Phương pháp tựa tuyến tính hoá và ứng dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
——————————————–

NGUYEN TRƯèNG LƯU

PHƯƠNG PHÁP TUA TUYEN TÍNH HÓA
VÀ ÚNG DUNG VÀO GIÁI XAP XÍ BÀI
TOÁN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯèNG CAP HAI

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN
HOC

HÀ N®I, 2012


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
——————– * ———————

NGUYEN TRƯèNG LƯU

PHƯƠNG PHÁP TUA TUYEN TÍNH HÓA
VÀ ÚNG DUNG VÀO GIÁI XAP XÍ
BÀI TOÁN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯèNG CAP HAI

Chuyên ngành: Toán Giái tích
Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS. Khuat Văn
Ninh

Hà N®i, 2012


1

Lài cám ơn
Tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành và sâu sac tói PGS.TS.
Khuat Văn Ninh, ngưòi đã t¾n tình hưóng dan, chí báo tôi trong
suot quá trình làm lu¾n văn.
Cũng qua lu¾n văn này, tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn đen các thay cô
giáo trong to Giái tích - khoa Toán - trưòng Đai hoc Sư pham Hà n®i
2, gia đình, ban bè và các ban hoc viên lóp K14 Toán giái tích đot 1,
nhung ngưòi đã đ®ng viên, giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p
và làm lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 7 năm 2012
Tác giá

Nguyen Trưòng Lưu


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan lu¾n văn này là do tôi tn làm dưói sn hưóng dan
cna PGS.TS. Khuat Văn Ninh. Tôi xin cam đoan so li¾u và ket
quá nghiên cúu trong lu¾n văn này là trung thnc và không trùng
l¾p vói các đe tài khác. Các thông tin trích dan, các tài li¾u tham

kháo trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc. Lu¾n văn chưa
đưoc công bo trên bat kì tap chí, phương ti¾n thông tin nào.
Hà N®i, tháng 7 năm 2012
Tác giá

Nguyen Trưòng Lưu


Mnc lnc

1

Kien thNc chuan b%

9

1.1

Đao hàm và vi phân cna hàm m®t bien . . . . . . . . .

9

1.1.1

Đ%nh nghĩa đao hàm . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Đ%nh nghĩa vi phân.......................................................10

1.2

1.3

Phương trình và h¾ phương trình vi phân tuyen tính

.

11

1.2.1

Phương trình vi phân tuyen tính cap m®t

. . .

11

1.2.2

H¾ phương trình vi phân tuyen tính cap m®t . .

12

M®t so kien thúc cơ bán ve giái tích hàm............................13
1.3.1

Đ%nh nghĩa chuan và không gian đ%nh chuan . .

1.3.2

Toán tú tuyen tính b% ch¾n trong không gian

13

đ%nh chuan.....................................................................14
1.4

2

Đao hàm Fréchet trong không gian đ%nh chuan...................15
1.4.1

Đ%nh nghĩa........................................................................15

1.4.2

Tính chat..................................................................16

1.4.3

M®t so ví du...................................................................18

Tong quan ve phương pháp tNa tuyen tính hóa
2.1

20

Phương pháp Newton - Raphson..........................................20

3


4

2.1.1

Phương pháp Newton - Raphson đoi vói không
gian m®t chieu...........................................................20

2.1.2

Phương pháp Newton- Raphson đoi vói không
gian đa chieu..............................................................23

2.2

Phương pháp Newton - Kantorovich..................................... 27
2.2.1

Dang tong quát cna phương pháp..............................27

2.2.2

M®t so đ%nh lý cna phương pháp Newton - Kantorovich............................................................................28

3

Úng dnng phương pháp tNa tuyen tính hóa vào giái xap
xí bài toán biên đoi vái phương trình vi phân thưàng
cap hai

38

3.1

Đ¾t van đe...................................................................................38

3.2

Bài toán biên đoi vói phương trình vi phân tuyen tính
cap hai....................................................................................39

3.3

Phương trình không thuan nhat..........................................41

3.4

Xap xí ma tr¾n vectơ.............................................................43

