Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,
chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô
giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn
bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.

Hà Nội, tháng11 năm 2013
Tác giả

Bùi Trung Hiếu


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân
dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn
nhiệt tình và chu đáo của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Luận văn với đề tài “Phương pháp sai phân giải phương trình vi
phân tuyến tính” không có sự trùng lặp.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Bùi Trung Hiếu

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn................................................................................................ 1
Lời cam đoan.............................................................................................2
Mục lục......................................................................................................3
MỞ ĐẦU.................................................................................................. 5
NỘI DUNG...............................................................................................7
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị...................................................7
1.1. Sai số.................................................................................................. 7
1.2. Số gần đúng........................................................................................11
1.3. Một số tính chất của phương trình vi phân........................................11
1.4. Sai phân và tính chất.......................................................................... 14
Chương 2: Lược đồ sai phân..................................................................19
2.1.Bài toán vi phân...................................................................................19
2.2. Lưới sai phân......................................................................................19
2.3. Hàm lưới.............................................................................................20
2.4. Đạo hàm lưới......................................................................................20
2.5. Qui ước viết vô cùng bé..................................................................... 21
2.6. Công thức Taylor................................................................................21
2.7. Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới.....................................................22
2.8. Phương pháp sai phân........................................................................ 23
2.9. Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi..........................23
2.10. Sự ổn định của bài toán vi phân.......................................................27
2.11. Sự xấp xỉ...........................................................................................27


2.12. Sự hội tụ...........................................................................................29
2.13. Trường hợp điều kiện biên loại ba...................................................30

Chương 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính
3.1. Bài toán vi phân.................................................................................35
3.2. Đạo hàm lưới......................................................................................36
3.3. Phương pháp sai phân........................................................................37
3.4. Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính.............46
3.5. Sự xấp xỉ.............................................................................................58
3.6. Sự ổn định của bài toán sai phân........................................................58
3.7. Bài toán sai phân đối với sai số..........................................................75
3.8. Sự hội tụ và sai số..............................................................................76
KẾT LUẬN..............................................................................................86
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................87

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề
tài
Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là
phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ
thuật. Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình
sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm
số tại các điểm khác nhau). Một trong những ứng dụng quan trọng của
phương pháp sai phân là giải các phương trình vi phân thường và phương
trình đạo hàm riêng.
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã
có rất nhiều phần mềm và chương trình có thể giúp chúng ta tìm nghiệm


của các phương trình vi phân thường với độ chính xác cao trong một thời
gian rất ngắn.
Một lớp phương trình vi phân thường rất quan trọng đó là phương
trình vi phân tuyến tính. Trong một số ít trường hợp của lớp phương trình

vi phân tuyến tính ta có thể tìm được nghiệm tường minh. Chẳng hạn,
đó là các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng và hàm vế phải có
một số dạng đặc biệt. Tuy nhiên, trong những trường hợp tổng quát hơn việc
tìm ra nghiệm tường minh cho các phương trình vi phân tuyến tính là một
vấn đề rất khó.
Chính vì lí do đó người ta phải đưa ra các phương pháp để giải số
các phương trình vi phân này. Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn
Hùng em đã chọn đề tài: “Phương pháp sai phân giải phương trình vi
phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạo thạc sĩ chuyên ngành
toán gải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân và
phương pháp sai phân ứng dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Phương trình vi phân.
- Phương pháp sai phân
- Phương pháp sai phân giải phuơng trình vi phân tuyến tính
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương pháp sai phân và các
ứng dụng của nó.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6. Những đóng góp của luận văn.
Trình bày một cách có hệ thống về phương pháp sai phân giải phương
trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một số
một số lĩnh vực khác.


CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sai số
1.1.1. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
Xét một số thập phân dạng tổng quát
a
 

p

p

i

.10 ... 
 .10
i
ps
... 



(1.1)

p

s


Trong đó  j
,

ap 0, 0 a j 9
j,

Nếu p

thì a là số nguyên

s  0
Nếu p s k thì a có phần lẻ gồm k chữ số
 k 0
Nếu s thì a là số thập phân vô hạn
Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a
gọn hơn và gần đúng với số a .
Quy tắc làm tròn : Xét số a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i ,
phần bỏ đi là  thì :
a
  p .
10

p

... 
.

i1
10
i


Trong đó :

...  .10
i

i






1
i
; 0   .10
1
i
  .10
2
2


i

i

1

 ;   .10i 
i1
1

 .10i 2 2

khii  l 
2l;
khii 2l l 
1;


Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là a , như
1
vậy
 .10i .
a

2
Vì a* a
a

*

tuyệt đối tăng
thêm

 a a

 
a

a

a

a , rõ
ràng

a a , do đó khi làm tròn
thì sai số

a .

