Tìm hiểu mô hình lạm phát trong vũ trụ học

b® giáo d±c và đào tao
trưèng đai hoc sư pham hà n®i 2

Lu¾n văn thac sĩ khoa hoc v¾t chat

nguy›n thi hong khuyên

Tìm hi›u mô hình lam phát cúa vũ tr±
hoc

lu¾n văn thac sĩ khoa hoc v¾t chat

Hà N®i - 2013


b® giáo d±c và đào tao
trưèng đai hoc sư pham hà n®i 2

nguy›n thi hong khuyên

Tìm hi›u mô hình lam phát cúa vũ tr±
hoc

Chuyên ngành : V¾t lí lí thuyet và V¾t lí
toán Mã so: 60.44.01.03
Lu¾n văn thac sĩ khoa hoc v¾t chat

Cán b® hưáng dan khoa hoc: TS. Đo Th% Hương


Tìm hi›u mô hình lam phát cúa vũ tr±

hoc

Ngày 28 tháng 12 năm 2013


Mnc lnc
Lài cám ơn

3

Lài cam đoan

4

Lài nói đau

5

0.1

Lí do chon đe tài . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.2

Muc đích nghiên cúu . . . . . . . . . . . . . . . .

7

0.3

Nhi¾m vu nghiên cúu . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Đoi tưong và pham vi nghiên cúu . . . . . . . . .

8

1.5

Phương pháp nghiên cúu . . . . . . . . . . . . . .

8

0.6

Giá thiet khoa hoc . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1 Mô hình vũ trn hoc chuan
1.1

1.2
1.3

9

Lý thuyet tương đoi . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Phép bien đoi toa đ® tong quát . . . . . .

9

1.1.2

D%ch chuyen song song và đao hàm hi¾p
bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Tensor đ® cong và đ® cong vô hưóng . . . . . . .

11

1.2.1

Phương trình Einstein . . . . . . . . . . .

13

Mô hình vũ tru chuan hoc . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1

Các nguyên lý cơ bán cna vũ tru

. . . . .

17

1.3.2

Metric Robertson Walker . . . . . . . . . .

17

1.3.3

Mô hình vũ tru chuan hoc. . . . . . . . . .

21

1


2

Mô hình lam phát

41

2.1

Lich sú phát trien cna các mô hình lam phát

. .

41

2.2

Cơ só đ®ng hoc cna quá trình lam phát . . . . . .

42

2.3

Cơ só thnc nghi¾m . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4

Moi liên h¾ giua tham so thnc nghi¾m và lý thuyet.

44

2.5

Vũ tru se giãn nó theo quy lu¾t hàm mũ vói the
năng cna trưòng vô hưóng thóa mãn đieu ki¾n
cu®n
ch¾m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Mô hình lam phát cái tien . . . . . . . . . . . . .

50

2.6

Ket lu¾n

55


Lài cám ơn
Lòi đau tiên tôi xin gúi lòi cám ơn tói Trưòng Đai hoc Sư Pham
Hà N®i 2 đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi nhat đe tôi hoàn thành
khóa hoc cna mình. Qua đây tôi xin bày tó lòng biet ơn tói toàn
the các thay cô trong nhà trưòng đã giáng day, chí báo t¾n tình
trong quá trình tôi hoc t¾p tai trưòng.
Tôi xin gúi lòi cám ơn tói toàn the các thay cô trong To
V¾t lí lí thuyet khoa V¾t lí Trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i
2 đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi nhat đe tôi hoàn thành lu¾n
văn cna mình. Đ¾c bi¾t, tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac
nhat tói cô giáo TS. Đo Th% Hương, ngưòi đã trnc tiep chí báo
và hưóng dan tôi t¾n tình trong suot quá trình thnc hi¾n lu¾n

văn.
Cuoi cùng tôi xin đưoc cám ơn gia đình, ban bè, các đong
nghi¾p, nhung ngưòi đã luôn ó bên đe giúp đõ và chia sé nhung
khó khăn vói tôi trong suot thòi gian hoc t¾p hoàn thành lu¾n
văn cna mình.
Hà N®i, tháng 11 năm 2013
Tác giá
Nguyen Th% Hong Khuyên


