Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (654.08 KB, 146 trang )

Lài cám ơn
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào, ngưòi đã
đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành
lu¾n văn này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, các
thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p.
Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi
trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá

Pham Th% Hong Hương

Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, lu¾n văn
“Điem kỳ d% và nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen
tính” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá.
Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá

Pham Th% Hong Hương

Mnc lnc
Má đau.................................................................................................1
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
1.1. M®t so kien thúc cơ bán ve chuoi hàm...............................................6
1.1.1. M®t so khái ni¾m.......................................................................................................6
1.1.2. Sn h®i tu đeu cna chuoi hàm.....................................................................................7
1.1.3. Chuoi hàm h®i tu tuy¾t đoi......................................................................................8
1.1.4. Chuoi luy thùa...............................................................................................................9
1.1.5. Khai trien hàm so thành chuoi lũy thùa.................................................................12

1.2. Tong quan ve phương trình vi phân tuyen tính..............................14
1.2.1. M®t so khái ni¾m.....................................................................................................14
1.2.2. Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính........................................15
1.2.3. Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so..............15

1.3. Điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính và sn phân loai 22
1.3.1. Khái ni¾m và ví du...................................................................................................24
1.3.2. Phân loai điem kỳ d%...................................................................................................25

Chương 2. Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen
tính tai điem thưàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......

28

2.1. Ý tưóng cna phương pháp.........................................................29
2.2. M®t so ví du...................................................................................30
2.3. Mó r®ng khái ni¾m ve điem thưòng.............................................38

i

2.4. Van đe bán kính h®i tu cna nghi¾m chuoi................................41
2.5. Phương trình Euler.....................................................................44
2.5.1. Phương trình đ¾c trưng có hai nghi¾m thnc phân bi¾t......................................46
2.5.2. Phương trình đ¾c trưng có hai nghi¾m thnc bang nhau.....................................47
2.5.3. Phương trình đ¾c trưng có c¾p nghi¾m phúc liên hop.......................................48
2.5.4. Đ%nh lý.........................................................................................................................51

Chương 3. Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen
tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....

53

3.1. Nghi¾m chuoi trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy..............53
3.1.1. Ý tưóng cna phương pháp.....................................................................................................53
3.1.2. Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n
cna m®t điem kỳ d% chính quy...........................................................................................60

3.2. Phương trình Bessel...................................................................71
3.2.1. Phương trình Bessel cap 0....................................................................................................71
1
3.2.2. Phương trình Bessel cap ...................................................................................................76
2
3.2.3. Phương trình Bessel cap 1....................................................................................................79

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
83
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...

84

i

Má đau
1. Lý do chon đe tài
Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen
tính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơ bán cna phương
trình vi phân thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t nghi¾m riêng cna phương
trình đó. Nghi¾m tong quát cna phương trình can giái là tong nghi¾m
riêng cna phương trình đó vói nghi¾m tong quát cna phương trình vi
phân tuyen tính thuan nhat tương úng. Nhưng cho đen nay, ngưòi ta
cũng chí đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong
quát cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so. Đoi vói
phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so là hàm cna bien đ®c l¾p, vi¾c
tìm nghi¾m ó dang to hop cna các hàm so sơ cap cna m®t so phương
trình vi phân rat khó (neu không muon nói là không the). Đieu này cũng
xáy ra ngay cá khi phương trình vi phân có dang rat đơn gián. Chang
han, như phương trình dưói đây
yrr − 2x.yr + y = 0.
Đây là phương trình vi phân tuyen tính cap hai, mà ta không the tìm
đưoc nghi¾m riêng dưói dang m®t hàm so sơ cap. Tuy nhiên, vi¾c giái
các phương trình như dang phương trình trên đây là rat quan trong vì
nó náy sinh tù các van đe thnc tien liên quan đen nhieu bài toán trong
lĩnh vnc V¾t lý. Chang han, nó liên quan đen phương trình Schrodinger
trong
5

cơ hoc lưong tú. Vì v¾y, chúng ta can thiet phái xây dnng các phương
pháp nham tìm nghi¾m cho các phương trình dang này. M®t trong các
phương pháp thông dung là tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang
chuoi lũy thùa
y(x) =

.