1.1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó
chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số
khác
0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.1)
a
 

p

p

.10 ... 
 .10

i
ps
... 

i



ps



Chữ số  ở (1.1) của số a là số chắc nếu :
j

a .10 là tham số cho trước
j
;
Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chắc, rõ ràng
ai
1.1.3. Sai số tính toán

là chữ số chắc thì ai cũng là chữ số chắc.
1

Giả sử phải tìm đại lượng y theo
công thức

y f x1 , x2 ,..., xn 
Gọi

*

x


x


1 *

*

2 *
*
, x ,..., x ; y


f x

*



là giá trị đúng
còn

x x1, x2 ,..., xn ;

y f
x



*

x
x

là giá trị gần đúng y ,
x
i

. Giả sử f x , ,...,
x
x

*

1

i
i

2

 là hàm

n

số khả vi liên tục thì :
*





y  y   f x1, x2 ,...,
y
xn

*

*

 f
 x

*

fx1 , x2 ,...,
xn

n

i1

Với f là đạo hàm

x theo

*

xi xi

i

xi tính tại điểm trung gian.

i

Vì f là khả vi liên tục ,  khá bé nên:
xi
n

y f xi x1 , x2 ,..., xn
 xi

(1.2)

i1

n
y
Vậy  y y 

x

i1



ln f
xi

.

(1.3)

i

a. Sai số của phép toán cộng trừ
n

Nếu

y



thì

n

y 1, vì vậy ta y 
 xi
i1
có
:

x
i

xi

i1

n

Chú ý rằng : Nếu tổng đại số

y   xi

i1

bé
về


giá trị tuyệt đối thì

y

lớn,

y

phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến
hiệu quả của hai số gần nhau.
b. Sai số của phép toán nhân, chia

n

Giả
sử


. Áp dụng (1.2) và (1.3) ta có
xi

y  ni1


xpi

i1

 y  x1 ... và
y
 xq


yy

c. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y x 

,

x 0  , khi đó  y   x

Như vậy,
Nếu  1 thì độ chính xác là giảm đi
Nếu  1 thì độ chính xác tăng lên
Nếu  1 ( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không
đổi
1
Nếu   , k * ( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên.
k
d. Sai số của phép tính logarit
Xét y ln x ,
ta có

y  x .

1.1.4. Bài toán ngược của sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức :


y f x1 , x2 ,..., xn  .

trước.

Yêu cầu đặt ra là cần
tính

 như thế nào để y  , với  là
cho
xi

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có :
n

f

xi 
y 
i1
x i


Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu xi 
n f xi
Kết luận : Nếu các biến
xi
khi
đó

có vai trò ‘đều nhau’ thì ta có thể lấy


xi  ,
n. f xi

y  .

1.2. Số gần đúng

*

Ta nói rằng a là một số gần đúng của
nhiều, hiệu số

a 
*
a a

gần đúng thiếu, còn
nếu

a nếu như a không sai khác a

là sai số thực sự của a ,
nếu

*

a thì a là giá trị
0

a thì a là giá trị gần đúng thừa của a* . Vì rằng
0

*

a nói chung không biết nên cũng không biết , tuy nhiên có thể thấy
tồn tại
a thoả mãn điều kiện : a *  a

0
a
Khi đó :
a

 a 

được gọi là sai số tuyệt đối của a .


a

là sai số tương đối của a .


Rõ ràng a,
a

càng nhỏ càng tốt.

1.3. Một số khái niệm về phương trình vi phân
1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng


ya x y

(1.4)

 b x 

Nếu

b

là hàm hằng 0, thì gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính

x
thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
ya x y 0

(1.5)

là phương trình phân ly biến số được và có nghiệm tổng quát
là
y C.e

 a x dx

.

(1.6)

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất ta dùng phương
pháp biến thiên hằng số Lagrange : Thay C bởi hàm số
y C

x .e 

a  x dx

C x 
để

(1.7)

là nghiệm của (1.4). Khi đó
y C
dx

x.e

a xdx

a x .C  x .e

a x

,

thay vào phương trình đã cho
được

axdx
C xb x  .e 
, tích phân
hai vế,

cuối cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất

(1.4) là :


y 



axdx

bx e 

 ax dx
dx C .e 
.