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan rang so li¾u và ket quá nghiên cúu trong
lu¾n văn này là trung thnc và không trùng l¾p vói các đe tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rang các thông tin trích dan và sn giúp
đõ trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc.
Tác giá
Nguyen Th% Hong Khuyên


Má đau
1.1

Lí do chon đe tài

Thuyet tương đoi r®ng (GR) [1, 2]đã đưoc chap nh¾n r®ng
rãi như môt lý thuyet cơ bán đưoc mô tá bói tính chat hình hoc
cna không thòi gian. Mô hình vũ tru chuan hoc dna trên cơ só
cna lý thuyet tương đoi r®ng và giá thiet không gian vũ tru là
đong nhat và đang hưóng. Mô hình vũ tru chuan đã xác nh¾n
vũ tru chúng ta đang song đã trái qua 15 nghìn tí năm ke tù

khi mói sinh ra. Thòi điem ban đau khi mòi hình thành, vũ tru
ton tai trong m®t nen nhi¾t đ® và m¾t đ® v¾t chat là vô han.
Cùng vói sn giãn nó nhanh cna vũ tru đã làm cho m¾t đ® v¾t
chat và nhi¾t đ® nen cna vũ tru giám rat nhanh. Lý thuyet
mô tá mô hình vũ tru chuan hoc thnc sn có ý nghĩa và đưoc
sn quan tâm r®ng rãi khi các tiên đoán ve búc xa nen cna vũ tru
tai thòi điem hi¾n tai là hoàn toàn phù hop vói khám phá thnc
nghi¾m [5]. Tuy nhiên,đen cuoi nhung năm 70, khi v¾t lý hat
cơ bán phát trien, lý thuyet mô tá vũ tru lai g¾p nhung khó khăn
khi so sách vói lý thuyet cna v¾t lý hat cơ bán ve các van đe
như phân cnc tù, van đe hap dan... Hơn nua, mô hình vũ tru
chuan hoc còn g¾p nhung khó khăn cơ bán khi giái thích các
van đe ve vũ tru phang, van đe đưòng chân tròi... Tuy nhiên tat
cá các van đe này đeu có the giái quyet trên vien cánh lam phát
trong vũ tru. Vien cánh lam phát trong vũ tru giái quyet các
khó khăn trên cna mô hình vũ tru chuan hoc đã đưoc nghiên
cúu rat ky trong các tài li¾u [7, 8]. Vien cánh lam phát trong vũ
tru dna trên ý tưóng vũ tru tai thòi kỳ đau, nó giãn nó rat
nhanh vói h¾ so giãn nó phu thu®c vào thòi gian theo hàm so
mũ vói h¾ so dương. Sn giãn nó nhanh đã tao ra vũ tru là
phang, đong nhat, đang hưóng như hi¾n tai. Hơn


nua sn mó r®ng nhanh trong vũ tru đã tao ra m¾t đ® đơn cnc tù,
m¾t đ® hap dan giám nhanh và tao ra m®t m¾t đ® vô cùng nhó
đe tron thoát khói thnc nghi¾m cna chúng ta.
Đe xây dnng lòi giái cna vũ tru lam phát chúng ta có the xây
dnng dna trên các quan điem sau đây.
• Cách đơn gián nhat đe có lòi giái vũ tru giãn nó theo hàm
so mũ là chúng ta can có m®t dang v¾t chat mói trong vũ

