Điểm bất động của toán tử (K,Uo)_Lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sưTiến sĩ- Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn
và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và
nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn
lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng
các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn
thành tốt đẹp chương trình Cao học và luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin và
các đồng nghiệp của trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn-tỉnh Điện
Biên đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và
hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Thủy


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Thủy


Mục lục
Mở đầu

2
4

1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

1.1 Không gian định chuẩn thực..........................................................8
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón . . . 10

1.3

1.2.1

Nón trong không gian định chuẩn thực........................10

1.2.2

Quan hệ thứ tự trong không gian E..............................11

1.2.3

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự......................17

Không gian Eu0...............................................................................18

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự..................... 22
1.4.1

Không gian C.....................................................................22

1.4.2

Không gian l2.....................................................................27

1.4.3

Không gian c......................................................................35

2 TOÁN TỬ (K, u )

−

LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BA
2.1 Các định nghĩa................................................................................43
2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u )
0 − lõm chính quy 44
2.3 Toán tử (K, u ) lõm chính quy trong một số không gian Banach thực nửa
0 −

0

2.3.1
2.3.2

Toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian C 48
Toán tử (K, u )
0 − lõm chính quy trong không gian l2 52


3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K,
u0)
3.1 Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K,
u 0)

LÕM CH
−

−

3.2 Ví dụ áp dụng định lí...................................................................64
3.2.1

Điểm bất động trong không gian C..............................64

3.2.2

Điểm bất động trong l2...................................................64

lõm chính

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc
xét
bài toán: Tìm điểm bất động của toán tử (K, u )
0 − lõm chính quy trong
không gian Banach thực với hai nón. Nên bài toán này đã được nhiều
nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu.
Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp
toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956). Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa
học
I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K,
u0)−lõm (1984). Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0−đo được
khiến cho
việc ứng dụng các kết quả gặp khó khăn. Hơn nữa, các toán tử trên
được xét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón.
Nhà toán học M. A Kranoxelxki mở rộng các kết quả đạt được đối với
các lớp toán tử trên tác dụng trong không gian Banach thực với hai
nón, trong đó một nón là con của nón còn lại.
Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết
quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng
trong không gian Banach thực với một nón: Toán tử lõm chính quy,
trong đó không yêu cầu có tính chất u0−đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ
sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy
tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:

“Điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quy
trong không gian Banach thực với hai nón”.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn “Điểm bất động của toán tử (K, u ) lõm chính quy
0 −
trong không gian Banach thực với hai nón ” nhằm nghiên cứu, trình bày
về điểm bất động của toán tử (K, u
)
0 lõm chính quy tác dụng trong
−

không gian Banach thực với hai nón, trong đó hai nón cố định khác
nhau và giao nhau khác rỗng, không yêu cầu toán tử có tính chất
u0−đo
được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu
của luận văn là:
+ Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
+ Tìm hiểu về toán tử (K, u )
0 − lõm chính quy.
+ Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u lõm
0
)
−

chính quy trong không gian Banach thực với hai nón.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết
quả
về toán tử (K, u )
0 − lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán
tử
(K, u ) lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón.
0 −
+) Phạm vi nghiên cứu:
Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến điểm
bất động của toán tử (K, u )
0 − lõm chính quy trong không gian Banach
thực với hai nón.


5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kết quả
nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn.
6. Dự kiến đóng góp mới
Nghiên cứu “Điểm bất động của toán tử (K, u ) lõm chính quy
0 −
trong không gian Banach thực với hai nón ” sẽ cho ta hiểu biết sâu
sắc hơn về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng
cho một số lớp toán tử khác.
Luận văn này có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề
toán học liên quan.


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Không gian định chuẩn thực

Định nghĩa 1.1.1.

Cho không gian tuyến tính thực E. Một

chuẩn trên E là một ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí
hiệu "."
( đọc là chuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau:
i,∀x ∈ E, "x" ≥ 0, "x" = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử
không trong không gian E);
ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, "αx" = |α| "x";
iii,∀x, y ∈ E, "x + y" ≤ "x" + "y" (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một
chuẩn trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E,
".") hay E.
∞

Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy {xn}
n= ⊂ E
gọi là hội tụ đến x E nếu lim "xn − x" = 0, hay ∀ε > 0, ∃n01∈ N∗
∈
n→∞
sao
cho ∀n ≥ n0, "xn − x" < ε.
Dựa vào các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau:
Định lí 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm

∞

{xn}
hội tụ đến x thì dãy chuẩn {"xn"} hội tụ tới "x", nói khác
n=
1
đi
"x" là một hàm liên tục của biến x.


Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
"x" = "x − y + y" ≤ "x − y" + "y" , ∀x, y ∈ E,
hay
"x" − "y" ≤ "x − y" .
Đổi vai trò của x, y ta lại có: "y" − "x" ≤ "x −
y". Do đó ta có |"x" − "y"| ≤ "x − y" , ∀x, y ∈
E.
Suy ra
|"xn" − "x"| ≤ "xn − x" (n = 1, 2, . . .)
Vì vậy, nếu {xn} hội tụ tới x thì lim "xn − x" = 0, dẫn đến
n →∞

|"xn" − "x"| → 0 khi n → ∞ hay "xn" → "x" khi n → ∞. Mệnh
đề được chứng minh.
Định lí 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{xn}

∞

n=

1

hội tụ thì dãy chuẩn {"xn"} bị chặn.

Chứng minh. Giả sử xn → x, n → ∞ trong không gian E, theo định lí
1.1.1 ta có "xn" → "x" khi n → ∞ , do đó tồn tại n0 sao cho ∀n ≥
n 0,
"xn" ≤ "x" + 1
Đặt K là số lớn nhất trong các số "x1" , "x2" , ..., "xn" ,
"x" + 1. Khi đó ∀n, "xn" ≤ K hay {"xn"} bị chặn.
Định lí 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{xn}
{αn

∞

n= hội tụ tới
}1 hội tụ tới α

∞

x, dãy điểm {yn}
n= hội tụ tới y và trong R dãy số
1
thì:

xn + yn → x + y, n → ∞, αn.xn → αx, n → ∞.
Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R).

10

Chứng minh. Do xn → x, n → ∞; yn → y, n → ∞ trong không gian E,
nên ta có "xn − x" → 0, n → ∞ và "yn − y" → 0, n → ∞.
Ta lại có
"(xn + yn) − (x + y)" ≤ "xn − x" +
"yn − y"
do đó "(xn + yn) − (x + y)" → 0, n → ∞ hay xn + yn → x + y, n → ∞
trong không gian E, đồng thời:
"αn.xn − α.x" = "αnxn − αnx + αnx − αx" ≤ "αn (xn − x)"+"(αn −
α) x"
≤ |αn| . "xn − x" + |αn − α| . "x" .
Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn|} bị
chặn, còn xn → x, n → ∞ trong không gian E nên "xn − x" → 0, n →
∞.
Do đó |αn| . "xn − x" + |αn − α| . "x" → 0 khi n → ∞
hay "αn.xn − α.x" → 0, n → ∞ hay αnxn → αx, n → ∞ trong không
gian E.
Định

nghĩa

1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm

∞

E gọi là dãy cơ bản trong E nếu lim "xn − xm" = 0
⊂
,m→∞
1

∗
hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có "xn − xm" < ε.
{xn}
n=

Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ.

1.2

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với
một nón

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian định chuẩn thực E, tập K ⊂ E, K
khác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các
điều kiện sau:


a, K là một tập đóng trong không gian E,
b, ∀x, y ∈ K ta có x + y ∈ K,
c, ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K,
d, ∀x ∈ K, x ƒ= θ ta có −x ∈/ K.
Nhận xét 1.2.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực
E thì θ ∈ K và K là tập lồi.
Thật vậy:
+) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K, do đó với t = 0 ta có
θ = 0.x ∈ K.
+) ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0; 1] ta có tx ∈ K, (1 − t) y ∈ K
nên tx + (1 − t) y ∈ K.

