Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lượng của một vài bán dẫn

MỞ ĐẦ U
1. Lí do chọn đề tài
Trong nửa cuối thế kỉ XX, loài người đã chứng kiến một cuộc cách
mạng bùng nổ trong lĩnh vực điện tử học bán dẫn. Trong đó các vật liệu bán
dẫn chiếm một vị trí hết sức quan trọng và đã đạt được những thành tựu to lớn
trong nhiều năm qua.
Công nghệ chế tạo vật liệu bán dẫn có lịch sử phát triển lâu dài, luôn
đổi mới và sáng tạo để tạo ra những vật liệu đáp ứng được những yêu cầu cần
thiết cho cuộc sống hàng ngày như: máy tính cá nhân, máy tính điện tử, điện
thoại di động… dưới dạng các linh kiện bán dẫn hay các vi mạch tổ hợp cho
phép thu nhỏ một cách đáng kể kích thước, khối lượng của các linh kiện cũng
như bản thân các thiết bị điện tử. Chính vì thế việc nghiên cứu các vật liệu
bán dẫn đặ c biệ t là cá c bá n dẫ n có dạ ng ti nh thể là v ấn đề quan trọng
trong nghiên cứu vật lí học hiện nay.
Tìm hiểu cấ u trú c vùng năng lượng của các bán dẫn có dạng tinh thể s
ẽ cung cấp cho chúng ta mộ t s ố kiến thức cơ bản nhất về vật liệu bán dẫn từ
đó giúp chúng ta có một cái nhìn tổng quan về vật liệu bán dẫn.
Xuất phát từ những lí do trên em đã mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu đề
tài: “Tìm hiểu về lý thuyết vùng năng lƣợng của một vài bán dẫn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu cấ u trú c vùng năng lượng của một vài bán dẫn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Mạng tinh thể.

-

Phương trình Schrodinger.

-

Hàm sóng điện tử trong tinh thể.

-

Cấu trúc vùng năng lượng của Si, Ge, hợp chất A B

III

1

V


4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các vật liệu bán dẫn đơn và đa tinh thể.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc sách và tra cứu tài liệu.


CHƢƠNG 1: MẠNG TINH THÊ
Chất bán dẫn là vật liệu trung gian giữa vật dẫn điện và vật cách điện.
Bán dẫn hoạt động như một vật cách điện ở nhiệt độ thấp và có tính dẫn điện
ở nhiệt độ phòng.
Đặc điểm nổi bật nhất của vật liệu bán dẫn là điện trở suất giảm khi
nhiệ t độ tăng , mỗ i loạ i vậ t liệ u bá n dẫ n đề u có mộ t khoả ng nhiệ t độ tớ
i hạ n , các linh kiện làm trên vật liệu bán dẫn cũng chỉ hoạt động tro ng dải
nhiệt độ này. Điệ n trở suấ t củ a củ a bá n dẫ n phụ thuộ c và o nồ ng độ tạ
p chấ t và sai
hỏng của mạng tinh thể bán dẫn

Chấ t bá n dẫ n đượ c xá c đị nh như nhữ ng chấ t có điệ n trở suấ t nằ
4

m giữ a điệ n trở suấ t củ a kim loạ i và điệ n môi, trong khoả ng từ 10 →
-8

-1

10 ( Ωcm)

Vậ t liệ u bá n dẫ n có rấ t nhiề u loạ i có thể có cấ u trú c tinh thể
hay vô đị nh hình, ở trạng thái rắn hay lỏng . Bán dẫn điển hình và được dùng
phổ biến là Silic, ngoài ra còn bán dẫn đơn chất khác như : Ge, Se, B, C …
Cá c bá n dẫ n nhiề u thà nh phầ n như: GaAs, InSb, GaP, GaSb…
Trong khuôn khổ đề tà i chủ yêu nghiên cứ u cấ u trú c vù ng năng
III

lượ ng của Silic, Ge và hợ p chấ t A B

IV

Mộ t yế u tố quan trọ ng quyế t đị nh bả n chấ t bá n dẫ n củ a cá c hợ p
chấ t vô cơ là cấ u trú c tinh thể
1.1. Mạng Bravais
1.1.1.Phép tịnh tiến
Trong vậ t rắ n tinh thể , các nguyên tử phân tử sắp xếp một cách đều


