Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

LèI CÁM ƠN

Lu¤n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham
Hà N®i 2 dưói su hưóng dan cúa TS. Hà Đnc Vưong.
Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu
sac tói TS. Hà Đnc Vưong, ngưòi thay đã luôn quan tâm, đ®ng
viên và t¤n tình hưóng dan tôi trong quá trình thuc hi¾n lu¤n
văn.
Tôi xin đưoc gni lòi cám ơn chân thành tói Ban giám
hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các
thay cô giáo trong nhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc
chuyên ngành Toán giái tích đã tao đieu ki¾n thu¤n loi cho tôi
trong quá trình hoc t¤p và nghiên cnu.
Tôi xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã
đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n đe tôi hoàn thành lu¤n văn này.
Hà N®i, tháng 10 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Huyen


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¤n văn là ket quá nghiên cnu cúa
riêng tôi dưói su hưóng dan cúa TS. Hà Đnc Vưong.
Quá trình nghiên cnu tôi đã sn dnng và ke thna thành
quá cúa các nhà khoa hoc vói su trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 10 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Huyen


Mnc lnc

M á đau

1

N®i dung

4

1 Kien thNc chuan b%

4

1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian metric đay

4

. . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . .

17

1.3 đú Ánh xa tương thích
yeu
1.4

Điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu
trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . .

2 Không gian metric mà
2.1

32

Đ%nh nghĩa và ví dn . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 mò .
2.3 Moi quan h¾ giña không gian metric
và
không gian metric mò . . . . . . . . .
3 Điem bat đ®ng
cho các ánh xa tương thích yeu

26

32

. . . . . . .

44

. . . . . . .

47


trong không gian metric mà

49

3.1 Ánh xa tương thích yeu
trong không gian metric mò . . . . . . . . . . . . .

49

3.2 Điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu
trong không gian metric mò . . . . . . . . . . . . .

50

Ket lu¾n

58

Tài li¾u tham kháo

59


5

Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Cho G là m®t t¤p hop khác rong và ánh xa T : G →

G. Điem x ∈ G thóa mãn phương trình T x = x đưoc goi là
điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¤p G.
Vi¾c nghiên cnu ve điem bat đ®ng có ý nghĩa rat lón cá
ve lý thuyet và nng dnng trong toán hoc nói riêng và khoa hoc
ky thu¤t nói chung, do đó đã thu hút nhieu nhà toán hoc quan
tâm. Các ket quá nghiên cnu ve lĩnh vuc này đã hình thành
nên “ Lý thuyet điem bat đ®ng”.
Năm 1965, Zadeh là ngưòi đau tiên đưa ra khái ni¾m “t¾p
mò”, đó là các ánh xa đi tn t¤p X vào đoan [0 ; 1]. Sau đó có
rat nhieu nhà toán hoc nghiên cnu van đe này như: Erceg,
Kaleva, Derg,... và “không gian metric mò” đã đưoc xây dung.
Năm 1986, Jungck đưa ra khái ni¾m các ánh xa tương
thích. Nhieu nhà toán hoc đã có ket quá ve điem bat đ®ng
chung cho các ánh xa loai này.
Năm 2010, các tác giá ngưòi An Đ® : V. S. Chouhan,
V. H. Badshah và M. S. Chauhan đã công bo ket quá ve điem
bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu trong không gian
metric mò qua bài báo “Fixed points in fuzzy metric
spaces for weakly


compatible maps ” .
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, đưoc su
giúp đõ và hưóng dan t¤n tình cúa TS. Hà Đnc Vưong, tôi manh
dan chon đe tài nghiên cnu:
“Điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu trong

không gian metric mà”

2. Mnc đích nghiên cNu
H¾ thong lai các ket quá ve điem bat đ®ng cho các
ánh xa tương thích yeu trong không gian metric mò. Công trình
nghiên cnu dua trên ket quá cúa các nhà toán hoc V. S.
Chouhan, V. H. Badshah và M. S. Chauhan trong bài báo
“Fixed points in fuzzy metric

spaces

for

weakly

compatible maps ”
(xem [6]).

