phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG



LÊ VIỆT ĐỨC


PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC


LUẬN VĂN THẠ
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01


NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẶNG QUANG Á



Thái Nguyên 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng
trong mô hình hóa hình học” là công trình nghiên cứu củ
.TS Đặng Quang Á. Kết quả đạt đƣợc trong luận văn là sản phẩm của
riêng cá nhân tôi, không sao chép lại của ngƣời khác. Luận văn là kết quả của quá

trình học tập, nghiên cứu và làm việc nghiêm túc trong suốt hơn hai năm học cao
học. Trong toàn bộ nội dung của luận văn, những điều đƣợc trình bày hoặc là kết
quả nghiên cứu của cá nhân hoặc là kết quả tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác.
Các thông tin tổng hợp hay các kết quả lấy từ nhiều nguồn tài liệu khác thì đƣợc
trích dẫn một cách đầy đủ và hợp lý. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ
ràng và đƣợc trích dẫn hợp pháp.
Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011
Ngƣời cam đoan


Lê Việt Đức


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
ii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
MỤC LỤC ii
DANH MỤC HÌNH VẼ v
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng I 4
CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC 4
1.1 Hình học đƣờng cong 4
1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong. 4
1.1.2 Đặc tính của đƣờng cong. 5
1.2 Hình học mặt cong. 8
1.2.1 Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong: 8

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. 9
1.2.3 Độ cong. 11
1.3 Phép biến đổi toạ độ. 12
1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. 12
1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. 14
1.3.3 Phép ánh xạ. 15
1.3.4 Khung toạ độ. 16
Chƣơng II 19
GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH
HỌC 19
2.1. Tổng quan 19
2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học 19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
iii

2.1.2. Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 22
2.2. Các bề mặt hình học PDE. 23
2.3. Các bề mặt PDE dạng ẩn. 25
2.4. Các bề mặt PDE dạng tham số. 26
2.4.1. Phƣơng pháp Bloor- Wilson PDE. 27
2.4.2. Hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor-wilson PDE. 31
2.4.3. Các bề mặt PDE tham số thu đƣợc dựa trên các mô hình vật lý. 32
2.5. Ứng dụng của các bề mặt PDE. 33
2.5.1. Các thế hệ bề mặt. 34
2.5.2. Xử lý bề mặt. 34
2.5.3. Phân tích và tối ƣu hóa thiết kế. 35
2.5.4. Các ứng dụng khác. 36
Chƣơng III 38
CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT
KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC 38

3.1 Tổng quan về GPDE (Geometric partial differential equation). 38
3.1.1 Định nghĩa. 38
3.1.2. Khái quát về GPDE 38
3.1.3. Nền tảng toán học của GPDE 39
3.2. Cấu trúc của GPDE 43
3.2.1 Xây dựng GPDE 43
3.2.2. Một số các đƣờng thƣờng đƣợc sử dụng để xây dựng GPDE: 46
3.3. Các giải pháp số cho việc xây dựng GPDE 46
3.3.1. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM). 47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
iv

3.3.2. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn (FDM) 48
3.3.3. Phƣơng pháp tập mức (LSM-Level set method). 49
51
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
PHỤ LỤC 54



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
v

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 : Tham số hoá đƣờng tròn đơn vị 4
Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đƣờng tròn mật tiếp 7
Hình 1.3 : Hình học mặt cong 9
Hình 1.4 - Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến 9
Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D 13

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động 17
Hình 2.1. Các đƣờng cong biên, Hình 2.2. Bề mặt PDE tƣơng ứng 28
Hình 2.3: Mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sò 29
Hình 2.4: Mặt PDE tƣơng ứng với một chai Klein. 29
Hình 2.5 Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy 30
Hình 2.6 Các mặt PDE tƣơng ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau. 30