đặ n, tuầ n hoà n tron g không gian tạ o thà nh mạ ng tinh thể . Như vậ y mộ t
tinh thể lí tưở ng có thể xem như mộ t vậ t thể đượ c tạ o thà nh bằ ng cá ch

lặ p đi lặ p


lại vô hạn lần những đơn vị cấu trúc đồng nhất . Trong cá c tinh thể đơn giả n
nhấ t như tinh t hể củ a nhiề u kim loạ i (đồ ng, vàng, bạc, sắ t, nhôm), kim
loạ i kiề m và tinh thể khí trơ, đơn vị cấ u trú c chỉ gồ m mộ t nguyên tử ;
còn trong các tinh thể phứ c tạ p hơn như tinh thể cá c chấ t hữ u cơ , đơn vị
cấ u trú c có thể bao gồ m hà ng trăm nguyên tử hay phân tử .

Hình 1.1: Tinh thể hai chiề u. Vectơ tị nh
tiế n


 
R 3a b

Thí du : trong tinh thể hai chiề u trên hì nh 1.1, đơn vị cấ u trú c gồ m
2 nguyên tử khá c loạ i .
Việ c lặ p đi lặ p lạ i vô hạ n lầ n nhữ ng đơn v ị cấ u trú c nà y


trong không gian đượ c thự c hiên bằ ng cá ch tị nh tiế n mộ t vectơ R :

n2b




R n1a

(1.1)

Vớ i n1, n2 là những số nguyên tùy y.

 thì tinh thể lại trùng với chính nó ,
Khi tị nh tiế n tinh thể theo vectơ R

nói cách khác, điể m có bá n kí nh vectơ
có


r

hoàn toàn tương đương với điểm



bán kính vectơ r vớ i:


 
r r R

(1.2)



 nói trên được gọi là véc tơ tị nh tiế n cơ sở (gọi tắt là véc
Các vectơ a và tơ



b

cơ sở ), còn véctơ R đượ c gọ i là véctơ tị nh tiế n tinh thể .
1.1.2. Mạng không gian, gố c mạ ng và cấ u trú c tinh thể
khái

Để mô tả tí nh tuầ n hoà n củ a

tinh thể , năm 1848 Bravais đưa ra

niệ m mạ ng không gian. Tậ p hợ p tấ t cả cá c điể m có bá n kí nh véc tơ


r đượ c

xác định bởi công thức (1.2), tạo thành một mạng không gian gọi là mạng
Bravais: mỗ i điể m gọ i là mộ t nú t mạ ng.

(a)

(a)

(b)

Hình 1.2 (a) Mạng không gian va các mạng;
(b) Gố c mạ ng gồ m hai nguyên tử khá c loạ i.
Như vậ y, cấ u trú c tinh thể hai chiề u vẽ trên hì nh (1.2) có thể xem
như đượ c tạo thà nh bằ ng cá ch gắ n và o mỗ i nú t củ a mạ ng không gian

(hình 1.2a) mộ t nhó m nguyên tử , gọi là gốc mạng. Gố c mạ ng là đơn vị cấ
u trú c đồ ng nhấ t nói ở trên có thể bao gồm hai nguyên tử khác loại như hình
1.2b, hoặ c bao gồ m nhiề u nguyên tử cù ng loạ i, cũng như khác loại.
Vị trí nguyên tử thứ j trong gốc mạng đối với nút mạng mà nó được gắn
vào, đượ c xá c đị nh bở i véctơ:



r j x j a
 y jb

(1.3)


Như vậ y: mạng không gian + gố c mạ ng = cấ u trú c tinh thể .