∞

a n x n = a0 + a 1 x + a 2 x2 + · · · + a n xn + · · · .
n=0

Cơ só Toán hoc cna phương pháp này là thay the bieu thúc trên cùng
các đao hàm cna nó vào phương trình vi phân can giái. Tù đó, xác đ%nh
giá tr% cna các hang so a0, a1, a2, ... sao cho nó nghi¾m đúng phương
trình vi phân đã cho. Sau khi đong nhat các h¾ so trong h¾ thúc nh¾n
đưoc, ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình đó.
Tuy nhiên, cơ só cna phương pháp này như đã nói ó trên chí có giá tr%
khi chuoi lũy thùa úng vói các h¾ so tìm đưoc phái là chuoi h®i tu. Chuoi
lũy thùa có nhieu các tính chat đep đe, đieu đó cho phép ngưòi ta có the
thnc hi¾n nhieu quá trình tính toán thu¾n loi. Dĩ nhiên, mien h®i tu cna
chuoi lũy thùa thu đưoc là m®t t¾p hop khác rong và neu chuoi lũy thùa
có bán kính h®i tu R thì trong khoáng h®i tu cna chuoi (−R, R).
Trong
khoáng h®i tu ta có the lay đao hàm và tích phân tùng so hang cna chuoi.
Chuoi mói nh¾n đưoc (sau khi lay đao hàm ho¾c tích phân) cũng có bán
kính h®i tu như chuoi ban đau. Đieu đó dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna
phương trình vi phân dưói dang chuoi lũy thùa. Đưoc sn đ%nh hưóng cna
ngưòi hưóng dan, tôi chon đe tài: “Điem kỳ d% và nghi¾m chuoi cúa

phương trình vi phân tuyen tính” đe hoàn thành lu¾n văn đào tao
Thac sĩ khoa hoc chuyên ngành Toán hoc.
Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tôi bo cuc lu¾n văn thành

ba chương
Chương 1. é đây, chúng tôi trình bày m®t so kien thúc cơ bán ve
phương trình vi phân, sâu hơn là lý thuyet chung đoi vói phương trình
vi phân tuyen tính và lý thuyet chuoi hàm. é đây nhung kien thúc căn
bán nhat liên quan đen vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân
tuyen tính. Cũng đe thu¾n loi trong vi¾c trình bày các phương pháp
nghiên cúu van đe đ¾t ra, trong phan này chúng tôi cũng trình bày m®t
cách chi tiet vi¾c phân loai các điem cna phương trình vi phân dưói góc
đ® cna hàm giái tích.
Chương 2. Chương này đưoc giành cho vi¾c trình bày m®t cách tí
mí ve phương pháp và ky thu¾t tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi
phân tuyen tính tai điem thưòng. Ngoài ra vi¾c phân tích tưòng minh ý
tưóng cna van đe, các ky thu¾t trong vi¾c tìm nghi¾m chuoi cũng đưoc
minh hoa qua các ví du cu the.
Chương 3. Trong chương này, chúng tôi trình bày ve phương pháp
tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n cna
điem kỳ d% và minh hoa áp dung cna phương pháp này trong vi¾c giái
phương trình Bessel.

2.Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân
tuyen tính. Cu the
- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính
tai điem thưòng.

- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trinh vi phân tuyen tính
trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy.

3.Nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày sn phân loai các loai điem kỳ d% và phương pháp tìm nghi¾m
chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính.

4.Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
- Sn phân loai điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính.
- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen
tính.

5.Phương pháp nghiên cNu
Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop và xin ý kien đ%nh
hưóng cna ngưòi hưóng dan.

6.DN kien đóng góp cúa đe tài
Tìm ra phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen
tính. Cu the như sau
- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính
tai điem thưòng.
- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính

trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy.

Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%

1.1. M®t so kien thNc cơ bán ve chuoi hàm
1.1.1. M®t so khái ni¾m
Trong pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn, chúng tôi chí đe c¾p đen các
khái ni¾m và ket quá căn bán ve chuoi hàm so thnc. Trưóc het, ta giói
∞

thi¾u m®t so khái ni¾m cơ bán ve dãy hàm. Cho dãy hàm {un(x)}n=
1

xác đ%nh trên t¾p X. Điem x0 ∈ X goi là điem h®i tu cna dãy hàm đã
cho neu dãy so {un (x0)} h®i tu. T¾p hop
.
.
X0 = x ∈ X : {un(x)} h®i tu
đưoc goi là mien h®i tu cna dãy hàm. Khi đó, vói moi x ∈ X0, đ¾t
u(x) = lim u (x),
n
n→∞

ta đưoc m®t hàm u(x) xác đ%nh trên t¾p X0 và dãy hàm {un(x)}
đưoc
goi là h®i tu điem ve hàm u(x) trên X0. Phát bieu dưói dang khác:
dãy hàm {un(x)} đưoc goi là h®i tu điem ve hàm u(x) trên t¾p X neu
vói moi ε > 0 cho trưóc và vói moi x ∈ X ton tai so nguyên dương N
= N (x, ε) sao cho vói moi n ≥ N ta có
|un(x) − u(x)| < ε.

Điem x1 đưoc goi là điem phân kỳ cna dãy hàm neu dãy so
{un(x1)}

phân kỳ.
Dãy hàm {un(x)} đưoc goi là h®i tu đeu ve hàm u(x) trên t¾p X
neu vói moi ε > 0 cho trưóc ton tai so nguyên dương N = N (ε) sao
cho vói moi n ≥ N ta có
|un(x) − u(x)| < ε, vói moi x ∈ X.
Cho dãy hàm {un(x)} xác đ%nh trên t¾p X. Khi đó tong vô han
∞
.
u1(x) + u2(x) + · · · + un(x) + · · · =
un(x)
(1.1)
n=1

đưoc goi là m®t chuoi hàm xác đ%nh trên X. Hàm un(x) goi là so
hang tong quát thú n cna chuoi. Tong
Sn(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x)

(1.2)

đưoc goi là tong riêng thú n cna chuoi.
Điem x0 đưoc goi là điem h®i tu (tương úng, phân kỳ) cna chuoi hàm
(1.1) neu x0 là điem h®i tu (tương úng, phân kỳ) cna dãy tong riêng
(1.2). Neu X0 là mien h®i tu cna dãy hàm {Sn(x)}, thì ta cũng goi X0
là mien h®i tu cna chuoi (1.1). Neu Sn(x) → u(x) trên X0, thì chuoi
hàm (1.1) đưoc goi là h®i tu ve hàm u(x). Khi đó, ta cũng viet
∞
.
un(x) = u(x), x ∈ X0
n=1

và u(x) đưoc goi là tong cna chuoi hàm (1.1).
1.1.2. SN h®i tn đeu cúa chuoi hàm
Đ%nh nghĩa 1.1. Chuoi hàm (1.1) đưoc goi là h®i tu đeu trên X neu
dãy {Sn(x)} h®i tu đeu trên X.

Neu các hàm uk(x); k = 1, 2, ... liên tuc, có đao hàm, khá tích trên
X, thì dãy tong riêng cna nó {Sn(x)} cũng có tính chat tương úng. Tù
các
tính chat h®i tu đeu cna dãy hàm, ta có các tính chat tương úng cna
chuoi hàm như sau
.∞

Đ%nh lý 1.1. Giá sú
chuoi

n=
1

un(x) gom các hàm liên tnc trên t¾p X.

Neu chuoi hàm h®i tn đeu ve hàm u(x), thì u(x) cũng là hàm liên tnc.
.∞
n= un(x) gom các hàm liên tnc trên [a,
Đ%nh lý 1.2. Giá sú
1
chuoi
b].
Neu chuoi là h®i tn đeu ve hàm u(x), thì u(x) khá tích trên [a, b] và
b

b

∞ ¸
.

