Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

LèI CÁM ƠN

Lu¤n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà
N®i 2 dưói su hưóng dan cúa T.S Hà Đnc Vưong.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói T.S Hà Đnc
Vưong, ngưòi đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¤n tình hưóng dan
đe tác giá hoàn thành lu¤n văn này.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau
đai hoc, các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán
Giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tác
giá trong suot quá trình hoc t¤p và hoàn thành lu¤n văn tot
nghi¾p.
Tác giá xin đưoc gni lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban
bè, ngưòi thân đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n
thu¤n loi cho tác giá trong quá trình hoc t¤p và hoàn thành
lu¤n văn.
Hà N®i, tháng 6 năm 2013
Tác giá

Ma Quoc Hương


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói su hưóng dan cúa T.S Hà Đnc Vưong,
lu¤n văn Thac sĩ chuyên ngành Toán Giái tích vói đe tài “Điem
bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric nón” do tôi tu
làm. Các ket quá và tài li¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc.
Trong quá trình nghiên cnu thuc hi¾n lu¤n văn, tác giá đã ke
thna nhñng thành tuu cúa các nhà khoa hoc vói su trân trong và
biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2013
Tác giá

Ma Quoc Hương


Mnc lnc

B

áng kí

1

Mhi¾u á

2

1 đau
1.1 Không gian metric . . . . . .
1.2 Không gian metric đay đú . .
1.3 Không gian Banach . . . . .
1.4 Nguyên lý ánh xa co Banach
2

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5
5
9
12
21

Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian
metric nón
25
2.1 Đ%nh nghĩa và ví dn . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Su h®i tn trong không gian metric nón . . . . . . . 28
2.3 Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric
nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Ket lu¾n

49

Tài li¾u tham kháo

50


1

Báng kí hi¾u

N
R
C
∅
int(P )

T¤p so tu nhiên
T¤p so thuc

T¤p so phnc
T¤p rong
Phan trong cúa P

™p
Q

Quan h¾ thn tu theo nón P
Ket thúc chnng minh


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Lý thuyet điem bat đ®ng là m®t trong nhñng lĩnh vuc Toán
hoc đưoc nhieu nhà Toán hoc quan tâm và nghiên cnu. Ngưòi ta
đã tìm thay su nng dnng đa dang cúa lý thuyet điem bat đ®ng cá
trong toán hoc lý thuyet và toán hoc nng dnng, v¤t lý, tin hoc
và các ngành khoa hoc khác. Su phát trien cúa lý thuyet điem
bat đ®ng gan lien vói tên tuoi cúa các nhà Toán hoc lón như
Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan,. . .
Nhñng Đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng đã xuat hi¾n tn
đau the ký XX trong đó phái nói đen ket quá kinh đien
“Nguyên lý ánh xa co Banach” (1922): Moi ánh xa co trong
không gian metric đay đú đeu có điem bat đ®ng duy nhat. Sau
đó rat nhieu nhà Toán hoc đã mó r®ng ket quá này sang các
lóp không gian khác.
Năm 2007, các nhà toán hoc Trung Quoc: Huang Long Guang và Zhang Xian đã mó r®ng ket quá này sang lóp
không gian metric nón đưoc đăng trong bài báo: “Cone metric
space and fixed point theorems of contractive mappings” (xem
[6]). Năm 2008 các nhà toán hoc Venezuela: José R. Morales

and Edixón Rojas đã giói thi¾u m®t ket quá mói ve điem bat
đ®ng cúa ánh xa T- Co trong không gian metric nón. Đây là
m®t lĩnh vuc còn khá mói, đang thu hút su quan tâm cúa
nhieu nhà toán hoc trên the giói. Do đó trong các năm gan
đây đeu có các bài báo công bo ket quá ve điem bat đ®ng trong
lóp


không gian này [5], [9], [4].
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve điem bat đ®ng, điem bat
đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric nón, đưoc su giúp
đõ và hưóng dan t¤n tình cúa TS. Hà Đnc Vưong, tôi manh dan
chon đe tài nghiên cnu:
“Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không gian metric
nón”.

2. Mnc đích nghiên cNu
Tong hop các ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong
không gian metric nón.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
H¾ thong các ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong
không gian metric nón.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cnu ve “Điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong
không gian metric nón”.

5. Phương pháp nghiên cNu
• D%ch, đoc nghiên cnu tài li¾u.

• Tong hop, phân tích, v¤n dnng kien thnc cho mnc đích
nghiên
cnu.