1.1.3. Mạng Bravais trong không gian ba chiề u, ô cơ sở , ô nguyên tố .
1.1.3.1. Mạng Bravais
Trong tinh thể ba c hiề u ta luôn chọ n đượ c ba véc tơ  
, c (hình 1.3)

a ,b
sao cho khi dị ch chuyể n tinh thể theo véctơ





R n1a +

n3c
 n 2b

(1.4)

Hình 1.3. Mạng không gian ba chiều
với n1, n2, n3 là những số nguyên bấ t kì , thì tinh thể lại trùng với chính nó.
Nói cách khác, nhữ ng điể m có bá n kí nh véctơ
biể u thứ c:


r đượ c xá c đị nh bằ ng


 
r r R

hoàn toàn tương đương vớ i điể m có bá n kí nh véctơ



r . Phép dịch chuyển

R
nói trên gọi là phép tịnh tiến tinh thể.
Tậ p hợ p cá c điể m có bá n kí nh
gọ i là


r tạo thành mộ t mạ ng không gian

mạng Bravais, còn chính các điểm đó gọi là nút mạng.


1.1.3.2. Ô cơ sở
  
Ba véctơ a , , c nói trên gọi là các véctơ cơ sở , chiề u dà i củ a chú

b

ng

đượ c gọ i là hằ ng số mạ ng hay chu kì mạ ng . Hình hộp tạo bởi các véctơ
cơ sở gọi là ô đơn vị hay ô cơ sở.
Ô cơ sở là mộ t thể tí ch không gian có cá c tí nh chấ t sau:
+ Khi thự c hiệ n tấ t cả cá c phé p tị nh tiế n tạ o t hành mạng Bravais,
nghĩa là tất cả các phé p tị nh tiế n có dạ ng (1.4) thì tập hợp tất cả các ô thu
được từ ô ban đầ u sẽ lấ p đầ y toà n bộ không gian, không để lạ i mộ t khoả
ng trố ng nà o.
+ Mặ t khá c hai ô khá c nhau không thể có phầ n chồ ng chậ p lên
nhau , nói cách khác , chúng chỉ có thể có các điểm chung trên mặt phân cách
giữa chúng.
+ Ô cơ sở có thể tí ch


V=



a



(1.5)

b.c

Như vậ y cá c ô cơ sở khá c nhau đề u có mộ t tí nh chấ t chung là có
thể
tích như nhau và cùng chứa số nguyên tử b ằng số nguyên tử củ a nề n tinh
thể . Đây là tí nh chấ t xuấ t phá t ngay từ đị nh nghĩ a ô cơ sở .
1.1.3.3. .3. Ô nguyên tố
Có thể có nhiều cách chọn ô cơ sở . Các ô cơ sở mà các nút mạng chỉ
nằ m ở đỉ nh củ a hì nh hộ p gọ i là ô nguyên tố (hình 1.4a). Ô nguyên tố
có thể tích nhỏ nhất và trong mỗi ô chỉ chứa một nút mạng.


Các ô cơ sở có những nút mạng nằm ngoài đỉnh hộp , không phả i là ô
nguyên tố , các ô cơ sở loại này có thể tích lớn hơn ô nguyên tố (hình 1.4b).


Hình 1.4 (a) Ô nguyên tố lậ p phương
(b) Ô cơ sở lậ p phương tâm mặ t, trong đó chỉ rõ ô nguyên tố
Cũng có thể chọn ô cơ sở như thế nào đó , để nó thể hiện đầy đủ tính
chấ t đố i xứ ng củ a mạ ng Bravais . Chẳ ng hạ n như cá ch chọ n ô Wigner
-Seitz.

Hình 1.5. Cách xây dưng ô
nguyên tố Wigner-Seitz trong

Hình 1.6. Ô nguyên tố Wigner-Seitz
của mạng lập phương tâm

khối mạng hai chiều
Ô nà y trong mạ ng hai chiề u đượ c xây dự ng như sau

: Lấ y mộ

t nú t O trên mạ ng Brava is. Vẽ các đoạn thẳng nối O với các điểm lân cận
theo tất cả các phương. Sau đó vẽ cá c mặ t phẳ ng vuông gó c vớ i cá c đoạ
n thẳ ng nó i trên tại trung điểm của các đoạn này . Khoảng không gian giới
hạn bởi các mặt đó là ô nguyên tố Wigner-Seitz