¸
un(x)dx = u(x)dx.

n=1 a

.∞

Đ%nh lý 1.3. Giá sú chuoi

n=
1

a

un(x) gom các hàm có đao hàm liên tnc

.∞
trên [a, b]. Neu
chuoi

n=
1

.∞

un(x) h®i tn ve hàm u(x) và
chuoi

n=
1

urn(x) h®i

tn đeu trên [a, b], thì u(x) có đao hàm trên [a, b] và
.∞
ur(x) =
urn(x).
n=1

1.1.3. Chuoi hàm h®i tn tuy¾t đoi
Đ%nh nghĩa 1.2. Chuoi hàm
.∞
n=
1

|un(x)| h®i tu.

.∞
n=
1

un(x) goi là h®i tu tuy¾t đoi neu chuoi

Hien nhiên ta thay rang, chuoi h®i tu tuy¾t đoi là h®i tu. Tuy nhiên,

đieu ngưoc lai chưa chac đúng.
Đ%nh lý 1.4. (Weierstrass) Cho chuoi
hàm

.∞
n=
1

un(x). Giá sú

|un(x)| ≤ cn, vói moi n và moi x ∈ X.

Khi đó, neu chuoi
so đoi và đeu trên

.∞
n=
1

cn h®i tn, thì chuoi
hàm

.∞
n=
1

un(x) h®i tn tuy¾t
Ví dn 1.1. si.
∞n

Xét tính h®i
n
n
tu tuy¾t đoi =
1x
và đeu cna
n
chuoi hàm
3

X.

trên R.

.
s
in
x
1
.

Ta có

.

.

.

.

. ≤ n3 ;
vói moi n

n3

và moi x
∈ R.
∞

Ngoài
ra, như
ta đã
biet

1

h®i
tu.
Tù đ
%nh
lý
trên,
ta
suy

chuoi
.
so
h

. sin nx 3
n
ra à ∞
m
ra
ng
ch
uo
i

n
=
1

hu ¾t đoi và
= ® đeu trên R.
1 it
n u
3
ty
n

m Đ%nh nghĩa 1.3.
Chuoi lũy thùa là
i chuoi có dang
h

1.1.4. Chuoi
thNa

luy

ho
ó ¾c

Vi¾c trình bày ve
chuoi lũy thùa có

đ

sn liên quan trnc

â

tiep

đe

y

trong

.

đen

van

trình

bày

lu¾n

văn.

Tuy

nhiên,

các

kien

T

thúc này tương đoi

r

quen thu®c đoi vói

ư

nhung

ngưòi

ó

nghiên cúu chí can

c

trong lĩnh vnc giái

h

tích, nên chúng tôi

e

chí tóm lưoc các

t

quá

có

tính

chat căn bán nhat
và

cũng

không

trình bày các chúng

a0 + a 1 x +

−

a 2 x2 + · · · +

+

n

a nx + · · · =
.
a nx n

a
−

(1.3)
n

x
+
·
.
a

múc đ® ban đau

ket

∞

n

, a2, ... là
a nhung hang so
thnc.
a

−
x
(1.4)
t
r
o
n
g
đ
ó
x
0

l
à

,
a
0

,
a
1

Trong chuoi (1.4) điem x0 (điem x0 = 0 trong chuoi (1.3)) đưoc goi
là tâm cna chuoi lũy thùa. Chuoi lũy thùa bao giò cũng h®i tu tai tâm
cna
nó. Do đó mien h®i tu cna chuoi lũy thùa khác rong. Chuoi (1.3) nh¾n
đưoc tù chuoi (1.4) bang phép đoi bien X = x − x0, nên ve m¾t lý
thuyet ta chí can nghiên cúu chuoi (1.3) là đn.
Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý Abel) Neu chuoi (1.3) h®i tn tai x0 ƒ= 0, thì
nó h®i tn tuy¾t đoi và đeu tai moi x mà |x| < |x0| .
Tù Đ%nh lý Abel ta thay rang mien h®i tu cna chuoi lũy thùa thnc là
m®t mien cân đoi trên đưòng thang thnc. Đieu này dan đen khái ni¾m
sau
Đ%nh nghĩa 1.4. So R đưoc goi là bán kính cna chuoi (1.3) neu vói moi
x mà |x| < R thì chuoi h®i tu, vói moi x mà |x| > R thì chuoi phân
kỳ. Đe tìm bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa ta có ket quá sau
Đ%nh lý 1.6. (Cauchy-Hadamard)
Cho chuoi lũy thùa (1.3) và
.
.
,
an+1.
lim .
= ρ ho¾c
an| = ρ.
.