tru thóa mãn đieu ki¾n P = ωρ vói ω < 0. Đieu ki¾n này
có nghĩa là vũ tru có the b% thong tr% bói năng lưong tao
nên
hang so vũ tru, ω = −1. Trong trưòng hop này, lòi giái
cna
phương trình Einstein tao ra vũ tru giãn nó theo hàm so mũ.
Tuy nhiên, neu chúng ta giá thiet thòi kỳ đau, năng lưong vũ
tru đã b% chiem đóng bói dang năng lưong có nguon goc tù
hang so vũ tru thì chúng ta se không chí ra đưoc thòi điem
nào mà lam phát vũ tru ket thúc.Tuy nhiên, sn tăng toc cna
Vũ tru ó giai đoan can thiet phái ket thúc và noi tiep bói
giai đoan búc xa thong tr% Vũ tru. Chính vì v¾y, hang so
Vũ tru là không phù hop cho giai đoan đau tăng toc Vũ tru.
Chúng ta can xây dnng các cơ che cho quá trình lam phát
sao cho phù hop vói thnc nghi¾m.
• Chúng ta mó r®ng lý thuyet tương đoi r®ng dna trên vi¾c mó
r®ng Lagrangian mô tá hap dan cna Einstein. Lagrangian mô
tá hap dan có the là hàm phi tuyen cna tensor đ® cong R.
Túc là, Lagrangian mô tá trưòng hap dan có dang L = f
(R). Công vi¾c này đưoc thnc hi¾n đau tiên bói
Starobinsky. Tuy nhiên, khi làm vi¾c vói lý thuyet f (R) thì
lý thuyet hap dan tró lên phúc tap.
• Chúng ta có the xây dnng ý tưóng lam phát dna trên quan
điem cna v¾t lý hat cơ bán. Cu the, chúng ta giá thiet thòi
kỳ đau, năng lưong cna vũ tru đưoc mô tá thông qua the
năng
cna vô hưóng. Năng lưong chân không cna the vô hưóng se
đám báo lòi giái vũ tru đưoc tăng toc. Ket hop vói đieu ki¾n
cu®n ch¾m cna the, chúng ta có the đưa ra h¾ quá: Quá trình

lam phát Vũ tru ket thúc. Cu the là: Sau khi lam phát, thì
m¾t đ® năng lưong cna trưòng vô hưóng se chuyen thành


nhi¾t năng và làm nóng lai vũ tru và vũ tru se tien trien tiep
theo như sn tiên đoán trong mô hình vũ tru chuan hoc.
Trong lu¾n văn này, chúng tôi se t¾p trung vào tìm hieu cơ che
lam phát cna vũ tru dna trên quan điem cna v¾t lý hat cơ bán.
Cu the, n®i dung cna lu¾n văn se đưoc bo cuc như sau:
• Trong chương 1, tôi se trình bày ve hình thúc lu¾n cna lý
thuyet RG. Dna trên lý thuyet RG, tôi se tìm kiem metric
thóa mãn đieu ki¾n Vũ tru là đong nhat và đang hưóng và
đang giãn nó se đưoc nghiên cúu. Các lòi giái cna ve sn giãn
nó cna Vũ tru trong mô hình Vũ tru chuan hoc se đưoc trình
bày.
• Trong chương 2, chúng tôi se nghiên cúu ve cơ che xây dnng
vien cánh lam phát dna trên quan điem v¾t lý hat cơ bán. Cu
the chúng tôi se kháo sát mô hình lam phát đơn gián nhat,
mô hình này chúng ta chí can đưa vào m®t trưòng vô hưóng
vói các đieu ki¾n cnc tieu the. Trên cơ só đó, chúng tôi se
đánh giá ưu điem và nhưoc điem cna mô hình này.
• Chương 3, chúng tôi se trình bay ve mô hình lam phát. Trong
mô hình lam phát cái tien, chúng tôi se sú dung hai trưòng
vô hưóng đe mô tá. Tù các đieu ki¾n đưa vào, chúng tôi se
chí ra các ưu điem và nhưoc điem cna mô hình này.
• Trong chương 4 , chúng tôi se tong ket lai các ket quá đã
trình bày trong lu¾n văn.
1.2

Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu quá trình lam phát trong vũ tru trên quan điem hat
cơ bán. Cu the:
+Mô hình lam phát co đien và tù đó thay đưoc các han che
+Mô hình lam phát cái tien và ưu điem cna mô hình
+Khóp ket quá lý thuyet và thnc nghi¾m


1.3

Nhi¾m vn nghiên cNu

Hieu mô hình vũ tru chuan hoc và mô hình lam phát. Trên cơ só
đó ta so sánh giua lý thuyet và thnc nghi¾m.
1.4

Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Giai đoan đau cna vũ tru (sát sau 10-43 giây ke tù vu no Bic
Bang).
1.5

Phương pháp nghiên cNu

+Lý thuyet tương đoi tong quát
+Lý thuyet trưòng lưong tú
1.6

Giá thiet khoa hoc

Tiep c¾n vói các mô hình ve lam phát. Trên cơ só đó, ta hieu
đưoc cách tiep c¾n giua mô hình lý thuyet và thnc nghi¾m.