3.5

Hàm Green............................................................................. 45

3.6

Tính chat loi........................................................................46

3.7

Tna tuyen tính hóa..............................................................48

3.8

Sn ton tai và b% ch¾n.................................................................48

3.9

Sn h®i tu................................................................................50

3.10 Sn h®i tu cna thu¾t toán Picard............................................52
3.11 M®t so ví du...............................................................................53


5

3.12 Áp dung phương pháp tna tuyen tính hóa vào giái xap
xí bài toán biên đoi vói phương trình vi phân phi tuyen
cap hai....................................................................................54
3.13 Ví du minh hoa......................................................................55
3.14 Phép tính bien phân.............................................................56
3.15 Tna tuyen tính hóa..............................................................58


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Như chúng ta đã biet, trong toán hoc cũng như trong m®t so ngành

khoa hoc liên quan, đ¾c bi¾t là v¾t lý, ta g¾p nhieu bài toán dan
đen yêu cau giái phương trình phi tuyen. Giái quyet van đe này khá
khó khăn do tính chat phi tuyen cna nó. Bên canh đó, ta cũng thay
rang vi¾c giái các phương trình tuyen tính là thu¾n loi hơn và đưoc
nghiên cúu nhieu hơn. Vì v¾y, vi¾c đưa các bài toán phi tuyen ve
các bài toán tuyen tính đưoc nhieu nhà khoa hoc quan tâm. Đã có
nhung công trình nghiên cúu ve van đe này mà ket quá cna nó
đưoc úng dung r®ng rãi trong toán hoc và nhieu nghành khoa hoc
khác. Có the ke đen m®t so nhà khoa hoc noi tieng trong lĩnh vnc
này như Newton, Raphson, Kantorovich, Richard Bellman ....
Đe thu¾n ti¾n cho vi¾c giái quyet nhung bài toán mà vi¾c xú lý
trnc tiep g¾p nhieu khó khăn, han che, đ¾c bi¾t là các bài toán quy
ve vi¾c giái phương trình phi tuyen, tôi lna chon đe tài "PHƯƠNG
PHÁP TUA TUYEN TÍNH HÓA VÀ ÚNG DUNG VÀO VI›C
GIÁI XAP XÍ BÀI TOÁN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN THƯèNG CAP HAI".
2. Mnc đích nghiên cNu
+ Nghiên cúu các bài toán phi tuyen.


+ Áp dung phương pháp tna tuyen tính hóa giái bài toán phi tuyen.
+ Úng dung phương pháp tna tuyen tính hóa vào m®t trong các
bài toán phi tuyen thưòng g¾p: Bài toán biên đoi vói phương
trình vi phân thưòng cap hai.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
+ Giái m®t lóp các bài toán phi tuyen bang cách quy ve bài toán
tuyen tính và cu the hóa qua vi¾c giái xap xí bài toán biên đoi
vói phương trình vi phân thưòng cap hai.
+ Áp dung vào giái xap xí bài toán biên đoi vói phương trình vi
phân thưòng cap hai.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
+ Đoi tưong nghiên cúu: Phương pháp tna tuyen tính hóa giái xap
xí bài toán phi tuyen.
+ Pham vi nghiên cúu: Bài toán biên đoi vói phương trình vi phân
thưòng cap hai.
5. Phương pháp nghiên cNu
+ Phương pháp tna tuyen tính hóa giái bài toán biên phi tuyen.
+ Sú dung tính xap xí nghi¾m cna bài toán tuyen tính so vói bài
toán phi tuyen tương úng.


