Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ Boson biến dạng

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ
nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt
tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
PGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi
trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Cuối cùng tôi xin tỏ long biết ơn tới gia đình, bạn bè,những người đã
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã
rất cố gắng song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn.
Hà nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả

Đoàn Thị Thu Hường


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thong tin
trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả

Đoàn Thị Thu Hường


1

MỞ ĐẦU
Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, được phát triển mạnh

mẽ cả về bề rộng và bề sâu. Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp
toán học. Vật lý lý thuyết nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, phản ánh
được bản chất vật lý của các hiện tượng tự nhiên [1, 2, 3, 4, 5].
Vật lý lý thuyết có hai nhiệm vụ:
a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành
lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm. Xây
dựng những thuyết bao gồm và giải thích được một số phạm vi rộng rãi nhiều
hiện tượng vật lý.
b) Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới những quy
luật tổng quát hơn các quy luật đó biết, đoán trước được những mối liên hệ
giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được.
Thuyết lượng tử, là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý lý
thuyết học, trong đó cơ học lượng tử đó làm thay đổi cơ bản quan niệm về thế
giới vi mô, là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (cũn gọi là cơ học
cổ điển). Nó còn là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý và
hoá học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt... Trong cơ học lượng tử,
mỗi đại lượng vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử. Ví dụ như: năng
lượng, động lượng, tọa độ, mô men góc, …đều sẽ có một toán tử tương ứng.
Mặt khác, cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một
loạt các công cụ toán, trong số đó toán tử giữ một vị trí quan trọng [6,7,8,9].
Việc hiểu rõ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người
nghiên cứu vật lý hiện đại.
Ngày nay, lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của
các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đó
mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới hạt vi


mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của
vật lý. Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật
phân bố thống kê lượng tử. Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ

được bản chất vật lý của các quá trình vật lý trong hệ nhiều hạt.
Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đó
vẫn có những sai khác giữa kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó
người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng tử
mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là
một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử .
Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình
thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc
nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự
quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống
kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac như thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng...., với tư cách là các thống kê
mở rộng [10, 11, 12, 13, 14]. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là
trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài
“Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng”.
Mục đích của đề tài là tìm hiểu các toán tử trong vật lý, một công cụ hữu
hiệu dựng trong nghiên cứu các hệ hạt vi mô. Xây dựng biểu diễn ma trận của
các toán tử boson biến dạng q, thỏa mãn các hệ thức giao hoán tương ứng và
xây dựng các thống kê lượng tử biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường
lượng tử.


NỘI DUNG
Chương 1:
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TỬ
Trong chương này, chúng ta sẽ giới thiệu vắn tắt sự mô tả các trạng thái
của cơ học lượng tử bởi Dirac và lí thuyết biểu diễn.
Trước hết, trạng thái của hệ lượng tử là gì? Chúng ta thừa nhận rằng nếu
biết trạng thái của hệ chúng ta sẽ biết các thông tin về hệ. Một hệ lượng tử ở
một trạng thái xác định nào đó khi mọi điều ta muốn biết về nó đều có thể
được biết, ngoại trừ sự vi phạm các qui luật của cơ học lượng tử.

Các trạng thái của hệ lượng tử có thể mô tả bởi các hàm sóng ψ. Sự mô
tả trạng thái lượng tử khác nhiều các trạng thái trong cơ học cổ điển. Ví dụ, đối
với các trạng thái lượng tử ta không thể đồng thời xác định chính xác cả tọa độ
và xung lượng của hệ do nguyên lí bất định Heisenberg. Hơn nữa, ta chỉ có thể
tiên đoán xác suất của các sư kiện tương lai mà thôi. Sự khác biệt thứ hai của
các trạng thái lượng tử là ở chỗ các hàm sóng mô tả chúng tuân theo nguyên lí
chồng chất trạng thái.
Các trạng thái lượng tử có thể mô tả bởi các vectơ trạng thái |ψ> (tương

ứng với hàm sóng (r , t) ) trong không gian vectơ. Không gian này gọi
là
không gian Hilbert với các vectơ cơ sở kí hiệu bởi |uj> gọi là các trạng thái cở
sở hay các ket cơ sở {|uj>}.
1.1. Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide
1.1.1. Không gian vectơ E
Định nghĩa: Không gian vectơ E là một tập hợp các phần tử (x, y, z…)
với phép cộng hai phần tử x, y bất kì và phép nhân một phần tử x bất kì với
một số thực λ thỏa mãn các tính chất sau đây:


