Tâm tỉ cự và sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian afin và ơclit

Lời nói đầu.
Trong hình học afin khái niệm tâm tỉ cự là một khái niệm có rất nhiều ứng
dụng, chúng ta đà sử dụng tâm tỉ cự nh một công cụ đầy hiệu lực để giải quyết
nhiều bài toán nhờ các tính chất đặc biệt của tâm tỉ cự trong không gian Afin. Đặc
biệt là trong hình học sơ cấp nhiều bài toán có thể giải quyết đợc bằng một cách
khác nhờ sự biểu diễn tỉ cự của các hình qua các điểm đặc biệt. Và các khái niệm
quen thuộc trong không gian afin nh phẳng, siêu mặt bậc hai, tập lồi, đơn hình,
hộp đều có thể biểu diễn đợc qua tâm tỉ cự. Qua đó ta có thể giải quyết đợc các
bài toán có liên quan theo một cách khác có dựa vào tâm tỉ cự.
Từ những nhận xét đó chúng tôi đà thực hiện đề tài tâm tỉ cự và sự biễu
diễn tỉ cự của các hình trong không gian Afin, Ơclít với mục đích hệ thống lại
khái niệm tâm tỉ cự trong không gian Afin, các tính chất và các phép biến đổi tâm
tỉ cự trong mặt phẳng và trong không gian. Nêu ra một số biểu diễn tỉ cự của các
hình trong không gian Afin, không gian Ơclít và ứng dụng của nó trong giải toán.
Nội dung trình bày của khoá luận gồm hai phần:
-Phần I:

Tâm tỉ cự và sự biểu diễn của các hình trong không gian Afin,

Ơclit .
Đ1.Tâm tỉ cự và toạ độ tỉ cự. Trình bày hệ thống các khái niệm và tính chất
về tâm tỉ cự và đa ra khái niệm toạ độ tỉ cự trong không gian Afin.
Đ2. Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian Afin, Ơclít. Trong
mục này tôi đà chứng minh đợc một số tính chất tỉ cự của các điểm đặc biệt trong
các hình nh tam giác, tứ giác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp Từ đó ta có biểu
diễn tỉ cự của các điểm đặc biệt đó, cũng trong mục này tôi đà biểu diễn đợc các
khái niệm quen thuộc trong hình học Afin nh phẳng, siêu mặt bậc hai, tập lồi, đơn
hình, hộp qua tâm tỉ cự và tọa độ tỉ cự.
-Phần II: Các ví dụ áp dụng. Phần này gồm những bài toán hình sơ cấp đợc
giải theo phơng pháp dùng các tính chất của tâm tỉ cự và các biễu diễn tâm tỉ cự
1

của một số hình, và những bài toán quen thuộc trong hình học Afin đợc giải theo
phơng pháp tỉ cự.
Trong thời gian thực hiện đề tài này ngoài sự nổ lực cố gắng của bản thân
tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong trờng nói chung, các thầy
cô trong khoa toán nói riêng và đặc biệt là sự hớng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy
giáo - tiến sĩ Phạm Ngọc Bội cùng sự quan tâm giúp đỡ của ngời thân và bạn bè.
Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và chân thành cảm ơn mọi ngời đà giúp đỡ tôi
hoàn thành đề tài này.

Phần I . TÂM Tỉ Cự và sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong
không gian afin, Ơclit
2


Trong phần này trình bày hệ thống về khái niệm, các tính chất của tâm tỉ cự
trong hình học afin. Từ đó xây dựng khái niệm toạ độ tỉ cự và sự biểu diễn tỉ cự
của các hình trong không gian Afin và không gian Ơclít.
Đ1. Tâm tỉ cự và tọa độ tỉ cự.
1.1. Định lí. Cho k điểm P1, P2, , Pk của không gian afin An và k sè thuéc
trêng K: λ1, λ2,…, λk sao cho
k

∑ λ GP
i =1

i

i

k


i =1

i

0. Khi đó tồn tại duy nhất điểm G sao cho

=0 .

Chøng minh: LÊy mét ®iĨm O t ý của An thì điểm G đợc xác định bởi:
k

λ i GPi = 0
i =1

k

∑ λ (OP − OG

⇔

i =1

i

i

) =0
k

⇔

k

∑ λ OP
i =1

i

i

k

= (∑ λ i )OG ⇔

=

OG

i =1

OP
i

i =1

i

k


i =1

i

Vậy G luôn tồn tại và duy nhất.
1.2. Định nghĩa. Điểm G nói trong định lý 1 đợc gọi là tâm tỉ cự của hệ
điểm Pi g¾n víi hä hƯ sè λi.

