Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

TRAN QUANG TUYEN

PHƯƠNG PHÁP BIEN
PHÂN GIÁI PHƯƠNG
TRÌNH
ĐAO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Toán giái
tích Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS. Tran Văn
Bang

Hà N®i - 2012


LèI CÁM ƠN

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna mình tói các thay cô giáo,
đ¾c bi¾t là TS. Tran Văn Bang, nhung ngưòi đã t¾n tình hưóng dan
đay hi¾u quá, thưòng xuyên dành cho tôi sn chí báo, giúp đõ và đ®ng
viên giúp tôi hoàn thành lu¾n văn đúng thòi han.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, phòng Sau Đai hoc
trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, cũng như toàn the các thay cô
giáo trong trưòng đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tôi hoc
t¾p và nghiên cúu.

Tôi trân trong cám ơn Só giáo duc và Đào tao tính Vĩnh Phúc,
Trưòng THCS và THPT Hai Bà Trưng đã tao đieu ki¾n thu¾n loi
cho tôi thòi gian tôi theo hoc lóp sau đai hoc.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói anh em, ban bè và
ngưòi thân trong gia đình đã đ®ng viên, tao moi đieu ki¾n đe lu¾n văn
này có the đưoc hoàn thành.

Hà N®i, tháng 06 năm 2012
Tác giá

Tran Quang Tuyen


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan cna TS. Tran Văn Bang.
Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung nghiên cúu,
thành tnu cna các nhà khoa hoc, đong nghi¾p vói sn trân trong và biet
ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Tran Quang Tuyen


Mnc lnc

Lài cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lài cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Báng kí hi¾u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Má đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%

11

1.1 Không gian Sobolev W 1,p(Ω).....................................................11
1.2 Phương pháp bien phân..............................................................14
1.2.1

Bien phân cap m®t. Phương trình Euler - Lagrange 14

1.2.2

Bien phân cap hai............................................................17

1.3 Cnc tieu cna phiem hàm - Nghi¾m cna phương trình. . .

18

1.3.1

Đieu ki¾n búc, tính núa liên tuc dưói...........................18

1.3.2

Tính loi............................................................................... 21

1.3.3

Nghi¾m yeu cna phương trình Euler - Lagrange. .

21

Chương 2. Điem tái han qua bài toán cNc tieu, Đ%nh lí bien
dang và Nng dnng

24

2.1 Điem tói han qua bài toán cnc tieu............................................24
2.1.1

Bài toán cnc tieu.............................................................. 24

2.1.2

Úng dung đoi vói bài toán Dirichlet phi tuyen . .

29

2.2 Đ%nh lí bien dang và úng dung.................................................33
2.2.1

Đ%nh lí bien dang............................................................33

2.2.2

Úng dung...........................................................................39

Chương 3. Đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngNa và Nng
dnng

44

3.1 Đ%nh lí qua núi.............................................................................44


6

3.1.1

Điem tói han kieu minimax

. . . . . . . . . . . .

44

3.1.2

Đ%nh lí qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1.3

Úng dung đoi vói bài toán Dirichlet............................48

3.2 Đ%nh lí điem yên ngna................................................................52
3.2.1 B¾c tôpô...........................................................................52
3.2.2

Đ%nh lí điem yên ngna...................................................54

3.2.3 Úng dung đoi vói bài toán c®ng hưóng........................56
Ket lu¾n.................................................................................................61
Tài li¾u tham kháo

62

Tài li¾u tham kháo..............................................................................62


BÁNG KÍ HIfiU
N

t¾p các so tn nhiên.

Z

t¾p các so nguyên.

R

t¾p các so phúc.

RN

không gian Eculidean N chieu.

A

bao đóng cna t¾p A.

As

s− lân c¾n cna t¾p A.

B(x0, r)

hình cau mó tâm x0 bán kính r.

Cp(Ω)

lóp hàm liên tuc cùng vói đao hàm trên mien Ω đen cap p.

C∞(Ω)

lóp các hàm khá vi vô han trên Ω.

0
)
lóp các hàm khá vi vô han trên và tri¾t tiêu ó bên ngoài biên.
∞
C(R
n
n
R
p
C
n
t¾p cna các hàm trong Cp(Rn) có giá compact.
0 (R )

Dk

đao hàm riêng thú k.

