Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

ĐINH TH± HONG GAM

ĐIEU KIfiN TOI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Hà N®i-2012


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

ĐINH TH± HONG GAM

ĐIEU KIfiN TOI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giái
tích Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng
Tâm

Hà N®i-2012

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS
Nguyen Năng Tâm, ngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình
hưóng dan tác giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong
nhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái
tích đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và
nghiên cúu.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên
và tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng năm 2012
Tác giá


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng năm 2012
Tác giá

5

Mnc lnc
Má đau

vii

N®i dung

1

1

Kien thNc chuan b%

1

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach . . . . . . . .

5

1.2.1

Bien phân b¾c nhat và đao hàm . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Bien phân và đao hàm b¾c cao . . . . . . . . . .

9

1.2.3 M®t so tính chat cơ bán . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4

Đ%nh lí Lyusternik...........................................................11

1.3 Hàm loi và dưói vi phân...............................................................12
1.4 M®t so không gian hàm...............................................................16
1.5 Hàm Lipschitz và dưói vi phân Clarke.......................................18
1.5.1

Hàm Lipschitz...................................................................18

1.5.2

Dưói vi phân Clarke.........................................................20

1.6 Bài toán toi ưu và hàm Lagrange..............................................22
1.7 Khái ni¾m bài toán bien phân....................................................28
2

Đieu ki¾n can cho bài toán bien phân

30

2.1 Phương trình Euler.......................................................................30
2.2 Đieu ki¾n Weierstrass.................................................................33


6

2.3 Đieu ki¾n Legendre......................................................................35
2.4 Đieu ki¾n Jacobi...........................................................................38
2.5 Bài toán đang chu.........................................................................42
3

Đieu ki¾n đú cho bài toán bien phân

46

3.1 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương yeu..................49
3.2 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương manh..............50
3.3 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong m®t so không gian
(Banach phán xa, Sobolev).........................................................51
3.3.1

Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong không gian

Banach phán xa................................................................51

3.3.2

Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong không gian
Sobolve .W1n .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Ket lu¾n

56

Tài li¾u tham kháo

57


vii

Má đau
1. Lí do chon đe tài
Sn hình thành cna Giái tích huu han chieu xuat phát tù vi¾c
nghiên cúu đieu ki¾n can cho nhung bài toán cnc tr% đơn gián, còn
các bài toán bien phân là m®t yeu to quan trong tác đ®ng đen sn hình
thành cna Giái tích vô han chieu. Không gian vô han chieu cna các
hàm liên tuc và hàm khá vi liên tuc, vi¾c phân loai tôpô, nhung
duyên có đau tiên cho Phép tính vi phân vô han chieu, tat cá nhung

cái đó đeu chào đòi trong chiec nôi cna Phép tính bien phân. Vi¾c
nghiên cúu nhung bài toán bien phân thnc sn đóng vai trò quan trong
trong thnc te cũng như trong lý thuyet (xem[2] và nhung tài li¾u dan
trong đó).
Bài toán tìm đưòng
lăn nhanh nhat có dang:
¸ x1 ,
1 + y12(x)
dx → inf ;
,
−2gy(x)
x0

(1)

y(x0) = 0, y(x1) = y1.
là bài toán đau tiên cna Giái tích vô han chieu (không gian cna tat cá
nhung quy đao noi hai điem cho trưóc có so chieu vô han) và cũng là
m®t trong nhung bài toán có ràng bu®c đau tiên. Hai lòi giái đau tiên
đưoc công bo năm 1697, trong đó phương pháp do Johann Bernoulli
đưa ra chí thích úng vói bài toán cu the này. Ngưoc lai, anh trai ông là
Jacob Bernoulli đã đe xuat m®t phương pháp có the tong quát hóa
đưoc, mó ra ký nguyên cna Lý thuyet bien phân (co đien).