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
1

MỞ ĐẦU
Ngày nay mô hình hóa hình học đã trở thành nền tảng cơ bản cho các tính
toán trực quan bởi vì nó cung cấp sự biểu diễn ngày càng chính xác các hình dạng
và các thao tác cho những đối tƣợng hình học. Khác với các kỹ thuật mô hình hóa
bề mặt đƣợc sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thể
(solid models) cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình học cho
các đối tƣợng 3D với hình học nội suy. Nó giúp tăng cƣờng đáng kể các kỹ thuật
mô hình hóa hình học. Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao
gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên
(boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-form
parametric solids), v.v. Phƣơng pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phép
toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn nhƣ hình lập phƣơng, hình cầu, hình
trụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp. Các kỹ thuật B-rep thƣờng
định nghĩa một đối tƣợng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biên
với các thông tin hình dạng mở rộng. Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự
do sử dụng các đƣờng (curves) nhƣ B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác
định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hình
học nội suy trong một khuôn khổ thống nhất. Mặt khác, mô hình tham số
PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tƣợng hình học sử dụng các phƣơng

trình đạo hàm riêng nhất định với chỉ một vài điều kiện biên. Đặc biệt các biến thể
của PDE cũng có thể đƣợc sử dụng để xác định tham số của các đối tƣợng lập thể.
So với các kỹ thuật thông thƣờng đƣợc sử dụng trong mô hình hóa hình học các mô
hình PDE có rất nhiều lợi thế:
- Sự tác động của một đối tƣợng PDE đƣợc quy định bởi giá trị biên của các
phƣơng trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng đƣợc xác
định thông qua các phƣơng trình vi phân bậc cao.
- Về nguyên tắc các đối tƣợng PDE có thể đƣợc tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều
kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ đƣợc tự động thu hồi thông qua việc giải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
2

các phƣơng trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô
hình lập thể dạng tự do tham số.
- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình
khối thông thƣờng, chẳng hạn nhƣ các hoạt động dựa trên các đƣờng, biểu diễn các
bề mặt biên. Vì vậy phƣơng pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phƣơng pháp
CSG, B-rep v.v vào một khung duy nhất.
- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý.
Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp
nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối tƣợng nhúng
bên trong các mô hình PDE.
- Các đối tƣợng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong
các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thể
đƣợc thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời.
Ngoài ra phƣơng pháp PDE cũng đƣợc sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi
vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tƣợng có hình dạng
tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt
mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các
mô tả hình dạng tƣờng minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có đƣợc điều này

ngƣợc lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát
hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn.
Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại
và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học. Hơn nữa,
các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy.
Để mô phỏng các đối tƣợng trong thế giới thực, phƣơng pháp này tốt hơn trong việc
kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn nhƣ mật độ trong biểu diễn hình
học. Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể đƣợc tổng hợp bởi các giá trị vô
hƣớng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tƣởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
3

lý này. Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể
đạt đƣợc các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực.
Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và đƣợc sự gợi ý của giảng viên
hƣớng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ ạo hàm riêng trong
mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. Luận văn cấu
trúc gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Chƣơng này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi
phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.
Chƣơng 2: Chƣơng này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết
kế bề mặt, những ứng dụng của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial
differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình
học.
Chƣơng 3: Chƣơng này trình bày về hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm
riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng,
ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bƣớc xây dựng GPDE và các giải pháp
số trong việc xây dựng GPDE.
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Đặng
Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác giả

xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trƣờng Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng
dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy
nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng
góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
4

Chƣơng I
CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC
Trong chƣơng này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân
và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.
1.1 Hình học đƣờng cong.
Về mặt trực quan, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ là quĩ đạo điểm thoả
mãn một số điều kiện.
1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong.
Về toán học, đƣờng cong có thể dƣợc biểu diễn dƣới các dạng:
- Phƣơng trình ẩn.
- Phƣơng trình tƣờng minh.
- Phƣơng trình tham số.
Xét đƣờng tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ
trên hình 1.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y đƣợc mô tả bởi phƣơng trình:
f (x, y) = x
2
+ y
2
−1 = 0 : Phƣơng trình ẩn (1.1)
Nếu chỉ xét phần nửa trên của đƣờng tròn, phƣơng trình biểu diễn là:

y = g(x) = (1− x)
1/2
: Phƣơng trình tƣờng minh (1.2)
Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đƣờng tròn,ta có:
x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phƣơng trình tham số (1.3)