S(x0, r)

m¾t biên cna hình cau B(x0,

r). dist(ω, B)khoáng cách tù ω tói B.
h.k.n

hau khap nơi.

JacH

Jacobi

ma tr¾n

supp u

giá cna u.

C∞
c (I)
C
L1(I)

là

Lp(Ω)

không gian các hàm đo đưoc khá tích trên Ω và |u| ∈ L1(Ω).

"u"X

chuan cna u trên t¾p X.

·

tích ch¾p.

[·, ·]

c¾p phan tú cna không gian tích.

(·, ·)

tích vô hưóng.

(·, ·)
Q

c¾p đoi ngau.
ket thúc chúng minh.

∞

∂Hi
∂yj .

(I) ∩ Cc(I).

không gian các hàm khá tích trên I lay giá tr% trên R.
p


Mé ĐAU
1. Lí do chon đe tài
Chúng ta đã đưoc biet ve khái ni¾m phương trình vi phân đao hàm
riêng (viet tat là phương trình đao hàm riêng) tù chương trình đai hoc
là nhung phương trình chúa hàm so can tìm và các đao hàm riêng cna
nó.
Phương trình đao hàm riêng đưoc nghiên cúu lan đau tiên vào the
kí XVIII trong các công trình cna nhung nhà toán hoc như Euler,

Dalambert, Lagrange và Laplace như là m®t công cu quan trong đe
mô tá các mô hình cna v¾t lý và cơ hoc. Chí đen the kí XIX và đ¾c
bi¾t là công trình nghiên cúu cna Riemann, phương trình đao hàm
riêng mói tró thành công cu manh dùng trong nhieu lĩnh vnc toán hoc
khác. Tù khi xuat hi¾n cho đen ngày nay, phương trình đao hàm riêng
đóng vai trò là chiec cau noi giua toán hoc và úng dung, thúc đay
sn phát trien các ý tưóng toán hoc trong nhieu lĩnh vnc toán hoc lý
thuyet khác
nhau.
Các phương trình đao hàm riêng nói chung là rat phúc tap. Moi m®t
phương pháp tiep c¾n chí phù hop đoi vói m®t lóp phương trình cu
the. Trong chương trình Thac sĩ chuyên ngành giái tích mà chúng tôi
đã đưoc các thay giói thi¾u m®t so phương pháp giái các bài toán đoi
vói phương trình đao hàm riêng như: Phương pháp đ¾c trưng,
Phương pháp tách bien, Phương pháp bien đoi tích phân, Phương
pháp bien đoi phương trình phi tuyen thành tuyen tính, Phương pháp
bien phân, ...Tuy nhiên do đieu ki¾n thòi gian cna môn hoc có han nên
chúng tôi chưa có đieu ki¾n nghiên cúu kĩ tat các các phương pháp
trên. Đưoc sn giúp đõ và sn hưóng dan t¾n tình cna TS Tran Văn
Bang, tôi chon đe tài


9

"Phương pháp bien phân
giái phương trình đao hàm riêng"
Vói mong muon đưoc tìm hieu kĩ hơn ve phương pháp bien phân cũng
như nhung khá năng úng dung cna nó đoi vói giái phương trình đao
hàm riêng. Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương (ngoài phan mó đau,
ket lu¾n và tài li¾u tham kháo).

Chương 1 M®t so kien thúc chuan b%.
Chương này đưoc bat đau bang vi¾c giói thi¾u m®t so các khái ni¾m
và đưa ra m®t so ket quá quan trong ve không gian Sobolev, can thiet
cho quá trình sú dung sau này. Tiep theo bang cách tiep c¾n ngan gon
chúng tôi se giói thi¾u ve phương pháp bien phân và cnc tieu cna
phiem hàm
- nghi¾m cna phương trình.
Chương 2 Điem tói han qua bài toán cnc tieu, đ%nh lí bien dang và
úng dung.
Vói muc tiêu trong tâm là nghiên cúu van đe điem tói han thông qua
bài toán cnc tieu đe giái bài toán Dirichlet phi tuyen, đ%nh lí bien dang
và úng dung vào bài toán Neumann phi tuyen.
Chương 3 Đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngna và úng dung.
Vói muc tiêu trong tâm là nghiên cúu đ%nh lí qua núi và úng dung vào
bài toán Dirichlet phi tuyen, đ%nh lí điem yên ngna và úng dung vào
bài toán c®ng hưóng.
2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu ve phương pháp bien phân.
Áp dung phương pháp bien phân vào đe giái m®t so phương trình
đao hàm riêng Dirichlet phi tuyen, Neumann phi tuyen và c®ng hưóng.