Ta ký hiƯu

 P1
G= 
λ1

P2 ... Pk 
hay
λ 2 ... λ k 


VËy ta cã

 P1
G =
λ1

P2 ... Pk 

⇔
λ 2 ... λ k 


3

 Pi 
λ 
 i  1 i≤≤ k
k

∑ λ GP
i =1

i

i

=0


Chó ý: a. NÕu c¸c λi ( 1≤ i ≤ k) bằng nhau thì điểm G đợc gọi là trọng tâm
của hệ điểm Pi.
b
c

b. Khi k = 2 thì điểm G đợc gọi là trung điểm của cặp điểm (P1, P2).
1.3. Các tính chất.
1.3.1. Tính chất 1. Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi ( i=1, k ) gắn với họ
hệ số i(i=1, k ) thì G cũng là tâm tỉ cự của hệ điểm đó với hä hƯ sè αλi (víi ∀

α

≠ 0) ( T©m tØ cự không thay đổi khi thay các số i bởi αλi , α ≠ 0). Tøc lµ:
 P1

G= 
λ


P2 ... Pk 
 P1
 = αλ
λ 2 ... λ k 
 1

1

 P1

Chøng minh. G = 
λ


k

k
P2 ... Pk 
⇔ ∑ λi GPi = 0
λ 2 ... λ k 
i =1



1

 P1

k

⇔ α ∑ λ i GPi = 0 ⇔ ∑ αλ i GPi =
i =1

P2 ... Pk 
αλ 2 ... αλ k 


P2 ...

Pk 

⇔ G = αλ αλ ... αλ 
 1
2
k

0

i =1

1.3.2. TÝnh chÊt 2. T©m tØ cù sẽ không thay đổi nếu ta thêm vào (hoặc bớt
đi ) những điểm với hệ số bằng 0.

P1

Nghĩa là: 
λ


P2 ... Pk 
 P1
 = λ
λ 2 ... λ k 
 1

1

 P1

Chøng minh.

G= 
λ


1

P2 ... Pk Pk +1
λ 2 ... λ k 0

P2 ... Pk 
⇔
λ 2 ... λ k 



k

∑
i =1

... Pk +l 
... 0 


GPi = 0

k

⇔ ∑ λ i GPi + 0 GP k +1 + … + 0 GP k +l = 0
i =1

⇔ G =

 P1
λ
 1

P2 ... Pk Pk +1
λ 2 ... λ k 0

... Pk +l 
... 0 


1.3.3. TÝnh chÊt 3. Khi ta đổi chỗ các điểm nhng vẫn giữ nguyên hệ số kèm
theo của chúng thì tâm tỉ cự không thay đổi. Nghĩa là nếu {i1, i2,, ik} là một hoán
P1

vị của {1,2,, k} thì


1

P2 ... Pk   Pi1
=
λ 2 ... λ k   λ i
  1

4

Pi 2 ... Pi k 
λ i 2 ... λ i k 



 P1
Chøng minh. Ta cã G = 
λ1
k

⇔ ∑ λij GPij =

k

P2 ... Pk 
⇔ ∑ λi GPi = 0
λ 2 ... λ k 
i =1


 Pi Pi 2 ... Pi k 
G = 1
.
λ i1 λ i 2 ... λ i k 



⇔

0

j =1

1.3.4. TÝnh chÊt 4. NÕu G là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi} gắn với hä hƯ sè
λi (i = 1,…,n) vµ {I1, I2,…, Ik} là một phân hoạch của tập {1,2,, n} sao cho
=1,2,,k thì i 0.
iI
j

P1

Khi đó ta có

1

P2 ... Pn
=
2 ... n


P1

Chứng minh. Đặt G = 
λ


1

 Pi Pi 
 . 
 λ ii∈I1 λ ii∈Ik
∑ λi . ∑ λi
 i∈I1 i∈Ik 

P2 ... Pn 
λ 2 ... λ n 


5

 Pi 
,G =

λ  ,
 i  i∈ Ij
j

∀j


 G1
G = ∑ λ i
i∈I
 1

G 2 ...
∑ λ i ...