Chương 1

Mô hình vũ trn hoc chuan
1.1

Lý thuyet tương đoi

Trong phan này, chúng tôi se tong quát các kien thúc cơ bán cna
thuyet tương đoi và vũ tru hoc dna trên bài giáng [10]. Cu the
phan kien thúc cơ bán đưoc li¾t kê như dưói đây.
1.1.1

Phép bien đoi toa đ® tong quát

Ta kháo sát phép
bien đoi tong quát tù h¾ toa đ® cũ xµ sang h¾
rµ
toa đ® mói x :
xrµ = xrµ(x),

(1.1)

xµ = xµ(xr)

(1.2)

Vi phân tuân theo quy lu¾t bien đoi
∂x µ
rµ
dx =
r dxν ,
(1.3)
ν
∂x
∂x µ rν
dxµ =
dx
(1.4)
rν
∂x
Đoi vói bien đoi Lorentz, đao hàm riêng
là hang so. Bien đoi
dx
∂xr
µ
ν
(1.3) và (1.4) có tính ngh%ch đáo
∂xrµ ∂xα
µ
∂xα ∂xrν

= δν

(1.5)

Quy lu¾t bien đoi cna toán tú vi phân như sau
∂
∂xν ∂
=
,
(1.6)
∂xrµ
ν
rµ
∂xrν
∂x
∂
∂x
∂
=
∂xµ
(1.7)
∂xµ ∂xrν
Ta đ%nh nghĩa trong phan trưóc, các vectơ hi¾p bien trong không
thòi gian bon chieu là bien đoi giong như đao hàm cna trưòng vô
hưóng dưói phép bien đoi Lorentz. Quy lu¾t bien đoi này đưoc
tong quát hóa cho trưòng hop phép bien đoi tong quát. Túc là
vectơ và tensor bien đoi như sau dưói phép bien đoi tong quát:
• Đoi tưong (object) bon chieu Aµ là vectơ phán bien d bien
đoi toa đ® tong quát neu nó bien đoi theo
µ

∂xr ν
rµ

A =
∂x ν
A
• Còn đoi tưong Bµ là vectơ hi¾p bien neu
∂xν
r
B
Bν
µ =
∂xrµ
Các tensor hang cao hơn có quy lu¾t bien đoi
∂xrα r
rαβ···λ
∂x
∂xr µν···κ
A
=
β

∂xµ
và

∂xµ
r
Bαβ···λ
=

(1.10)

∂xκ

· · · rλ Bµν···κ
∂xrα ∂xrβ
∂x
tương úng, là nhung tensor phán bien và hi¾p bien.
1.1.2

(1.9)

λ

· · ∂xκ
ν
∂x
A
·
∂xν

(1.8)

(1.11)

D%ch chuyen song song và đao hàm hi¾p bien

Như ta biet khi tính đao hàm cna m®t vectơ thì chúng ta phái
quy ve cùng m®t toa đ® không gian. Tuy nhiên trong không gian
phang khi chúng ta d%ch chuyen song song vectơ ve cùng m®t


điem thì vectơ không b% thay đoi nhưng trong không gian cong

khi chúng ta thnc hi¾n song song m®t vectơ tù điem này sang


điem kia thì vectơ sau khi dich chuyen se b% thay đoi. Đây chính
là lý do đe đưa ra khái ni¾m ve d%ch chuyen song song .
Có rat nhieu cách tiep c¾n đe đưa ra bieu thúc cna d%ch chuyen
song song [10], tuy nhiên trong lu¾n văn này, tôi không đi sâu
vào các cách tiep c¾n đó mà tôi công nh¾n ket quá và tù đó tìm
hieu ý nghĩa cna hình hoc và hap dan. Cu the, khi d%ch chuyen
song song vectơ doc theo đưòng cong ta có sn khác bi¾t giua vectơ
trưóc khi d%ch chuyen và sau khi d%ch chuyen khác bi¾t như sau:
∂xν ∂2yα
δAµ
=

β

ν

Γµβ

β

Aν = Γµβ
dx

∂yα ∂xµ∂xβ
dx

vói

ν

(1.12)

2 α

ν

≡ ∂x

Aν

∂y

∂y α ∂xµ∂xβ

.