3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ lý thuyet
ve úng dung cna phương pháp bien phân vào trong vi¾c giái phương
trình đao hàm riêng phi tuyen (Dirichlet, Neumann và c®ng hưóng).
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu khá năng úng dung cna phương pháp bien phân đoi vói
m®t so phương trình đao hàm riêng phi tuyen cu the.
5. Phương pháp nghiên cNu

- Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo.
- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.
6. Đóng góp mái cúa lu¾n văn
- Trình bày nhung van đe cơ bán cna phương pháp bien phân.
- Trình bày điem tói han qua bài toán cnc tieu, đ%nh lí bien dang và úng
dung.
- Trình bày đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngna và úng dung.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±
1.1

Không gian Sobolev W 1,p(Ω)

Cho Ω ⊂ RN là t¾p mó và 1 ≤ p ≤ +∞.
Đ%nh nghĩa 1.1. Không gian Sobolev W 1,p(Ω) đưoc đ%nh nghĩa bói
W 1,p(Ω) = ¸{u ∈ Lp(Ω)| ∃ g1, g2, ..., gN ∈ Lp(Ω) sao cho
¸
∂ϕ
∞
u
dx = − giϕdx, ∀ϕ ∈ Cc , ∀ i = 1, 2, ..., N}.
∂xi
Ω

Ω

1

1,2

Đ¾t H (Ω) = W
đ¾t

(Ω), vói moi u ∈ W

1,p

∂u

(Ω) ta

= gi, i = 1, ...,
∂x N
i

và
∂u
∇u = (
Không gian W

1,p

∂x

,

1

∂u
∂x

, ...,

2

∂u
∂x

) = gradu.

N

(Ω) đưoc trang b% bói chuan
N.
∂u
"u"W1,p = "u"Lp +
∂xi
i=1

hay vói chuan tương
đương
.
"u"Lpp +

N
.
i=1

∂u

p

∂xi

.p

,
Lp

1

neu (1 ≤ p < +∞).
Lp

. hưóng .
Không gian H1(Ω) đưoc trang b% tíchN vô
∂u ∂v
.
.
(u, v)H1 = (u, v)L2 +
,
∂xi ∂xi L2
i=1

Ta thay chuan sinh bói tích vô hưóng
.
"u"H1 =

"u"2L2

.N
+
i=1

tương đương vói chuan trong W
1,2
.

∂u

2

∂xi

. 21
L2


12

Lưu ý: Có the viet W 1,p(Ω) bói W 1,p.
Tính chat 1.1. Không gian W
≤ p ≤ +∞; Không gian W

1,p

1,p

là m®t không gian Banach vói 1

là phán xa vói 1 < p < +∞ và tách

đưoc vói 1 ≤ p < +∞. Không gian H 1 là không gian Hilbert tách
đưoc.
Chú ý 1.1. Cho m®t phiem hàm f xác đ%nh trên Ω. Kí hi¾u f là thác
trien cna f bói 0 ó bên ngoài Ω, túc là
.
f (x) vói x ∈ Ω
f (x) =
0
vói x ∈ RN \Ω.
Cho u ∈ W 1,p(Ω) và α ∈ C1(Ω) khi đó
c

αu

W
∈∂

1,p

∂u
∂α
(RN ) và (αu) = α +
u.
∂xi
∂xi
∂xi

1
N
Th¾t v¾y coi ϕ ∈ C
c (R ), ta có
¸
¸
∂ dx
∂ϕ
αu
dx =
ϕ =
∂xi
αu
Ω
∂x
RN

¸
Ω

.
u (αϕ)
∂ ∂xi −

i

i

¸ .

=−

.
¸ .
∂α
αϕ + u ϕ dx = −
∂u
∂xi
∂xi
∂u

∂x
Ω

.
ϕ
∂x dx
∂α

RN

.