’

i∈I 2

Gk 
∑ λi 

i∈I k


Khi ®ã theo chøng minh định lý 1 ta có:


k

GG

'

( )GG
j=1

=




i

iI j






k

( λ )
j=1

⇒ GG ' =

i∈I j

k

j=1

n

∑ λi

GG j

i∈I j



∑(∑λi )
j =  i∈ j
1
I


i

i =1

 P1
λ
 1

∑λ

i

GG ' =

n

=

k

∑ (∑ λ )
j=1

∑ λi

⋅ ∑ λ i GPi = 0
i =1

i =1

P2 ... Pn 
=
λ 2 ... λ n 


 Pi Pi 
 . 
λ ii∈I λ ii∈I
1 k
∑ λi . ∑ λi

 i∈I1 i∈Ik 

1.3.5. NhËn xÐt. Víi ∀A ta cã A =
6

k

1
i∈I j

i

⋅ ∑∑ λ i GPi
j=1 i∈I j

n

1
⇒

i



1
∑λi GPi 
∑λi i∈I j

i∈ j
I



n

⋅ ∑ λ i GPi

i =1

hay

=

i

i∈I j

i∈I j

k

∑(∑λ )
1

vµ

∑λ GP

i

1

=

j

A

λ1


A 
A ...

λ1 ... λ k 


⇒

G ≡ G'


k

∑λ

víi ∀λi tho· m·n

i =1

Chøng minh. ∀A ta cã

≠0

i

AA

=

∑ λ AA = 0

⇔

0

 P1
1.3.6. NhËn xÐt. Víi ∀λ ta cã G = λ
 1

 P1

G= 
λ


1

k

∑ λ GP

⇔

i

i =1

i

A

λ1


 P1

1.3.7. NhËn xÐt. NÕu G = 
λ


 P1

l

tho· m·n

∑µ = 0 th× ta cã
j =1

G= 

λ

j



 P1

Chøng minh. G = 
λ


⇔

k

∑ λ GP
i =1

i

i

1

1

1

i

≠ 0)

A 
A ...

λ1 ... λ k 


k

∑ λ GP
i

i =1

=

i

 P1 P2 ... Pk G
 λ λ ... λ λ 
1 2 k 

0

 P1 P2 ... Pk G
G=
 λ λ ... λ λ 
1 2 k 

⇔

0

∑λ
i =1

P2 ... Pk 
⇔
λ 2 ... λ k 


P2 ... Pk 
⇔
λ 2 ... λ k 


+ λ GG =

(Vì

i

i =1

A=

Chứng minh.

k

k

P2 ... Pk
và một bộ hệ số µ1, µ2, …, µl
λ 2 ... λ k 

P2 ... Pk P ... P 
.
λ 2 ... λ k µ1 ... µ l 


P2 ... Pk 
⇔
λ 2 ... λ k 


+ 0. GP = 0 ⇔

k

∑ λ GP
i

i =1

i

k

∑ λ GP
i =1

i

i

7

l

+( ∑µ j ) GP = 0

l
P
λ i GPi + ( ∑µ j ) GP ⇔ G =  1
⇔∑
j =1
i =1
λ 1

k

=0

j =1

P2 ... Pk P ... P 
.

λ 2 ... λ k µ1 ... µ l 



1.3.8. Định lí. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm {P0,P1,,Pk} gắn với
tất cả các họ hệ số là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy.
Chứng minh. Gọi là cái phẳng bé nhất chứa Pi ( i = 0,1,,k) khi đó véc
tơ

( i= 1,2,,k) ∈ α( ph¬ng cđa α) trong hƯ { P

P0 Pi

0

Pi

}i=1,2,…,k lấy hệ véc tơ con

độc lập tuyến tính tối đại. Giả sử là (s k). Khi đó ta có dimα = s. §iĨm G ∈α
⇔
⇔
GPi

∈α

P0 G

s

P0 G

s

= ∑ λ i P0 Pi ⇔

P0 G

i =1

=

s

= ∑ λ i (GPi -

GP0

i =1

s

) ⇔ (1 −∑λi ) GP + ∑ λ i
0

i =1

i =1

0

s

∑ λ ) GP

⇔(1-

i =1

 P0
⇔ G = λ
 0

i

0

s

+

∑λ
i =1

GPi

i

+

0GP s +l

+…+

P1 ... Ps Ps +1 ... Pk 
víi λ0 = 1 λ1 ... λ s 0 ... 0


=

0GPk

0

s


i =1

i

Vậy G là tâm tỉ cự của họ {Pi}i=0,1,2,,k .
Ngợc lại nếu tâm tỉ cự của họ {P0, P1,,Pk} gắn với họ hệ số
thì

k

k

i GPi = 0 ⇒

∑ λ (GP + P P )
i =1

i =1

k

⇒ ( ∑ λ i )GP0 +
i =1

i

0

0

i

∑ λ i P0 Pi = 0 ⇒

=0
1

k

P0 G

i =1

λ0 , λ1 ,…, λ k

=

k

λPP
∑λ ∑
k

i

i =0

i =0

i

0

i

⇒

P0 G

∈

α

⇒ G ∈ α.