Hình 1.1 : Tham số hoá đƣờng tròn đơn vị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
5

Trƣờng hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1)
Kết hợp với phƣơng trình (1.1) ta có:
x = x(t) = (1− t
2
) /(1+ t
2
) ; y = y(t) = 2t /(1+ t
2
) (1.4)
Đây cũng là phƣơng trình tham số của đƣờng tròn và đƣợc gọi là phương
trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phƣơng trình tham số hữu tỷ của
đƣờng cong và mặt cong từ phƣơng trình đa thức ẩn đƣợc gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đƣờng cong 3D thích hợp dƣới dạng phƣơng trình tham số:
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)
hay dƣới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Theo dạng phƣơng trình tham số, đƣờng cong đƣợc định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đƣờng
cong 3D bởi phƣơng trình ẩn hay tƣờng minh, bởi vì phƣơng trình ẩn g(x,y,z)=0
biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phƣơng trình để xác định đƣờng cong 3D.
Trong trƣờng hợp này, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ giao tuyến giữa hai mặt

cong.
1.1.2 Đặc tính của đƣờng cong.
Trong phần này để biểu diễn đƣờng cong, ta sử dụng phƣơng trình tham số
chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Đặc tính cơ bản của đƣờng cong, bao gồm:
a. Độ chảy của đƣờng cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1.1.2.1 Độ chảy:
Độ lớn của vectơ đạo hàm r’(t)đƣợc gọi là độ chảy của đƣờng cong:
S’(t) = |r’(t)| (1.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
6

Hãy tƣởng tƣợng đƣờng cong là con đƣờng và tham số t tƣợng trƣng cho thời
gian. Nhƣ vậy, độ chảy của đƣờng cong tƣơng ứng với tốc độ chạy xe. Đại lƣợng
này đƣợc sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phƣơng pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đƣờng đi đƣợc là tham số s, phƣơng trình đƣờng cong dạng
r(s) trở thành phƣơng trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của
đƣờng cong không phải là đặc tính riêng của đƣờng cong, đó là kết quả của phép
tham số hoá.
1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị:
Cho s là tham số tự nhiên của đƣờng cong r(t), sao cho:
s =
0


|r’(t)| dt
Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

T = dr / ds (1.6)
hay dƣới dạng vi phân: T = r’(t) /|r’(t)| (1.7)
1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính:
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta
có vectơ đơn vị N, đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến chính của đƣờng cong:
N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds| (1.8)
Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2)
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N đƣợc gọi là mặt phẳng mật tiếp.
Vectơ B vuông góc với vectơ N và T đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi
quan hệ: B = TxN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
7


Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đƣờng tròn mật tiếp
1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong:
Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t).
Độ cong đƣợc định nghĩa nhƣ sau: k = |dT/ds| (1.9)
hay dƣới dạng vi phân: k =
3
| ' r''|
| '|
rx
r
(1.10)
trong đó: r’ ≡ dr(t)/dt; r’’ ≡ dr’ / dt . Đối với đƣờng cong 2D dạng phƣơng
trình tƣờng minh y = y(x), phƣơng trình trên có dạng: k = y’’/(1+ y’
2
)
3/2

trong đó: y’ ≡ dy / dx ; y’’ ≡ dy’ / dx
Cho đƣờng tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2), đi qua điểm hiện thời
r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đƣờng cong tại điểm này. Đƣờng
tròn này đƣợc gọi là đƣờng tròn mật tiếp, bán kính của đƣờng tròn mật tiếp đƣợc
gọi là bán kính cong và đƣợc xác định bởi: ρ =1/ k (1.11)
1.1.2.5 Độ xoắn của đƣờng cong:
Độ xoắn của đƣờng cong 3D đƣợc định nghĩa nhƣ sau: τ = −(dB/ ds).N
trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phƣơng
trình cơ bản mô tả đặc tính của đƣờng cong 3D đƣợc gọi là phƣơng trình Serret-
Frenet:
dr / ds = T; dT / ds = kN
dN / ds =τB − kT ; dB/ ds = −τN
-1
(1.12)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
8