∂α ϕdx.

α+u
∂xi

i

Ket lu¾n trên van đúng neu thay vì giá sú α ∈ cC1(Ω) ta lay α ∈
C1(RN )∩ L∞(RN ) vói ∇α ∈ L∞(RN ) và suppα ⊂ RN \Γ (Γ là biên
cna C 1 (Ω)).
c
Tính chat 1.2. (Đ%nh lí Friedrichs)
Cho u ∈ W 1,p(Ω) và 1 ≤ p < ∞. Khi đó, ton tai m®t dãy {un}
trong
c
C ∞ N ) sao cho
(R


13

i) un|Ω → u trong Lp(Ω),
ii) ∇un|ω → ∇u|ω trong Lp(ω)N , ∀ ω ⊂⊂ Ω.
(Kí hi¾u ω ⊂⊂ Ω có nghĩa là ω là t¾p mó sao cho ω ⊂ Ω và ω compact.)


Tính chat 1.3. Cho u ∈ Lp(Ω) và 1 < p ≤ ∞, các tính chat sau đây
là
tương đương:
1,p
i) u ∈ W
(Ω)
.
∂ϕ .
ii) ∃
dx ≤ C||ϕ||
¸C: u

.

Ω

Lp

.

i

, ∀ ánh xa ϕ ∈ C∞(Ω), ∀i = 1, 2, ..., N
r

c

∂x
iii) ∃ C : moi t¾p mó ω ⊂⊂ Ω và ∀, h ∈ RN : |h| < dist(ω, RN \Ω),
ta có ||τhu − u||Lp(ω) ≤ C|h|. Hơn nua, chon C = ||∇u||Lp(Ω) trong
ii)
và iii).
Tính chat 1.4. (Đao hàm cúa m®t tích)
Cho u, v ∈ W 1,p(Ω) ∩ L∞(Ω) vói 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, uv ∈ W
1,p

(Ω) ∩
L∞(Ω)
và

∂

∂v
v+
, i = 1, 2, ..., N.
∂x u
∂x

i

i

(uv)
∂x =

∂u

i

Tính chat 1.5. (Đao hàm cúa hàm hap)
Cho G ∈ C1(R) : G(0) = 0 và |Gr(s)| ≤ M, ∀s ∈ R, ∀ u ∈ W 1,p(Ω).
Khi
đó, G ◦ u ∈ W

1,p

(Ω)

∂

r

(G ◦ u) = (G ◦

∂x u)

và

∂u
∂xi

.

i

Tính chat 1.6. (Công thNc đoi bien)
Cho Ω và Ωr là t¾p mó cúa RN và H : Ωr → Ω là m®t song ánh, x =
H(y),
sao cho
H ∈ C1(Ωr), H−1 ∈ C1(Ω), JacH ∈ L∞(Ωr), JacH−1 ∈ L∞(Ω).
Giá sú u ∈ W 1,p(Ω). Khi đó, u ◦ H ∈ W 1,p(Ωr) và
∂ (u ◦ H)(y) = ∂u (H(y) ∂H (y) j = 1, 2, ..., N.
i
)
∂yj .
∂x
∂yj
i
i

(JacH chí ma tr¾n
Jacobi

∂Hi
∂yj )


1.2

Phương pháp bien phân

Xét các phương trình đao hàm riêng có dang
A [u] = 0,

(1.1)

trong đó A [·] là m®t toán tú đao hàm riêng cho trưóc, u là nghi¾m
can tìm. Xét phương trình đao hàm riêng A [u] = 0, vói A [·] là
"đao hàm" cna m®t phiem hàm "năng lưong " I [·] tương úng. Kí hi¾u
A [u] = Ir [·] .

(1.2)

Khi đó, bài toán (1.1) tương đương vói
I r [·] = 0.

(1.3)

Xét phương trình (1.3) so vói phương trình (1.1) ta có the coi các
nghi¾m cna (1.3) như là các điem tói han cna I [·].

Neu phiem hàm I [·] đat cnc tieu tai u thì u se thóa mãn (1.3) và do đó
u là m®t nghi¾m cna (1.1).
Neu không the giái trnc tiep đưoc bài toán (1.1), ta có the tìm nghi¾m
cúa (1.1) de dàng hơn bang cách sú dnng các phương pháp cúa lí thuyet
toi ưu đe tìm điem cnc tieu (điem cnc đai ho¾c điem tói han) cúa phiem
hàm I [·].