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E
Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một
nón trong không gian E. ta xây dựng một quan hệ ′′ ≤′′ trong E như
sau:
∀x, y ∈ E, x ≤ y nếu y − x ∈ K.
Định lí 1.2.2. Quan hệ ′′ ≤′′ là một quan hệ thứ tự trong E và ta gọi
là quan hệ thứ tự theo nón K.
Chứng minh. +) ∀x ∈ E, x − x = θ ∈ K nên x ≤ x.
+) ∀x, y ∈ E, x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K.
Do y − x = − (x − y) nên nếu x − y ƒ= θ thì mâu thuẫn với điều
kiện d)
của định nghĩa 1.2.1. Do đó x − y = θ ⇔ x = y.
+) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈
K. Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z.
Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự ′′ ≤′′
gọi là không gian nửa sắp thứ tự theo nón K.


12

Định nghĩa 1.2.2. Trong không gian định chuẩn thực E, một nón K
được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại một số dương N sao cho
∀x, y ∈ K, x ≤ y ta có "x" ≤ N "y".
Định nghĩa 1.2.3. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn
thực E. Với y ∈ K ta nói x ∈ E thông ước với y nếu tồn tại số α,
β>0
sao cho αy ≤ x ≤ βy.
Định lí 1.2.3. Cho x, y ∈ K, nếu x thông ước với y thì y thông ước
với
x.

Chứng minh. Vì x thông ước với y nên tồn tại số α, β > 0 sao cho:
αy ≤ x ≤ βy do đó 1 x ≤ y ≤ 1 x hay y thông ước với x.
β

α

Định lí 1.2.4. Nếu hai phần tử thuộc K\ {θ} cùng thông ước với
phần tử thứ ba thuộc K\ {θ} thì thông ước với nhau.
Chứng minh. Giả sử hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} cùng thông ước với
phần tử z ∈ K\ {θ}. Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho:
αz ≤ x ≤ β,
Ta
có

α
x ≥ αz =

β

αz ≤ y ≤ βz

α

β

βz≥ β y,

β

x ≤ βz = α αz ≤ α y.

Vì βvậy tồn tại các số dương α1 = α , β1
=
β

sao cho α1y ≤ x ≤ β1y hay
α

x thông ước với y.
Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Kí hiệu
K ∗ = K\ {θ}. Mỗi x ∈ K∗ gọi là một phần tử dương, ta cũng viết x
< y nếu y − x ∈ K∗ . Giả sử u0 ∈ K∗ , tập hợp tất cả các phần tử
x ∈ K∗ thông ước với u0 được kí hiệu là K (u0).
Định lí 1.2.5. Cho E là không gian định chuẩn thực, A ⊂ E là một
tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không.


Đặt K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A}. Khi đó K (A) là một
nón trong không gian E.
Chứng minh. Dễ thấy tập A ⊂ K (A), mà A ƒ= ∅, nên K (A) ƒ= ∅.
Khi đó tồn tại m, M là các số thực dương sao cho ∀y ∈ A,
(1.1)

m ≤ "y" ≤ M.

Thật vậy, do tập A bị chặn nên tồn tại M > 0 : "y" ≤ M, ∀y ∈
A. Đặt m = inf "y". Giả sử m = 0 thì tồn tại dãy {yn
y A
}n=
cho:

lim

n→∞

∞

⊂ A sao

∈

"yn" = 0 hay yn = θ trong không gian E. Do A là tập đóng
lim
n →∞

nên θ ∈ A. Điều này trái với giả thiết A không chứa phần tử không.
Vậy m > 0 và "y" ≥ inf "y" = m > 0, ∀y ∈ A.
y∈A

+) Ta chứng minh K (A) là tập đóng.
Lấy dãy bất kì
K (A) sao cho lim un = u trong không gian
n= ⊂
∞
n→∞
{un}
1
E.
Nếu u = θ thì u = 0.y, y ∈ A ⇒ u ∈ K (A)
Nếu u ƒ= θ thì với ε =2 1 "u" > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 ta có:
"un − u" < ε 1

=
"u" .
2
Khi đó, |"un" − "u"| ≤ "un − u" 2< 1 "u"
1
⇒

2

3
"u" < "un"

2

"u" , ∀n ≥ n0.

