Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm

1

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang cùng toàn thể
các thầy cô, cán bộ công nhân viên đang công tác và giảng dạy tại trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải – người thầy đã
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp
đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Học viên
Thân Thị Thanh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Văn Khải.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Học viên

Thân Thị Thanh

Mục lục


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích toán học và trong toán học tính toán, nhiều trường hợp ta
không thể tính đúng được phân tử x trong không gian X (thường thì X là
không gian véc tơ vô hạn chiều có trang bị chuẩn hoặc là tích vô hướng).
Khi đó người ta sẽ tìm cách tính gần đúng x và một trong những cách đó
được mô tả như sau:
i □ trong X .

Bước 1: Chọn một hệ véc tơ
x i  ,

Bước 2: Khai triển hình thức x theo hệ

x i  ,

i □ dưới dạng
(1)



x



Bước 3: Lấy

i xi
i0

N0 □ đủ lớn và
đặt
N0

(2)

x i xi
i0

Ta coi x ở (2) là gần đúng của x X và


 i xi

là sai số của x so với x .

iN0

Nếu hệ véc tơ xi i □ chọn ở trên “đủ tốt” thì sai số nêu trên đủ
nhỏ
,
khi N0 đủ lớn.
Để chính xác các khái niệm nêu trên, tôi đã chọn nghiên cứu và làm rõ các
khái niệm về tính đóng và đầy đủ (các véc tơ) và mối quan hệ của chúng trong
không gian X .
2. Mục đích nghiên cứu

Làm rõ khái niệm về tính đóng, tính đầy đủ (hai khái niệm nền tảng trong
tính toán của giải tích) và sự liên hệ giữa hai khái niệm này.
Luận văn cũng nghiên cứu tính đóng, tính đầy đủ một số hệ véc tơ đặc biệt


trong

L a,bhoặc C 0,1.
2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu


Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ của một hệ
véc tơ trong không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert.
Nghiên cứu mối liên hệ giữa các khái niệm này. Nghiên cứu một số trường
hợp cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là hai khái niệm: Tính đóng, tính đầy đủ trong
những không gian giải tích hàm trừu tượng.
Phạm vi nghiên cứu: Các không gian tuyến tính định chuẩn, không gian
tiền Hilbert và các trường hợp cụ thể
5. Phương pháp nghiên cứu

L  a,b  , C 0,1.
2

Dịch và đọc tài liệu. Phân tích tổng hợp và trình bày lại các khái niệm
đóng và đầy đủ theo phương pháp giải tích hàm.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống vấn đề tính đóng và tính đầy đủ.
Trình bày mối quan hệ về tính đóng và tính đầy đủ.


Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Trước khi nghiên cứu về tính đóng và tính đầy đủ, chúng ta cùng nhắc lại
một số kiến thức cơ sở.
1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn
Ta nhắc lại một số khái niệm về không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d: X x X □
được gọi là một khoảng cách (hay metric) nếu các tính chất sau đây được
thỏa mãn:
1,  x, y
X 

d (x, y)
 0,

d (x, y) 0 x y ;

2, ( x, y X ) d (x, y) d ( y, x) ;
3, ( x, y, z X ) d (x, y) d (x, z) d (z, y) (bất đẳng
thức tam giác).
Tập X với hàm khoảng cách d xác định như trên được gọi là không gian
metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian metric với hàm khoảng cách
d (x, y) .
Nếu

x0
tập U( x0,r ) bao gồm tất cả các phần tử x X
 thỏa mãn
X,

d x, x0  được gọi là một hình cầu mở tâm x bán kính r . Một phần tử
0
r
x
(S là tập mở) được gọi là phần tử trong của S nếu có một r 0 sao
 cho
S
U( x, r ) S .
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm
hội
tụ tới phần tử x
X

nế
u

xntrong không gian metric X được gọi là
lim d (x, xn ) 0 .
n


Khi đó ta nói x là giới hạn của dãy xnvà viết
lim x x .

n

n


Nhận xét: Một dãy hội tụ thì không thể hội tụ tới hai phần tử khác nhau.
Thật vậy, giả sử lim d (x, xn )
và lim d ( y, xn ) 0 , theo bất đẳng
0
thức
n
n

tam giác ta có 0 d (x, y) d (x, xn )
d ( y, xn )

với n 
ta được

d (x, y) 
0

do đó x y .
Định nghĩa 1.1.4. Một dãy các phần tử xncủa X được gọi là dãy
Cauchy
(cơ bản) nếu
 0,

m, n N () hay

d (xm , xn )
N

() :  
lim

m,n

d (xm , xn ) 0 .