1.2.1

Bien phân cap m®t. Phương trình Euler - Lagrange

Giá sú U ⊂ Rn là m®t t¾p mó, b% ch¾n vói biên ∂U trơn và L là
m®t hàm trơn cho trưóc L : U × R × Rn → R. Goi L là hàm
Lagrange. Kí hi¾u L(x, z, p) = L(x1, ..., xn, z, p1, ..., pn) vói x ∈
U, z ∈ R, p ∈ Rn. é đây, ”z” là bien se thay the cho ω(x) và ”p”
là bien thay the cho Dω(x).


Ta kí
hi¾u

L = (L , ..., L )
 x
x1
xn
Dz L = Lz


DpL = (Lp1 , ..., Lpn ) .
D

Áp dung phan trên cho trưòng hop I [·] có dang
¸
I [ω] =
L(x, ω(x), Dω(x))dx,

(1.4)

U

vói các hàm trơn ω : U → R thóa mãn đieu ki¾n biên
ω = g trên ∂U.

(1.5)

Giá sú, m®t hàm trơn u thóa mãn đieu ki¾n u = g trên ∂U là điem
cnc tieu cna I [·] trong so tat cá các hàm ω thóa mãn (1.5). Ta chúng
minh u là nghi¾m cna m®t phương trình đao hàm riêng. Đe chúng
minh đieu này, trưóc het ta chon m®t hàm trơn bat
kì v ∈ C∞(U ) và
c
xét hàm thnc
i(τ ) = I [u + τv]
(τ
∈ R) .
(1.6) Vì u là m®t điem cnc
tieu cna I [·] và u + τv = u = g trên ∂U , cho nên
i(·) đat cnc tieu tai τ = 0. Do đó
ir(0) = 0.

(1.7)

Ta tính đao hàm (hay goi là bien phân cap m®t cna I [·]), như sau
¸
i(τ )
L(x, u + τv, Du + τ Dv)dx.
(1.8)
U
=
Đó là
¸ .
n
LP (x, u + τv, Du + τ Dv)vx
r
i (τ )
=
U i=1

i

i

+ Lz (x, u + τv, Du + τ Dv)vdx.
Cho τ = 0, tù (1.7) ta có
¸ .
n
r
0 = i (0)
Lp (x, u,
=

Du)vx

+ Lz (x, u, Du)vdx.


U i=1

i

i


Cuoi cùng, vì v có giá compact, bang cách lay tích phân tùng phan ta
đưoc

¸
0=

n
U

[−

.

(L
p (x, u, Du))xi + Lz (x, u, Du)]vdx.
i

i=1

Do đang thúc này thóa mãn vói moi hàm thú v, suy ra u thóa mãn
phương trình đao hàm riêng phi tuyen
n
.

(Li p (x, u, Du))xi + Lz (x, u, Du) = 0 trên U, (1.9)

i=1

goi là phương trình Euler - Lagrange tương úng vói phiem hàm năng
lưong I [·] đưoc cho bói (1.4), (1.9) là phương trình đao hàm riêng
b¾c hai tna tuyen tính trong dang phân kì.
V¾y, m®t điem cnc tieu trơn cna I [·] là nghi¾m cna phương trình
đao hàm riêng Euler - Largrange (1.9) và ta có the tìm đưoc nghi¾m
cna (1.9) bang cách xét các điem cnc tieu cna (1.4).
Ví dn 1.1. (Nguyên lí Dirichlet)
2
pi (i = 1, ..., n) , Lz = 0
Cho L(x, z, p) = 1 |p| . Khi đó, =
và vì
Lp
2

i

v¾y, phương trình Euler - Lagrange tương úng vói phiem hàm I [ω] =
¸
2
1

dx là ∆u = 0 trong U.
|Dω|
2 U
Ví dn 1.2. (Nguyên lí Dirichlet tong quát)
n
.
Vói L(x, z, p) 2
aij (x)pipj −zf (x), trong đó aij = aji (i, j = 1,
i,j=
= 1
..., n)
1
n
thì
. ai (x)pj (i = 1, ..., n) , Lz = −f (x).
Lpi
j
j=
=
1

Phương trình Euler -Lagrange tương úng vói phiem hàm
. dx.
¸ .1 .
n
ij
a ωx − ωf
I [ω] =
i
j

ωx
2
U
i,j=1


là phương trình tuyen tính vói cau trúc phân kì
n

.