<
Mặt khác, vì un ∈ K (A) nên un = tnyn, tn ≥ 0, yn ∈ A, n ∈
N∗. Theo (1.2) ta có

Do m

y
≥| n
≥

M,

1

3

"u" < "tnyn" = tn
2
"yn" <

2

và
1

1
2"yn"

u " "

3
2"yn"

"u" .
"u"

(1.2)


⇒
<

2M

"u" < tn

3
2m

"u" , ∀n ≥ n0.


nghĩa là {tn} là dãy số thực dương bị chặn.
Vì vậy, tồn tại dãy con {tni } ⊂ {tn} sao cho lim tni = t0.
Suy ra

1
2 "u"
M 3

i →∞

Xét dãy con {yni }
y
− ni

1

"u" nên t0 > 0.

≤ t0 ≤

2

tamcó:

tni

u = yni
−

t

0

yni
+

tn i

yni −

t0

t0

1

1

u

t0

1
≤ |tni − t0| "yni "
"tni yni − u"
t
t
0
+
0

M t − t | + 1 "t y − u" → 0 khi i → ∞.
ni
0
ni ni
≤ 0|
0
t
t

Suy
yn ra lim
i→∞

i

− 1 u = 0.
t0

1

Nhưng {yni } ⊂ A, và tập A đóng t u ∈ A

0
nên
hay
u = . u . ∈ K (A) .
1
t0
t0
Do vậy K (A) là tập đóng.
+) ∀x, y ∈ K (A) ta có:
x = t1z1, t1 ≥ 0, z1 ∈
A, y = t2z2, t2 ≥ 0, z2
∈ A.
Suy ra x + y = t1z1 + t2z2.
Nếu t1 = t2 = 0 hiển nhiên x + y ∈ K (A).
Nếu t1 = 0 hoặc t2 = 0 thì hiển nhiên x + y ∈ K (A).
Nếu t1 > 0 và t2 > 0 thì ta có t1+t2 > 0 và x+y = (t1 +t +t z1
1
+
t1
t2) .
Vì tập A lồi nên

t1
t1 +t

z1
+

t2
t1 +t

z 2 ..
t2
t1+t
2

z2 ∈ A, mà t1 + t2 > 0 suy ra

2

x + y ∈ K (A).
+) ∀x ∈ K (A) , ∀α ∈ R, α ≥ 0 ta có x = ty, t ≥ 0, y ∈ A nên


αx = αty ∈ K (A) do αt ≥ 0, y ∈ A.
+) Giả sử u0 ∈ K (A) , u0 ƒ= θ mà −u0 ∈ K (A).


Khi đó:
u0 = t1y1, t1 > 0, y1 ∈ A
−u0 = t2y2, t2 > 0, y2 ∈ A.
Ta có:
θ = u0 + (−u0) = t1y1 + t2y2
. 1
2
.
t
t
y
2

y1 +
= (t1 +
∈ K (A)
t
+
t
+
t
1
1
2
t2 )
t2
t2 t1
Vì t1 > 0 và t2 > 0
t1 + y1 + t1 + y2 = θ ∈ A. Điều này trái với
nên
t2
t2
giả thiết θ không thuộc A.
Vậy K (A) thỏa mãn các điều kiện về nón nên, K (A) là một nón
trong không gian E.
Định lí 1.2.6. Nếu K là một nón chuẩn trong không gian định chuẩn
thực E, u0 ∈ K ∗ thì Ku0 = K (u0) ∪ {θ} là một nón trong không
gian E.
Chứng minh. Ta có Ku0 ƒ= ∅ vì θ ∈ Ku0 . Ta sẽ chứng minh Ku0 thỏa
mãn bốn điều kiện về nón.
+) Ku0 là tập đóng. Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ Ku0 , xn → x ∈ E
khi
n → ∞ trong không gian E.

Nếu x = θ thì Ku0 là tập đóng vì θ ∈ Ku0 .
Nếu x ƒ= θ thì với số dương tùy ý ε ≤ "x" tồn tại số n0 ∈ N ∗
sao cho với mọi n ≥ n0 ta có:
|"xn" − "x"| ≤ "xn − x" < ε
⇒ "x" − ε < "xn" < ε + "x" .
Vì xn ∈ K (u0) nên tồn tại các số dương an, bn sao cho:
anu0 ≤ xn ≤ bnu0, n = 1, 2, . . .