(1.8)






1.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
1.3.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng


n

x .y

y
a
1

Nếu b 
x

 n 1 

a

x .y
2

 n 2 

... a


n

x  .y
b  x 

(1.9)

là hàm hằng 0, thì gọi (1.9) là phương trình vi phân tuyến tính

thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất. Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương trình
không thuần nhất (1.9) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương
trình không thuần nhất (1.9).
1.3.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Để giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
n

y 
a1 y

n1

n2

... an y là hằng số thực : i 1, 2,..., n )
 0 ( ai
(1.10)

 a2
y

ta tìm nghiệm dưới dạng y ex . Đạo
hàm
vào phương trình ta
được
ex



n

1


a2

a

 n1

n

2

ex các cấp 0,1,2,…,n và thay

... an1 an

0

Giải phương trình đặc trưng

 n 1a
 n1

n

2


a 2

... an1 an 0 .

(1.11)

- Nếu  là nghiệm thực bội k của phương trình (1.11), thì các hàm


ex , x.ex ,..., xk 1ex là k nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.10).
- Nếu   i là nghiệm phức bội k của phương trình (1.11) thì


i

cũng là nghiệm bội k của phương trình (1.11). Khi đó theo


công thức Euler :


 i x

y1 e

e x cos x 

2  x  ; y e
isin

 i x

ex

cos x isin  x 
y1 
e x cos x
y2
và
2

suy
ra

y1 
e x sin  x
y2
2

là các nghiệm của phương trình (1.10). Do đó các hàm
x

x

e cos x, xe cos x, ...,
e

x

x

sin  x, xe sin  x, ...,

x

đều là nghiệm của (1.10).

k 1  x

e cos x



xk 1e x sin 
x

Điều đó có nghĩa là bằng cách giải phương trình đặc trưng tìm được đủ
n nghiệm thì ta có được ngay hệ thống n nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình vi phân (1.10) và do đó có nghiệm tổng quát.
1.4. Sai phân và tính chất
1.4.1. Các khái niệm cơ bản
Xét dãy số xn  , dạng khai triển của nó là: x0 , x1, x2 ,..., xn ,... .
Ví dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng n0,1,
2,..., n,...; Dãy số nguyên dương Z



có dạng n1,

2,..., n,...;
Dãy
hòa số điều

1




1 1
1, ,..., ,... .
  
n 
2 n






Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n . Ký
hiệu

1.4.1.1. Định
nghĩa


x  n xn .
Định nghĩa 1: Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số

n Z : xn 0, 1, 2,...,
n,...(hoặc n Z



x  n 
 xn

với

, hoặc n N ) là hiệu:


xn xn1 xn
Ví dụ, hàm
xn

cho dưới dạng bảng

n

0

1

2

3

4

xn

1

3

4

7

6

có sai phân hữu hạn cấp 1
là
x0 x1 x0 3
1 2;
x2 x3 x2 7
 4 3;

x1 x2 x1 4 3 1;
x3 x4 x3 6 7 1.

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân
hữu hạn cấp k là sai phân cấp k , còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân.
Định nghĩa 2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp
1
của

xn và nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân

cấp k 1 của hàm số đó.
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là

2
x 

x
n


x

  x
x

n
n1

n
n2

 x

x

x



n

1

n1

n

x



xn2 2xn1 xn ;
Sai phân cấp 3 của hàm xn là

3
x 

2 x
n



 x
2

n
n1

 2

x x

 2
x

x

n
n


3

 2
x

x 
n2


n1

n2

n1

n

xn3 3xn2 3xn1 xn .
Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là


x
k

n

trong
đó

k


k
1 



1
x
x
n
n1

Cki  k ! .
i!k i !

1 k

x


n

k
1iCi x


i0

(1.4)
k

nk i


Ví dụ, xét hàm
xn

trong định nghĩa 1, ta có


x
2
x 2x
x
0
2

2

1

3

 x
x

 2
x


x
2
x 2x
x
2

4


x
3
x 3x
0
3

3

1

4

 x
x

3
x


4
x
x 4x
0

4

4 2.3 3 1;
1

0

x 7 2.4 3 2;
2

1

6 2.7 4 4;
3

2

2

 3x  7 3.4 3.3 1 3;
x
1

0

x 6 3.7 3.4 3 6;
3

3

1

6
x

2

 4x  6 4.7 6.4 4.3 9.
x
1

0

Từ công thức (1.4) suy ra một số tính chất của phương trình sai phân sau đây:
1.4.1.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số.
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4).

Thật vậy, với k 1, ta có
x x

n

n1

 x0
C x
n

 C1x
1

n1

i
, ta chứng minh
1i C
k nk

k

Giả sử (1.4) đúng với k , có nghĩa
là

 
k
x


k
x

1 k

x
n

i



n

(1.4) đúng
với

1 n

i
0

k 1 tức là
k
 x

n

k



i
x i
C1

i0

n1

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số

k
n1k
i

k

1iCi x


i
0

k

.

nk i