−

i,j=1

.aij ωxj

.
xi

= f trong U.

Ta thay đieu ki¾n elliptic đeu trên aij (i, j = 1, ..., n) là giá thiet đe
chúng minh sn ton tai điem cnc tieu cna I [.].
1.2.2

Bien phân cap hai.

Ta tính bien phân cap hai cna I [·] tai hàm u. Vói u là điem cnc tieu
cna I [·], cho nên irr(0) ≥ 0, trong đó i(·) đưoc xác đ%nh bói (1.6).

Tù (1.8) suy ra
i(τ ) =

¸

(x, u + τv, Du + τ Dv) vx vx

n

. Lp ,p
U i,j=1
.
n

+2

i

i

j

i

j

Lp z (x, u + τv, Du + τ Dv)vx v
i

i=1

+ Lzz (x, u + τv, Du + τ Dv)v2dx.
cho τ = 0, ta có bat đang thúc
n
¸ .
Lp p (x, u, Du)
0 ≤ i(0)
=
+2

n.

U i,j=1

i

i j

Lp z (x, u, Du)vx v + Lzz (x, u, Du)v2dx,
(1.10)
i

i=1

thóa mãn vói moi hàm thú v ∈ Cc∞(U ).
Ta thay (1.10) đúng vói moi hàm v liên tuc Lipschitz và tri¾t tiêu trên
∂U . Co đ%nh ξ ∈ Rn và đ¾t
v(x) = ερ

.x .ξ ζ(x)

.

(x ∈ U ) ,

(1.11)

ε
ó đây ζ ∈ Cc∞(U ) và ρ : R → R là hàm tuan hoàn "zig - zag" đưoc
xác


.
x
đ%nh bói ρ(x)
=

neu 0 ≤ x ≤

1 − x neu

2

1
2

≤x≤
1

1

, ρ(x + 1) = ρ(x)(x ∈ R) .


Vì the
.
Hơn nua vxi (x) = xξ
.
ρr
vào (1.10) ta đưoc
¸

ε

n

.

0≤

|ρr| = 1 h.k.n.
(1.12)
ξiζ + O(ε) khi ε → 0 và bang cách the
(1.11)

2

Lp p (x, u, Du)(ρr) ξiξj ζ2 dx + O(ε).

U i,j=1

i j

Cho ω → 0 và sú dung (1.12) ta có bat đang thúc
¸ .
n
0≤
Lp p (x, u, Du)ξiξj ζ2 dx.
U i,j=1

i j

Vì đánh giá này đúng ∀ζ ∈ Cc∞(U ), do đó
n

j (x, u,
L
. p ip Du)ξ ξ

i j

≥ 0 (ξ ∈ , x ∈ U ) .
Rn

(1.13)

i,j=1

Ta thay rang đieu ki¾n này can cho sn ton tai nghi¾m.
1.3
1.3.1

CNc tieu cúa phiem hàm - Nghi¾m cúa phương trình.
Đieu ki¾n bNc, tính nNa liên tnc dưái.

Ta xét phiem hàm

¸

I [ω] =

L(x; ω(x); Dω(x))dx

(1.14)

U

đưoc xác đ%nh trên m®t lóp thích hop các hàm ω : U → R thóa mãn
ω = g trên ∂U

(1.15)

và tìm điem cnc tieu cna nó.
a) Đieu ki¾n bNc
Vói hàm liên tuc f : R → R b% ch¾n dưói chưa chac đã đat cnc tieu


(chang han như f = ex ho¾c (1 + x2)−1). Ta đ¾t giá thiet I [ω] vói
các
hàm ω "đn lón". Giá sú
1 < p < ∞ là m®t so co đ%nh.