1.3.9. Hệ quả. Cho m-phẳng đi qua m+1 điểm độc lập P0 ,P1,,Pm khi đó

chính là tập hợp tất cả tâm tỉ cự của hệ điểm đó (gắn với tất cả họ hệ số).
1.3.10. Định lý. Cho m-phẳng ®i qua m+1 ®iÓm ®éc lËp P0 , P1 ,…, Pm và
một điểm O tuỳ ý .Điều kiện cần và ®đ ®Ĩ M thc α lµ:
OM

=

m

∑ λ OP
i =0

i

i

trong ®ã

8

m

∑λ
i =0

i

= 1.


§iĨm M thc α khi vµ chØ khi M lµ tâm tỉ cự của họ

Chứng minh.

0

P0 ,P1 ,, Pm gắn víi hä hƯ sè
m

⇔ ∑ α i MPi

=

i =0

m

∑ α (OP



0

i

i =0

m



i =0

i =0

i

i

OPi



i =0

OM

) =

nào đó
0

=

ta có:

OM

=

i

m

m

OP

m

i =0

m



-

OM

i

Đặt i =

1 ,, m

1

m

( i ) OM =

,

i

i

i =0

m

i OPi và khi đó
i =0

(Vì

i


i=0

m


i =0

i

i

0)

= 1.

1.3.11. Hệ quả. Khi cho hệ điểm độc lập P0 , P1 ,, Pm và M là tâm tỉ cù cđa
λ0 , λ1 ,…, λm

hƯ víi hä hƯ sè

=

OM

m

∑ OP
i

i =0

i

thoả mÃn

m

i
i =0

= 1 thì với điểm O tuú ý ta cã:

.

m
 P0 ... Pm 
λ i ∈ R , ∑ λ i ≠ 0)
Chøng minh . Khi M = 
 (víi
i=0
λ 0 ... λ m 
m

⇔ ∑ λi MPi =
i =0

⇔

0

⇔

m

∑ λ i (OPi − OM) =
i =0

m

OM

m

0

= ∑ λ i OPi ( V×
i =0

m

∑λ
i =0

i

⇔ ( ∑ λ i )OM =
i =0

m

∑ λ OP
i

i =0

i

= 1 ).

1.3.12. NhËn xÐt . T©m tØ cù kÌm theo hä hƯ sè lµ mét bÊt biÕn afin. Tøc lµ
nÕu f là ánh xạ afin trên An , hệ điểm P1 , P2, …., Pk thuéc An . Khi ®ã nÕu

∈ An vµ G =

 P1
λ
 1

f ( P1 )
 λ
 1

P2 ... Pk 
th× f(G) =
λ 2 ... λ k 


 P1

Chøng minh . ThËt vËy nÕu G = 
λ


k

khi ®ã ta xÐt ∑ λ i f (G )f (Pi ) =
i =1

1

f (P2 ) ... f (Pk )
.
λ 2 ...
λk 


P2 ... Pk 
⇔
λ 2 ... λ k 


k

i =1

i =1

i

i

=0

k

i =1

k

∑ λ GP

∑ λ i f (GPi ) = f( ∑ λ i GPi ) = f( 0 ) =
9

0

G


f ( P1 )
 λ
 1

⇒ f(G) =

f (P2 ) ... f ( Pk )
.
λ 2 ...
λk 


1.3.13.HƯ qu¶. + Phép chiếu song song bảo toàn tâm tỉ cự .
P1

NghÜa lµ nÕu G = 
λ


P2 ... Pk 
vµ phÐp chiÕu song song biÕn Pi thµnh
λ 2 ... λ k


1

P i (i=1,2,,k) và biến G thành G thì




P1 '
G= 
λ1
’