6. DN kien đóng góp
Đây là bài tong quan ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong
không gian metric nón. Giúp ngưòi đoc hieu sâu hơn ve không
gian metric nón và điem bat đ®ng cúa ánh xa co trong không
gian metric nón.
Lu¤n văn đưoc trình bày gom hai chương n®i dung và m®t
danh mnc tài li¾u tham kháo.
Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve không gian
metric, không gian metric đay đú, không gian Banach, Nguyên lý
ánh xa co Banach.
Chương 2 trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, không
gian metric nón, và su h®i tn trong không gian metric nón.
Phan cuoi là ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co cho lóp
không gian này.


Chương 1

Kien thNc chuan b%
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơ
bán ve không gian metric, không gian metric đay đú, không gian
Banach và cuoi cùng là nguyên lý ánh xa co Banach.

1.1

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là m®t t¤p hop X ƒ=
∅
cùng vói m®t ánh xa d : X × X → R, thóa mãn các đieu ki¾n
sau:
1. d(x, y) “ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3. d(x, y) ™ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xa d goi là metric trên X.
So d(x, y) goi là khoáng cách giña hai phan tn x và

y. Các phan tn cúa X goi là các điem.
Không gian metric đưoc kí hi¾u là (X, d).


Ví dn 1.1.1.
Cho C[a,b] là t¤p các hàm so thuc liên tnc trên đoan [a, b], ta
đ¤t

d(x, y) = max| x(t)− y(t)
a™t™b
|
vói moi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b].
Khi đó (C[a,b], d) là m®t không gian metric.
Chúng minh.
Vì ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] nên x(t) − y(t) là
hàm liên tnc t
[a, b], do đó ton
∈

|
− y(t) hay d(x, y)
tai max∀ x(t)
|
xác
a™t™b

đ%nh trên C[a,b].
Ta kiem tra các đieu ki¾n ve metric.

1. Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ta có

|x(t) − y(t)| “ 0, ∀t ∈ [a, b].
Ta suy
ra

max| x(t)− y(t)| “ 0,∀ t [a, b].
a™t™b
∈
d(x, y) “ 0, ∀x, y ∈ C[a,b].

V¤y
Hien nhiên d(x, y) = 0 hay max x(t)y(t) = 0.
a™t™b |

Ta
có

−
|

|x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].

V¤y x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.
2. Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b]:

d(x, y) = max| x(t)− y(t)
a™t™b
| x(t)
= max| y(t)−
a™t™b
|


= d(y, x).
V¤y d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[a,b].
3. Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ∀z = z(t) ∈
C[a,b], ta có:

d(x, y) = max| x(t)− y(t)
a™t™b
= max| x(t)|− z(t) + z(t)− y(t)
a™t™b
|
™ max |x(t) − z(t)| + max |z(t) − y(t)|
a™t™b

= d(x, z) + d(z,
y).

a™t™b

V¤y d(x, y) ™ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C[a,b].
V¤y (C[a,b], d) là m®t không gian metric.
Q
Đ%nh nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy {xn}

⊂
X , điem x0 ∈ X. Dãy {xn} đưoc goi là h®i tn đen điem x0 khi
n → ∞ neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, vói ∀n “ n0 thì d(xn, x0)
< ε.
Hay

d(xn, x0) = 0.

lim

n→∞

Ký hi¾u lim x = x hay x → x , n → ∞.
n
n
0
0
n→∞

Điem x0 đưoc goi là giói han cúa dãy {xn} trong X.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy

{xn} ⊂ X đưoc goi là dãy Cauchy, neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈
N∗, ∀n, m “ n0 thì

d(xn, xm) < ε
ha
y


lim d(xn, xm) = 0.

n,m→∞


Ví dn 1.1.2.
Cho không gian metric (C[0,1], d) vói metric d đưoc đ%nh nghĩa
như sau:

d(x, y) =

¸

1
0

|x(t) − y(t)|dt.

Xét dãy {xn} ⊂ C[0,1] như sau:

1
0
khi 0 ™ t <
2


n
khi 21 ™ t ™1 2+ n1
xn(t)  nt
− 2
=

+


1
khi 12 1 < t ™ 1
Khi đó {xn} là dãy Cauchy trong không gian (C[0,1], d).
Th¤t v¤y:
Vói moi m > n ta có:
¸ 1

d(xn, xm)
=

01

=

¸

|xn(t) − xm(t)|dt

2

1

¸

|xn(t) − xm(t)|dt +

0

¸

1

+
2
1

n

|xn(t) − xm(t)|dt

2

1

+ |x
(t) − xm(t)|dt
1 n
1
2

=

¸
¸

+
1
2

n

¸

|0 − 0|dt + 1

0

1
2

1

+

n

|xn(t) − xm(t)|dt

2

1

+ |1
− 1|dt
1 1
+

¸2 1 +n1
2

=
Vì

1
2

n

|xn(t) − xm(t)|dt.


|xn(t) − xm(t)| ™ 1, ∀n, m ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1].