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cnu ve không gian metric mò, các ánh xa tương
thích yeu và điem bat đ®ng cúa chúng trong lóp không gian này.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cnu ve điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích
yeu trong không gian metric mò.


5. Phương pháp nghiên cNu
D%ch, đoc, nghiên cnu tài li¾u và tong hop, phân tích,
v¤n dnng kien thnc cho mnc đích nghiên cnu.

6. DN kien đóng góp
Đây là bài tong quan ve điem bat đ®ng cho các ánh xa
tương thích yeu trong không gian metric mò. Đe tài này giúp
ngưòi đoc hieu đưoc nhñng khái ni¾m cơ bán ve không gian
metric mò, các ánh xa tương thích yeu và ket quá ve điem bat
đ®ng cúa chúng trong lóp không gian này.


Chương 1
Kien thNc chuan b%

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái ni¾m cơ
bán ve không gian metric, không gian metric đay đú, các ánh xa
tương thích, tương thích yeu trong không gian metric và moi
quan h¾ giña hai loai ánh xa này. Đong thòi chúng tôi cũng
trình bày ket quá ve điem bat đ®ng cúa các ánh xa tương thích
yeu trong không gian metric và các ví dn minh hoa.

1.1

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là m®t c¤p (X, d)
trong đó X là m®t t¤p hop khác rong, d là m®t ánh xa tn tích
Descartes X × X vào t¤p hop so thuc R thóa mãn các đieu
ki¾n sau:
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y.
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X .

3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X .
Ánh xa d đưoc goi là metric trên X . Các phan tn cúa X
goi là các điem. Khi đó, ta có không gian metric (X, d).

Ví dn 1.1.1. Cho C [a, b] là không gian các hàm so nh¤n giá
tr% thuc xác đ%nh và liên tnc trên đoan [a, b], (−∞ < a < b

< +∞). Vói hai hàm so bat kỳ x = x (t) , y = y (t) thu®c C [a,
b] ta đ¤t :
d (x, y) = max
a≤t≤b

|x (t) − y (t)| .

Khi đó (C [a, b] , d) là m®t không gian metric.
Chúng minh. Ta có d (x, y) xác đ%nh trên C [a, b].
Th¤t v¤y, vì các hàm so x (t) , y (t) liên tnc trên đoan [a, b]
nên hàm so |x (t) − y (t)| cũng liên tnc trên đoan [a, b].
Do đó, hàm so này đat giá tr% lón nhat trên đoan [a, b]. Suy ra
h¾ thnc cúa d (x, y) xác đ%nh m®t ánh xa tn tích Descartes C

[a, b] × C [a, b] vào t¤p hop so thuc R.
Ta có

|x (t) − y (t)| ≥ 0 vói ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] .
Suy
ra

max |x (t) − y (t)| ≥ 0 vói ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] .

t∈[a,b
]

V¤y d (x, y) ≥ 0 vói ∀x, y ∈ C [a, b].
Neu
a≤t≤b

max


|x (t) − y
(t)| = 0
thì ta có

|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b] .


Suy
ra

vói ∀t ∈ [a, b] .

x (t) = y (t)

Do đó

x = y.

V¤y d (x, y) = 0 ⇔ x = y

vói ∀x, y ∈ C [a, b].

Tiep theo, ta có

d (x, y) = max |x (t) − y (t)|
t∈[a,b]
= max |y (t) − x (t)|
t∈[a,b]

= d (y, x) .
V¤y d (x, y) = d (y, x) vói ∀x, y ∈ C [a,

b]. Cuoi cùng ∀t ∈ [a, b] ta có
|x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)|

Suy
ra

max
t∈[a,b
]

Do
đó

≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|
≤ max
|x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)| .
t∈[a,b
max

]
t∈[a,b]

|x (t) − y (t)| ≤
max
t∈[a,b]

|x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|
max
t∈[a,b] .

d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) vói ∀x, y, z ∈ C [a, b] .