Phép cộng: ∀x, y ∈ E đã định nghĩa z = x + y ∈ E thỏa mãn các điều kiện:
1. Giáo hoán:

x+y=y+x

2. Kết hợp:

(x + y) + k = x + (y + k)

3. Tồn tại phần tử không (0) sao cho: x + 0 = 0 + x

∀x ∈ E

4. Với mỗi phần tử x, tồn tại phần tử đối xứng (-x) sao cho
x + (-x) = (-x) + x = 0
Phép nhân: ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R (R - tập hợp các số thực) đã định nghĩa z
= λx ∈ E thỏa mãn các điều kiện sau:
5. Kết hợp: λ1(λ2x) = λ1λ2x
6. Phân bố đối với phép cộng vecto: λ(x + y) = λx + λy
7. Phân bố đối với phép cộng số λ: (λ1 + λ2)x = λ1x + λ2x
8. Tồn tại λ = 1 thỏa mãn λx = 1.x = x
Mỗi phần tử x, y, z, … của tập hợp E gọi là một vectơ. Không gian E
định nghĩa với λ ∈ R gọi là không gian thực, với λ là số phức (λ ∈ C, C là
tập hợp số phức) E gọi là không gian phức.
Các vectơ x1, x2, …, xn ∈ E là phụ thuộc tuyến tính, tồn tại các số
thực λ1, λ2, …, λn không bằng không tất cả sao cho:
λ1x1 + λ2x2 + … + λnxn = 0
Nếu 1 2 ... n
0 thì các vecto

x1, x 2 ,..., x n là độc lập tuyến tính.

Số cực đại vectơ độc lập tuyến tính của một không gian gọi là số chiều
của không gian đó. Trong không gian tuyến tính n chiều, người ta có thể chọn
n vectơ bất kì độc lập tuyến tính (x1, x 2 ,..., x n ) (x i ,i 1, 2,..., n) làm
cơ sở. Khi đó một vectơ bất kì z ∈ E có thể khai triển duy nhất dưới dạng
tổ hợp tuyến
tính của các vectơ cơ sở:

n

(1.1)

z

a
E
i1

i

xi


hệ số ai là thực (nếu E là không gian vectơ) hoặc phức (nếu E là không gian
phức).
Thông thường người ta kí hiệu các vectơ cơ sở là{ei}
(e1 x1, e2 x 2 ,...,e n và các tọa độ của vectơ z là z , z ,...,
1
2
x n )
zn
n
có:
z z i e i

nghĩa là ta

(1.2)

i1

Sau khi đã chọn cơ sở {ei} thì các tọa độ zi của một vectơ z nào đó (z ∈
E) là xác định. Có thể biểu diễn vectơ z bằng một ma trận cột có n phần tử là n
tọa độ zi:
z1 
 
z
 2 
z  .  
Z
 
. 
 
zn 

(1.3)

Ma trận cột kí hiệu là z phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. Cùng một vectơ
z trong hai cơ sở khác nhau sẽ có tọa độ khác nhau và biểu diễn bởi hai ma trận
cột khác nhau.
1.1.2. Không gian vectơ Euclide
Trong không gian vectơ thực E đã cho, tích vô hướng của hai vectơ x, y
∈ E, kí hiệu là (x, y) là một số thực sao cho:
1. (x, y) = (y, x)

∀x, y ∈ E (giao hoán)

2. (x, λy) = λ(x, y)

∀x, y ∈ E, λ ∈ R (kết hợp)

3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

∀x, y, z ∈ E (phân

phối) khi đó E gọi là không gian vectơ với tích vô hướng.
Nếu thỏa mãn thêm điều kiện xác định dương:
4. (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0 thì E gọi là
không gian Euclide thực.