(1.3)


Mặt khác, K là nón chuẩn nên tồn tại N sao cho ∀xn ∈ K (∀n ∈ N∗)
, u0 ∈ K
N
"xn
"xn"
"
"xn" , "xn" ≤ Nb n "u0" ⇒ an ≤ N
, bn
"u0"
N "u0"
≥
a
"u
n
≤
"
0

N

1 ("x" − ε) , ∀n ≥ n
a
0
"u
0" ("x" + ε) , ∀n ≥ n0, bn ≥ N
⇒ n
⇒
sup
a
≤
("x"
+
ε)
,
b
≥
("x"
−
ε)
.
"u
"
n
n
0
≤
N

1

inf
n≥n0

"u0
"

n≥n0

N "u0"

Suy ra tồn tại các dãy con đơn điệu {ank } ⊂ {an} , ank → a khi
k → ∞, {bnk } ⊂ {bn} , bnk → b khi k → ∞.
Từ (1.3) ta có ank u0 ≤ xnk ≤ bnk u0.
Cho k → ∞ ta có au0 ≤ x ≤ bu0. Do {xnk } ⊂ {xn} ⊂ Ku0 ⊂ K
và tập
K đóng, nên x ∈ K.
Do đó x ∈ K (u0) ⊂ Ku0 hay Ku0 là tập đóng.
+) ∀x, y ∈ Ku0 ta chứng minh x + y ∈
Ku0 . Nếu x = y = θ thì hiển nhiên x + y
∈ Ku 0 .
Nếu x = θ hoặc y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ Ku0 .
Nếu x ƒ= θ, y ƒ= θ thì do x ∈ K (u0) , y ∈ K (u0) nên tồn tại các số
dương
a, b, c, d sao cho:
au0 ≤ x ≤ bu0, cu0 ≤ y ≤ du0.

(1.4)

Suy ra (a + c) u0 ≤ x + y ≤ (b + d) u0 ⇒ x + y ∈ K (u0) ⇒ x + y ∈
Ku0 .

+) ∀x ∈ Ku0 , ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ Ku0 . Thật
vậy, Nếu t = 0 thì tx = θ ∈ Ku0 .
Nếu t > 0 và x = θ thì tx = θ ∈ Ku0 .
Nếu t > 0 và x ƒ= θ thì vì x ∈ K (u0) nên tồn tại các số dương a,
b sao cho:
au0 ≤ x ≤ bu0.
Do đó tau0 ≤ tx ≤ tbu0, suy ra tx ∈ K (u0) hay tx ∈ Ku0 .


+) ∀x ∈ Ku0 , x ƒ= θ thì −x ∈/ Ku0 .


Thật vậy, vì x ∈ Ku0 , x ƒ= θ nên x ∈ K (u0) ⊂ K hay x
∈ K. Do K là một nón nên −x ∈/ K ⇒ −x ∈/ Ku0 .
Vậy Ku0 là một nón trong không gian định chuẩn thực E.
Định lí 1.2.7. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực
E, u0 ∈ K\ {θ}.Khi đó K (u0) là một nón trong E.
Chứng minh. Trước hết ta thấy K (u0) là tập đóng khác rỗng. Thật
vậy:
+) Vì u0 ∈ K (u0) ⊂ K (u0) ⇒ K (u0) ƒ= ∅.
+) ∀x, y ∈ K (u0) ta có x + y ∈ K (u0). Thật vậy,
∃ (xn) ⊂ K (u0) , xn → x (n → ∞), ∃ (yn) ⊂ K (u0) , yn → y (n → ∞)
.
Suy ra xn + yn → x + y (n → ∞) trong đó xn + yn ∈ K (u0)vậy
x + y ∈ K (u0).
Tương tự, nếu x ∈/ K (u0 ) , y ∈ K (u0 ) thì x + y ∈ K (u0 ).
+) ∀x ∈ K (u0), ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ K (u0). Thật
vậy, Nếu x = θ hoặc t = 0 thì hiển nhiên tx ∈ K
(u0).
Nếu x ƒ= θ và t > 0 thì tồn tại dãy {xn} ⊂ K (u0) sao cho xn → x