1.2. Phân loạ i cá c mạ ng Bravais ba chiề u
Phân loại trên cơ sở tính đối xứng của hệ qua hình dạng các ô sơ cấp.
  

Ô sơ cấp: - Độ dài ba cạnh: a1, a2 , a3


a

- Ba góc tạo thành giữa ba cạnh , , 





Hệ
Tam tà (Triclinic)
Đơn tà (Monoclicnic)

Số mạng tinh thể

a
32




a1

Tính chất

1

a1 a2 a3 a1

2



a a a a

Đơn
Tâm thể

4

Trực giao
(Arthorhomlic)

1

2

3

1

90


0

Đơn
Tâm thể

a1 a2 a3 a1

Tâm

90
0

đáy
Tâm diện
Tứ giác (Tetragonal)

2

Đơn
Tâm thể

3
Lập phương (Cubic)

Đơn
Tâm thể
Tâm diện

Tam giác (Trigonal)

Lục giác (Hexagonal)
7 hệ

a1 a2
a3


a1 a2 a3


90

0

1

a1 a2 a3

1

90 ,
, 1200
a1 a2
a3
0

14 mạng

900 ,


1.3. Mạng đảo và vùng Brillouin
1.3.1.Mạng đảo

  

Mạng đảo là mạng được xác định từ ba véctơ b1 , b2 , vớ i
b3



2 
b1 
a2 , a3 
V


2 
b2 
a3 , a1 Véctơ cơ sở trong không gian mạng đảo.
V


2 
b3 
a1 , a2 
V
 
Các véctơ b1, b2, được gọi là véctơ cơ sở của mạng đảo tương ứng với

  

mạng thuận có các véctơ cơ sở a1, a2 , a3 .

 

V a1 a2 a3 là thể tích ô cơ sở mạng thuận.

Khi đó cá c nú t mạ ng đượ c xá c đị nh bằ ng véctơ mạng đảo:




G m1b1 m2b2
 m 3 b3

(m1, m2, m3 là những số nguyên)

*Quan hệ giữa mạng thuận và mạng đảo


+). aibi 2ij

+). Các véctơ bi có thứ nguyên nghịch đảo độ dài.
2 
bb
b



+). Thể tích ô sơ cấp mạng đảo



V
  
' 1 2 ,


+). Mạng lập phương ai //



3



3

V

với i= 1,2,3

bi

Mạng đảo cũng là mạng bravais.
1.3.2. Mặt phẳ ng mạng, các chỉ số Miller
Trong mạ ng không gian , đườ ng thẳ ng đi qua vô số cá c nú t mạ ng gọ
i là đườ ng thẳ ng mạ ng.


Mặ t phẳ ng có chứ a vô số nú t mạ ng gọ i là mặ t phẳ ng mạ ng
Mặ t phẳ ng chứ a ba nú t mạ ng là mặ t phẳ ng
p mạ ng.
n

a

3

a

2

a m
1

.


- Măt phẳng mạng cắt cả ba trục toạ độ theo toạ độ m, n, p.

1 1 1
, ,
- Nghịch đảo
m n p
- Tìm mẫu số chung nhỏ nhất là D.
D

- h 
m

D
D
, k  ,l 
n
p

- Chỉ số mạng tinh thể này là (h, k, l) gọi là chỉ số Miller.
- Trường hợp toạ độ âm thì dấu (-) được nằm trên đầu.

1.3.3. Vùng Brillouin
Ô sơ cấp của không gian mạng đảo:
- Lấy O làm gốc
- Nối một nút O bất kỳ của mạng đảo với các nút lân cận
- Qua trung điểm các đọan này dựng các măt phẳng thẳng góc với
chúng

- Đa diện nhỏ nhất có tâm O được gọi là vùng Brillouin thứ nhất
- Khoảng không gian giới hạn bởi các măt của của vùng Brillouin thứ
nhất đến các măt của đa diện kế tiếp là vùng Brilliouin thứ hai.
Thể tích mạng đảo là
* Các véctơ



(2)

3

V

có điểm ngọn nằm bên trong vùng Brillouin thì khác nhau ít

k

nhất một véctơ mạng đảo.
+) Mạng một chiều: Vùng Brillouin là các đoạn thẳng
-2π/a

-π/a

O
Vùng 1

+) Mạng 2 chiều: Hình vuông
+) Mạng 3 chiều: Đa diện

π/a

-2π/a



1.4.