1.2 Hình học mặt cong.
1.2.1 Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong:
1. 2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình ẩn.
Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt
cầu thoả bất đẳng thức: x
2
+ y
2
+ z
2
-1 < 0 và phƣơng trình: x

2
+ y
2
+ z
2
-1 = 0 (1.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phƣơng trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0.
1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình tham số.
Theo hình học vi phân, mặt cong đƣợc định nghĩa nhƣ là ảnh của phép ánh
xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và đƣợc biểu
diễn bởi phƣơng trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], (1.14)
trong đó: u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phƣơng trình (1.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:
r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv) (1.15)
với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤π / 2
Tƣơng tự nhƣ đƣờng tròn đơn vị có thể tham số hoá phƣơng trình mặt cầu
dƣới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x - y của hệ toạ độ Descarte
(u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số:
r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (1.16)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phƣơng trình (1.13) đƣợc
biểu diễn dƣới dạng tƣờng minh: z = (1 - x
2
– y
2
)

1/2
với (x
2
+ y
2
) < 1 (1.17)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
9

Hình học mặt cong đƣợc minh hoạ trên hình 1.3. Ta thƣờng gọi phần mặt
cong trong miền tham số giới hạn là mặt lƣới. Các mặt lƣới liên kết theo điều kiện
kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.

Hình 1.3 : Hình học mặt cong
1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.
Xét đƣờng cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số
r(u,v)(hình 1.4): q(t) = [u(t),v(t)]
T
(1.18)
Hãy cho đƣờng cong r(t) là hình chiếu của đƣờng cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho:
r(t)= r(u(t), v(t))=(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (1.19)
Trƣờng hợp đặc biệt của (1.19) là đƣờng cong đẳng tham số:
v = v*, v (t) = t; u = u *, u (t) = t

Hình 1.4 - Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
10

Vectơ tiếp tuyến.

Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
r
u
=
/ru
; r
v
=
/rv
; r
uv
= ∂
2
r/∂u∂v (1.20)
Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.19) theo t, ta có:
r’=
dr
dt
=
r
u


dr
dt
+
r
v



dv
dt
=r
u
u’ +r
v
v’ , (1.21)
trong đó: r’ là vectơ tiếp tuyến của đƣờng cong r(t); r
u
và r
v
là vectơ tiếp
tuyến của đƣờng cong đẳng tham số u = u* , v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, r
u
, r
v

xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4).
Vectơ pháp tuyến.
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến đƣợc gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trƣớc và đƣợc xác định bởi:
n=(r
u
x r
v
)/| r
u
x r
v
| (1.22)

Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận:
r’= r
u
u’ + r
v
v’ =⋀q’, (1.23)
trong đó: Λ = |r
u
,r
v
| ; q’ = dq(t) / dt = (du / dt, dv / dt) = [u’ v’]
T
. Giá trị
vectơ tiếp tuyến đƣợc tính nhƣ sau:
|r’
2
| = (r’)
T
(r’) = q’
T
Λ
T
Λq’=q’
T
Gq’, (1.24)
trong đó: G= Λ
T
Λ=

u u v
u v v
r r r
r r r



: Ma trận cơ sở thứ nhất. (1.25)
Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T đƣợc biểu diễn theo G nhƣ sau:
T=r’/|r’|=(Λq’)/(q’
T
Gq’)
1/2
(1.26)
Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích
mặt cắt theo công thức đơn giản sau:
S=∬|r
u
xr
v
|dudv=∬|G|
1/2
dudv (1.27)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
11