8

Sau khi bài toán này đưoc công bo, đã xuat hi¾n m®t so bài
toán toi ưu khác có ràng bu®c như bài toán đang chu co đien : tìm
đưòng cong khép kín có chu vi cho trưóc sao cho di¾n tích tao thành

là lón nhat. Ket quá đưoc Euler trình bày trong tài li¾u [3] (1744) là
cách xú lý tong quát đau tiên cho các bài toán toi ưu có ràng bu®c.
Nhieu tác giá trong và ngoài nưóc đã quan tâm nghiên cúu
nhung khía canh khác nhau cna các bài toán bien phân (xem [3], [4] và
[5] và nhung tài li¾u dan trong đó).
Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve Toán giái tích, vói mong
muon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc, moi quan h¾ cna
chúng vói nhung kien thúc chưa biet và úng dung cna chúng, tôi đã
chon đe tài nghiên cúu:
"Đieu ki¾n toi ưu cho bài toán bien phân"
2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu ve nhung đieu ki¾n can, đn toi ưu cho bài toán bien
phân thông qua m®t so bài toán như: phương trình Euler, đieu ki¾n
Werierstrass, bài toán đang chu. . .
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Tong hop m®t cách h¾ thong m®t so ket quá ve nhung đieu
ki¾n toi ưu cho bài toán bien phân.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
+ Đoi tưong: Nhung bài toán bien phân.
+ Pham vi: Nhung đieu ki¾n toi ưu trong m®t so không gian
hàm.


5. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên
quan đen đe tài, sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích
hàm, lý thuyet toi ưu.
6. DN kien đóng góp mái
+ Nghiên cúu và làm rõ đưoc nhung đieu ki¾n toi ưu cho bài
toán bien phân.

+ Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa
hoc nghiên cúu và công bo ve nhung đieu ki¾n toi ưu cho bài toán
bien phân.


1

Chương 1
Kien thNc chuan b%
Trong chương này, tôi đưa ra nhung kien thúc cơ bán nham bo tro
kien thúc cho các chương sau nên các ket quá không chúng minh.

1.1

Không gian Banach

Dưói đây là các đ%nh nghĩa và tính chat ve không gian Banach và
các kien thúc có liên quan như không gian đ%nh chuan, dãy h®i tu,
h®i tu tuy¾t đoi. . .
Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan). Cho X là không gian
tuyen tính trên trưòng K. X đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan
trên trưòng K neu ton tai m®t chuan "." trên X, ∀u, v ∈ X và α ∈ K,
thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:
(i) "u" “ 0 (vói "u" là m®t so thnc không âm)
(ii) "u" = 0 neu u = 0
(iii) "αu" = |α| . "u"
(iv) "u + v" ™ "u" + "v" (bat đang thúc tam giác)
M®t không gian đ%nh chuan trên trưòng K = R ho¾c K = C đưoc
goi là không gian đ%nh chuan thnc ho¾c phúc, tương úng.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Sn h®i tu). Cho (un) là dãy trong không gian đ
%nh chuan X, un ∈ X, ∀n.
Ta viet lim
u = u.
n→+∞ n
Neu lim "u − u" = 0 và khi đó ta nói dãy (u )h®i tu tói u.
n

n→+∞

n

Thay vì viet lim u = u ta có the viet u → u khi n → +∞.
n
n
n→+∞

Dãy (un) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi là dãy Cauchy
neu
∀ε > 0, ∃n0(ε) sao cho "un − um" < ε ∀n, m “ n0(ε).
Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach). Không gian đ%nh chuan X
đưoc goi là không gian Banach neu moi dãy Cauchy đeu h®i tu.
Nh¾n xét 1.1.1. Không gian Banach cũng đưoc goi là không gian đ%nh
chuan đay.
Rõ ràng moi dãy h®i tu đeu là dãy Cauchy.
Th¾t v¾y, neu "xn − x" → 0 thì "xpn − xqn" ™ "xpn − x"+"xqn − x" →
0
vói moi c¾p dãy tăng cna chí so (pn) và (qn).
Đieu ngưoc lai trong trưòng hop tong quát không đúng.

Ví dn 1.1.2. Cho P ([0, 1]) là không gian các đa thúc trên [0, 1]
vói chuan
= max
" " P [0,1]
| P (x) . Đ%nh nghĩa:
|
x2 + ... xn , n = 1, 2, ...
Pn (x) = 1 + x
+
n!
+
2!
thì (Pn) là m®t dãy Cauchy, nhưng nó không h®i tu trong P ([0, 1]).
M®t so ví du minh hoa ve không gian Banach.
Ví dn 1.1.3. Không gian X := K là không gian Banach trên trưòng
K
vói chuan "u" = |u| , ∀u ∈ K.
Ví dn 1.1.4. Chúng ta se chí ra rang không gian l2 bao gom tat cá
.∞
nhung dãy so phúc x = (xn) sao cho chuoi n= |xn|2 h®i tu vói chuan
1
.
∞