.lim
n→∞ . an .

|

n→∞

Khi đó, bán kính h®i tn cúa chuoi đã cho là R
=
R = +∞; neu ρ = +∞ thì R = 0).

1
ρ

(neu ρ = 0
thì

Ví dn 1.2. Xét sn h®i tu cna chuoi
n
.
∞
(x + 1)
n=
1

Bói vì
an =

1

n2n

.

(1.5)
1

, an+1 =
n2n

(n + 1)2n+1

,

nên

.a .n+1

.

.

.

n2n

n
lim

.
.
=

.

.

1
l. = 1 lim
=
i
.
m
.
n

.
.

n
n +
1.
→

2 n→∞
n+1
2

.

∞

.

(
n
+
1
)
2

∞

Do đó, bán kính h®i
tu cna chuoi lũy thùa
là R = 2. Theo Đ
%nh lý Abel,
chuoi (1.5) h®i tu
neu |x + 1| < 2
hay −3 < x < 1.
1
Tai x = 1,
nên
chu
oi
chuoi (1.5)
phâ
n
tró thành

kỳ.
chuoi
đieu
.
hoà

n

Tai x =
−3, chuoi
(1.5) tró
thành

.

(−1)

∞
n
=
1

,
đây là
chuoi
đieu
hoà
n

n=1

chuoi
đan dau nên h®i tu
(theo tiêu chuan

n

Lei
bni
tz).
V¾
y
bán
kín
h
h®
i tu
cna
chu
oi
(1.
5)
là
R
=
2.
Mi
en
h®

i tu
cna
chu
oi
là
−
3
≤
x
<
1.
Dư
ói
đây
là
m
®t
so

tính
chat
noi
b¾t
cna
tong
chuoi
lũy
thùa
Đ

Đ¾c

S(x) cúa chuoi

bi¾t,

lũy thùa là m®t

neu x

hàm so liên tnc

∈

trong (−R, R).

(−R,

Đ%nh

R) thì
x
¸

đó,

lý

so hang) Giá sú

lý
1.7.
(Tính

0

(1.3)

có

bán

n=0

lũy thùa là m®t

sú

hàm so khá tích

chuo

trên

i lũy

moi

đoan

con [a, b] ⊂

thùa

(−R, R) và

(1.3)

b

¸

∞

xndx.
¸

bán

h®i
tn R
> 0.

.
S(t)dt.
=
n+1

thùa

S(x) cúa chuoi

Giá

anxn+1

lũy

0. Khi đó tong

tuc)

∞

chuoi

kính h®i tn R >

liên

kính

1.8.

(Tích phân tùng

%nh

có

tong

Khi

a
n

Đ%nh lý 1.9. (Tính
khá vi và đao hàm
tùng so hang) Giá sú
chuoi lũy
.∞
thùa (1.3)
có bán kính
h®i tn R >
0 và S(x)
=

n
nanx ,
=x ∈
0

(−R,
R).

Khi đó
(i) Chuoi luy thùa

.∞
n=
0

nanxn−1 nh¾n đưoc bang cách đao hàm
tùng
chuoi lũy thùa đã cho, cũng có bán kính
h®i tn là R.

(ii) Tong cúa chuoi lũy thùa là m®t hàm so
khá vi trong khoáng h®i tn (−R, R).
Thêm nua, ta có
. .
∞
=

∞

nan(x)

n−1

.

n=0

.
r
.

a
n

x
)
n
n
0

1.1.5. Khai trien hàm so thành chuoi
lũy thNa
Đ%nh nghĩa 1.5. Hàm f (x) đưoc goi là
khai trien thành chuoi lũy thùa
.∞
n
trên (−R, R) neu n anx sao cho
=
có chuoi lũy thùa
0

vói moi x ∈ (−R, R).