6. DN kien đóng góp mái
+ Áp dung phương pháp tna tuyen tính hóa vào giái bài toán biên
đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1
1.1.1

Đao hàm và vi phân cúa hàm m®t bien
Đ%nh nghĩa đao hàm

Giá sú y = f (x) là m®t hàm so xác đ%nh trong khoáng (a; b) và
x0 là m®t điem tùy ý trong khoáng đó. Ta l¾p tí so:
f (x0 + ∆x) − f
(x0 )

+ ∆x ∈ (a; b)

(1.1)

,

x
∆x

0

Neu tí so đó có giói han (huu han) khi ∆x → 0 thì ta nói rang hàm
so y = f (x) có đao hàm tai x = x0 và viet:
f r(x0) =
lim
∆x→0

f (x0 + ∆x) − f = lim∆y
(x0)
∆x→0 ∆x

(1.2)

∆x
Trong đó ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0)
Hàm so f r đưoc goi là đao hàm cna hàm so f tai điem x = x0.
Nó còn đưoc kí hi¾u:
r
f r(x0) = [f (x)]
x=x
0

9


10

1.1.2

Đ%nh nghĩa vi phân

Giá sú hàm so y = f (x) có đao hàm tai điem x0 :
∆y
r

∆y
yr = f r(x0) = lim
∆x→0 ∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0)

Khi đó ∆x − y
− f r(x0) = a
∆x
=
là m®t vô cùng bé khi ∆x → 0. Do đó đai lưong:
[f (x0 + ∆x) − f (x0)] − f r(x0).∆x = a.∆x
là m®t vô cùng bé b¾c cao hơn so vói ∆x(khi ∆x → 0), nghĩa là có
the viet:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) = f r(x0).∆x + o(∆x)
(1.3)

So hang f r(x0).∆x trong tong trên đưoc goi là vi phân cna hàm
so
y = f (x) tai điem x0 và đưoc kí hi¾u là dy, nghĩa là:
dy = f r(x0).∆x
Ý nghĩa cna công thúc (1.3):
i) Tính gan đúng giá tr% f (x0 + ∆x) khi biet f (x0), f r(x0)
và ∆x
ii) Xét công thúc (1.3):
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) = f r(x0).∆x +
o(∆x)
Vói ∆x đn nhó, ta có the xap xí như sau:
r
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∼= f (x0 ).∆x

hay là:

r
f (x0 + ∆x) ∼= f (x0 ) + f (x0 ).∆x


1.2

Phương trình và h¾ phương trình vi phân
tuyen tính

1.2.1

Phương trình vi phân tuyen tính cap m®t

Đ%nh nghĩa 1.1. Phương trình vi phân tuyen tính cap m®t có

dang:
yr + p(x).y = q(x)

(1.4)

Ta giá thiet p(x), q(x) liên tnc trên khoáng (a; b). Khi đó trong
mien:


ab

G=

−∞ < y < +∞
Nghi¾m cna bài toán Cô-si đoi vói phương trình (1.4) ton tai duy
nhat.
Đe tìm nghi¾m tong quát cna phương trình (1.4), trưóc het ta xét
phương trình:
yr + p(x).y = 0

(1.5)

đưoc goi là phương trình tuyen tính thuan nhat tương úng vói phương
trình (1.4). Ta viet lai (1.5) dưói dang:
dy + p(x)ydx = 0

(1.6)

Giá sú y ƒ= 0, chia cá hai ve cna (1.6) cho y, ta đưoc:

dy
y

+ p(x)dx = 0

(1.7)

Tích phân phương trình (1.7), ta đưoc:
y = c.e

−

¸
p(x)dx

, (c ƒ= 0)

(1.8)


Ta thay y = 0 cũng là nghi¾m cna (1.5). Nghi¾m này có the
nh¾n đưoc tù (1.8) khi c = 0.
V¾y nghi¾m tong quát cna phương trình (1.5) có dang:
y = c.e

−

¸
p(x)dx

,c∈R

(1.9)

Đe tìm nghi¾m cna phương trình tuyen tính không thuan nhat, ta
áp dung phương pháp bien thiên hang so, cu the như sau: trong (1.9)
ta coi c là hàm so cna x : c = c(x) và tìm cách chon c(x) sao cho
bieu
thúc:
−

y = c(x).e

¸

p(x)dx

,c∈R

(1.10)

thóa mãn phương trình (1.4). Thay (1.10) vào (1.4) ta có:
¸

¸

r

c (x).e

p(x)dx

−

− c(x)p(x)e

p(x)dx

p(x)dx

+

p(x)c(x)e− ¸

Tù đó suy ra:

¸
(q(x)e
c(x) = −

¸

p(x)dx

= q(x)
(1.11)

)dx + c

(1.12)

Thay c(x) tù (1.12) vào (1.10) ta đưoc nghi¾m tong quát dang
(1.9)
cna phương trình tuyen tính không thuan nhat.
1.2.2

H¾ phương trình vi phân tuyen tính cap m®t

Đ%nh nghĩa 1.2. H¾ phương trình vi phân tuyen tính cap m®t có
dang tong quát:

 d = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + f1 (x)


y
1 dydx
2




= a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + · · · + a2n (x)yn

dy
dx


+ f2 (x)
..
.



dx
+ fn (x)

= an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + · · · + ann (x)yn

(1.13)


Neu kí hi¾u F (x)
=
 f1(x)


 f 2(x)


..

.

fn(x
)






 , vói aij (x), (i, j = 1, 2, ..., n)

liên



tuc trên khoáng (a; b) thì h¾ (1.14) có the viet dưói dang véc tơ:
dY
= p(x)Y + F (x), vói p(x) = (aij (x))i,j=1,n
dx
ho¾c dưói dang toán tú:

(1.14)

dY − p(x)Y
L(Y ) = F (x), vói L(Y )
=
dx
Khi đó, vói moi x0 ∈ (a; b), (y0, y0, ..., y0 ) ∈ Rn, ton tai duy
nhat
1

2

n

nghi¾m:
Y (x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))
cna h¾ (1.14), xác đ%nh trên khoáng (a; b) và thóa mãn đieu ki¾n

ban đau:
y1(x0) = y0, y2(x0) = y0, ..., yn(x0) = y0
1

1.3
1.3.1

2

n

M®t so kien thNc cơ bán ve giái tích hàm
Đ%nh nghĩa chuan và không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.3. Không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính
đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng P (P = R
ho¾c P = C) cùng vói m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R kí hi¾u là
" ◦ ", thóa mãn các tiên đe:


i) " x "≥ 0, ∀x ∈ X
" x "= 0 ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú không cúa X là θ)
ii) " αx "= |α|. " x ", ∀x ∈ X, ∀α ∈ P
iii) " x + y "≤" x " + " y ", ∀x, y ∈ X
So " x " đưoc goi là chuan cúa vectơ x. Ta cũng kí hi¾u không gian
đ%nh chuan là X.
Đ%nh nghĩa 1.4. Dãy điem (xn) cúa không gian đ%nh chuan X goi
là
X, neu lim xn x = 0, kí hi¾u: lim x = x,
n

−
∈
n→∞ "
m,n→∞
"
hay xn → x(n → ∞)

h®i tn tói điem x

Đ%nh nghĩa 1.5. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X goi
là dãy cơ bán neu: lim
m,n→∞

" xm − xn "= 0

Đ%nh nghĩa 1.6. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
1.3.2

Toán tN tuyen tính b% ch¾n trong không gian đ%nh
chuan

Đ%nh nghĩa 1.7. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng
P (P = R ho¾c P = C). Ánh xa A tù không gian X vào không gian
Y goi là tuyen tính neu A thóa mãn các đieu ki¾n:
i) A(x + xr) = Ax + Axr, ∀x, xr ∈ X
ii) Aαx = αAx, ∀x ∈ X, ∀α ∈ P
Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.8. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y. Toán tú
tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n neu
ton tai hang so c ≥ 0 sao cho:
" Ax "≤ c. " x ", ∀x ∈ X
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian
đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y. Hang so c ≥ 0 nhó
nhat thóa mãn :
" Ax "≤ c. " x ", ∀x ∈ X
đưoc goi là chuan cúa toán tú A, kí hi¾u là " A " .