"x" =


.
2

|

x n|
là
khôn
g
gian
Bana
ch.

n=1


Lay (an) là m®t dãy Cauchy trong l2. Giá sú (an) = (αn,1, αn,2, ...).
Vói ε > 0 tùy ý, ton tai m®t so N0 thóa mãn
∞
.
2
|αm,k − αn,k| < ε2, ∀m, n “ N0

(1.1)

k=1

Đieu này kéo theo rang vói moi k ∈ N co đ%nh và vói moi ε > 0 ton tai
m®t so N0 thóa mãn
|αm,k − αn,k| < ε, ∀m, n “ N0
Nhưng đieu này cũng có nghĩa là, vói moi k dãy (αn,k) là m®t dãy
Cauchy trong C và vì v¾y nó h®i tu.
Kí hi¾u: αk = lim α , k = 1, 2, ... và a = (a ).

k
n→∞ n,k

Chúng ta se chúng minh rang a là m®t phan tú cna l2 và rang dãy

(an) h®i tu tói a. Th¾t v¾y, tù (1.1) cho m → ∞ ta đưoc
∞
.
2
|αk − αn,k| ™ ε2,

(1.2)

k=1

vói moi n “ N0. Khi
đó
ta có

.∞

k=
1

‚
‚
.
. .∞
.
2

.
|α
|
=
.
k
,
,
k=1

|αN0,k|

2

< ∞, theo bat đang thúc Minkowski,

∞

(|αk| − |αN ,k| + |αN ,k|)

k=1

‚
..
.
™, ∞

0

2

0

‚ ..
(|αk| − |αN ,k|) ,
+ ∞
2.

0

|αN ,k|

2

0

k=1

k=1

‚
‚
.
. ∞
∞
..
..
2
2
,

,
™
|αk − αN0,k| +
|αN0,k| < ∞.
k=1

k=
1

Đieu này chúng minh rang dãy a = (an) là m®t phan tú cna l2. Hơn nua,
khi ε là nhó tùy ý (1.2) kéo theo
lim "a − an" =
lim

n→∞

‚
..
.
∞

2

(|αk − αn,k|) = 0,


,
n→∞

k=1

túc là dãy (an) h®i tu tói a trong l2.
Ví dn 1.1.5. M®t ví du quan trong khác cna không gian Banach là
không gian C([a,b]) nhung hàm liên tuc (giá tr% thnc ho¾c phúc) trên
m®t đoan [a, b]. Nhac lai rang chuan trên C([a,b]) đưoc
f
" " đinh nghĩa
|
|
= max f (x) .
[a,b]

Lay (fn) là m®t dãy Cauchy trong C([a,b]). Vói ε > 0 tùy ý ton tai N0 ∈ N
sao cho
"fn − fm " < ε, ∀m, n “ N0
và vì v¾y cũng
có
|fn (x) − fm (x)| < ε, ∀m, n “ N0, ∀x ∈ [a, b]

(1.3)

Đieu này kéo theo rang (fn (x)) là m®t dãy Cauchy vói moi x ∈ [a,
b]. Tính đn cna R (ho¾c C) cho phép ta xác đ%nh
f (x) = lim

f
n→∞ n

(x) , x ∈ [a, b]

Bây giò, cho m → ∞ trong 1.3 ta đưoc
|fn (x) − f (x)| ™ ε, ∀n “ N0, ∀x ∈ [a, b]
(1.4)
Lay x0 ∈ [a, b]. Khi đó fN0 là liên tuc trên [a, b], ton tai m®t so δ >
0 thóa mãn
|fN0 (x0) − fN0 (y)| < ε,
vói moi y ∈ [a, b] thóa mãn |x0 − y| < δ. Suy ra
|f (x0) − f (y)| ™ |f (x0) − fN0 (x0)| + |fN0 (x0) − fN0 (y)| + |fN0 (y) − f
(y)|
< ε + ε + ε = 3ε
ó đó |x0 − y| < δ. Do đó ta có tính liên tuc cna f . Rõ ràng, 1.4 kéo theo
"fn − f" ™ ε, ∀n “ N0 ,
nên dãy (fn) h®i tu đeu tói f .


Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Chuoi h®i tu và h®i tu tuy¾t đoi). M®t chuoi

.∞ n
n=1 x

trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi là h®i tu neu dãy nhung
tong riêng h®i tu trong X, túc là ton tai x ∈ X thóa mãn
"x1 + x2 + ... + xn − x" → 0 khi n → ∞.
Trong trưòng hop đó ta viet .∞
là h®i tu tuy¾t đoi.

n=
1

xn = x.
Neu

.∞ "xn" < ∞ thì chuoi goi
n=
1

Trong trưòng hop tong quát, m®t chuoi h®i tu tuy¾t đoi không nhat
thiet h®i tu.
Đ%nh lí 1.1.6. M®t không gian đ%nh chuan là không gian Banach neu
và chs neu chuoi h®i tn tuy¾t đoi là h®i tn.
Đ%nh lí 1.1.7. M®t không gian vectơ con đóng cúa m®t không gian Banach là m®t không gian Banach.

1.2

Phép tính vi phân trên không gian Banach

Muc này trình bày bien phân b¾c nhat và đao hàm, bien phân và
đao hàm cap cao, m®t so tính chat cơ bán như đ%nh lí ve đao hàm
riêng cna Schwartz, qui tac dây chuyen, đ%nh lí hàm an, và đ%nh lí
Lyusternik và m®t so ví du minh hoa.
1.2.1

Bien phân b¾c nhat và đao hàm

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian tôpô tuyen tính, V
là m®t lân c¾n cna x ∈ X và F : X → Y . Neu
δF (x, h) := lim t−1 (F (x + th) F (x))
−
t→0

(1.5)


ton tai vói moi h ∈ X thì ánh xa h → δF (x, h) đưoc goi là bien phân
b¾c nhat cna F tai x.
Neu ton tai m®t toán tú tuyen tính liên tuc Λ : X → Y sao cho
Λh = δF (x, h), ∀h ∈ X thì Λ là đao hàm Gâteaux, ký hi¾u là F rG (x)
hay F r (x). Ta nói: F khá vi Gâteaux tai x. Đieu này xáy ra khi và chí
khi ton tai toán tú tuyen tính liên tuc Λ : X → Y sao cho
F (x + th) = F (x) + tΛh + r (t)

∀h ∈ X

Ví dn 1.2.1. Cho r và ϕ là toa đ® cnc cna x ∈ R2 và f (x) = r cos
3ϕ. Ta có δf (0, h) = f (h). Vì δf (0, h) không tuyen tính nên f
không khá vi Gâteaux tai 0 ∈ R2.
Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Đao hàm Fréchet). Neu X và Y là không gian
Banach, F : X → Y khá vi Fréchet tai x neu ton tai toán tú tuyen tính
liên tuc Λ : X → Y sao cho
F (x + h) = F (x) + Λh + r (h) vói lim
"h"X →0

"r
(h)"Y

= 0.

"h"X
Khi đó Λ là đao hàm Fréchet, kí hiêu là F F (x) hay F r (x). Ánh xa F

r

đưoc goi là chính qui tai x neu nó khá vi Fréchet tai x và Im F r (x) = Y
.
Kí hi¾u L(X, Y ) không gian cna các toán tú tuyen tính liên tuc tù
X
vào Y , trang b% chuan
"Λ" = sup "Λx"
Y
"x"X =1

Neu F : X → Y khá vi Fréchet tai moi điem trong t¾p mó V và ánh xa
x → F r(x) liên tuc trên V (hay tai x0 ∈ V ) theo tôpô L(X, Y ) thì ta nói
F khá vi liên tuc trên V (hay tai x0) hay F thu®c vào lóp C1.
Neu f là m®t phiem hàm và thì x là m®t điem dùng.


Ví dn 1.2.2 (Đao hàm Fréchet cna ánh xa afin). M®t ánh xa A : X → Y
tù không gian tuyen tính X vào không gian tuyen tính Y có dang
A (x) = Λx + a,
vói a ∈ X và Λ là m®t ánh xa tuyen tính tù X vào Y , đưoc goi là
ánh xa afin. Neu X và Y là không gian Banach và Λ liên tuc thì A
khá vi
Fréchet khap nơi và ArF (x) = Λ.
M¾nh đe 1.2.3.
(i) Neu F khá vi Fréchet tai x thì F liên tnc và khá vi Gâteaux tai đây:
Fr

r

G (x) = FF (x) .