V¤y (C [a, b] , d) là m®t không gian metric.


Ví dn 1.1.2. Cho P là t¤p hop tat cá các dãy so thuc x = {xn}.
Đoi vói hai dãy so bat kỳ x = {xn}, y = {yn} ta đ¤t :
∞
.

d (x, y) =

n=1

1 |xn − yn|
.
2n 1 + |xn − yn|

Khi đó (P, d) là m®t không gian metric.

Chúng minh. Ta có d xác đ%nh trên P.
Th¤t v¤y, vói ∀x, y ∈ P thì:

0≤

1

|xn − yn|

2 1 + |xn − yn|
n

Do
chuoi

≤

∞

.

1∞
n=1

2n

h®i tn nên
chuoi

. 1

n=
1

1

.
2n
|xn − yn|

2n 1 + |xn −
yn|

Suy ra d xác đ%nh trên P.
Ta có ∀x, y ∈ P : |xn − yn| ≥ 0,∀n = 1, 2, ....
Suy ra

Do
đó

V¤
y

1 |xn −
0, ∀n = 1, 2, ....
yn|
≥
n
2 1 + |xn − yn|
∞

. 1
n=
1

|xn − yn|

2n 1 + |xn −

≥ 0.

yn|

d (x, y) ≥ 0 vói ∀x, y ∈ P.
Neu d (x, y) = 0 thì
∞

h®i tn.


.
n=1

1

|xn − yn|

2n 1 + |xn −
y n|

= 0.

Suy
ra

1 |xn −
= 0, ∀n = 1, 2, ....
yn|
2n 1 + |xn − yn|

V¤y

|xn − yn| = 0 vói ∀n = 1, 2, ....

Do
đó

x = y vói ∀x, y ∈ P.

Lai có vói ∀x, y ∈ P :

|xn − yn| = |yn − xn| , ∀n = 1, 2, ....
Suy ra

1

Do
đó

, ∀n = 1, 2, ....

|xn −
yn|

1
=
xn|

2n 1 + |xn −
y n|
∞

. 1
n=1

|yn −

2n 1 + |yn − xn|
∞

|xn − yn|

2n 1 + |xn −
y n|

1 |yn − xn|
.
2n 1 + |yn − xn|

=

.
n=
1

V¤y d (x, y) = d (y, x) vói ∀x, y ∈ P.
Cuoi cùng tn bat đang thnc

|xn − yn| ≤ |xn − zn| + |zn − yn| vói ∀n = 1, 2, ...
và do hàm

f (t)
=
đong bien trên [0; +∞) suy ra:
vói ∀x, y, z ∈ P, ∀n ∈ N∗ ta
có

t
1+t


1 |xn −
y n|

1

|xn − zn| + |zn − yn|

2n 1 + |xn − yn|

2n 1 + |xn − zn| + |zn − yn|

≤
1 |xn − zn|
1
≤ n
2 1 + |xn −
z n|

+

|zn − yn|

.

2n 1 + |zn − yn|


V¤y
.∞ 1

|xn − yn|
≤
n
2
1
+
|x
−
y

|
n=1
n
n
≤
≤
Hay

.∞ 1

n=1
.∞

n=1

|xn − zn| + |zn − yn|

2n 1 + |xn − zn| + |zn − yn|
1
|xn −
.∞ 1 |zn − yn|
+
.
zn|
2n 1 + |xn −

n=1

2n 1 + |zn − yn|

zn|
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) vói ∀x, y, z ∈ P.
V¤y (P, d) l¤p thành m®t không gian metric.

Đ%nh nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), điem x0
thu®c X và r > 0.
T¤p S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) < r} đưoc goi là hình cau
mó tâm x0, bán kính r.
T¤p S [x0, r] = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} đưoc goi là hình cau
đóng tâm x0, bán kính r.