khi
n → ∞. Do đó {txn} ⊂ K (u0) , txn → x khi n → ∞ hay tx ∈ K
(u0).
+) ∀x ∈ K (u0), x ƒ= θ thì −x K (u0). Thật vậy, vì x ∈ K (u0)
∈/
nên
x ∈ K. Mà x ƒ= θ và K là một nón nên −x ∈/ K. Do đó −x
∈/ K (u0). Vậy K (u0) là một nón trong không gian E.
1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
Định nghĩa 1.2.4. Không gian định chuẩn thực E cùng với quan
hệ thứ tự theo nón K trong E gọi là không gian định chuẩn thực nửa
sắp thứ tự. Một không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự đồng
thời là không gian Banach thì được gọi là không gian Banach thực
nửa sắp thứ tự.
Định lí 1.2.8. Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
theo nón K. Khi đó:


i, Nếu các dãy {xn} ⊂ E, {yn} ⊂ E, xn ≤ yn, ∀n ∈ N∗ và xn = x,
n
lim
lim yn = y thì x ≤ y.

→∞

n→∞

ii, Nếu x, y ∈ E, x ≤ y thì ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ≤
ty. iii, Nếu x ∈ K, α, β ∈ R, α ≤ β thì αx ≤ βx.
Chứng minh. Ta chứng minh từng kết luận trên.

i) Ta có xn ≤ yn, ∀n ∈ N∗ nên yn − xn ∈ K, ∀n ∈ N∗.
Do lim (yn − xn) = y − x và K là tập đóng nên y − x ∈ K hay x ≤
n→∞
y.
ii) Ta có x ≤ y nên y − x ∈ K. Do K là một nón nên ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta
có t (y − x) ∈ K. Suy ra ty − tx ∈ K hay tx ≤ ty.
iii)
Ta có βx − αx = (β − α) x, và β − α ≥ 0, x ∈ K nên (β − α)
x ∈ K. Suy ra βx − αx ∈ K hay αx ≤ βx.

1.3

Không gian Eu0

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử E là một không gian Banach thực nửa
sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ}. Phần tử x ∈ E gọi là u0 - đo
được nếu
tồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0. Tập hợp tất cả các phần
tử
u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 .
Định lí 1.3.1. Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
theo nón K, u0 ∈ K\ {θ}. Khi đó Eu0 là một không gian tuyến tính.
Chứng minh. Ta có E là không gian tuyến tính thực và Eu0 ⊂ E, do
vậy để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh Eu0 là không gian
con của E.
+) Ta thấy, θ ∈ Eu0 vì với mọi t > 0 ta có −tu0 < θ < tu0. Suy ra
Eu0
khác rỗng.
+) Với mọi x, y ∈ Eu0 ta có x + y ∈ Eu0 . Thật vậy, vì x, y ∈ Eu0
nên tồn

tại các số dương t, t′ sao cho

−tu0
 ′
−t u0

≤ x ≤ tu0,
≤ y ≤ t′u0.

Suy ra − (t + t′) u0 ≤ x + y ≤ (t + t′) u0 hay x + y ∈ Eu0 .
+) Với mọi x ∈ Eu0 , mọi α ∈ R ta có αx ∈ Eu0 . Thật vậy, vì x ∈
Eu0
nên tồn tại t > 0 sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0.
Nếu α ≥ 0 thì −tαu0 ≤ αx ≤ tαu0. Do đó αx ∈ Eu0 .
Nếu α < 0 thì −α > 0 nên −t (−α) u0 ≤ (−α) x ≤ t (−α) u0 hay
− [t (−α)] u0 ≤ αx ≤ t (−α) u0. Do đó αx ∈ Eu0 .
Vì vậy Eu0 là không gian con của E hay Eu0 là không gian tuyến
tính thực.
Định lí 1.3.2. Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
theo nón K, u0 ∈ K\ {θ}. Khi đó Eu0 là không gian định chuẩn thực
với chuẩn xác định bởi:
"x"u0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0} .

(1.5)

Chứng minh. Dễ thấy θ ∈ Eu0 và nó đóng kín đối với phép cộng
hai phần tử của Eu0 và phép nhân một số thực với một phần tử của Eu0
như trong E, nên Eu0 là một không gian tuyến tính thực.