(ii) Neu F khá vi Gâteaux tai x thì F bien phân b¾c nhat ton tai ó đó
và
δF (x, h) = FG (x) h.
r

Ví dn 1.2.4. Hàm

=
(x

ƒ= 0

)2 và
x

 1 neu x
1

f (x1, x2) =




2

2

0 trưòng hop còn lai

khá vi Gâteaux tai (0, 0) ∈ R2 nhưng không liên tuc tai đó nên theo
M¾nh đe 1.2.3 thì nó không the khá vi Fréchet đưoc.
Đ%nh lí 1.2.5 (Đ%nh lí giá tr% trung bình). Cho X và Y là các
không gian topo tuyen tính, U là m®t t¾p mó cúa X, ánh xa F : U → Y
khá vi Gâteaux tai moi điem trên đoan noi [x, x + h] ⊂ U. Khi đó ta
có:
(i)

th
ì

Neu ánh xa z → F rG (z) h là m®t ánh xa liên tnc cúa [x, x + h] vào Y
F (x + h) − F (x)
=


1

¸

F rG (x + th) hdt.

0


(ii) Neu X và Y là không gian Banach thì
"F (x + h) − F (x)" ™ sup "F rG (x + th)" · "h"
0™t™1

và vói moi Λ ∈ L (X, Y )
"F (x + h) − F (x) − Λh" ™ sup

"F rG (x + th) − Λ" · "h" .

0™t™1

Đ¾c bi¾t vói moi z ∈ [x, x + h] thì
"F (x + h) − F (x) − F rG (z) h" ™ sup

"F rG (x + th) − F rG (z)" · "h" .

0™t™1

M¾nh đe sau đây là m®t h¾ quá cna đ%nh lí giá tr% trung bình.
M¾nh đe 1.2.6. Cho X là m®t không gian Banach và F là m®t ánh xa
liên tnc tù m®t lân c¾n U cúa x0 ∈ X vào không gian Banach Y .
Giá
thiet rang F khá vi Gâteaux tai moi điem cúa U và ánh xa x → F rG (x)
tù U vào L (X; Y ) liên tnc. Khi đó F khá vi Fréchet trên U và
Fr

r

G (x) = FF (x) , ∀x ∈ U.

Ví dn 1.2.7 (Đao hàm Fréchet cna hàm vector). Cho g1 (t, x) , ..., gm
(t, x)
là các hàm thnc, liên tuc trên U ⊂ R × Rn và khá vi liên tuc theo x. Đ¾t
g (t, x) = (g1 (t, x) , ..., gm (t, x))

[G (x (·))] (t) = g (t, x (t)) , t0 ™ t ™ t1
Như v¾y G : C n ([t0, t1]) → C m ([t0, t1]) là m®t hàm liên tuc [t0, t1] → Rn
có ánh nam trong U . Ta se chí ra rang G khá vi Fréchet tai x (·).
Vì U là t¾p mó nên ton tai ε > 0 sao cho |x0 (t) − x| < ε kéo theo
(t, x) ∈ U . Neu "x (·) − x0 (·)"C < ε ta có
.
.
G (x (·) + λz (·))
lim
λ→0

λ


(t) = gx (t, x (t)) z
(t) ,


nghĩa
là

[Gr (x (·)) z (·)] (t) = gx (t, x (t)) z (t) .
G

Vì (t, x) → gx (t, x) liên tuc nên x (·) → GrG (x (·)) cũng liên tuc. Áp
dung m¾nh đe 1.2.6 ta nh¾n đưoc tính khá vi Fréchet tai x (·) và
[GrF (x0 (·)) z (·)] (t) = gx (t, x0 (t)) z (t) .
1.2.2

Bien phân và đao hàm b¾c cao

Neu vói moi h ∈ X, hàm ϕh (t) := F (x + th) khá vi n lan tai t = 0
thì

n

∂ F (x, h) :=

d

.
(t).

(1.6)

n

ϕ

dtn

.

t=0

h

đưoc goi là bien phân b¾c n cna F tai x.
Đao hàm Fréchet b¾c n có the đ%nh nghĩa qui nap: Neu đao hàm
Fréchet (b¾c nhat) F r cna F ton tai trong m®t lân c¾n cna x. Neu ánh

xa x → F rr (x) ton tai và liên tuc trong lân c¾n cna m®t điem thì ta nói
F khá vi liên tuc hai lan tai điem đó.
1.2.3