Không gian X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều có giới hạn trong X .
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một tập khác rỗng, X được gọi là không gian
tuyến tính trên trường K (thực hay phức) nếu trên X tồn tại hai ánh xạ sau
đây mà chúng được gọi lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vô
hướng
X X
X

K X X

và

(, x)  .x

(x, y)  (x 
y)

sao
cho:

1, x y
y x

x, y X ;

2,
x ( y z)
(x y) z

x, y, z X ;

3, 0 X : x x X ;
 0 x
x (x) 0;
4, x X
(x) X :
().x 
 ( .x)
5,

,

K ,x X ;

6,

().x 
.x .x

, K ,x
X ;

.(x y) 

.x .y

K ,x, y X
;

7,

8,

1.x  x


x X .
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K= □ ,
K= □ ). Xét ánh xạ từ X vào tập số thực □ , ký hiệu là . thỏa mãn các
tiên đề sau đây:
1, ( x
X )

x
0,
x

2, ( x X ) (
K ),

0 x ;

x  x ;

3, ( x, y X ) x y x y .
Khi đó ánh xạ . được gọi là chuẩn xác định trên X. Không gian tuyến tính
X cùng với chuẩn xác định như trên được gọi là không gian tuyến tính
định chuẩn. Nếu K □ thì X được gọi là không gian tuyến tính định
chuẩn thực.
Với x, y thuộc không gian tuyến tính định chuẩn X đặt d (x, x  y
y) 
.
Ta thấy rằng hàm d: XxX □ là hàm khoảng cách và ta nói đó là
metric cảm sinh bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.1.7. Nếu trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi dãy
Cauchy có giới hạn thuộc X thì X là đầy đủ. Không gian tuyến tính định
chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1: Không gian Euclide phức □ n là đầy đủ. Do đó nó là không
gian Banach.
Thật vậy, lấy x (x (m) , x (m) ,..., x(m) ).
m

1

2

n

n

Nếu x mlà dãy Cauchy thì
xi

(m)

x



( p)

2

 m, p N ().

i

i1

(m)

Do đó, với i bất kỳ
xi
Suy ra với mỗi i ,
hạn

(p)


x

2

 m, p N ().

i

x là dãy Cauchy và có giới
( m)

i

lim x
x (x1 , x2 ,..., xn
Đặt ) thì:

x x

x (m)i 0.
i

m 

2

m



xi:



m N ().
'

n

x x
2
  i


2
(m)

i

i1

Ví dụ 1.1.2: Cho X là C  a,b tập tất cả các hàm số xác định và liên tục
trên  a,b với chuẩn
Chebyshev

f 
max

ax
b

f (x) . Không gian này là đầy đủ.

Nếu max
axb

fm (x)


fn (x)


trên  a,b  . Do đó nếu
hàm

m, n  thì dãy
N ()
điểm

fm (x)là hội tụ

f (x) C  a,b sao cho:

f (x)  f (x) 
n
,

a x
b,

n N ()
'

thì kéo theo f hội tụ tới f theo chuẩn.
n
Ví dụ 1.1.3: Cho X là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn a,b với
chuẩn
f

2

b

 f
(x)

2

dx thì X là không đầy đủ. Thật vậy, ta có thể chỉ ra

a

dãy Cauchy trong X nhưng không hội tới phần tử thuộc X .
Để đơn giản ta lấy a 1,

b 1
và xét

fn (x) định nghĩa bởi

1
1 x 


n
 1
fn
1
x

1n


(x) 
n

x
n

 1
x 1
 n

1 x 0
1
và f (x) là hàm không liên tục f (x) 
1 0 x 1.
Ta có
2
 2 0 (1
nx)
dx


f (x) f

Suy ra

1
n

2
(1 nx) dx  .
3
2

n





1

0

n

lim f 
fn

n

2

0 .

Suy ra f hội tụ theo chuẩn tới f và nó là dãy Cauchy. Nhưng nó không hội
n
tụ theo chuẩn đến một hàm liên tục

g(x) vì

f g  f   g fn .
fn
Nếu

g  fn

 0 thì


f g

0 .
Suy ra

0

(1 
g(x))

1

dx 0 và

2

g(x)  1 x 0
1
2
 (g(x) 1) dx 0 . Do đó 
0 x 1.
0
g(x) 1
g(x) không liên tục.
Vậy
1


Định nghĩa 1.1.8. Tập Y được gọi là không gian định
chuẩn con của không gian định chuẩn X nếu Y là không gian tuyến
tính con của không gian X và chuẩn xác định trên Y là chuẩn cảm sinh
từ chuẩn trên X .
Định nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K
là trường số thực □ hoặc trường số phức □ ). Ánh xạ A từ không gian X
vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện:
1, ( x, y
X )
2, (x
X )

A(x y) Ax Ay ;

(k
A(kx) kAx .
K
)