Trong không gian Euclide độ dài (hay môđun) của vectơ x được định
nghĩa:
x 

(x, x)
Góc θ giữa hai vectơ x và y bất kì được định nghĩa như sau:
(x, y)
cos
x y

(1.4)

(1.5)

Hai vectơ trực giao với nhau nếu tích vô hướng bằng không:
(x, y) = 0
Từ định nghĩa của cơ sở {ei} suy ra trong không gian Euclide các vectơ
cơ sở e1, e2, …, en trực giao nhau

(ei, ej) = 0

nếu i # j

và có độ dài bằng đơn vị (chuẩn hóa): (ei, ej) = 1
Tính chất trực chuẩn của hệ cơ sở như vậy có thể viết lại như sau:
(ei ,e j ) ij

(1.6)

Đối với không gian phức Z, tích vô hướng của hai vectơ bất kì x, y ∈
Z kí hiệu là (x, y) và thỏa mãn những điều kiện sau:
1. (x, y) = (y, x)

∀x, y ∈ Z

2. (x, λy) = λ(x, y)

∀x, y ∈ Z, λ ∈ C (tập hợp số

phức) 3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀x, y, z ∈ Z
Nếu không gian phức với tích vô hướng còn thỏa mãn thêm điều kiện:
4. (x, x) ≥ 0

∀x ∈ Z và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x =

0 thì không gian Z gọi là không gian Euclide phức hay không gian Unita.
Trong không gian Unita các tọa độ xi của vecto x; x (x , x ,..., nói
1
2

xn )
chung là các số phức. Tích vô hướng của hai vectơ x, y có dạng:
(x, y) x1y1 x 2 y2 ... x n yn

(1.7)


Các khái niệm độ dài của một vectơ, tính trực giao của hai vectơ trong
không gian Unita vẫn giữ như trong không gian Euclide thực.
Trong không gian phức n chiều Z, sau khi đã chọn cơ sở thì các tọa độ
của mỗi vectơ được xác định. Biểu diễn mỗi vectơ bằng một ma trận cột
x1 
 
x
 2 
x  . X y
 .
. 

 .
 
xn 


y1 
 
y
 2 
 Y x, y Z


 
 
yn 

tích vô hướng của hai vectơ (1.7) có thể biểu diễn dưới dạng tích của một ma
trận hàng nhân với một ma trận cột
y1 
 
y
 2 
* *
*
(x, *y) (x x
...x )  .
XY
1 2

n

(1.8)


. 
 
yn 


1.2. Không gian Hilbert
1.2.1. Định nghĩa

Không gian Hilbert H là một không gian Unita đầy đủ, có nghĩa là mọi
tổ hợp tuyến tính của các vecto trong không gian cũng là vectơ của không gian
đó. Tính chất này suy ra từ định nghĩa của không gian vectơ. Nếu không gian
có số chiều vô hạn thì tính chất đầy đủ có nghĩa là mọi chuỗi của các vectơ hội
tụ về một vectơ của không gian đó.
Không gian Hilbert là tách được nếu nó chứa một tập hợp trù mật đếm
được của các vectơ. Tập hợp trù mật là tập hợp mà trong đó mỗi vectơ có thể
là giới hạn của một chuỗi vectơ của tập hợp (ví dụ các số hữu tỷ hợp thành một
tập hợp trù mật trong tập hợp trù mật trong tập hợp các số thực).


Không gian Hilbert là tách được, nếu người ta tìm được ít nhất một cơ
sở đếm được của không gian đó.
2

k

Thí dụ: Tập hợp các đơn thức 1, x, x ,..., x ,...(với k là số nguyên) là một
cơ sở đếm được của không gian các đa thức có bậc bất kì. Tập hợp các sóng
phẳng e

ikx

(với k là số sóng, có thể có các giá trị liên tục) không phải là một cơ

sở đếm được.
Đối với cơ sở đếm được

ei ,i 1, 2,..., n:

thì một vecto z

e1,e2 ,...,en
được khai triển như sau:



(1.9)

z

z
k là chỉ số nguyên.

k

e

k
k1

Đối với cơ sở không đếm được thì:

z  z ed

(1.10)

là thông số biến đổi liên tục.
1.2.2. Một số tính chất của không gian Hilbert vô hạn chiều
Không gian Hilbert vô hạn chiều có một số tính chất khác lạ so với

không gian hữu hạn chiều.
a. Không gian Hilbert tách được có ít nhất một cơ sở đếm được, ngoài ra
có thể có cơ sở không đếm được. Như vậy, một vecto của không gian vừa có
thể khai triển trong một cơ sở không đếm được.
b. Một vectơ của không gian Hilbert có thể khai triển trong một cơ sở
gồm các vectơ nằm ngoài không gian đó.
c. Thành phần thứ i (φi) của vectơ φ trong không gian có N (hữu hạn)
chiều bằng hình chiếu của vectơ φ lên vectơ cơ sở thứ i (ei).
i (ei ,)
Muốn xác định được vectơ φ ta cần biết tất N hình chiếu của nó lên các
vectơ cơ sở.