(1.13)

Đai lưong Γνµ goi là h¾ so liên ket không gian giua hai điem
β
cna không gian.
Nó đưoc goi là liên thông và Affine (hay chí so
Christoffel) và nó phu thu®c vào tính chat cna không gian cong.
Do đó, đe lay đao hàm cna trưòng vectơ, ta phái d%ch chuyen
song song Aµ(x) tù x tói x + dx trưóc khi thnc hi¾n phép trù.
Khi đó, ta thu đưoc
lim Aµ(x + dx) − Aµ(x) −

dx→0

= lim
dx→0
∂Aµ

dxν

α
− µ Aα
Γ ν
Đây chính là đao hàm hi¾p bien

=

1.2

dxβ

δAµ(x)
dxν
Aµ(x + dx) − Aµ(x)
−
Γ

α
µβ

A
α

∂xν

Tensor đ® cong và đ® cong vô hưáng

dxν
(1.14)


Chúng ta d%ch chuyen vectơ tù v% trí x đen v% tr% x+dx có the
theo nhieu con đưòng khác và ket quá đao hàm hi¾p bien lay
theo hai hưóng khác nhau là hoàn toàn khác nhau. Cu the, chúng
ta kháo


sát sn khác nhau cna đao hàm hi¾p bien lay theo hai hưóng khác
nhau. Xét h¾ thúc giao hoán cna đao hàm hi¾p bien [Dµ, Dν ]:
[Dµ, Dν ]Aβ = Aβ;µ;ν − Aβ;ν;µ
Sau khi thay các đ%nh nghĩa đao hàm hi¾p bien vào h¾ thúc trên,
chúng ta bien đoi theo quy lu¾t tensor, chúng ta thu đưoc ket
quá.
α
[Dµ, Dν ]Aβ = R
µν Aα,

(1.15)

β

trong đó

Rα

α

α

βµν

σ

α

σ

α

= −Γβµ,ν + Γβν,µ + Γβν Γσµ − ΓβµΓσν

(1.16)

Đai lưong đưoc đ%nh nghĩa trong phương trình (1.16) đưoc goi là
tensor Riemann. Đai lưong này đ¾c trưng cho đ® cong cna không
gian.
Chúng tôi muon nhan manh, xét khoáng không gian vô cùng
nhó thì không gian đưoc coi như gan phang (không gian như
v¾y goi là không gian thuan chnng Riemann), khi đó tensor
metric không thay đoi, nên đao hàm hi¾p bien cna nó bang
không. Do đó ta có:
∂gµν
β

∂xνβ
∂g
µ
∂xβµ
∂g

∂xνβν
∂g
⇒
+
⇒

∂x
Γα

µν

α

α

= gαν Γβµ + gµαΓβν
α

α

= gαβ Γµν + gναΓµβ
α

α

= gαµΓµβ + gβαΓνµ
∂gβ
∂gµν
µ

∂xν
−

µ

1
∂gνβ
= gαβ (
∂x
µ
2

∂xβ

α

= 2gαβ Γµν

+ ∂gβµ − ∂gµν
∂x
ν

∂xβ

M®t so tính chat cúa tensor đ® cong Riemann:

)

(1.17)


• Tính phán xúng:
Rσ

σ

λνµ = −Rλµν


Chúng minh:
Sú dung đieu ki¾n đoi xúng Γµν =
ρ Γ
ρ
o
Rσ
σ

λνµ

µ
σ
ν

σ

ρ

σ

= ∂ν Γµλ − ∂µΓνλ + ΓµλΓνρ − ΓµλΓρν
ρ
= −(∂ν µ − ∂µΓσν ) − (Γµ Γσρ −
λ
λ
ν
λ
Γ
Γσ

ρ
σ
νλ Γµρ )