'
'
P2 ... Pk 
.
λ 2 ... λ k 

+ C¸c phép biến hình (trừ phép nghịch đảo) bảo toàn tâm tØ cù
 P1

NghÜa lµ nÕu G = 
λ


P1 '
(i= 1,2,…,k ) th× G = 
λ1
’

P2 ... Pk 
λ 2 ... k


1

và phép biến hình B : Pi Pi’ , G →G’

'
'
P2 ... Pk 
.
λ 2 ... λ k

1.3.14. Nhận xét. Cho M là tâm tỉ cự cđa hƯ Pi ( i = 1,2,…,k ) víi hä hệ số
1 , 2 ,, k

trong đó

hệ số à1 , à2 ,, àm và

k

i =1

i

=1, N là tâm tỉ cù cđa hƯ Qj ( j = 1,2,…,m) víi hä

j

=1, G là tâm tỉ cự của (M,N) với họ hệ số t1 ,t2 thoả

m

à
j =1

mÃn t1+t2 = 1 .
Khi đó ta có G là tâm tỉ cự của hệ { P1 , P2 ,..., Pk , Q 1 , Q 2 ,..., Q m } víi hä hƯ sè
λ1 t1, λ2 t1 ,…, λ k t1, µ1 t2, µ2 t2,…, µm t2

.

Chøng minh . Theo bµi ra ta cã:
 P1
M= 
λ1

P2 ... Pk 
⇒
λ 2 ... λ k 


Q 1
N= 
 µ1

Q 2 ... Q k 
⇒
µ 2 ... µ k 


k

∑λ
i =1

i

MPi =

j

NQ j =

m

∑µ
j=1

10

0

0

(1)
(2)


G=

M
t
 1

N
t2


⇒ t1 GM + t2 GN =

(3)

0

k

m

i =1

j=1

Tõ (1), (2) vµ (3) ta suy ra: t1 GM + t2 GN + t1 ∑ λ i MPi + t2 ∑ µ j NQ j =
k

m

i =1

j=1

⇒ t1( GM + ∑ λ i MPi ) + t2( GN + ∑ µ j NQ j ) =
k

k

⇒ t1( ∑ λ i

GM

i =1

m

i =1

j =1

+ ∑ λ i MPi ) + t2( ∑µ j

k

m

GN +

∑µ
j=1

j

NQ j ) =

0

m

i =1

0

j =1

⇒ t1 ∑ λ i ( GM + MPi ) + t2 ∑µ j ( GN + NQ ) =
j

⇒

k

∑ λ i t1 GPi +
i =1

hay G =

0

m

∑µ
j =1

j

t2 GQ ) =
j

0

 P1 P2 . . Pk Q1 Q1 . . Qm 
 t λ t λ . .t λ t µ t µ . .t µ 
 1 1 1 2 1 k 2 1 2 2 2 m

Vậy G là tâm tỉ cù cđa hƯ { P1 , P2 ,..., Pk , Q 1 , Q 2 ,..., Q m } víi hä hƯ sè
t1,

0

λ2 t1 ,…, λ k t1, µ t2, à2 t2,, àm t2
1

.

1.4.Toạ độ tỉ cự.

11

1


1.4.1. NhËn xÐt. Trong kh«ng gian afin An víi hƯ ®éc lËp {P0 , P1 ,..., Pm } (

m ≤ n ) và điểm G

số ( 0 , 1 ,..., λ m

 P0 P1 . . Pm 
tho¶ m·n G =
 α α . .α  . Khi ®ã luôn tồn tại và duy nhất một bộ
0 1 m

 P0 P1 . . Pm 
) sao cho G =
 λ λ . .λ 
 0 1 m

 P0
ThËt vậy G =

0

Đặt

i =


i= 0

i


i =0

i

=1.

P0 P1 Pm
P1 . . Pm   α 0 α 1 ... α m 
 =  m m ... m 
α 1 . .α m  ∑ α i ∑ α i ∑ α i
 i= 0 i= 0 i= 0

(i = 1, m) thì

i
m

và

m

P0 P1 . . Pm 
∑ λ = 1 vµ G =
 λ λ . .λ  .
 0 1 m
m

i =0

i

12


m

Theo hƯ qu¶ 1.3.11 ta cã P0 G = ∑λ i P0 Pi . NÕu tån t¹i bé ( β0 , β1 ,..., βm )
i =1