Ta chứng minh công thức (1.5) thỏa mãn các điều kiện của chuẩn:
+) Hiển nhiên với mọi x ∈ Eu0 ta có "x"u0 ≥ 0.
Nếu "x"u0 = 0 thì tồn tại một dãy số dương {tn} hội tụ tới 0 khi n
→∞
sao cho:
−tnu0 ≤ x ≤ tnu0, ∀n.
Từ (1.6) cho n → ∞ ta có θ ≤ x ≤ θ. Vì vậy x = θ.
Ngược lại, nếu x = θ thì "x"u0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ θ ≤
tu0} = 0. Vậy "x"u0 = 0 ⇔ x = θ.

(1.6)


23

+) Với mọi x ∈ Eu0 , mọi α ∈ R ta có "αx"u0 = |α| "x"u0 . Thật
vậy, Nếu α = 0 thì "0.x"u0 = "θ"u0 = 0 = 0. "x"u0 ;
Nếu α > 0 thì:
"αx"u0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ αx ≤ tu0}
t
.
.
u
≤
x
t
t
0
= inf α α
> 0 :≤

u0
α
−
αt
.
.
= α inf t
u0 ≤ x t
> 0 :≤
u0
α
α
−
α
= α "x"u0 = |α| "x"u0 ;
Nếu α < 0 thì −α > 0 và ta có:
"αx"u0 = "− (−α) x"u0 = "−αx"u0
= −α "x"u0 = |α| "x"u0 .
Do đó với mọi x ∈ Eu0 , mọi α ∈ R ta có "αx"u0 = |α| "x"u0 .
+) Với mọi x, y ∈ Eu0 thì "x + y"u0 ≤ "x"u0 + "y"u0 . Thật vậy,
với
x ∈ Eu0 , nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương tn sao cho:
1
−tnu0 ≤ x ≤ tnu0 và tn < "x"u0 + ,
n
với y ∈ Eu0 , nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương sao cho:
n
t′
1
′

′
−t
′
u
.
0 ≤ y ≤ t u0 và < "y" +
t
n
n
n
n
u
0

Do đó,
′

<
"x"

′

− (t′ n + t ) u0 ≤ x + y ≤ (tn + t ) u0 và tn
+t
n

n

n

2

+ "y" +

u0

+ , ∀n ∈ N∗.
Suy ra "x + y"u0 ≤ tn + n ≤
+
t′
"x"u0 "y"u0
n
Cho n → ∞ ta có "x + y"u0 ≤ "x"u0 + "y"u0 .

u0

2
.
n


24

Như vậy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên Eu0 và Eu0 trở thành
không gian định chuẩn với chuẩn (1.5). Chuẩn (1.5) thường được gọi
là u0 - chuẩn.


Định lí 1.3.3. Nếu K là nón chuẩn trong không gian Banach E thì
không gian Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.

Chứng minh. Giả sử {xn} là một dãy cơ bản bất kì trong không
gian
Eu0 theo u0 - chuẩn, nghĩa là:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀m, n ≥ n0 ta có "xn − xm"u0 < ε.
Suy ra
inf {t > 0 : −tu0 ≤ xn − xm ≤ tu0} < ε
⇒ −εu0 ≤ xn − xm ≤ εu0.

(1.7)

Vì −εu0 ≤ xn − xm nên xn − xm + εu0 ∈ K.
Nhưng xn − xm + εu0 ≤ 2εu0 và K là nón chuẩn nên tồn tại số N
dương sao cho "xn − xm + εu0" ≤ 2Nε "u0".
Mặt khác:
"xn − xm" = "xn − xm + εu0 − εu0" ≤ "xn − xm + εu0" + "εu0"
hay "xn − xm" ≤ (2N + 1) ε "u0" , ∀m, n ≥ n0.
Do đó dãy {xn} là dãy cơ bản trong không gian Banach E nên tồn tại
x
sao cho lim "xn − x" = 0.
n→∞

Từ (1.7) cho m → ∞ ta được −εu0 ≤ xn − x ≤ εu0, ∀n ≥ n0. Suy ra
xn − x ∈ Eu0 hay x ∈ Eu0 .
Mà "xn − x"u0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0} nên "xn − x"u0
≤ ε,
∀n ≥ n0 hay {xn} hội tụ đến x trong Eu0 theo u0 chuẩn. Vậy Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.