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y =K thì A được
gọi là phiếm hàm tuyến tính, nếu K □ thì A còn được gọi là phiếm
hàm tuyến tính thực.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X là không gian tuyến tính và Y là không gian con
tuyến tính. Cho L một là phiếm hàm tuyến tính xác định trên Y . Một hàm
tuyến tính L 1 được gọi là một mở rộng của L trên X nếu L 1 (x) là xác định
với x
và L 1 (x) L ( x ) với x Y .
X
Ví dụ 1.1.4: Cho X là không gian của các hàm xác định trên  a,b  . Cho
Y là không gian con của X gồm tập các hàm xác định và liên tục trên

a,b . Rõ ràng Y C a,blà không gian con thực sự của X . Với a
x1 b , xét
phiếm hàm L :Y □ xác định bởi L f ( x ). Xét phiếm hàm
( f )= lim
xx1

L1 : X □
xác định bởi

L1 (g) g

 x1 

g X .
Rõ ràng L,

L1 là hai phiếm

hàm tuyến tính, thử trực tiếp ta có L là một mở rộng của L trên X .
1
Định lý 1.1.1.

Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực và Y

là một không gian con tuyến tính (Y X ).
p(x) là một phiếm hàm giá
Cho
trị thực xác định trên các phần tử của X và thỏa mãn các tính chất dưới đây:


1, p(x) 0

x X ;

2, p(x y) p(x)
 p( y)
3, p(x) 
p(x)

x,
y X
;

x X ,

(1.1.1)

0.


Cho L là một phiếm hàm tuyến tính thực xác định trên Y và thỏa mãn
L(x) p(x)

x Y .

(1.1.2)

Khi đó L có thể mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính L xác định trên X
1
và thỏa mãn

L1 (x) p(x)

x X .

(1.1.3)

Chứng minh
1. Chọn

x0 X
nhưng

x0 Y . x, y Y . Khi đó
Lấy

L( y) L(x) L( y x) p( y x).
Vì p( y x) p( y x0 )  nên
p(x x0 )
p(x x0 ) L(x) p(
y  x0 ) L( y)

x, y Y

y cố định trong Y và x thay đổi trong Y ta có

 p(x x0 ) L(x)
trên. Tương tự cho y thay đổi, x cố định ta có
bị chặn
p( y x0 ) L( y) bị
chặn

dưới.
Nếu ta đặt

r1 sup  p(x x0 ) L(x) 
xY

r2 inf p( y x0 ) L( y)
yY

thì ta có r r . Chọn r r r . Khi đó

1
2
1
2
một số r sao cho
p(x x0 ) L(x) r
p( y x0 ) L( y)
2. Không gian con tuyến tính định chuẩn
y có dạng

x, .
y Y

Y0 bao gồm tất cả các phần tử

y x  x Y . Mỗi phần tử
trong
x0 ,

duy nhất ở dạng trên. Giả sử

y

Y0 ,

(1.1.4)

Y0 có một cách biểu diễn

y x1 1x0 x2 2 x0.

Khi đó
x
1


x2 (1 2 )x0 . Nếu
1 2 thì x0
và do đó

x0 Y . Điều này trái với điều
kiện của

có x1 x2 .
Xác định

sẽ là một tổ hợp tuyến tính của x1, x2

L1 trên
Y0

với

x0 . Do đó 1 2 và từ
đó ta


L1 ( y) L(x) r .
Nếu

y

 thì L1 ( y)
 
L( y),
Y,
0

y Y . Từ L là tuyến tính
kéo theo

L1 là

tuyến tính.
Ta sẽ chứng minh
y Y0 .

L1 ( y)
p( y)

(1.1.5)

Biểu diễn y dưới dạng

y x1 x0 . Chúng ta xét trường hợp
Từ (1.1.4) ta có
0 .
x1
x1
x1
x1
 p(

) x0 ) L(
).
 x0 ) L(





r p(
x ) (vì p tuyến tính) và bất đẳng
 
x
thức
p( 1 x )
Nếu
0 thì 1 p(x

thứ hai trở thành





0

1

0

1

r  p(x x ) 1 L(x )



1



0

1

L1 ( y) L(x1 ) r p(x1 x0 )
p( y) .
x
Nếu 0 thì p( 1

và bất đắng thức thứ nhất được
1
x
x )  p(x
)
viết lại thành



0



1

0

p(x1 x0 ) L(x1 ) r
L1 ( y) L(x1 ) r p(x1
x0 ) p( y) .

Vậy ta có L1 ( y)
p( y)

y Y0 .

3, Cuối cùng, xét tập hợp là tất cả các phiếm hàm tuyến tính được
mở rộng từ L trên một không gian con tuyến tính chứa Y và nó thỏa mãn
điều


kiện (1.1.5) . Trang bị cho tập này thứ tự
như sau:

'

''

L L
nghĩa là

''

L là mở

rộng của L' . Với sắp thứ tự này mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn  của
0

đều có cận trên đúng. Cận trên đúng này là phiếm hàm xác định trên tập
hợp các miền xác định của các phiếm hàm thành phần L' và trùng với từng L'
’

trên miền xác định của nó. Theo bổ đề Zorn s tồn tại một mở rộng cực đại L

1

trong toàn bộ . Phiếm hàm tuyến L1 này là xác định trên toàn bộ không
tính


gian X , vì nếu không, ta có thể mở rộng L bằng cách thực hiện bước 2. Vậy
1
L1 là hàm cần tìm.
Một phiếm hàm

p(x) thỏa mãn (1.1.1) được gọi là một phiếm hàm lồi.

Định nghĩa 1.1.11. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và L là
phiếm hàm tuyến tính trên X . Nếu tồn tại số
A L sup L(x) 
x 1

thì L là phiếm hàm tuyến tính bị chặn và số A  được gọi là chuẩn của

L phiếm hàm tuyến tính L.
Ta chú ý các tính chất sau của chuẩn
L(x)
1, L sup ;
x
x0
2, L(x)  L x .
Chú ý: Có thể thấy với phiếm hàm tuyến tính thì tính bị chặn và liên tục là
tương đương.
Định lý 1.1.2. (Hahn-Banach). Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn
thực và Y là không gian con. Cho L là phiềm hàm tuyến tính xác định trên Y
L . Khi đó có một phiếm hàm tuyến tính L1 là mở rộng của L
Y

và có
chuẩn
trên X
và

L1
.
Y

Đặt p(x)


X

L

L

Chứng minh

x . Phiếm hàm p(x) thỏa mãn (1.1.1). Thật vậy

Y

p(x) 0

x X .

p(x
L x L
p(x) 
y) 
y
p( y)
Y
L
k L 
kp(x)
p(kx)
Y
kx
x

k L x
Y

Y

Y

Theo định lý trước chúng ta có thể mở rộng L tới
L1 (x) L Y x

Vì

x, y X .
x X , k
0.

L1 sao cho:


x X .


x  L x

L1 (x) L1
(x) L Y

nên

Y

x .
L1 (x) 

LY

Tức là

L1 (x)

sup

 L .
Y

x

xX

Do đó
L1 L Y .
Hơn nữa
L(x)
L (x)
sup
sup1

L

Vậy

Y

xY

LY
L1

x
X

L L
.

L (x) 1
sup
 L

xY

xX

x

x

1 X

Y

1 X

.

Định lý mở rộng này cũng có giá trị trong không gian tuyến tính định
chuẩn phức. Để thiết lập nó, chúng ta sử dụng một phương pháp đơn giản là
kết hợp với mỗi không gian tuyến tính định chuẩn phức một không gian tuyến
tính định chuẩn thực duy nhất. Bằng cách đó, việc chứng minh định lý trở về
trường hợp thực.
Định nghĩa 1.1.12. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn phức.
Không
gian

X R bao gồm các phần của X . Phép cộng xác định trong X R là

phép cộng trong X . Nếu a là số thực và

(a i0)x ax , x
trong

X R bằng

x

XR

thì ax là phần tử của X với

x trong X . Nếu L là phiếm hàm

tuyến tính phức và bị chặn xác định trên X thì với LR chúng ta sẽ có phiếm
hàm giá trị thực xác định trên

X R bởi biểu thức

LR (x) Re
x bên trái là phần tử của X R

L(x) .

, x bên vế phải là phần tử của X .

(1.1.6)


Bổ đề 1.1.1. Nếu L là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X thì LR là
một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên

XR.


Chứng
x, y
Lấy X minh và a, b là số thực
R

LR (ax by) Re L(ax by)
ReaL(x) bL( y)a Re L(x)
b Re L( y)
aLR (x) bLR ( y) .

Do đó
LR

là tuyến tính trong X R .

Hơn nữa
LR (x) Re
L(x) 

Do đó
LR

L(x)


L x

L x


XR

.

(1.1.7)

X

bị chặn trên X R và LR L .

Bổ đề 1.1.2. Nếu L là một phiếm hàm tuyến trên X thì
L(x) LR (x) iLR (ix) .
Ngược lại nếu là một phiếm hàm tuyến

tính trên

X R , thì phương trình
(1.1.9)

L(x) (x) 
i(ix)
xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X .
Chứng minh
Nếu

L(x) Re L(x) i
Im L(x)

x X

thì
L(ix) Re L(ix) i Im L(ix) i Re
L(x)  Im L(x) Im L(x) Re L(ix)
LR (ix).
i Im L(x) iLR (ix) .

Vậy

L(x) LR (x) iLR (ix) .
Ngược lại, cho

x, y

X

từ (1.1.9) ta thấy rằng

(1.1.8)