Đ%nh nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d), lân c¤n
cúa điem x0 ∈ X là moi hình cau mó tâm x0 bán kính r > 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. [1]. Cho không gian metric (X, d), m®t t¤p
hop

G ⊂ X điem x0 ∈ X .


Điem x0 đưoc goi là m®t điem trong cúa t¤p G neu ton tai
m®t lân c¤n cúa nó nam tron trong t¤p G, tnc là lân c¤n đó
chí chna toàn


nhñng điem cúa G.
Điem x0 đưoc goi là điem ngoài cúa t¤p G neu ton tai m®t lân
c¤n cúa nó nam tron ngoài t¤p G, tnc là lân c¤n đó hoàn toàn
không chna điem nào cúa t¤p G.

Đ%nh nghĩa 1.1.5. [1]. Cho không gian metric (X, d), m®t t¤p
hop

G ⊂ X.
T¤p G đưoc goi là t¤p mó trong không gian X neu moi điem
thu®c

G đeu là điem trong cúa G.
T¤p G đưoc goi là t¤p đóng trong không gian X neu moi điem
không thu®c G đeu là điem ngoài cúa G.

Đ%nh lí 1.1.1. [1]. Cho không gian metric (X, d), « là ho tat
cá các t¾p mó trong X thì « sinh ra m®t tôpô trên X .
Chúng minh. Ta có X và φ là các t¤p mó nên X ∈ «, φ ∈ «.
Giá sn ho (Gα)α∈I ⊂ « vói I là t¤p chí so.
Ta đ¤t
[

E=

G α.

α∈I

Lay phan tn bat kỳ x ∈ E thì ta có

x ∈ Gα0 , α0 ∈ I.
Vì Gα0 là t¤p mó nên ton tai lân c¤n

S (x, r) ⊂ Gα0 .

Suy ra

S (x, r) ⊂ E.

Do đó E là t¤p
mó.
Giá sn G1, G2, ..., Gm là ho hñu han các phan tn thu®c «.
Ta đ¤t
\m

F=

Gj.

j=1

Lay m®t phan tn bat kỳ y ∈ F thì ta có

y ∈ Gj vói ∀j = 1, 2, ..., m.
Do Gj là t¤p mó nên vói moi j ton tai lân c¤n

Sj = S (y, rj ) .
Фt r = min {r1, r2, ..., rm} > 0 ta có lân c¤n S (y, r) thóa
mãn

S (y, r)
⊂
Do đó F là t¤p mó.

m

\

⊂

m
\

Sj

Gj = F .

j=1

j=1

V¤y « là m®t tôpô trên

X.

Đ%nh nghĩa 1.1.6. [1]. Ho « tat cá các t¤p mó trong không
gian
metric (X, d) đưoc goi là tôpô sinh bói metric d.


Ví dn 1.1.3. Cho X = R vói metric thông thưòng d. Khi đó, ho
các khoáng trên R là m®t tôpô trên R và đưoc goi là tôpô tu
nhiên trên R.

1.2

Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1. [1]. Dãy {xn} trong không gian metric (X,

d)
đưoc goi là h®i tn tói điem x0 ∈ X neu

lim d (xn, x0) = 0.
n→∞

Khi đó ta
viet

lim xn = x0 .
n→∞

xn → x0 khi n → ∞.

Hay

Điem x0 đưoc goi là giói han cúa dãy {xn}.
Ví dn 1.2.1. Su h®i tn cúa m®t dãy điem trong không gian C

[a, b]
tương đương vói su h®i tn đeu cúa dãy hàm liên tnc trên đoan
[a, b]. Chúng minh. Th¤t v¤y, giá sn dãy hàm {xn (t)} ⊂ C [a,

b] h®i tn tói hàm x (t) trong không gian C [a, b]. Theo đ%nh
nghĩa su h®i tn
cúa dãy hàm ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 thì
d (xn, x) = max |x (t) − x (t)| < ε.
n
a≤t≤b

Suy ra
:

|xn (t) − x (t)| < ε vói ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] .
Do đó, dãy hàm {xn (t)} ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói hàm x (t)
trên đoan [a, b].