1.3. Vecto ket, bra



Mọi vecto tọa độ A đều được khai triển theo các vectơ cơ sở ei


A A i ei

(1.11)

i


 

với ei.e j ij và Ai là hình chiếu

theo phương ei và bằng:
 
của A
Ai (ei , A)
Khai triển hàm sóng
(x)

(1.12)

theo các hàm riêng trực chuẩn ui (x) của một



tốn tử ecmite A
:

(x) 

c x
i

i

i

(1.13)

(x)

và so sánh với phương trình (1.11), ta rút ra sự tương tự sau:


các vectơ cơ sởei
Các hàm

riêng ui
Hàm sóng 
 
các vectơ A
Hệsốkhai
tích vôhướng (ei , A)
triển ci
Giữa khơng gian vectơ và khơng gian trạng thái Hilbert có sự tương tự
sâu sắc, do đó ta có thể dự đốn các tốn tử trong khơng Hilbert từ các tốn tử
tương ứng tác dụng trong khơng gian vectơ tuyến tính. Tổng của hai vectơ
trạng thái lại là một vectơ trạng thái và vectơ trạng thái mới này là tích của một
vectơ trạng thái với một số phức bất kì.
Tương tự (1.12), tích vơ hướng của hai hàm sóng ui và ψ cho phép ta xác
định hệ số khai triển ci trong cơng thức (1.13)

c 
i
dx u i 
*

Kí hiệu tích vơ hướng trong khơng gian vectơ bởi <ui|ψ>
*

ci ui |  dxu i (x)(x)

(1.14)

Kí hiệu  |
gọi là bracket, <ui| gọi là một bra còn |ψ> - ket.
i
u


Với kí hiệu mới này, phương trình (1.13) được viết như sau:
ui | | u i


|




Hay:

ui ui 


| 

ui 

| ui

i

(1.15)
(1.16)

|




 i

i



Nói cách khác, khai triển (1.16) đòi hỏi các vectơ cơ sở két phải thỏa
mãn:

u
i

u
1
i

i

(1.17)

Hệ thức này gọi là hệ thức khép kín. Hệ thức khép kín diễn tả tính chất
đầy đủ của hệ các vecto cơ sở u , u ,..., u .

n
1
2
Tương tự, từ điều kiện trực chuẩn của các hàm riêng ui(x)
ij
 dxui (x)uj (x) 

(1.18)

*

Và định nghĩa bracket (1.14), ta rút ra:
(1.19)

ui | u j  ij

Do tính chất của tích vô hướng của hai hàm sóng, ta có các tính chất sau
đối với các bracket:
*

|  | 
|
1 1
2 2
1
1
2

 
 |2

 |  
 |  *
 

1 1

2 2

1

1

| 
*
 

2

| 
2

| 0;| 0
|   0

(1.20)


cột:

Trong cơ sở { | ui } vectơ ket |ψ> có thể biểu diễn dưới dạng ma

trận


c1   u
| 
1
  

c 2   u 2 | 
| : .  .
(1.21)

  

.  .



 

c  u |  
 n   n

Như vậy vectơ ket |ψ> chính là vectơ

Z. Vectơ bra <ψ|
không phụ
*

thuộc vào không gian Z, tập hợp các vectơ bra hợp thành một không gian Z

gọi là không gian đối ngẫu của Z. Dưới dạng ma trận, vectơ bra <ψ| là một ma
trận hàng:
*

*

*

|:(c
,c ,...,c1 ) (un |
1
2
n
*
*
 ,...,u |  )

(1.22)

Thỏa mãn điều kiện:
 c1 
 
 c 2 n *
n
*
*
*
:(c
,c

,...,c
)
|  .
c i
1
2
n
 c

i
ci
i1
.
  i1



cn  

2

(1.23)

Như vậy, có một sự tương ứng một - một
||
 giữa một vectơ

*

bra ∈ Z và một vecto ket ∈ Z.