Nên ta có

¸

1 1
+

2

n

|xn(t) − xm(t)|dt
™

¸
n

1
2

Suy
ra

1 1
+
2

1dt =

1
2

1
.
n

1

0 ™ d(xn, xm) ™ .
n
Cho n → ∞ ta đưoc d(xn, xm) = 0.
V¤y {xn} là m®t dãy Cauchy trong (C[0,1], d).
1.2

Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1. [1]. Không gian metric (X, d) đưoc goi là
không gian metric đay đú, neu moi dãy Cauchy đeu h®i tn
trong X.
Ví dn 1.2.1.
Không gian C[a,b] các hàm so liên tnc trên [a, b] vói metric d(x,

y) =| max− x(t) y(t) là không gian metric đay đú.
|

a™t™b

Chúng minh.
Giá sn {xn(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong không gian∗C[a,b].
Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n, m
“ n0 :

V¤y ta
có

d(x(n), x(m)) = max
xn(t)

xm(t) < ε.
|
−
a™t™b
|
|xn(t) − xm(t)| < ε, ∀n, m “ n0, ∀t ∈ [a, b].

Các bat đang thnc trên chnng tó vói moi t co đ%nh thu®c đoan

[a, b]

thì dãy {xn(t)} là dãy so thuc Cauchy, nên phái ton tai giói
han, ta
có


lim x (t) = x(t), t ∈ [a, b].
n
n→∞


M¤t khác, vói ε > 0 cho trưóc, ton tai Nε sao cho ∀n, m “ Nε,

∀t ∈
[a, b] ta có

|xn(t) − xm(t)| < ε.
Cho m → ∞ ta đưoc vói ∀n, m “ Nε, ∀t ∈ [a, b] :
|xn(t) − x(t)| < ε.
Tnc là dãy {xn(t)} h®i tn đeu tói x(t), ∀t ∈ [a, b].

V¤y x(t) là liên tnc nên x(t) ∈ C[a,b].
V¤y C[a,b] là không gian metric đay đú.
Q
Ví dn 1.2.2.
Cho X là t¤p hop tat cá các hàm so x (t) liên tnc trên không
gian metric R sao cho x (t) = 0 ngoài m®t đoan nào đó
(đoan này phn thu®c tnng hàm so x (t)). Vói hai hàm so bat
kỳ x (t) , y (t) ∈ X ta đ¤t

d (x, y) = max |x (t) − y (t)| .
t∈

Khi đó (X, d) là m®t không gian metric không đay đú.
Th¤t v¤y, ta xét dãy hàm {xn (t)} ⊂ X xác đ%nh như
sau:


1

xn (t)
=




t2 + 1
−
0

1

n2 +
1

neu |t| ™ n

neu |t| > n.

Ta thay {xn} là dãy các hàm liên tnc và bang không ngoài
đoan

[−n, n].
Vói moi n, p ∈ N, ta có:


d (xn+p, xn) = max |xn+p (t) − xn (t)|
t∈


=
max

|xn+p (t) − xn (t)| .

|t|
M¤t
khác

|xn+p (t) − xn (t)|

1


vói |t| ™ n
−
1
2
2
+
(n + p) + vói n < |t| ™ n + p
 n
1

1
=
1
1
2

− t + 1 (n + p)2 + 1

Do
đó,

0

vói |t| > n + p.

d (xn+p, xn) = max |xn+p (t) − xn (t)|
t∈

= max

|xn+p (t) − xn (t)|
1
1
™
n2 + 1 (n + p)2 + 1
−
|t|
<

Suy
ra

1

.
n +1
2

lim d (xn+p, xn) = 0.
n→∞

V¤y {xn} là m®t dãy Cauchy trong X .
Bây giò ta chnng minh X là không gian metric không đay đú
bang phán chnng.
Giá sn X là không gian metric đay đú. Dãy {xn} h®i tn đen x