 P0 P1 . . Pm
thoả mÃn = 1 và G =
β . .β 
 0 1 m
m

i =0

m

khi ®ã ta cịng cã P0 G = ∑βi P0 Pi . V× hƯ

i

{Pi } im1 ®éc lËp suy ra
=

(i = 1, m ) . Và khi đó

P0 G

i =1

phân tích theo hệ {Pi } im1 là duy nhất. Nên ta có
=
m

m

i =1

i = βi

i =1

λ 0 = 1 − ∑ λ i = 1 − ∑ β i = β o suy ra bé sè ( λ 0 , λ1 ,..., m ) là duy

nhất.
1.4.2. Định nghĩa. Trong không gian afin An thì mỗi hệ điểm độc lập

{ P0 , P1 ,..., Pn } } đợc gọi là một mục tiêu tỉ cự, mỗi điểm

một bộ ( x 0 , x 1 ,..., x n

X ∈ A n tån t¹i duy nhÊt

 P0 P1 . . Pm 
) tho¶ m·n ∑ x = 1 vµ X =
 x x . .x  th× bé (
 0 1 m
n

i =0

i

x 0 , x 1 ,..., x n ) đợc

gọi là toạ ®é tØ cù cđa ®iĨm X ®èi víi mơc tiªu tØ cù { P0 , P1 ,..., Pn } } trong không
gian afin An.
1.4.3. Nhận xét. Toạ độ tỉ cự của một điểm trong An là một bộ n + 1 số
không đồng thời bằng 0, nghĩa là khác với bé (0,0,...,0 ) .
- Víi mơc tiªu { P0 , P1 ,..., Pn } } thì mỗi điểm
P0 ... Pi ......Pn 
Pi ( i = 0,1,2,..., n ) ta cã X =
hay Pi có toạ độ là (0,...,1,..0 ) .
 0 ... 1 ... 0 

1.4.4. Mèi liªn hệ giữa toạ độ tỉ cự và toạ độ afin.
13

Trong An cho mơc tiªu { P0 , P1 ,..., Pn } } và điểm G có toạ độ afin là

( x 1 ,..., x n ) đối với mục tiêu {P0 , P1 ,..., Pn } } thì
đó là ( x0 , x1 ,..., x n ) trong ®ã

G

cã toạ độ tỉ cự đối với mục tiêu

n

x 0 = 1 xi
i =1

Chứng minh. Đối với mục tiêu { P0 , P1 ,..., Pn } } G cã toạ độ afin là

( x 1 ,..., x n ) th× ta cã

n

n

i =1

i =1

(

P0 G = ∑ x i P0 Pi ⇔ P0 G = ∑ x i GPi − GP 0

n

n

n

i =1

i =1

i =1

⇔ (1 − ∑ x i ) GP0 + ∑ x i GPi = 0 . Đặt x 0 = x i

)

P0 P1 . . Pn 
th× G =
 x x . .x  vµ ∑ x = 1
 0 1 n
n

i =0

i

Suy ra G có toạ độ tỉ cự là ( x 0 , x 1 ,..., x n ) .
1.4.5. C«ng thức đổi mục tiêu tỉ cự .
Trong không gian afin An cho hai mơc tiªu tØ cù { P0 , P1 ,..., Pn } } (I) vµ

{P , P ,..., P } }
'
0

'
1`

'
n

(II). Điểm G có toạ độ đối với mục tiêu (I) là ( x 0 , x 1 ,..., x n ) còn

'
đối với mục tiêu (II) là ( x 'o , x 1 ,..., x 'n ) . Ta có công thức đổi mục tiêu tỉ cự lµ

[ x ] = A * [ x ' ] . Trong đó [ x ] và

[x ]
'

mục tiêu (I) và mục tiêu (II) còn

là ma trận cột toạ độ tØ cù cđa ®iĨm G ®èi víi
A = (a ij ) ( n +1)ì( n +1)

gọi là ma trận chuyển từ cơ sở (I)

sang cơ sở (II).
Trên đây là tổng hợp những khái niệm tính chất của tâm tỉ cự và xây dựng

khái niệm tọa độ tỉ cự, tìm ra mối liên hệ giữa tọa độ afin và toạ độ tỉ cự. Hi vọng
từ đây các khái niệm quen thuộc trong không gian afin và không gian Ơclít có thể
biểu diễn đợc qua tâm tỉ cự và toạ độ tỉ cù.