Khi đó, hàm L thóa mãn đieu ki¾n
.
ton tai các hang so α > 0, β ≥ 0

(1.16)

(1.17)

q

L(x, z, p) ≥ α|p| − β ∀ x ∈ U, z ∈ R, p ∈
Rn.
Suy
ra

q
I [ω] ≥ α "Dω"Lq (U − γ

(1.18)

)

vói γ = β |U |. Vì the I [ω] → ∞ khi "Dω"Lq → ∞. Khi đó (1.18) đưoc
goi là đieu ki¾n búc cna I [·] (ho¾c (1.17) là đieu ki¾n búc cna L).
Tìm cnc tieu cna phiem hàm I [·], tù bat đang thúc (1.18) ta thay
se hop lí hơn, neu I [ω] đưoc xác đ%nh không chí vói các hàm liên
tuc ω, mà còn các hàm ω trong không gian Sobolev
W1(U ) thóa mãn
q
đieu ki¾n biên (1.15) theo nghĩa vet. Bói vì, lóp các hàm ω càng r®ng

thì càng có nhieu khá năng tìm đưoc cnc tieu cna I [ω].
.
.
Kí hi¾u A = ω ∈ Wq 1(U )|ω = g trên ∂U theo nghĩa vet . A đưoc goi
là
lóp các hàm chap nh¾n đưoc. Theo (1.17) thì I [·] đưoc xác đ%nh (có
the
+∞) vói moi ω ∈ A.
b) NNa liên tnc dưái
Hàm liên tuc f : R → R thóa mãn đieu ki¾n búc se đat cnc tieu,
nhưng đoi vói phiem hàm tích phân I [·] thì tính chat đó nói chung
là không đúng. Đ¾t
m = inf
ω∈A

I [ω]

(1.19)

và chon dãy hàm uk ∈ A (k = 1, ..., n) sao cho
I [uk] → m khi k → ∞.

(1.20)


∞
∞
Goi {uk}k= là dãy cnc tieu. Lay ra m®t dãy con cna {uk} k= h®i tu tói
1

1

m®t cnc tieu cna I [·]. Muon v¾y ta can có đieu ki¾n compact. Neu
dùng
bat đang thúc (1.18), ta ket lu¾n đưoc rang dãy cnc tieu nam trong
m®t t¾p con b% ch¾nq cna W1(U ). Nhưng không suy ra đưoc sn ton
tai cna m®t
dãy con nào h®i tu trong Wq 1(U ). Vì 1 < q < ∞ nên Lq(U ) là phán
xa,
∞
khi đó, ton tai m®t dãy con .uk .
⊂ ∞
và m®t hàm u ∈
{uk}
W1(U )
k=1

j

sao
cho

j=1

.

q

k

u

q

j

~ uyeu trong

(U )
q

(1.21)

n
L
Dukj ~ Duyeu trong L (U ; R ).

Kí
hi¾u

1

ukj ~ u yeu trong Wq (U ).
(1.22)
M¾t khác, ta có u = g trên ∂U theo nghĩa vet và do đó u ∈ A. Vì
v¾y, bang cách dùng tô pô yeu và tù đieu ki¾n búc (1.18) suy ra
(1.22) vói
. .
m®t dãy con ukj . Xét phiem hàm I [·] không liên tnc theo sn h®i tn
yeu. Khi đó, ta không the suy ra tù (1.20) và (1.22) rang

. .
I [u] = lim I uk
j→∞

j

(1.23)

và do đó không chúng minh u là cnc tieu. Vì Dukj ~ Du không kéo
theo
Dukj → Du h.k.n. Nhieu bài toán không can đieu ki¾n manh (1.23) mà
là nhung đieu ki¾n yeu hơn, như sau

. .
I [u] ≤ lim inf I ukj .

(1.24)

j→∞

Khi đó, tù (1.20) suy ra I[u] ≤ m. Nhưng tù (1.19) ta có m ≤ I[u].
V¾y u thnc sn là điem cnc tieu cna I[·]. Như v¾y, đieu ki¾n (1.24) là
quan trong đoi vói sn ton tai cnc tieu cna phiem hàm I[·].
Đ%nh nghĩa 1.2. Ta nói phiem hàm I[·] là núa liên tnc dưói yeu trên


Wq
1

(U ), neu

I[u] ≤ lim inf I[uk ]
k→∞

1

khi mà uk ~ u trong W
q (U ).