1.4
1.4.1

Đao hàm Fréchet trong không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho X, Y là hai không gian đ%nh chuan, x0 ∈
X, h ∈ X và ánh xa f : X → Y.
Neu ton tai ánh xa tuyen tính liên tnc A : X → Y sao cho:
f (x0 + h) − f (x0) = Ah + α(h)
trong
đó:

lim
"h"→0

" α(h) "
"h"

=0

thì ta nói ánh xa f khá vi manh (hay khá vi Fréchet) tai điem
x0 , Ah đưoc goi là vi phân cna f tai x0 , kí hi¾u là df (x0 , h)).
Ánh xa f r (x0 ) : X → Y sao cho h ›→ df (x0 , h) đưoc goi là đao
hàm


cna ánh xa f tai x0.
Ta có: df (x0 , h) = f r (x0 )h
1.4.2

Tính chat

i) d(f + g) = df + dg
ii) d(λf ) = λdf, ∀λ ∈ R
iii) Đao hàm cna hàm hop
Giá sú f : X → Y, g : Y → Z, F = g ◦ f : X → Z, x0 ∈ X, y0
=
f (x0) ∈ Y
Neu f khá vi Fréchet tai x0, g khá vi Fréchet tai y0 thì F khá
vi Fréchet tai x0 và :
dF (x0, h) = g r (y0 ).f r (x0 )h = g r (y0 ).df
(x0, h) F r(x0) = g r (y0 ).f r (x0 )
Đ%nh lý 1.1. M®t toán tú đưoc đ%nh nghĩa trên m®t t¾p con mó cúa
m®t không gian Banach là khá vi Fréchet tai m®t điem thì nó liên tnc
tai điem đó.
Chúng minh. Cho A là m®t t¾p mó trong không gian Banach X,
toán tú f : A → Y . Lay x ∈ A và ε > 0 thóa mãn x + h ∈ A, " h
"< ε thì " f (x + h) − f (x) "=" Ah + φ(x, h) "→ 0 khi " h
"→ 0. Suy ra f liên tuc tai x.

Đ%nh lý 1.2. (Tính duy nhat cúa đao hàm Fréchet). Đao hàm
Fréchet cúa m®t toán tú (neu có) là duy nhat.


17

Chúng minh. Giá sú A, B là hai toán tú tuyen tính liên tuc, cùng là
đao hàm cna toán tú f : X → Y tai x, nghĩa là vói moi h ∈ X, ta
có:
f (x + h) − f (x) = A(x)(h) + φA (x0 , h)
f (x + h) − f (x) = B(x)(h) + φB (x0, h)
suy ra:
A(h) −

=

φA(x0, h) − φB
(x0, h)

→ 0 khi " h "→ 0

"h"

B (h )
"h"

Nhưng vói moi k ∈ X, moi ε > 0 ta có:
A(k) −
B (k )

= A(εk)−B(εk)
" εk "

"k"
khi ε → 0 thì εk → 0 nên ve phái phương trình này dan tói 0, suy ra
A(k) = B(k), ∀k ∈ X hay A ≡ B.

Đ%nh lý 1.3. Cho X, Y là nhung không gian Banach thnc. Neu g :
X → Y khá vi Fréchet tai x ∈ X và f : Y → Z khá vi Fréchet tai
y = g(x) ∈ Y thì φ = f ◦ g khá vi Fréchet tai x và:
φr(x) = f r[g(x)].gr(x)
Chúng minh. ∀x, h ∈ X ta có:
φ(x + h) − φ(x)
=
=
−

= f [g(x + h)] − f [g(x)]
f [g(x + h) − g(x) + g(x)] − f [g(x)]
f (d + y) − f (y), trong đó d = g(x + h)
g(x)


18

Do đó: " φ(x + h) − φ(x) − f r(y)d "= o(" d ") trong bieu
dien cna:
" d − gr(x).h "= o(" h ").
Suy ra:
" φ(x + h) − φ(x) − f r(y)gr(x)h "= o(" h ") +

o(" d ")
Khi đó g liên tuc tai x. Theo đ%nh lý 1.4 ta có " d "= o(" h "),
ra: suy
φr(x)h = f r[g(x)].gr(x)h