14


Đ2. Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian
afin và không gian ơclít.
Trong mục này dựa vào khái niệm và các tính chất của tâm tỉ cự và các
điểm đặc biệt của các hình trong không gian Afin và không gian Oclít tôi đÃ
chứng minh đợc một số tính chất tỉ cự đặc biệt của các điểm trong tam giác, tứ
giác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp và tìm đợc sự liên hệ giữa tâm tỉ cù víi
15


các hình trong không gian Afin. Phần này tạm gọi là sự biểu diễn tỉ cự theo nghĩa
sau đây.
2.1. Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian R2.
 A
 MB

B 
− MA 


2.1.1. NÕu M thuéc ®êng thẳng AB thì M =

Chứng minh . Nếu M thuộc đờng thẳng AB thì :
- Khi M không thuộc đoạn thẳng AB tức

=

MA

MA . MB



MB . MA

-

MA . MB = 0

= k MB (víi k > 0) hay

MA

 A

MB .



B

⇒ M =  MB − MA  .



- Khi M thuộc đoạn thẳng AB tức MB.MA= - MA.MB


MB . MA = MA . MB

⇒

MB . MA - MA . MB

=

0

 A

⇒ M =
 MB

B 
.
− MA 


 A B C
2.1.2. G là trọng tâm của tam giác ABC G =
 1 1 1 .
 
( chó ý (a) định nghĩa 3 cho ta điều này ).
2.1.3. Nếu tam giác ABC không vuông ta có :

A B C
H là trực tâm của tam giác ABC H =
tgA tgB tgC .


Chứng minh. Giả sử tam giác ABC nhọn (nếu tam giác tù ta làm tơng tự)
Khi đó giả sử các đờng cao của tam giác là AA1, BB1, CC1 ta dựng hình
bình hành HBCA trong đó A nằm trên đờng thẳng AA1 ,B nằm trên đờng thẳng
B
A

BB1 .
Khi ®ã ta cã : HC =

HB

'

+

HA

'

A1

(1)

H

16

A
C

B1

B’


CA 1

HB '
HB

Theo định lí Talet ta có

= BA
1

Mặt khác ta lại có CA1= AA1.cotgC
BA1=AA1.cotgB
'
HB =

HB

cot gC
cot gB

=

tgB
tgC



Một cách t¬ng tù ta cã

HA '

tgB
tgC HB

=

HB '

tgA

= - tgC

(2)
(3).

HA

Thay (2) vµ (3) vµo (1) ta cã tgA. HA +tgB. HB +tgC. HC =

V× tgA+tgB+tgC ≠ 0

 A B C
⇒ H=
tgA tgB tgC

0

.

2.1.4. I là tâm đờng tròn néi tiÕp cđa tam gi¸c ABC

 A B C
⇒ I=
a b c

A

B

B1
.
I

B

Chứng minh. Đặt

C

A1

A

B1 = AC BI, A 1 = BC ∩ AI .

Dùng h×nh b×nh hành IB' CA ' (nh hình vẽ)
Khi đó ta có:

IC = IA ' + IB'

Mặt khác ta lại có


IB' A 1C AC b
=
=
=
IB BA1 AB c

A ' C A 1C
=
BI
A1B

(1)
( vì BI // A ' C )

(vì AA1 là phân giác )

Một cách tơng tự ta có:

a
IA ' = IA
c

17

⇒ IB ' =

(3)

b
b
IB ⇒ IB' = − IB
c
c

(2)


Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc

a
b
IC = IA − IB
c
c

 A B C
I=  
 a b c

Vì a + b + c 0 nên ta suy ra

hay

a IA +b IB +c IC = 0

.

 A B C
M =   .Trong ®ã
 Sa S b S c

2.1.5. M là điểm nằm trong tam giác ABC th×

S a = S ∆MBC , S b = S ∆MAC , S c = S ∆MAB

Chøng minh. Gäi giao điểm của các đờng thẳng AM với BC, BM với AC,
CM với AB lần lợt là A1,B1, C1. Dựng hình bình hành MBCA .
Khi đó ta có

MC = MB ' + MA

'

(1)

Kẻ AH và CK vuông góc với BM, khi đó theo định lí Talet ta có
B'C
MA

CB1

= AB =
!

A

Sa

CK
AH

= S
c

'
'
S
⇒ B C = MA = a

MA

⇒

MA '

Sc

MA

Sa

= -S

MA

B1

C1

MB

Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc

B

H
M

B

(2)

C

A1

c

Một cách tơng tự ta cã:

K

'

Sb

=-S

MB

(3)

A’

c

Sa MA + Sb MB + Sc MC =

18

0


Suy ra M =

2.1.6.