1.2.3 Độ cong.
Ma trận cơ sở thứ hai.
Xét đƣờng cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4). từ (1.21), đạo hàm bậc
hai của r(t) theo t có giá trị nhƣ sau:

r’’ = u’(u’r
uu
+ v’r
uv
) + u’’r
u
+ v’(v’r
vv
+ u’r
uv
) + v’’r
v
(1.28)
Thực hiện phép nhân vô hƣớng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong
với chú ý rằng r
u
.n = r
v
.n = 0, ta có:
r’’.n= (u’)
2
r
uu
n + 2u’v’r
uv
n + (v’)
2
r
vv
n =q’

T
Dq’, (1.29a)
trong đó: q’ =
'
'
u
v



và D=


uu uv
uv vv
r n r n
r n r n



: Ma trận cơ sở thứ hai
Độ cong pháp tuyến.
Từ phƣơng trình (1.12), đạo hàm bậc hai của r(t) đƣợc tính nhƣ sau:
r’’ =
'dr
dt
=
( ' )d s T
dt
=s’’T +s’T’=s’’T +(s’kN)

Thực hiện phép nhân vô hƣớng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng:T.n = 0:
r’’.n=(s’)
2
kN.n (1.29b)
Giá trị kN.n ở biểu thức trên đƣợc gọi là độ cong pháp tuyến k
n
. Từ các công
thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’| , độ cong pháp tuyến đƣợc xác dịnh bởi
công thức sau:
k
n
≡ kN.n=
2
''.
( ')
rn
s
=
2
''
( ')
T
q Dq
s
=
''
( ') '
T
T
q Dq

q Gq
(1.30)
Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến nhƣ sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của
đƣờng cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo
phƣơng vectơ q’ .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
12

Độ cong chính.
Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’:
k
n
(q’) =
''
( ') '
T
T
q Dq
q Gq

Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:

n
'
K
q



=2Dq’ -2k
n
Gq’ =0 (1.31)
Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến đƣợc gọi là độ cong chính và đƣợc
xác định từ (1.30) nhƣ sau:
k
n1
=
2
b b ac
a

; k
n2
=
2
b b ac
a

, (1.31)
trong đó: a=|G|=
1
2
gh
hg



; c=|D|=

1
2
de
ed



; b=
1d2+g2d1
2
g
− eh
Với: g
1
, g
2
, h, d
1
, d
2
, e là các số hạng tƣơng ứng của ma trận cơ sở G và D.
Tích giá trị hai độ cong chính đƣợc gọi là độ cong Gauss đƣợc sử dụng để
biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
1.3 Phép biến đổi toạ độ.
Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.
1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.
Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ
độ (x’,y’) của điểm P’ tƣơng ứng với vectơ dịch chuyển t (t
x

,t
y
) (Hình 1.5a); hệ số tỷ
lệ s(s
x
,s
y
) (Hình 1.5b); góc xoay θ ngƣợc chiều quya kim đồng hồ (Hình 1.5c) đƣợc
xác định nhƣ sau:
x’ = x + t
x
; y’ = y + t
y
(1.33)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y (1.34)
x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (1.35)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
13


Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D
Phép biến đổi đồng nhất.
Biểu diễn điểm dƣới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học nhƣ phép nhân ma trận. Theo toạ độ
đồng nhất, điểm trong không gian n chiều đƣợc ánh xạ vào không gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều đƣợc biểu diễn dƣới dạng

toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:
x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h, (1.36)
trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hƣớng.
Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P đƣợc
nhân với hệ số h, điểm P sẽ đƣợc di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy
tỷ lệ với hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35)
dƣới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) P
h
, P’
h
và ma trận biến
đổi đồng nhất M:
P’
h
= P
h
M, (1.37)
trong đó: P
h
= (x y 1) ; P’
h
= (x’ y’ 1)
Ma trận biến đổi toạ độ M tƣơng ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ
lệ (S) và phép quay (R) có giá trị nhƣ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
14

