớnh tuyn tớnh ca A , ta cú
A (x ) = A ổ
x
ỗỗ x
x
ỗố

hay " x
ạ

1

A (x ) : x Ê

1 Ê

0 ta cú A (x ) Ê C
x

A (x ) Ê C
x

ử
ữ
ữ
ữÊ C.
ứữ

. Vi x = 0 bt ng thc l hin nhiờn nờn

vi mi x ẻ X .

(iv ) (i ). Do (iv ) v do tớnh tuyn tớnh ca A
ị

nờn vi x tựy ý cho trc ta
0

cú
A (x )-

A (x
=

)

A (x
-

)Ê

x

0

0

C x- x .

0

Suy ra A liờn tc ti x . Do x tựy ý nờn A liờn tc trờn X .
0

0

nh ngha 1.1.16. Cho toỏn t tuyn tớnh liờn tc A :
X
A = sup
x Ê1

A (x c gi l chun ca A .

)

đ Y . S