Ngưoc lai, giá sn dãy hàm {xn (t)} ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói
hàm

x (t) trên đoan [a, b]. Khi đó hàm x (t) liên tnc trên đoan [a, b]
nên

x (t) ∈ C [a, b] .
Theo đ%nh nghĩa su h®i tn đeu cúa dãy hàm ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] thì
|xn (t) − x (t)| < ε.
Suy ra

:

max |x (t) − x (t)| < ε vói ∀n ≥ n .
n
0

a≤t≤
b

Hay

d (xn, x) < ε vói ∀n ≥ n0.

V¤y dãy hàm so {xn (t)} h®i tn tói hàm so x (t) theo metric
cúa
không gian C [a, b].
Đ%nh nghĩa 1.2.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy

{xn}
trong X đưoc goi là dãy Cauchy neu

lim d (xn, xm) = 0.

n,m→∞

Hay

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0 : d (xn, xm) < ε.

Đ%nh nghĩa 1.2.3. [1]. Không gian metric (X, d) đưoc goi là
không gian metric đay đú neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i
tn tói m®t


điem thu®c X .

Ví dn 1.2.2. C [a, b] là m®t không gian metric đay đú.
Chúng minh. Th¤t v¤y, giá sn {xn (t)} là dãy Cauchy tùy ý
trong không gian C [a, b]. Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 thì
d (xn, xm) = max |xn (t) − xm (t)| < ε.
a≤t≤b

Suy ra
:

|xn (t) − xm (t)| < ε vói ∀n, m ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] .
Do đó, dãy hàm {xn (t)} ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói hàm x (t)
trên đoan [a, b].
Ngưoc lai, giá sn dãy hàm {xn (t)} ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói
hàm

x (t) trên đoan [a, b]. Khi đó ta có x (t) liên tnc trên đoan [a, b]
nên

x (t) ∈ C [a, b]. Theo đ%nh nghĩa su h®i tn đeu cúa dãy hàm
thì

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] : |xn (t) − x (t)| < ε.
Suy ra
max |x (t) − x (t)| < ε vói ∀n ≥ n .
n
0

a≤t≤

Hay

b

d (xn, x) < ε vói ∀n ≥ n0.

V¤y dãy hàm {xn (t)} h®i tn tói hàm x (t) theo metric cúa
không
gian C [a, b].


Ví dn 1.2.3. Cho không gian X gom tat cá các hàm so x (t)
liên tnc trên toàn không gian metric R1 sao cho x (t) = 0 ngoài
m®t đoan nào đó (đoan này phn thu®c tnng hàm so x (t))
cùng vói metric

d (x, y) = max |x (t) − y (t)| ,
t∈R1
trong đó x (t) , y (t) ∈ X là hai hàm so bat kỳ . Khi đó (X, d) là
không gian metric không đay đú.
Chúng minh. Xét dãy hàm {xn (t)} ⊂ X xác đ%nh như sau :
1


khi t ≤ n,
 1 −

xn (t)
=



n2 +

t2 +

1

1



0

khi t > n.

De thay {xn (t)} là dãy các hàm liên tnc và bang 0 ngoài đoan

[−n, n].
Vói moi n, p ∈ N ta có:

d (xn+p, xn) =
max

|xn+p (t) − xn (t)| = max |xn+p (t) − xn (t)| .
|t|≤n+p

t∈R

M¤t khác:

|xn+p (t) − xn (t)|
 =
1
 n2 + 1


1

khi |t| ≤ n,
2
(n
+
p)
+
1
1
=
n + p,
khi
t n<
−
1

2
2
||≤
t +1
(n
+
p)
+


1

0
khi |t| > n + p.


−