T=
12

10
0 1 0
1
xy
a
tt





; S=
00
00
0 0 1
x
y
s
s





; R=
os sin 0
sin os 0
0 0 1
c
c










1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.
Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tƣơng ứng với vectơ dịch
chuyển t (t
x
,t
y
, t
z
); hệ số tỷ lệ s (s
x
, s
y
, s
z
) đƣợc xác định nhƣ sau:
x’ = x + t
x
; y’ = y + t
y
; z’ = z + t

z
(1.38)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y ; z’ = s
z
.z (1.39)
Tƣơng tự nhƣ đối với trƣờng hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dƣới hình thức tích ma trận bởi
vectơ toạ độ đồng nhất P
h
, P’
h
, ma trận biến đổi T(S):
P’
h
= P
h
T (1.40a)
P’
h
= P
h
S, (1.40b)
trong đó: P
h
= (x y z 1) ; P’
h

= (x’ y’ z’ 1)
T=
1 0 0 0
0 1 0 0
00
0
1
1
y
x
z
t
t
t








; S=
0 0 0
0 0 0
0
00
1
00
0

x
y
z
s
s
s









Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D,
phép quay quanh trục bất kỳ thƣờng đƣợc qui về các phép quay cơ bản quanh các
trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).
Phép quay cơ bản
X’
Y’
Z’
quanh trục x
x’ = x
y’ = ycosθ - zsinθ
z’ = ysinθ + zcosθ
quanh trục y
x’ = zsinθ + xcosθ
y’ = y
z’ = zcosθ + xsinθ

quanh trục z
x’ = xcosθ + ysinθ
y’ = xsinθ + ycosθ
z’ = z

Bảng 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
15

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có
giá trị nhƣ sau (C = cosθ ; S = sinθ):
R(x,θ)=
1 0 0 0
00
00
0 0 0 1
CS
SC









; R(y,θ)=
00
0 1 0 0

00
0 0 0 1
CS
SC









;
R(z,θ)=
00
0 0 0
0 0 0
0 0 0 1
CS
S
C










(1.41)
Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H nhƣ sau:
(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H, (1.42)
trong đó: H=
11 12 13
21 22 23
32
31
33
0
0
0
1
y
x
z
r r r
r r r
r
r
r
t
t
t









=
0
0
0
1
R
t









hay biểu diễn dƣới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (1.43)
Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định
nghĩa các vectơ hàng của R:
n = (r
11
r
12
r
13
); o = (r

21
r
22
r
23
); a = (r
31
r
32
r
33
) (1.44)
thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j,
k và thoả điều kiện:
n x o = a; o x a = n; a x n = o và |n| = |o| = |a| =1 (1.45)
1.3.3 Phép ánh xạ.
Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn
không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng nhƣ phƣơng chiều. Trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
16

phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tƣợng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau.
Phép ánh xạ đối tƣợng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai đƣợc định
nghĩa nhƣ sự thay đổi mô tả đối tƣợng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ
thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phƣơng chiều của đối tƣợng hình
học so với cả 2 hệ toạ độ.Phép ánh xạ này tƣơng đƣơng với phép biến đổi hệ toạ độ
thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và đƣợc sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông
thƣờng, ngƣời ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn đƣợc gọi là hệ toạ độ
địa phƣơng hay hệ toạ độ đối tƣợng) gắn liền với đối tƣợng thiết kế để đơn giản hoá
việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi)

toạ độ đƣợc đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trƣớc khi lƣu trữ
trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu
trục lắp ghép, khi mỗi đối tƣợng ( chi tiết hay bộ phận) đƣợc định nghĩa theo hệ toạ
độ hệ thống riêng và chúng cần đƣợc kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống
chủ.
Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ
hai nhƣ sau: Cho trƣớc toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác
định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó:
P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z)
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)
H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tƣơng đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so
với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’).
1.3.4 Khung toạ độ.
Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ nhƣ sự thay đổi mô tả đối tƣợng hình
học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ
nhƣ sự thay đổi hệ toạ độ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
17

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển
động (Hình 1.6). Cho i
h
, j
h
và kh là các vectơ chỉ hƣớng đồng nhất của hệ toạ độ
tham chiếu: i
h
= (1 0 0 1) ; j
h

= (0 1 0 1) ; k
h
= (0 0 1 1) (2.46)
Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:
i’
h
= i
h
H = (1 0 0 1) H = (n 1) (1.47a)
j’
h
= j
h
H= (0 1 0 1) H = (o 1) (1.47b)
k’
h
= k
h
H=(0 0 1 1) H = (a 1) (1.47c)
Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi
đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi
theo (1.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động đƣợc xác định tƣơng tự:
P’
h
= (0 0 0 1) H = (t
x
t
y
t

z
1) = (t 1) (1.48)
Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H đƣợc gọi là khung toạ độ.
Nhƣ vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ
toạ độ địa phƣơng hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ
cố định).