M®t so tính chat cơ bán

Đ%nh lí 1.2.8 (Đ%nh lí ve đao hàm riêng cna Schwarts). Cho X, Y và
Z là các không gian Banach, U là t¾p hop mó cúa X × Y và F : U → Z
có đao hàm (Fréchet) riêng Fx (x, y) và Fy (x, y) tai moi điem (x, y)
∈ U. Neu các ánh xa (x, y) → Fx (x, y) và (x, y) → Fy (x, y) liên
tnc (theo tôpô đeu) tai (x¯, y¯) ∈ U thì F khá vi Fréchet tai đó và
F r (x¯, y¯) [(ξ, η)] = Fx (x¯, y¯) [ξ] + Fy (x¯, y¯) [η] .
Đ%nh lí 1.2.9 (Quy tac dây chuyen). Cho X,Y và Z là các không gian
Banach, U là m®t t¾p mó cúa X, V là m®t t¾p mó cúa Y, F : U → Y


và G : V → Z. Cho x ∈ U vói F (x) ∈ V . Neu F khá vi Fréchet tai x
và


G khá vi Fréchet tai F (x) thì ánh xa H = G ◦ F cũng khá vi Frétchet
tai x và H r (x) = Gr (F (x)) ◦ F r (x) .
Ví dn 1.2.10 (Đao hàm Frétchet cna hàm Lagrange). Cho L (t, x, y)
là m®t ánh xa tù w ⊂ R × Rn × Rn vào Rm, liên tuc và khá vi liên
tuc theo x và y,x0 (·) là m®t hàm liên tuc trên [t0, t1] sao cho
(t, x0 (t) , x˙ 0 (t)) ∈ H r
vói moi t ∈ [t0, t1].
Xét ánh xa
M : Cn1 ([t0, t1]) → C m ([t0, t1])
[M (x (·))] (t) = L (t, x (t) , x˙ (t)) , t ∈ [t0 , t1 ] .

M = M2 ◦ M1 ,

Ta có

trong đó

và

[M1 (x (·))] (t) = (x (t) , x˙ (t)) , t0 ™ t ™ t1
[M2 (x (·) , y (·))] (t) = L (t, x (t) , y (t)) , t0 ™ t
™ t1 .

Ví du 1.2.10 cho ta
[M r 2 (x (·) , y (·)) (r (·) , s (·))] (t) =Lx (t, x (t) , y (t)) r (t) +
+ Ly (t, x (t) , y (t)) s (t) .
M¾t khác nh¾n thay
[M r 1 (x (·)) z (·)] (t) = (z (t) , z˙ (t)) .
Áp dung Đ%nh lí 1.2.5 ta có
[M r (x0 (·)) z (·)] (t) = Lx (t, x0 (t) , x˙ 0 (t)) z (t) + Ly (t, x0 (t) , x˙ 0 (t))
z˙ (t) .


Ví dn 1.2.11 (Đao hàm Fréchet cna tích phân hàm Lagrange). Vói giá
thiet như trong ví du 1.2.10, ta xét phiem hàm sau
F (x (·)) = ¸t1
L (t, x (t) , x˙ (t)) dt.
t0

Có the tách F thành F = F2 ◦ F1, trong đó

t1

¸

[F1 (x (·))] (t) = L (t, x (t) , x˙ (t)) , t0 ™ t ™ t1 và F2
(α (·)) =

α (t) dt
t0

F2 là m®t ánh xa tuyen tính, nên sú dung ket quá cna ví du 1.2.4 và
1.2.11 cùng vói đ%nh lí 1.2.9 ta thu đưoc
t1

F r (x (·)) z (·) ¸
=
[Lx (t, x (t) , x˙ (t)) z (t) + Ly (t, x (t) , x˙ (t)) z˙ (t)]
dt.
t0

(1.7)

Đ%nh lí 1.2.12 (Đ%nh lí hàm an). Cho X, Y và Z là các không gian
Banach, U là m®t lân c¾n cúa (x0, y0) ∈ X × Y và F : U → Z khá
vi
Fréchet liên tnc. Giá thiet rang F (x0, y0) = 0 và đao hàm riêng Fy (x0,
y0)
là m®t phép đong phôi tuyen tính. Khi đó ton tai ε > 0, δ > 0 và m®t
ánh xa x → y (x) tù quá cau B (x0, δ) ⊂ X vào quá cau B (y0, ε) ⊂ Y
sao cho:

(i) Hai quan h¾ F (x, y) = 0 và y = y (x) là tương đương trên t¾p
B (x0, δ) × B (y0, ε);
(ii) y (·) khá vi liên tnc và yr (x) = −[Fy (x, y (x))]
1.2.4 Đ%nh lí Lyusternik

−1

◦ Fx (x, y (x)).