 A B C

S S S 
 a b c

O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

O=

3

(vì Sa+ Sb +Sc 0) .

A B C
 sin 2A sin 2B sin 2C



A

.

C

O
B
A’

Chøng minh . Giả sử O nằm trong
tam giác ABC. Khi đó theo 2.1.5 ta cã :

O

 A B C
=
S S S 
 a b c

=

A B C
 sin 2A sin 2B sin 2C



Nếu O không nằm trong tam giác ABC ta xét A đối xứng với A qua O thì
O sẽ nằm trong tam giác ABC và khi đó ta cũng có

O=

A B C
 sin 2A sin 2B sin 2C


19

.


2.1.7. Cho tam giác đều ABC, M là điểm bất kì và A1, B1 ,C1 lần lợt là điểm
đối xứng cđa M qua BC, CA, AB

A
1


Khi ®ã ta cã:

B C
1
1 

=

 A 1 B1 C 1 
 1 1 1


.

Chứng minh.
M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (ABC), khi đó theo hệ quả 3.9 ta có :

M=

A



A

C

B


C1

(với + 0)
+

A1=

B


M

C

B
A1

Gọi X là điểm đối xứng của A qua BC

X



B1

C



( vì phép đối xứng trục bảo toàn tâm tỉ cự)

20


vµ X =

 A B C
− α α α 


suy ra A1 =

X



( vì tam giác ABC đều)

B C



=

  A B C B C 
  
 − α α α  
 α β γ 

 A B C B C  A
=
− α α α β γ  = 

 α

B C
γ+
 α β+ α

suy ra A1 =

Một cách tơng tự ta có :

B1 =

 A B C   A B C
 α β+ β− γ+β   α γ+ γ+β γ− 

 

C1=

21

A B C
 α− α β+ α γ+ 



.


Tõ ®ã ta cã :

=

 A1 B1 C1 
 α γ+β+ α γ+β+ α γ+β+ 



 A B C   A B C   A B C
   
 − α α + γ+αβ   α + β − β β γ+   γ+α β γ−γ+  


 α + β γ+ α + β γ+ α + β γ+ 





 A1 B1 C1   A B
 A B C 

=
 α + β + γ α + β + γ α + β + γ  Ta suy ra :  1 1 1  =  1 1



 

22

C
.
1


2.1.8. Cho tam giác ABC , điểm M nằm trong tam giác ABC và A , B , C
lần lợt là giao điểm của AM, BM , CM với các cạnh của tam giác ABC .Khi đó ta

có : M =

A B
1 1


C
1


A B C 
 
 1 1 1

' ' '

⇔ M=

Chøng minh. NÕu M =

A B
1 1


C
1


.

.

Khi ®ã phÐp chiÕu song song theo ph¬ng BC xuèng ®êng th¼ng AA’ ta
cã : A → A,

B → A’ ,

A A

1 1

A

1

A’ → A’,

C →

A’,

M → M

' '

Suy ra M =

T¬ng tù ta cã : M =

B

1

=

A

1

A' 

2

A

C’

B’

M

B
A’
B' 

2

23

C


vµ M =

C

1

C' 
.
2

M M
Ta suy ra M =
3 3



  A A' 
M   
 =  1 2 
3  3


' A B C A B C 
''
A B C     
=  1 1  2 2 2
  
1 2 1 2 1 2
 3 6 
'''

=

24

B

1

3

B' 

2

C

1

C'  

2
3 


M A B C 
 
3 2 2 2
' ' '

=

 A ' B'
M=

2 2

suy ra

A B C 
M =

=
1 1 1

' '

Ngợc lại nếu

A B
Giả sử M =
x y

A A'
AA th× M =

x y
’

A
=
z

'

  A ' B'
C
 =
2 1 1
'

 A ' B' C ' M


 2 2 2 3

C
.
1
'

.

C
 . Khi ®ã qua phÐp chiÕu song song ph¬ng BC xng
z

'

A

x

A' 

y + z

B

T¬ng tù ta cịng cã M =  y


B' 

x + z

=

 A A ' B B' C C' 
Suy ra M =


 x y + z y z + x z x + y
25

C

z

⇒

C' 

x + y

x +y
2

=

y +z
2

=

z +x
2

=

x +y +z
2