Cấ u trú c tinh thể
Mạng Bravais cùng với tậ p hợ p cá c véctơ bán kính của tất cả các

nguyên tử trong ô cơ sở tạ o thà nh mộ t cấ u trú c tinh thể . Hầ u hế t cá c
bá n dẫ n thông thườ ng kế t tinh theo mạ ng tinh thể lậ p phương tâm mặ t.
1.4.1. Cấ u trú c kim cƣơng
Mạng không gian củ a cấ u trú c kim cương là mạ ng lậ p phương tâm
mặ t , gồ m hai mạ ng Bravais lậ p phương tâm diệ n lồ ng và o nhau . Nút
mạng nằm trên đườ ng ché o không gian củ a mạ ng kia và xê dị ch đi mộ t
đoạ n bằ ng 1/4 đườ ng ché o đó (hình 1.7)

Hình 1.7. Cấ u trú c kim cương
Mỗ i nguyên tử có 4 nguyên tử ở vị t rí lân cận gần nhất và 12
nguyên tử ở vị trí lân cận thứ hai.
Các tinh thể của các nguyên tố thuộc nhóm 4 trong bả ng tuầ n hoà n cá
c nguyên tố hó a họ c như cacbon (C), silic (Si), giecman (Ge), thiế c (Sn) có
cấu trúc kim cương vớ i cá c hằ ng số mạ ng tương ứ ng là : 3,56; 5,43; 5,65;
0

và 6,46 A .
1.4.2. Cấu trúc kẽm Sunfua lậ p phƣơng (sphalerite) và vuazit (wurtzite).
Cấ u trú c kẽ m sunfua lậ p phương, gầ n giố ng cấ u trú c kim cương.

Mạng không gian là mạng lậ p phương tâm mặ t . Gố c mạ ng gồ m
hai nguyên tử khá c loạ i : nguyên tử Zn nằ m tạ i vị trí 0 0 0 , nguyên tử S
nằ m ở vị trí 1/4 1/4 1/4 (hình 1.8a).


sau:

Trong mộ t ô cơ sở có 4 nguyên tử Zn và 4 nguyên tử S nằ m ở cá c
vị trí
Zn: 0 0 0; 0 1/2 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0.
S: 1/4 1/4 1/4; 3/4 3/4 1/4; 1/4 3/4 3/4; 3/4 1/4 3/4.

Hình 1.8a. Cấu trúc kẽm Sunfua
ZnS lập phương

Hình 1.8b. Cấ u trú c
vuazit

Mộ t số tinh thể có cấ u trú c tương tự như trên là GaAs, InSb, GaP
…
1.4.3. Cấ u trú c loạ i muố i ăn:
Ngoài hai loại cấu trúc trên thì cấu trúc muối ăn cũng là một loại cấu
trúc cũng bắt găp trong vật liệu bán dẫn.
Bao gồ m hai loạ i nguyên tử khá c nhau có số lượ ng bằ ng nhau nằ
m xen kẽ trên các nút mạng của mạng lập phương đơn, do đó vớ i mỗ i
nguyên tử có 6 nguyên tử loạ i khá c nằ m ở cá c nú t lân cậ n gầ n n hấ t.
Các nguyên tử thuộc mỗi loại nằm ở các nút của m ột mạ ng lậ p phương
tâm diệ n , hai mạ ng nà y lồ ng vào nhau, mạng nọ xê dịch đi so với mạng
kia một đoạn bằng vecto cơ sở của mạng lập phương đơn ban đầu.

Hình 1.9. Cấu trúc muối ăn
Như vậy, trong chương 1 em đã trình bày về cấu trúc tinh thể của vật
rắn thông qua những khái niệm cơ bản như: mạng Bravais, phân loại mạng
Bravais cũng như ô cơ sở, mạng đảo và vùng Brillouin. Ngoài ra còn đưa ra
một số cấu trúc tinh thể thường gặp của các bán dẫn.
Để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của bán dẫn thì một trong
những cách tiếp cận là đi giải phương trình Schrodinger. Trong chương 2 ta sẽ
đi tìm hiểu về phương trình Schrodinger cũng như một số phương pháp giải
gần đúng phương trình Schrodinger để tìm năng lượng và hàm sóng của điện
tử trong tinh thể.


CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER VÀ HÀM SÓNG
ĐIỆN TỬ TRONG TINH THÊ
2.1. Phƣơng trì nh Schrodinger đố i vớ i tinh thể lí tƣở ng.
Vậ t rắ n đượ c cấ u taọ từ cá c nguyên tử , nghĩa là từ các hạt nhân
nguyên tử và cá c electron . Trạng thái dừng của vật rắn được mô tả bởi hàm
sóng

ψ


phu thuộc vào tọa độ của các hạt trong tinh thể , các electron ( r i ) và các hạt


nhân ( R ).

 
(ri , R)

(2.1)

Hàm sóng là nghiệm của phương trình Schrodinger
Hˆ E

(2.2)

Trong đó toá n tử Hamilton Hˆ phải bao gồm tất cả các dạng năng
lượng
ˆ ˆ
ˆ
ˆ U
H Te U
 eˆ
e
ˆ
T

(2.3)

ˆ

Ơ đây Te là toán tử động năng của các electron
ˆ
T là toán tử động năng của hạt nhân

Uˆ e là toán tử thế năng của các electron
Uˆ  là toán tử thế năng của hạt nhân.
2

2
2
Z  e2
ZZ
Hˆ 


1
e
1



2


i
r R


e

4



0
i







i,
2
2 
i
ij


40 rij
(2.4)
40
2m
2M 
R



Trong đó : Z là điệ n tí ch củ a hạ t nhân
m và Mα là khối lượng của electron và hạt nhân


ε0 và ε là hằng số điện môi của chân không và của tinh thể
Δ là toán tử Laplace xiên
Chỉ số i, j thuộ c về electron
Chỉ số α, β thuộ c về hạ t
nhân

Thự c chấ t đây là bà i toá n nhiề u vậ t , vì số biến số độc lập trong
phương trình Schrodinger bằng số hạt trong một đơn vị thể tích tinh thể (23

-3

10 cm ) nên bà i toá n nà y khôn g thể giả i mộ t cá ch chí nh xá c mà chỉ
có thể giả i mộ t cách gần đúng.
Mộ t trong cá c phương phá p là m đơn giả n là đưa bà i toá n nhiề u
hạ t về bài toán một hạt.
Trướ c hế t ta xé t phép gần đúng đoạn nhiệt . Bản chất của phép gần
đú ng đoạ n nhiệ t nà y như sau : vì khối lượng của electron rất nhỏ so với
khối lượ ng củ a hạ t nhân (m << Mα) nên electron chuyể n độ ng nhanh hơn
hạ t nhân rấ t nhiề u . Khi đó có thể coi hạ t nhân đứ ng yên so vớ i vị trí tứ
ct

hờ i củ a electron. Nói cách khác , ta có thể coi

electron chuyể n độ ng trong trườ ng thế của các hạt nhân đứng yên . Trong
trườ ng hợ p nà y chuyể n độ ng củ a electron
và hạt nhân là độc lập nhau , vì vậy hàm sóng của tinh thể được co i là tí ch củ
a
hàm sóng của electron khi hạt nhân đứng yên
nhân


a
(R)

 



e (ri
,
R).(R)

 
và hàm sóng của hạt
e
(ri , R)

(2.5)

Thay (2.5) vào phương trình Schrodinger (2.2) và phân tích Hamilton
Hˆ thành hai phần: ứng với hạt

nhân hai phương trì nh:
Đối với hạt nhân:


H và ứng với electron Hˆe , ta nhậ n đượ
ˆ
c



ˆ
H (R)
 E(R)

Đối với
electron:


(2.6)

 
 
ˆ
He (r
e i
 , R
ê )e E
i

 (r , R )
Khi đó nghiệ m củ a phương trì nh (2.2)
là:
e

E Ee E

(2.7)

(2.8)