Có thể thử lại rằng sự tương ứng một - một giữa hai không gian thỏa
mãn các điều kiện sau đây:
| || | 
*

 |

| 

Nếu như đã chuẩn hóa thì

2

ci

là xác suất tìm hệ ở trạng thái riêng, và

thỏa mãn điều kiện tổng tất cả các xác suất phải bằng 1.


c

2
i

i i

i

i

 u

i

|

(1.24)

u i | 

Từ điều kiện chuẩn hóa của ψ và (1.16) ta có:

(1.25)

|    | u i
ui | 
i

So sánh (1.24) và (1.25) dễ dàng rút ra hệ thức:
*

|
u iu | 
i



Phương trình trị riêng của toán tử ecmite A

(1.26)
tác dụng trong không gian

hàm sóng có dạng:


Au j (x) a ju j (x)
Phương trình này trở thành phương trình vectơ


A | uj a
|u 
j
j

(1.27)


Với |uj> gọi là vecto riêng của toán tử ecmite A ứng với trị riêng aj.
Trong không gian Hilbert, các trạng thái có thể dùng các cơ sở khác
nhau để nghiên cứu. Cơ sở là các hàm riêng (hay vectơ riêng) trực chuẩn của
các toán tử động lực ecmite. Tập hợp các hệ số Fourier của hàm sóng sẽ xác
định hàm sóng đó trong cơ sở đó, cũng như ma trận của toán tử khác nhau sẽ
xác định hoàn toàn các toán tử đó trong cơ sở đang xét. Tương ứng ta nói có
hàm sóng và toán tử trong biểu diễn tọa độ hay xung lượng khi cơ sở được
chọn là các hàm riêng của toán tử tọa tử tọa độ hay xung lượng. Tất nhiên, tất
cả các biểu diễn đều tương đương nhau. Việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn
khác chỉ do tính thuận lợi của những bài toán vật lý cụ thể.

1.4. Toán tử
1.4.1. Ma trận của toán tử liên hợp
□
Ta biết rằng tác dụng của toán tử A lên vectơ trạng thái 
đến

dẫn

trạng thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái . Định nghĩa này được viết
dưới dạng phương trình:
A□ 
Bây giờ ta khai triển và 

u

cơ sở
riêng của toán tử

A□ :
A□ u

(1.28)

;

theo

(

là các vectơ

un

n

a n u n )
n

 

un 

; cn



cn un n
 



un 

; bn


bn un n

Nhân hai vế của phương trình (1.38) với bra vectơ 

được:



n

n

m

A□ 
u
□
A u u 

u

ta thu

m

(129)

m,n

b n a n c n
*

n

*

Ở đây ta đã sử dụng
   và
□
un
un
u n A u m  u n u m ammn a n
am
Tương tự, ta có:
A□





 *


*

c
a b

n
 n

n

n


*




ca
*
b

*

(1.30)



n

n

n

n


Xét các vectơ bra (tương ứng với ket ) và
 (tương ứng với
*

ket ) trong không gian đối ngẫu Z




A□  
 
A□

(1.31)




A□ là toán tử tác dụng trong không gian đối ngẫu Z* , chuyển bra 
thành


bra . Toán tử gọi là toán tử liên hợp với A□ .
A□
Dựa vào biểu thức của tích vô hướng:
  ,

 ,

tức là

*

*

  

đồng thời thay 

và

 bằng biểu thức của nó trong (1.31) ta thu được:


A□  
A□

(1.32)

*
Dựa vào định nghĩa (1.32), dễ dàng suy ra các tính chất cảu việc lấy liên
hợp toán tử như sau:



□
1. A□  A

2.





 A□

(1.33)

 A□ 
3.  A□ B□
A□
*

B□ 

4.

 A□ B □

B□ A□ 
Toán tử
A□

tác dụng trong không gian Z có cơ sở trực chuẩn



được biểu diễn bởi một ma trận A có các phần tử là:

e

n

□
Aij  ei A e j


Ma trận biểu diễn toán tử

A□ liên hợp với A□ sẽ được biểu diễn bởi

ma
* □
ei □ e j
e j A□ * A ji
A
 ei

 


trận
 có các phần tử là: A

Cuối cùng ta có A



(1.34)

ij

ij


A

*
ji

T



A * . Như vậy ma trận A biểu
diễn

ij



toán tử A biểu diễn toán tử
A□
chuyển vị và lấy liên hợp phức.



thì bằng ma trận A (biểu diễn toán tử A□
)


1.4.2. Toán tử ecmite
Định nghĩa toán tử ecmite: Toán tử

A□

đó
A□



gọi là ecmite nếu



A□

A□

, trong

và được xác định bởi hệ thức

là toán tử liên hợp ecmite với
A□

tương tự (1.42)


A□ 
A□

(1.35)

*


Như vậy nếu
A□



là toán tử ecmite thì ta có:

A□ 
A□


(1.36)
*

Sử dụng (1.29), (1.30) và (1.36) thu được: a a* , nghĩa là trị riêng
an
n
n
của toán tử ecmite
A□

là số thực.


A□  và công thức (1.34) ta có thể suy ra ma trận A
Từ định nghĩa □
A

biểu diễn một toán tử ecmite có tính chất sau:


A A

(1.37)

hay ma trận A gọi là ma trận ecmite với các phần tử A có tính chất sau:
Aij  *ji
1.5. Vectơ riêng và trị riêng của toán tử
1.5.1. Định nghĩa
Cho một toán tử tuyến tính A□ , ket
x

(1.38)


0 gọi là vectơ riêng của A□

nếu:

A□ x 
x
hệ số tỉ lệ gọi là trị riêng
của A□

(1.39)

ứng với vectơ riêng x .

Nếu x là một vectơ riêng của
A□

thì mọi vectơ a x cũng nghiệm đúng

A□ a x a x


nghĩa là a x đều là vectơ riêng của
A□

ứng với cùng giá trị riêng . Nếu
ứng

với một trị riêng có một vectơ riêng x (xác định sai kém một hằng số
nhân
a) thì trị riêng gọi là không suy biến.
Nếu ứng với một trị riêng có g vectơ riêng độc lập tuyến tính,
thỏa mãn các phương trình trị riêng
□
□
A x1 
;A
x x 2


x

1

□
;; A xg x g

2

thì trị riêng này được gọi là suy biến bậc g.
x1 ,

Dễ thấy rằng tổ hợp tuyến tính bất kì của các vectơ riêng
x2 ,…, x g
x a1
x1



Cũng là một vectơ riêng của
A□
A□ x a
A□ x
1

a2
x2



... a g
xg

(1.40)

ứng với cùng trị riêng .

1



 a 1 x1

 a A□
x
2



... a A□ x
2

g

g

a 2 x 2 ... a g
xg

x

(1.41)



Tập hợp các vectơ x hợp thành một không gian con g chiều, gọi là
không gian con riêng tương ứng với trị riêng suy biến .
Xét trị riêng của hàm toán
tử với trị riêng của thì ta có:
2

A x
A.A x
□
□□

f

 
A□

ứng
. Nếu x

là vectơ riêng

của A□

A
x


A
x

□

Tương tự ta có thể chứng minh rằng
n




2

x

□
với cùng vectơ riêng
x

n


là trị riêng của toán tử A□

ứng
n

A□ x  n x


Đối với hàm toán tử f




A□

khai triển thành chuỗi Taylor, ta có thể áp

dụng cách tính trên để xác định trị riêng của f

 A□  . Thí dụ, nếu ta định

nghĩa

hàm toán tử


 e □
f A□



A




1

A□ k
k0 k!

0

(với quy ước 0!=1 và A□
có:

1 ) thì ta

A

e □ x e  x
Tổng quát, nếu x là vectơ riêng của
A□
là vectơ riêng của hàm toán tử f

 
A□

 

f A□

ứng với trị riêng thì nó
cũng

ứng với trị riêng f    :
(1.42)

x f

 x

1.5.2. Tính chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử ecmite
1. Các trị riêng của một toán tử ecmite là thực
Thực vậy, lấy liên hợp hai vế phương trình trị riêng của A□
A□ x 

x
ta được

(1.43)



x

□
*
A
 x

(1.44)

Nhân trái hai vế của (1.43) với x
x A□ x x x
và nhân phải hai vế của (1.44) với x



x A□ x

lưu ý rằng
A□ bằng
nhau:

là ecmite nên A□

A□



*

xx



, do đó hai vế sau của hai phương trình trên

x x * x x