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động
Viết lại biểu thức (1.42) ta có: P’
h
= P
h
H hay: P
h
= P’
h
H
-1
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
18

trong đó:
P
h
= (r 1) = (x y z 1)
P’
h
= (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)
r(x, y, z): vectơ toạ độ tƣơng đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc.

r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu
(hệ toạ độ hệ thống).
H=
0
0
0
1
x y z
x y z
y
x
z
y
yz
n n n
o o o
a
a
a
t
tt










; H
-1
=
0
0
0
1
. . .
x x x
y y y
z z z
n o a
n o a
n o a
nt ot at







  


n = (n
x
n
y
n

z
) ; o = (o
x
o
y
o
z
) ; a = (a
x
a
y
a
z
) ; t = (t
x
t
y
t
z
)
Kết luận:
Biểu diễn đƣờng cong và mặt cong dƣới dạng phƣơng trình tham số thực
chất là biểu diễn dƣới dạng phƣơng trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo
phƣơng thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phƣơng thức truy nhập thống nhất đối với
cả 2 dạng đƣờng cong 2D và 3D, nhằm đạt đƣợc phƣơng trình biểu diễn đơn giản,
thích hợp cho lập trình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
19

Chƣơng II
GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT
KẾ HÌNH HỌC
Chƣơng này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt,
những ứng dụng của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential
equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học.
2.1. Tổng quan
Sự đặc trƣng hóa và hệ thống hóa các bề mặt nhất định đã xuất hiện từ thời
đế quốc La Mã. Bắt nguồn từ những khát vọng xâm chiếm và nhu cầu sản xuất hàng
loạt các chiếm hạm, ngƣời ta đã rất quan tâm tới việc tạo ra một khuôn mẫu cho các
thân tàu. Tuy nhiên,việc giới thiệu bản vẽ xác định hình dạng của một thân tàu chỉ
thực sự trở nên phổ biến ở Anh vào thế kỷ 17. Ngày nay thiết kế hình học đƣợc hỗ
trợ bởi các công cụ tính toán với một số lƣợng lớn các kỹ thuật tạo bề mặt sẵn có.
Phần lớn các phƣơng pháp đƣợc sử dụng trong thiết kế hình học dƣới sự hỗ trợ của
máy tính đối với việc tạo ra các bề mặt chủ yếu dựa trên một loại bề mặt ẩn cụ thể
là các mặt đa giác. Loại bề mặt này đƣợc đặc trƣng bởi một số các điểm điều khiển
và trọng số. Tuy nhiên việc thao tác đối với các bề mặt nhƣ vậy là không đơn giản
khi mối quan hệ giữa những sự thay đổi trong hình học và các điểm điều khiển là
không trực quan.
Các bề mặt tham số nhìn chung dễ thao tác hơn các bề mặt ẩn bởi chúng chỉ
cần sửa đổi một số các tham số để thu đƣợc một bề mặt khác.
Các bề mặt tham số thông thƣờng đƣợc biểu diễn bởi các đƣờng cong trong

việc thiết kế hình học thông qua sự hỗ trợ của máy tính do những lợi thế mà chúng
đem lạị chủ yếu do sự đơn giản trong việc xây dựng và sự chính xác trong đánh giá.
2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học
Ngày nay trong các tài liệu thiết kế hình học có rất nhiều phƣơng pháp thiết
kế bề mặt. Đặc biệt các kỹ thuật sau đây đƣợc sử dụng thƣờng xuyên nhất:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25