(1.18)

σ

•

=
λµ
−R ν
σ
σ

Tính chat hoán v% vòng
Rσ + R
λνµ
µλν + Rνµλ = 0

•

Tính chat đoi xúng và phán đoi xúng cna Rρλνµ

Co chí so đau và chí so cuoi cna tensor Riemann, ta đưoc
tensor Ricci Rβµ, ta de dàng chúng minh đưoc Rβµ đoi xúng
theo β và
µ
Ngoài ra ta có đ® cong vô hưóng đưoc đ%nh nghĩa :
R = gβµRβµ
Tù các tensor Riemann và phương trình Einstein, ta tính đưoc
các thành phan cna metric gµν , tù đó suy ra bán kính đ®
cong a(t) mô tá trang thái và dn đoán tương lai cna vũ tru.
Trang thái và tương lai cna vũ tru phu thu®c hoàn toàn gµν
, và gµν có the đưoc tính qua các chí so liên ket không thòi gian
và ngưoc lai, đong thòi tensor metric thóa mãn đieu ki¾n gµν;α
= 0, hình hoc thóa mãn đieu này goi là hình hoc Riemann.
Như v¾y, tensor metric gµν quyet đ%nh tính chat hình hoc cna
không thòi gian. Tuy nhiên yeu to nào gây nên sn cong cna không
gian? Đieu này se đưoc trình bày trong phan tiep theo.
1.2.1

Phương trình Einstein

Xét tác đ®ng:

¸


√
d4x −gR + SM
¸
√
√
δS = d4x[δ( −g).R + −g.δR] + δSM
S =

√
−δg
δ −g = √
2 −

vói:

Tínhδ
g Ta

1 δ(detg ) = gµν δg
µν
µν

(1.19)

có
detgµν
Mà detgµν = g nên:

1
δg = gµν δgµν
g
µν
µν
δg
µν δg
√ = g.g .δgµν = −g.g
δ 1−g
δgµν
√ =
− −g.g
2

Tính δR

(1.20)

µν

δR = δ(gµν .Rµν )
= δg µν .Rµν + gµν .δRµν

(1.21)

Tính
δRµν
Ta có:

δRµν = δRµνσ

σ

= δ(∂ν Γσσ − ∂σΓνσ )
=
M¾t
khác:

σµ
∂ν (δΓσµ)

−

µ α
∂σ(δΓνµ)

(1.22)


λ

δΓ
µν

= 1
−
δgα + .
δgµν )
gλα(∂µ
∂
α

ν
∂ν gαµ
2
αλ
−δg Γαβν
1 λα
= g (δgαν;µ + δgαµ;ν − δg )
2

(1.23)

µν;α

Túc là δΓµλ , hay δRν có các thành phan là m®t đao hàm
ν hi¾p
bien.
Ta có:
¸

1√
√
d4x[ 2 −g.gµν δgµν .R −g.δgµν Rµν ]
+
−

δSH
=

¸

√
d4x. −g.gµν .δRµν

+
Tích phân I =

¸

(1.24)

√
d4x. −g.gµν .δRµν = 0 do tích phân cna

m®t
đao hàm hi¾p bien lay trên toàn b® không gian là bang không.
1
¸
√
⇒ δSM
g R + Rµν )
(1.25)
4
d x. −gδgµν 2 µν
=
(−
Neu không ke đen tương tác hap dan thì Sϕ = 0 , khi đó:
δS = δSM
Theo nguyên lý tác dung toi thieu thì:
δS = 0
δSH = 0

1
− g µν R + Rµν = 0
2

(1.26)


1
g µν R − Rµν = 0
2
Đây là phương trình Einstein trong chân không.