∈X


hay ton tai x

X sao cho lim d (xn, x) = 0.
∈
n→∞


x˜ (t)
=

Xét
hàm

1

, t ∈ R.
t +1
2

Ta có x˜ (t) liên tnc trên R và 0 < x˜ (t) ™ 1, ∀t ∈ R.
Do x˜ (t) ƒ= 0, ∀t ∈ R nên

x˜ (t) ∈/

X. M¤t khác, ta có: vói ∀t ∈
R,

0 ™ |x˜ (t) − x
(t)|
™ |x˜ (t) − xn (t)| + |xn (t) − x (t)|

1

+ max| x (t)− x (t)
+ 1 t∈R n
|
1
=
+ d (xn, x) .
n2 +
1
1
+ d (xn, x) .
0 ™ |x˜ (t) − x
2
n +1
(t)| ™
™

Suy
ra,

n2

(1.1)

Tn (1.1) cho n → ∞ ta đưoc: |x˜ (t) − x (t)| = 0, ∀t ∈ R, suy

ra

x (t) = x˜

X, mâu thuan vói giá thiet x (t) ∈ X.

(t) ∈/
Mâu thuan trên chnng tó ton tai m®t dãy Cauchy trong không
gian (X, d) nhưng không h®i tn đen phan tn trong (X, d). Do
đó (X, d) là không gian metric không đay đú.

1.3

Không gian Banach


Đ%nh nghĩa 1.3.1. [1]. Cho X là không gian tuyen tính trên
trưòng K (thuc ho¤c phnc). M®t ánh xa " · " : X → R đưoc
goi là m®t chuan neu
1. "x" “ 0, ∀x ∈ X.


"x" = 0 ⇔ x = θ.
2. "λx" = |λ| · "x", ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.
3. "x + y" ™ "x" + "y", ∀x, y ∈ X.
So "x" đưoc goi là chuan cúa vectơ x.
Đ%nh nghĩa 1.3.2. [1]. Cho X là không gian tuyen tính trên
trưòng K (thuc ho¤c phnc). Không gian X cùng vói chuan " ·

" xác đ%nh trên X đưoc goi là không gian đ%nh chuan.

Kí hi¾u: Không gian đ%nh chuan (X, " · ").
Ví dn 1.3.1.
Cho không gian tuyen tính phnc En = {x = (x1, x2, . . . , xn) :

xi ∈
C} và ánh xa

" · " : En → R,
xác đ%nh bói: "x" =
,.n

k=
1

"xk"2.

Khi đó (En, " · ") là m®t không gian đ%nh chuan.
Chúng minh.
Ta kiem tra các đieu ki¾n cúa Đ%nh nghĩa 1.3.1.
1. Hien nhiên
‚
.
..n
,
"xk"2 “ 0, ∀x ∈ En.
Ta
có

k=
1

‚

...
n
,
"x" = 0 ⇔

"xk"2
k=1

= 0.


Suy
ra

n

.

"xk"2 = 0.

k=1

Do đó

"xk" = 0, ∀k = 1, 2, . . . , n.
V¤y x =

θ.
2. Vói moi x ∈ En, ∀λ ∈ K, ta có
‚
..
.
n
"λx" =
,

"λxk"
2

k=1

‚ ..
.
= |λ| n "xk "
2
,
k=1

= |λ|."x".
3. ∀x, y ∈ En ta
có

"x
= + y"

‚
..

.

"xk + yk"

n

,

2
k=1

‚
.
n .
.
™,

x k" 2

.

" + "yk "2.

k=1

‚
. n
..
=,
"xk"2

k=1

‚
.
..n
™,
k=1

+

n
.
k=
1

‚
.
,

"yk"2

n


2

"xk" +

..

= "x" + "y".
Suy ra " · " là m®t chuan trên En.

k=1

"yk"2


V¤y (En, " · ") là m®t không gian đ%nh chuan.
Q
Đ%nh nghĩa 1.3.3. [1]. Cho không gian đ%nh chuan X và dãy
điem

{xn} ⊂ X. Dãy {xn} goi là h®i tn tói x neu
lim "x − x" = 0.
n
n→∞
Kí hi¾u lim
n→∞

xn = x, hay xn → x, n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.3.4. [1]. Cho không gian đ%nh chuan X , dãy {xn}

⊂
X đưoc goi là dãy Cauchy neu
lim "x − x " = 0.
n
m
n,m→∞

Hay vói ∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N∗ sao cho ∀n “ n0, ∀m “ n0, ta có

"xn − xm " < ε.
Đ%nh nghĩa 1.3.5. [1]. Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là
không gian Banach, neu moi dãy Cauchy đeu h®i tn trong X.
Ví dn 1.3.2.
Cho không gian C[a,b] là không gian các hàm thuc liên tnc trên
đoan

[a, b] cùng vói ánh xa
" · " : C[a,b] → R,
xác đ%nh bói: " x " = max| x(t) là không gian Banach.
a™t™b

|