∞

=

f

.

anx n;

(x)

n=0

Nh¾n xét. Bang
tính toán đơn gián,
ta thay rang khi hàm
f (x) khai trien đưoc
thành chuoi lũy thùa
dang
(1.3)
trên
khoáng (−R, R), thì
hàm f (x) có đao
hàm moi cap trên
khoáng đó và ta có

Đ là m®t hàm khá vi vô han trong m®t lân
% c¾n
n
h
n
g
h
ĩ
a
1

.
6
.
G
i
á

f (k)(0) = k!ak; vói
moi k = 0, 1, 2, ....

s
ú

Tù ý tưóng đó, khi

f

hàm f (x) khá vi vô
han lan trên khoáng
(−R, R), thì ta có
the thiet l¾p chuoi
lũy thùa mà các so
hang

cna

nó

đưoc

xác đ%nh tù đang
thúc trên đây. Tù đó,
ngưòi ta đưa ra khái
ni¾m

nào đó cna điem x0, thì chuoi
S(x)
=∞
. f
n=0

(n) (x0)

n

(x − x )

n!

0

đưoc goi là chuoi Taylor cna hàm f (x) tai điem trong lân c¾n cna điem
x0. Khai trien Taylor tai điem x0 = 0, có dang
. ∞ f (n)
(0) n
S(x) =
x ,
n!
n=0

đưoc goi là chuoi MacLaurin cna hàm f (x).
Tuy nhiên, van đe đ¾t ra là khi nào chuoi Taylor cna m®t hàm f (x)
nào đó h®i tu ve chính hàm đó. Ngưòi ta đã chí ra rang không phái
chuoi Taylor cna hàm f (x) luôn h®i tu ve chính hàm đó. Đieu ki¾n
dưói đây cho phép chuoi Taylor cna f (x) luôn h®i tu ve chính hàm
đó.
Đ%nh lý 1.10. (Đieu ki¾n đn đe m®t hàm khai .trien đưoc thành chuoi
Taylor)
Neu ton tai hang so M > 0 sao cho f (n) ≤ M ; vói moi
.
(x)
.
.
n = 0, 1, 2, ... và vói moi x ∈ (−R, R) thì ta có
. ∞ f (n)
(0) n
f (x) =
x .
n!
n=0

Dưói đây là khai trien cna m®t so hàm sơ cap thành chuoi Taylor
x3 x5
x2n−1
n 1
7
x
sin x = x −
+

−
+ · · · (2n 1 + · · · ; −∞ < x <
3!
5!
7!
+∞
−
+ (−1)
−
+
−
2
4
x
x6
cos x = x
2!
4!
+ · · · + (−1)
2
3
1−
6
n

n

x2n
x

e =1+x+

x

2!

+ · · · ; −∞ < x < +∞
(2n
x
+
)!
x + · · · + + · · · ; −∞ < x < +∞
3!

n!
α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α −
n+
·x
·· + +
xn + · ·
(1 + x) = 1 + αx +
1)
·
2!
n!
xn
2
3

n 1
x
x
ln(1 + x) =
+ 3 + · · · + (−1) n + · · · ; −1 < x ≤ 1
x−
2
α

−

arctan x
.
−

∞

n 2n+
1

(−1)
x

x3
=x−

x5
+

x

7

−

+ · · · ; −1 < x ≤ 1
n=0
2
3
n
+
5
1
7

1.2. Tong quan
ve phương
trình vi
phân tuyen
tính
1.2.1. M®t so khái
ni¾m
Phương trình vi phân
tuyen tính cap n là
phương trình có dang
(
y
1(x)y (x (x)y
=f

n−1)
+
+ )y (x),
r
(1.6)
···+
+
p1
p0

−

trong đó pn−1(x),
pn−2(x), ..., p1(x),
p0(x) và f (x) là
các hàm liên tuc trên
khoáng (a, b) nào
đó.

Ve trái cna

.
n[yk

(1.6) thưòng
đưoc ký
hi¾u là
Ln[y] và
goi là toán

tú vi phân
tuyen tính
cap n. Hien
nhiên, toán
tú Ln[y] có
tính chat
Ln
[αy
1+β
y 2]
=
αLn
[y1]
+
βLn
[y2]
;
vói
moi
α, β
∈
R.
To
ng L
quá n
t ta
có

.
.