(1.27)

Neu ke đen trưòng hap dan thì:
¸
√
δSM
d4xδ( −gLM )
=
=

¸

d 4 x[
=

δ(

√

−gLM )
δgµν
+
√
−gLM

¸

d4x[
¸

δ

µν

δgµν
√

d4x[

µν

δ
√

α

∂ (
−
= ¸

δ(
d 4 x[

δgµν
δLM

g

)
Tµν =

.√
[

8πG

g

√
1 δ( −gLM

1

−g

.gµν )]

−g.
.δ
δ(∂α.gµν )

(∂

+
δα

g α µν )δgµν ]
δ(∂ g )
√
−gLM ) µν
√
δgµν

Đ¾t:

α

δLM

√
δLM α(δgµν )]
+ −g
δ(∂ αg µν )
∂
g

−gLM

=

√

δgµν
(

√

δLM

( −g

δ(∂ α g µν )
)

α

−δ

δg

δLM

α

+δ
(

µν

−g

µν

δ(∂ αg µν )

)]δg (1.28)

√
δ( −gLM )

δ(∂αgµν )

)]

(1.29)

là tensor năng xung lưong cna trưòng hap dan, thì:
δSM = 8πG


¸

¸

√
µν
µ
d x2 −gT
µν δg
ν
4

δS =

√
d4x −gδgµν
1
[− g

R+
Rµν

(1.30)

+
] (1.31)
8πGTµν

Vói δS = 0 ta đưoc:
1
− g µν R + Rµν + 8πGTµν = 0
1 2
gµν R − Rµν = 8πGTµν
(1.32)
2
Đây chính là phương trình Einsteinn cho trưòng hap dan.
Phương trình này mô tá moi tương quan giua hình hoc và v¾t
chat. Ve trái cna phương trình là sn mô tá hình hoc và ve phái
cna phương trình là mô tá v¾t chat.

1.3
1.3.1

Mô hình vũ trn chuan hoc
Các nguyên lý cơ bán cúa vũ trn

Đe mô tá the giói thnc ta phái chap nh¾n tiên đe sau: Vũ tru
có không gian đong nhat (homogeneous), đang hưóng (isotopic)
nhưng nó ra theo thòi gian. Bó qua sn khác bi¾t ó khoáng cách
nhó, ta coi vũ tru ó khoáng cách lón như là chat lóng vói m¾tđ®
không đoi ó moi nơi.
1.3.2

Metric Robertson Walker

Đe tìm không gian mô tá vũ tru, túc là ta can tìm metric gµν . Vì
vây, trong phan tiep theo chúng tôi se tìm dang cna metric gµν
mô tá không gian vũ tru là đong nhat và đang hưóng và chúng
giãn nó đong đeu. Trong phan này, tài liêu tham kháo đưoc dna
trên tài li¾u [10], [11].
Ta nói ve h¾ toa đ® mà ta se sú dung - toa đ® đong chuyen
đ®ng (comoving coordinates). Toa đ® không gian chia sé chuyen
đ®ng nó đong dang cna v¾t chat trong vũ tru. Neu bó qua nhung
điem khác bi¾t nhó trong chuyen đ®ng cna các thiên hà (galaxy)
(sn d%ch chuyen đ%a phương so vói sn nó đong dang), ta có the
nói moi thiên hà có toa đ® không gian cna mình. Các điem toa
đ® chuyen đ®ng vói thiên hà khi thiên hà rơi tn do trong trưòng
hap dan cna vũ tru. Khoáng toa đ® (coordinate interal) giua hai
thiên hà bat kỳ luôn luôn không đoi và sn nó vũ tru là ket quá
không phái tù sn thay đoi v% trí toa đ® cna thiên hà mà là tù sn

thay đoi cna metric cna không thòi gian.
Vói toa đ® thòi gian x0, ta se sú dung thòi gian riêng đo bói
đong ho gan vói thiên hà. Ta còn giá thiet rang các đong ho này
chay như nhau và đong b®. Nghĩa là ngưòi quan sát A gúi tin tai
thòi điem t0 thì ngưòi quan sát B cũng gúi tin tai t0. Tin A đen
B khi đong ho ó đây chí tB . Tin B đen A khi đong ho ó đây chí
tA. Đong ho là đong b® (synchronized) neu tA = tB . Tat cá
ngưòi quan sát đ¾t đong ho ó zero tai Vu No lón (Big Bang).
Ta minh hoa toa đ® đong thòi gian bang hình ve.