1.4.3

M®t so ví dn

Ví dn 1.1. Neu f : R → R thì đao hàm, vi phân Fréchet trùng vói
đao hàm và vi phân theo nghĩa thông thưòng.
Ví dn 1.2. Neu f : Rn → R, x0 = (x0, x0, ..., x0 ), h = (h1, h2, ...,
hn ) ∈
1

2

Rn thì vi phân Fréchet cna f tai x0 là:
.
0)
(x
∂f
∂f 0
df (x , hh) =
.
(x ),
n

n

h1 
∂f 0
(x ), ...,

0


.
(x0) 

∂f
=
i=1

∂xi

∂x

∂x

1

∂x

2

i

n



.. 
.

h2 

 

 
hn

.
Ví dn 1.3. Neu f : Rn → Rn, x0 = (x0, x0, ..., x0 ), h = (h1, h2, ...,
hn ) ∈
1

2

n


19

Rn, f (x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))
x0 là:
∂f1 0 ∂f1 0

(x )
(x ) . . .


∂x
∂x2
 1
∂f
∂f
2
 2
0
0
(x
) ..
(x
)
.
0

df (x , h) =

thì vi phân Fréchet cna f tai

 
(x0)
 h1
 
∂x
∂f2n

h2


(x0)
= A(x0)[h]
∂x1
∂x
∂xn
 

2
.
.
.

.
 . 
.
.
..

.
.
 . 
.
 ∂f

∂fn 0 
n
0 ∂fn
0
hn
(x )

(x ) . . .
(x )
∂x1
∂x
∂xn
2

∂f1


Chương 2
Tong quan ve phương pháp tNa
tuyen tính hóa
2.1

Phương pháp Newton - Raphson

2.1.1

Phương pháp Newton - Raphson đoi vái không gian
m®t chieu

Ta bat đau vói bài toán tìm m®t dãy xap xí nghi¾m cna phương trình
vô hưóng:
f (x) = 0
Ta giá sú f (x) đơn đi¾u giám và loi nghiêm ng¾t, nghĩa là f

(2.1)
rr

(x)

> 0. Giá sú nghi¾m phương trình là r thì nghi¾m r là đơn, f r(r)
ƒ= 0.

Lay x0 là xap xí ban đau cna nghi¾m r, vói x0 < r, (f

(x0) > 0) và giá sú xap xí f (x) bói m®t hàm tuyen tính cna x
đưoc xác đ%nh bói giá tr%, đ® l¾ch và đao hàm cna hàm so f (x) tai
x = x0 :
r
f (x) ∼= f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 )

20

(2.2)


21

Xap xí tiep theo thu đưoc bói vi¾c giái phương trình tuyen tính
bien x:
f (x0) + (x − x0 )f r (x0 ) = 0

(2.3)

Phép xap xí thú hai:
f (x0)
x1 = x0 −

(2.4)

0)

f

r (x

Quá trình này đưoc l¾p lai đoi vói x1, dan đen giá tr% x2, v.v... Công
thúc truy toán tong quát là:
f (xn)
xn+1 = xn −
vói:

f

(2.5)

n)

r

(x
x0 < x1 < x2 < · · · < r

(2.6)

Đieu này suy ra tù các bat đang thúc: f (xn) > 0, f r(xn) > 0.
Ta khang đ%nh
|xn+1 − r| ≤ k|xn − r|2

(2.7)

trong đó k không phu thu®c vào n, vói giá thiet hop lí cna f

rr

(x).

Đe thay đưoc đieu này, ta viet:
f (xn)
xn+1 − r = xn −
r (x

n

f )

−r

f (xn)
= xn −
−

.

n

f r (x )

= ϕ(xn) − ϕ(r),

r−

f (r)

.

f r (r)

(2.8)

f (x)
trong đó ϕ(x) = x−

r

f (x)

. Sú dung ba so hang đau tiên cna khai

trien
Taylor vói phan dư còn lai, ta đưoc: