Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số

Lu¾n văn thac sĩ Toán
hoc

Hoc viên Phan Th% Ánh Vân

LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2,
dưói sn hưóng dan cna thay PGS.TS Nguyen Năng Tâm. Sn giúp đõ và
hưóng dan t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay trong suot quá trình
thnc hi¾n lu¾n văn này đã giúp tác giá trưóng thành hơn rat nhieu
trong cách tiep c¾n m®t van đe mói. Tác giá xin đưoc bày tó lòng biet
ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin trân trong cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà trưòng và các
thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích đã giúp đõ, tao
đieu ki¾n cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ngưòi thân,
ban bè đã luôn giúp đõ, đ®ng viên và tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá
hoàn thành khóa hoc Thac sĩ và hoàn thành lu¾n văn này.
Hà N®i, ngày 12 tháng 10 năm 2013
Tác giá

Phan Th% Ánh Vân

1


LèI CAM ĐOAN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Nguyen Năng Tâm.
Tôi xin cam đoan lu¾n văn này là công trình nghiên cúu cna riêng tôi.

Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùa
nhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn
trân trong và biet ơn. Tôi xin cam đoan rang các thông tin trích dan
trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc.
Hà N®i, ngày 12 tháng 10 năm 2013
Tác giá

Phan Th% Ánh Vân


Mnc lnc

3

1

KIEN THÚC CHUAN B±
7
n
1.1 Không gian Euclide R
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Hàm nhieu bien.......................................................................... 10
1.3 T¾p loi, hàm loi, ánh xa đa tr%.....................................................12
1.4 Bài toán quy hoach toàn phương............................................... 14
1.4.1 Bài toán toi ưu............................................................... 14
1.4.2 Quy hoach toàn phương................................................. 19
1.4.3 Bài toán quy hoach toàn phương có tham so . . .
24

2

TÍNH LIÊN TUC CÚA HÀM GIÁ TR± TOI ƯU
25
2.1 Các bo đe................................................................................... 25
2.2 Tính liên tuc cna hàm giá tr% toi ưu.........................................28
2.3 Tính núa liên tuc cna hàm giá tr% toi ưu..................................35

TÍNH KHÁ VI THEO HƯéNG CÚA HÀM
TOI ƯU
3.1 Các bo đe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Đieu ki¾n G . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính khá vi theo hưóng cna hàm giá tr% toi ưu

3

GIÁ TR±
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

40
40
47
50


Lu¾n văn thac sĩ Toán hoc

Hoc viên Phan Th% Ánh Vân

BÁNG KÝ HIfiU
R
R
Rn
∅
xT
"x"

đưòng thang thnc
đưòng thang thnc suy r®ng
không gian Euclide n - chieu
t¾p rong
véctơ chuyen v% cna véctơ x
chuan cna véctơ x

(x, y)
AT
Rm×n

tích vô hưóng cna x và y
ma tr¾n chuyen v% cna ma tr¾n A
t¾p các ma tr¾n m × n

t¾p các ma tr¾n n × n đoi xúng
đ%nh thúc cna ma tr¾n vuông A
ma tr¾n đơn v% trong Rn×n
đao hàm theo hưóng cna f tai x theo hưóng v
t¾p nghi¾m cna bài toán (P )
t¾p nghi¾m đ%a phương cna bài toán (P )

giá tr% toi ưu cna bài toán (P )
quy hoach toàn phương
quy hoach toàn phương xác đ%nh bói
các ma tr¾n Q, A và các véctơ c, b
Sol(Q, A, c, b)
t¾p nghi¾m cna bài toán quy hoach toàn phương
ϕ(Q, A, c, b) ho¾c ϕ(c, b)hàm giá tr% toi ưu cna bài toán
quy hoach toàn phương
loc(Q, A, c, b)
t¾p nghi¾m đ%a phương cna bài toán
quy hoach toàn phương
lsc
núa liên tuc dưói
usc
núa liên tuc trên
S
Rn×
det A
E
f r(x; v)
Sol(P )
loc(P )
v(P )
QP
QP (Q, A, c, b)

C ho¾c C(A, b)
n
2R

{x : Ax ≥ b}
t¾p tat cá các t¾p con cna Rn

4


Má đau
1. Lý do chon đe tài
M®t trong nhung khía canh thưòng đưoc quan tâm trong nghiên cúu
nhung bài toán toi ưu là nhung tính chat cna hàm giá tr% toi ưu. Gauvin
và Dubeau [8], Bonnans and A. Shapiro [4] đã nghiên cúu ve tính khá vi
cna hàm giá tr% toi ưu trong quy hoach toán hoc. Jasnin [9], Minchenko
và Sakolchik [14] đã nghiên cúu đao hàm theo hưóng cna hàm giá tr% toi
ưu trong quy hoach phi tuyen. Tam [17], [18] và Lee, Tam and Yen [11],
[12] đã nghiên cúu hàm giá tr% toi ưu trong quy hoach toàn phương.
Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve Toán giái tích, vói mong muon
tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc, moi quan h¾ và úng dung
cna chúng, tôi đã chon đe tài nghiên cúu:
“Tính liên tnc và tính khá vi cúa hàm giá tr% toi ưu trong quy hoach
toàn phương có tham so”.

2. Mnc đích nghiên cNu
Kháo sát tính liên tuc, các đieu ki¾n can và đieu ki¾n đn cna tính
chat núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói; đieu ki¾n can và đn đe hàm giá
tr% toi ưu khá vi theo hưóng và công thúc tính đao hàm theo hưóng cna
hàm giá tr% toi ưu.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
1. Tính liên tuc và tính núa liên tuc cna hàm giá tr% toi ưu.
2. Tính khá vi theo hưóng cna hàm giá tr% toi ưu.

Lu¾n văn thac sĩ Toán hoc

Hoc viên Phan Th% Ánh Vân

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Tính liên tuc và tính khá vi cna hàm giá tr% toi ưu trong quy hoach
toàn phương có tham so.

5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, đoc và phân tích, tong hop
đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve tính liên tuc và tính khá vi cna
hàm giá tr% toi ưu trong quy hoach toàn phương có tham so.

6. DN kien đóng góp mái cúa đe tài
Tong quan ve nhung tính chat cna hàm giá tr% toi ưu trong quy hoach
toàn phương có tham so.

6


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1

Không gian Euclide Rn

Cho X là m®t t¾p tùy ý và X ƒ= ∅.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. M®t metric trong X là m®t ánh xa:

d : X × X ›→ R
thóa
mãn
các
đieu
sau:
i)d(x,
d(x,
y)=
≥00,ki¾n
y
∈
X;
y)
⇔∀x,
x=
y;
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
M®t t¾p khác trong X cùng vói metric đưoc xác đ%nh trên t¾p đó l¾p
thành m®t không gian metric, ký hi¾u là (X, d). So d(x, y) goi là
khoáng cách giua các điem x và y.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho X là m®t không gian vectơ trưòng K ( K =
R, ho¾c K = C).
M®t chuan trong X, ký hi¾u " . ", là m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc
R thóa mãn các tiên đe sau:
i) (∀x ∈ X) " x "≥ 0, " x "= 0 ⇔ x = ∅;
ii) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K) " αx "= |α| " x ";
iii) (∀x, y ∈ X) " x + y "≤" x " + " y ".
So " x " goi là chuan (hay đ® dài) cúa vectơ x. M®t không gian X cùng

vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian đó đưoc goi là m®t không
gian
đ%nh chuan.

7


Lu¾n văn thac sĩ Toán
hoc

Hoc viên Phan Th% Ánh Vân

Đ%nh lí 1.1.1. Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan. Đ¾t:
d(x, y) =" x − y ", ∀x, y ∈ X.
Khi đó, d là m®t metric trên X.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. T¾p hop
Rn := {x = (x1, . . . , xn)T : x1, . . . , xn ∈ R}
cùng vói hai phép toán:
(x1, . . . , xn)T + (y1, . . . , yn)T := (x1 + y1, . . . , xn + yn)T
λ(x1, . . . , xn)T := (λx1, . . . , λxn)T , λ ∈ R
l¾p thành m®t không gian vectơ thnc n - chieu, goi là không gian Euclide
Rn .
Trong Rn tích vô hưóng chính tac (., , ) đưoc đ%nh nghĩa như sau:
n
.
(x, y) =
xiyi.
i=1

Vói

tích
(i) (x,
y) vô
= hưóng
(y, x). chính tac ta có:
(ii) (x + xr, y) = (x, y) + (xr, y).
(iii) λ(x, y) = (λx, y).
(iv) (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ↔ x = 0.
Khi đó, ta có chuan Euclide cna vectơ x:
‚
.
,
.n.
2
" x ":= (x, x) =,
|xi| , ∀x ∈ Rn
i=1

thóa mãn các tính chat:
(i) " x "≥ 0 ∀x ∈ Rn, " x "= 0 ↔ x = 0.
(ii) " λx "= |λ| " x " ∀x, y ∈ Rn;
(iii) |(x, y)| ≤" x " . " y "
∀x, y ∈ Rn, trong đó dau "=" xáy ra khi và
chí khi x, y phu thu®c tuyen tính.
(iv) |" x " − " y "| ≤" x + y "≤" x " + " y " ∀x, y ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho x0 ∈ Rn, ε > 0, ta goi t¾p
B(x0, ε) := {x ∈ Rn :" x − x0 "< ε}
là hình cau mó trong Rn có tâm tai x0, bán kính ε.

0
n
Đ%nh
T¾p
⊂R
0 đưoc goi là t¾p mó neu vói moi x ∈
U, ton nghĩa
tai εn >1.1.5.
0 sao
choUB(x
, ε) ⊂ U.
n
T¾p F ⊂ R đưoc goi là t¾p đóng neu U := R \F là mó.
T¾p V ⊂ Rn đưoc goi là lân c¾n cúa x ∈ Rn neu ton tai ε > 0 sao
cho
B(x, ε) ⊂ V .

Đ%nh nghĩa 1.1.6. Cho x ∈ Rn, A là t¾p con cúa Rn.
(i) Neu có lân c¾n V (x) cúa x mà V (x) ⊂ A thì x goi là điem trong cúa
A.
(ii) Neu có lân c¾n V (x) cúa x mà V (x) ⊂ Rn\A thì x goi là điem ngoài
cúa A.
(iii) Neu moi lân c¾n V (x) cúa x đeu chúa điem trong và điem ngoài
cúa A khác x, thì x goi là điem biên cúa A.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho A là t¾p con bat kỳ trong Rn. Ký { i(A)}i∈I
S
hi¾u
là ho tat cá các t¾p mó trong
S A, {Fj (A)}j∈J là ho tatT cá các t¾p
m®t

đóngt¾p
chúa A. Ta có U = i∈I Ui(A) là t¾p mó, F = j∈J Fj (A) là
đóng.
T¾p U goi là phan trong cúa A, ký hi¾u là intA. T¾p F goi là bao
đóng cúa A, ký hi¾u là A. Như v¾y intA là t¾p mó lón nhat chúa A,
còn A là t¾p đóng nhó nhat chúa A.
Ta có:
(i) x ∈ intA khi và chí khi x là điem trong cna A.
(ii) T¾p A là t¾p mó khi và chí khi A = intA.
(iii) T¾p A là đóng khi và chí khi A = A.
n
Đ%nh
nghĩa
1.1.8.
Dãy
điem
{x"k}xktrong
0
0 R đưoc goi là h®i tn đen
n
x∞.
∈
R
khi
k
→
∞
neu
dãy
so

−
x
"
h®i
tn tói
0 ∈
Khi đó ta goi x0 là giói han cúa {xk} và ký
hi¾u
xk →
x0.R khi k →

lim
k→∞

xk = x0 ↔ " xk − x0 "= 0
lim
k→∞

Sn h®i tu trong Rn là sn h®i tu theo toa đ®.
Đ%nh lí 1.1.2. T¾p A ⊂ Rn là đóng khi và chs khi vói moi dãy {xk} ⊂ A
mà xk h®i tn đen x0 thì x0 ∈ A.
Đ%nh nghĩa 1.1.9. T¾p A trong Rn đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai
m > 0 sao cho " x "≤ m vói moi x ∈ A.


De thay t¾p khác rong A ⊂ Rn là t¾p b% ch¾n neu sup{" x ": x
∈
A} < ∞.
T¾p ∅, t¾p gom huu han điem, hình cau B(x, ε) là nhung t¾p b% ch¾n.
Đ%nh

1.1.10.
A trong
Rnkmđưoc
t¾p
compact
neu
dãy {xknghĩa
} trong
A đeuT¾p
có dãy
con {x
} h®igoi
tn là
đen
m®t
điem x∗
∈ moi
A.
Đ%nh lí 1.1.3. T¾p A trong Rn compact khi và chs khi A đóng và b
% ch¾n.

1.2

Hàm nhieu bien

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho X ⊂ Rn. Ta goi ánh xa f : X → R là m®t
hàm
n bien xác đ%nh trên X.
Neu n ≥ 2 thì hàm n bien đưoc goi là hàm nhieu bien.
Ví dn 1.2.1.

X = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : x1 +x2 −5 = 0}, f (x) = 2x1 +x2 là
hàm 2 bien
Ví dn 1.2.2.

n
X=R
, f (x) = x2 + . .
2
.+x
1
n

là hàm n bien
n

Đ%nh nghĩa 1.2.2. Cho f : R → R Ta goi f là m®t hàm tuyen
tính neu:
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y),

∀x, y ∈ Rn, ∀α, β ∈ R.

Moi hàm tuyen tính f : Rn → R đeu có dang f (x) = (c, x), vói c ∈
Rn
co đ%nh, phu thu®c vào f .
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Ta goi g : Rn → R là m®t hàm afin neu ton tai
hàm tuyen tính f và hang so α sao cho:
g(x) = f (x) + α, ∀x ∈ Rn.
Như v¾y, hàm afin luôn có dang g(x) = (c, x) + α. Cho f : X ⊂ Rn
→
R.

Đ%nh
nghĩa 1.2.4.
Hàmton
f đưoc
hàmf (x)
b% ch¾n
dưói f(hay
ch¾n
X neu
tai α goi
saolàcho
≥ α (hay
(x) b%
≤
α) vói trên)
moi xtrên
∈ X.


Hàm
f goiX.làNhư
b% ch¾n ftrên
X neu nó vùa b% ch¾n dưói, vùa b% ch¾n
trên
trên
(x)| ≤
α vói moi xv¾y,
∈ X. b% ch¾n trên X neu ton tai α > 0 sao cho |f

Đ%nh nghĩa 1.2.5. Hàm f đưoc goi là núa liên tnc dưói tai x0 ∈ X
neu:
lim in f (x) ≥ f (x0).
f
x∈X x→x0

Đieu ki¾n này tương đương là: vói moi ε > 0, ton tai m®t lân c¾n mó U
cúa x0 sao cho:
f (x0) − ε ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ X.
Hàm
f đưoc
goiX.là núa liên tnc dưói trên X neu f núa liên tnc dưói tai
moi điem
x0 ∈
Đ%nh nghĩa 1.2.6. Hàm f đưoc goi là núa liên tnc trên tai x0 neu:
lim sup f (x) ≤ f (x0).
x∈X x→x0

Túc là, vói moi ε > 0, ton tai m®t lân c¾n mó U cúa x0 sao cho:
f (x0) ≤ f (x0 + ε), ∀x ∈ U ∩ X.
Hàm f goi là núa liên tnc trên X neu nó núa liên tnc trên tai moi x0 ∈
X.
Đ%nh nghĩa 1.2.7. Hàm f đưoc goi là liên tnc tai x0 neu nó vùa núa
liên tnc trên, vùa núa liên tnc dưói tai x0, túc là: vói moi ε > 0, ton
tai
m®t lân c¾n mó U cúa x0 sao cho |f (x) − f (x0)| ≤ ε, ∀x ∈ U ∩ X.
Hàm
f liên tnc trên X khi và chs khi f liên tnc tai moi x0 ∈ X.
Ví dn 1.2.3. Cho X = {x = (x1, x2) ∈ R2 : x1 − x2 ≥ 1}.
Khi đó, f (x) = 1x2 + x2 + 1 liên tnc tai moi x ∈ X.

Ví dn 1.2.4. Cho X = {x ∈ R : x ≥ 0},
.
x2 neu x > 0
f (x) =
1 neu x = 0.
là hàm núa liên tnc trên tai moi điem trên X, không núa liên tnc dưói
tai x = 0.
Đ%nh
lí 1.2.1.
Cho X ⊂ Rn là t¾p compact,
khác rong
và f(Đ%nh
: X → lýR.Weierstrass)
Khi đó:
(i) Neu
dưói
∗ trên X thì f đat cnc tieu trên X, túc là ton tai
x∗ ∈fXnúa
saoliên
chotnc
f (x
) ≤ f (x) vói moi x ∈ X.
(ii) Neu
trên
∗ trên X thi f đat cnc đai trên X, túc là ton tai
x∗ ∈f Xnúa
saoliên
chotnc
f (x
) ≥ f (x) vói moi x ∈ X.

Chúng minh. (i) Giá sú α := inf{f (x) : x ∈ X}.
Theo đ%nh nghĩa cna α, ton tai dãy {xk} ∈ X sao cho:
lim
k→∞

f (xk) = α.

Do
compact
nêndưói
xk có
dãy
tu. Giá sú xk → x0 ∈ X.
Vì fXnúa
liên tuc
nên
f con
(x0)h®i
≤ α.
M¾t
f (x:0x
)≥
0∈
V¾y khác,
f (x0)do=xα
=X
infnên
f (x)

∈ α.
X.
(ii) Chúng minh tương tn phan (i).

1.3

T¾p loi, hàm loi, ánh xa đa tr%

Đ%nh nghĩa 1.3.1. T¾p X ⊂ Rn đưoc goi là loi neu:
λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Ví dn 1.3.1. T¾p ∅ đưoc xem là t¾p loi.
Các tam giác và hình tròn trong m¾t phang là các t¾p loi.
Hình cau đơn v% trong Rn là t¾p loi.
Đ%nh nghĩa 1.3.2. M®t t¾p con C ⊂ Rn đưoc goi là m®t t¾p đa di¾n
loi neu C có the bieu dien đưoc bói giao cúa m®t so huu han các núa
không
gian con đóng cúa Rn, túc là ton tai các vectơ khác không a1, . . . , am ∈
Rn
và các so thnc b1, . . . , bm sao cho C là t¾p nghi¾m cúa h¾ bat
phương trình
tuyen tính:
(ai, x) ≥ bivói i = 1, . . . , m.
hay C = {x ∈ Rn : (ai, x) ≥ bivói i = 1, . . . , m}
Các bat phương trình đó thưòng đưoc goi là các ràng bu®c xác đ%nh
C.
Ký hi¾u A là ma tr¾n cap m × n có các c®t phan tú là a1, . . . , am
∈
Rn, b = (b1, . . . , bm)T ∈ Rm. Khi đó, C = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}.
Đ%nh nghĩa 1.3.3. Cho X ⊂ Rn là m®t t¾p loi và f : X → R là
m®t hàm so.

Hàm f đưoc goi là m®t hàm loi trên X neu vói moi x, y ∈ X và vói moi
t ∈ [0, 1] ta có:
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).


Hàm
f còn
goitalàcó:
m®t hàm lõm trên X neu vói moi x, y ∈ X và
vói moi
t ∈đưoc
[0, 1]
f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y).
Ví dn 1.3.2. Hàm f : R → R, f (x) = 2x2 + 3x − 4 là m®t hàm
loi trên
R.
Hàm f : R → R, f (x) = x3 không là hàm loi, cũng không là hàm
lõm
trên R.
Đ%nh nghĩa 1.3.4. Cho X, Y là hai t¾p bat kỳ.
Cho F : X ⇒ Y là ánh
xa tù X vào t¾p toàn b® các t¾p con cúa Y
(đưoc ký hi¾u là 2Y ).
Ta nói F là ánh xa đa tr% tù X vào Y.
Như
moim®t
x ∈so
X,phan
F (x)túlàxm®t
trù

khá v¾y,
năng vói
là vói
∈ Xt¾p
nàocon
đó cna
ta cóY.FKhông
(x) làngoai
t¾p
rong.
Neu vói moi x ∈ X t¾p F (x) chí gom đúng m®t phan tú cna Y , thì ta
nói F là ánh xa đơn tr% tù X vào Y
Ví dn 1.3.3. Xét phương trình đa thúc:
xn + a1xn−1 + . . . +

−1 x

+ an = 0

an
ó đó, n ∈ N và ai ∈ R, (i = 1, . . . , n) là các h¾ so thnc.
Quy tac cho tương úng moi vectơ a = (a1, . . . , an) ∈ Rn vói t¾p
nghi¾m,
ký hi¾u bói F (a) cúa bài toán trên cho ta m®t ánh xa đa tr%:
F : Rn ⇒ C.
tù không gian Euclide Rn vào t¾p so phúc C.
Đ%nh nghĩa 1.3.5. Mien huu hi¾u cúa ánh xa đa tr% F : X ⇒ Y
đưoc xác đ%nh bói:
domF = {x ∈ X : F (x) ƒ= ∅}
Đ%nh

nghĩa 1.3.6. Ta nói F là núa liên tnc trên tai x ∈ domF neu
vói
cúa moi
x t¾p mó V ⊂ Y thóa mãn F (x) ⊂ V , ton tai lân c¾n mó U
sao cho:
F (x) ⊂ V ∀x ∈ U.
Neu F là núa liên tnc trên tai moi điem thu®c domF , thì F đưoc goi là
núa liên tnc trên ó trong X.


Đ%nh
nghĩamó
1.3.7.
TaYnói
F mãn
là núa
tncVdưói
taiton
x ∈taidomF
neu
vói
V ⊂
thóa
F liên
(x) ∩
ƒ= ∅
m®t lân
c¾nmoi
mót¾p
U

cúa x sao cho:
F (x) ∩ V ƒ= ∅ ∀x ∈ U ∩ domF.
Neu F là núa liên tnc dưói tai moi điem thu®c domF , thì F đưoc goi là
núa liên tnc dưói ó trong X.
Đ%nh nghĩa 1.3.8. F đưoc goi là núa liên tnc tai x ∈ domF neu F
đong thòi là núa liên tnc trên và núa liên tnc dưói tai x. Neu F là liên
tnc tai moi điem thu®c domF thì F đưoc goi là núa liên tnc ó trên X.
Ví dn 1.3.4. Ánh xa đa tr% 

0}

neu

x<0

F (x) =  { [ 1, 1] neu x = 0

−
{1}
neu x > 0
tù R vào R là núa liên tnc trên ó trong R, nhưng không là núa liên
tnc dưói tai x = 0. Như v¾y, F không phái ánh xa liên tnc ó trên R.
Ví dn 1.3.5. Ánh xa đa tr%

.

F (x) =

[0, 1] neu x ƒ= 0
{0}

neu

x= 0

là núa liên tnc dưói ó trong R, nhưng không là núa liên tnc trên tai
x = 0. Như v¾y, F không phái ánh xa liên tnc ó trên R.
Ví dn 1.3.6. Ánh xa đa tr%
F (x) =

.

[0, 1] neu

x∈Q

[−1, 0] neu x ∈ I

không là núa liên tnc dưói ó trong R, cũng không là núa liên tnc trên và
do đó không phái ánh xa liên tnc ó trên R.

1.4
1.4.1

Bài toán quy hoach toàn phương
Bài toán toi ưu
(P ) : min{f (x) : x ∈ C}.


Vói f : Rn → R là hàm cho trưóc và C ⊂ Rn là t¾p con cho trưóc cna

Rn .
Ký hi¾u R = [−∞; +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} là đưòng thang
thnc.
Rn là không gian Euclide n chieu vói chuan:
n
.
1
" x "= (
xi 2 )2 .
i=1

vói moi x = (x1, ..., xn) ∈ Rn và tích vô hưóng:
n

(x, y) =

.

xiyi = xT y vói ∀x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn)

∈ Rn .
i=1

Trong đó xT là ma tr¾n chuyen v% cna x.
Đ%nh nghĩa 1.4.1. Bài toán (P ) đưoc goi là bài toán toi ưu hay bài
toán quy hoach toán hoc. Hàm f goi là hàm mnc tiêu và C là t¾p ràng
bu®c (hay mien chap nh¾n đưoc cúa (P)). Các phan tú cúa C đưoc
goi là các véctơ chap nh¾n đưoc cúa (P ) hay các phương án.
C = Rn thì ta nói rang (P ) là m®t bài toán không có ràng bu®c.
Các trưòng hop còn lai P là bài toán có ràng bu®c.

Đ%nh nghĩa 1.4.2. M®t véctơ chap nh¾n đưoc x ∈ C đưoc goi là m®t
nghi¾m,
ho¾c nghi¾m
toi ưu toàn cnc, ho¾c phương án toi ưu toàn
cnc,
ho¾c
(x) vói
moicnc
x ∈tieu
C. toàn cnc cúa (P) neu f (x) ƒ= +∞ và f (x) ≥ f
Ta nói rang
x ∈ C là m®t nghi¾m toi ưu đ%a phương ho¾c
nghi¾m
m®t lân cnc
c¾ntieu
U đ%a phương cúa (P ) neu f (x) ƒ= +∞ và ton tai
cúa x sao cho:
f (x) ≥ f (x), ∀x ∈ C ∩ U (1.1)
T¾p tat cá các nghi¾m toi ưu cúa (P) đưoc kí hi¾u Sol(P ). T¾p tat
cá các nghi¾m đ%a phương cúa (P ) kí hi¾u là loc(P )
Ta nói hai bài toán toi ưu (bài toán quy hoach toán hoc) là
tương đương neu t¾p nghi¾m cúa hai bài toán là trùng nhau.


Đ%nh nghĩa 1.4.3. Giá tr% toi ưu v(P ) cúa (P) đưoc đ%nh nghĩa bói
t¾p
v(P ) = inf{f (x) : x ∈ C}
(1.2)
Neu C = ∅ thì ta quy ưóc v(P ) = +∞.
Chú ý 1.4.1. Rõ ràng rang Sol(P ) ⊂ loc(P ), do đó:

Sol(P ) = {x ∈ C : f (x) ƒ= +∞, f (x) = v(P )}
Chú ý 1.4.2. Có the xáy ra trưòng hop loc(P )\Sol(P ) ƒ= ∅.
Ví dn, neu ta chon C = R, f (x) = x3 + 3x2 − 4 thì x = 0 là
m®t
nghi¾m đ%a phương cúa (P) nhưng không phái nghi¾m toàn cnc.
Chú ý 1.4.3. Thay vì bài toán (P) giá tr% nhó nhat ta có the g¾p bài
toán giá tr% lón nhat sau:
(P1) : Maxf (x) vói x ∈ C.
M®t điem x ∈ C đưoc goi là nghi¾m toi ưu toàn cnc hay cnc đai
toàn cnc cúa (P1) neu
f (x) ƒ= −∞ và f (x) ≤ f (x) vói ∀x ∈ C
Ta nói rang
x ∈ C là m®t nghi¾m toi ưu đ%a phương hay cnc đai đ
%a
cúa phương
x sao cúa (P1) neu f (x) ƒ= −∞ và ton tai m®t lân c¾n U
cho:
f (x) ≤ f (x) vói ∀x ∈ C ∩ U
Rõ ràng x là m®t nghi¾m toi ưu toàn cnc (tương úng, m®t nghi¾m
toi ưu đ%a phương) cúa (P1) neu và chs neu x là m®t nghi¾m toi ưu
toàn cnc (tương úng, m®t nghi¾m toi ưu đ%a phương) cúa bài toán
giá tr% nhó nhat sau:
min − f (x) vói x ∈ C
Do v¾y, bat kỳ bài toán giá tr% lón nhat nào cúa dang (P1) cũng
có the đưa ve bài toán dang giá tr% nhó nhat dang (P).
Bài toán P còn đưoc goi là bài toán "min", giá tr% toi ưu cna bài
toán còn đưoc kí hi¾u là:
min{f (x) : x ∈ C} ho¾c min f (x).
x∈C

Neu bài toán P có nghi¾m x thì
f (x) = min{f (x) : x ∈ C}.
Bài toán (P1) đưoc goi là bài toán "max", giá tr% toi ưu cna bài
toán
(P1) còn đưoc kí hi¾u là:
max{f (x) : x ∈ C} ho¾c max f (x).
x∈C

Neu bài toán (P1) có nghi¾m x thì
f (x) = max{f (x) : x ∈ C}
Chú ý 1.4.4. Chú ý rang giá tr% toi ưu thì luôn ton tai, nhưng nghi¾m
toi ưu thì có the ton tai, có the không. Ngay cá trong trưòng hop v(P) là
m®t so thnc huu han, van có the xáy ra khá năng Sol(P ) = ∅.
Chang han, neu C = [1; +∞) ⊂ R và
. 1
f (x)
=

, x ƒ= 0
+∞, x = 0
|x|

Ta có v(P) = 0. Sol(P ) =
∅.
Giá tr% toi ưu cúa bài toán (P ) theo đ%nh nghĩa, là inf f (C) và ta
luôn
có
:
inf f (C) ≤ f (x) ∀x ∈ C và ton tai dãy xk ⊂ C sao cho

lim

f (xk ) = inf f (C).
Tương tn, giá tr% toi ưu cúa bài toán (P ), theo đ%nh nghĩa, là sup f
(C)
và ta luôn có:
k→∞

sup f (C) ≥ f (x)
sao
cho

∀x ∈ C và ton tai dãy {xk} ⊂ C

li
k
m f (x ) = sup f (C).
k→∞

Hien nhiên rang, nghi¾m toi ưu toàn cuc cna bài toán (P ) (hay
(P1)) đeu là nghi¾m toi ưu đ%a phương cna (P ) (tương úng, cna
(P1)). Nhưng đieu ngưoc lai không phái lúc nào cũng đúng.


Ví dn 1.4.1.
min{f (x) = −x2 − x2 + 1 : x = (x1, x2), x1 ≥ −1, −x1 ≥ −1,
x2 ≥ −1,
1

2

−x2 ≥ −1}
Sol(P ) = loc(P ) = {(1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1,
−1)}
Ví dn 1.4.2. Cho f1(x) = −x + 3, f2(x) = x + 2, x ∈ R.
Xác đ%nh f (x) = min{f1(x), f2(x)} và chon C = [0, 2] ⊂ R.
Vói các
f và C này ta có:
Sol(P ) = {2}, loc(P ) = {0, 2}
Trong ví dn này, f không là hàm loi trong khi C là m®t t¾p loi.
Ví dn 1.4.3. Xét bài toán
min{f (x) = (x1 − c1)2 + (x2 − c2)2 : x ∈ C}

(1.3)

Vói C = {x = (x1, x2) : x1 ≥ 0} ∪ {x = (x1, x2) : x2 ≥
0} và
c = (c1, c2) = (−2, −1).
Chú ý rang (1.3) tương đương vói bài toán sau:
min{" x − c ": c ∈ C}
Ta có the chs ra rang Sol(P ) = {(−2, 0)}, loc(P ) = {(−2, 0);
(0, −1)}.
Tuy nhiên, neu C là m®t t¾p loi và f là m®t hàm loi trên C thì moi
nghi¾m toi ưu đ%a phương cna (P ) đeu là nghi¾m toi ưu toàn cuc
cna (P ). Khang đ%nh sau đây chúng minh đieu đó.
Đ%nh lí 1.4.1. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi, f : C → R là m®t hàm loi. Khi
đó, neu x là m®t nghi¾m toi ưu đ%a phương cúa bài toán (P ):
min{f (x) : x ∈ C}
thì nó cũng là nghi¾m toi ưu toàn cnc cúa bài toán đó.
Chúng minh. Giá sú x là nghi¾m toi ưu đ%a phương cna (P ). Khi đó

x ∈ C và ton tai lân c¾n mó V trong Rn cna x sao cho
f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ V ∩ C.


Lay x ∈ C tùy ý. Vì C loi nên vói moi t ∈ (0, 1) đn nhó, ta có
xt := tx + (1 − t)x ∈ V ∩ C.
Do f loi trên C nên
f (x) ≤ f (xt) ≤ tf (x) + (1 − t)f (x),
Suy ra f (x) ≤ f (x).
Vì x ∈ C tùy ý, ta suy ra x là nghi¾m toi ưu toàn cuc cna (P ).
1.4.2

Quy hoach toàn phương

n
Đ%nh
nghĩa
1.4.4.
Tama
nóitr¾n
rangQf∈: R
Rn×n
→, m®t
R là véctơ
hàm toàn
tuyen
tính
neu
ton
tai

c ∈ phương
Rn và m®t
so
thnc
α
sao cho:
1
f (x)
(x, Qx) + (c, x) + α.
(1.4)
=
2
vói ∀x ∈
R n.

Neu



q11 . . . q1n





1

c



1

x

..
.
Q =  . . . . . . . .  ; c =  ..  ; x =  . 
.
cn
xn
qn1 . . .
qnn
n. n.

thì (1.4) có nghĩa là

1
(
2

n

qijxixj ) +

.

cixi + α.

f (x) =

j=1 i=
1

Tù (x, Qx) = (x,2

1

i=1

(Q + QT )x) vói ∀x ∈ Rn, bieu thúc (1.4) van

đúng
neu ta thay Q bói ma tr¾n đoi xúng

1
2

(Q + QT ).

Do đótuyen
ta se tính
giá sú
bieutr¾n
dien đoi
cnaxúng
hàm n
toàn
phương
là ma
đoi tr¾n

xúng.vuông
Khôngtrong
gianphép
các ma
×
n đưoc ký hi¾u là Rn×n.
S


Đ%nh nghĩa 1.4.5. Bài toán (P) đưoc goi là bài toán quy hoach
toàn phương tuyen tính (ho¾c goi tat là quy hoach toàn phương) neu f
là m®t hàm toàn phương tuyen tính và C là m®t t¾p đa di¾n loi.


Trong (1.4), neu Q là ma tr¾n không thì f là m®t hàm afin. Do đó,
lóp các quy hoach tuyen tính là m®t lóp con cna lóp các quy hoach
toàn phương. Thông thưòng, các quy hoach toàn phương là bài toán
quy hoach toán hoc không loi.
Ví dn 1.4.4. Quy hoach toàn phương sau là không loi:
min{f (x) : x2 − x2 : x = (x1, x2), 1 ≤ x1 ≤ 3; 1 ≤ x2 ≤
3}
1

2

Rõ ràng rang f là m®t hàm không loi.
Ta có the thú lai rang Sol(P ) = {(1, 3)} và v(P ) = −8.
Rõ ràng
neu nta
bóđưoc

hangt¾p
so α
trong phép
bieutoán
dienmin{f
(1.4) cna
ta
không
the
thay
đoi
nghi¾m
cna bài
(x) f : thì
x ∈
C},
vói
C
⊂
R
là
m®t
t¾p
1đa di¾n loi. Do đó, thay vì (1.4) ta thưòng
dùng dang rút gon: f (x) = (x, Qx) + (c, x) cna hàm muc tiêu.
Thay thu¾t ngu đưoc dùng cho quy hoach tuyen tính, ta goi các
dang sau cna quy hoach
2 toàn phương:
1
, Ax ≥ b},

n

min{ (x, Qx) + (c, x) : x
2
∈R
1
, Ax ≥ b, x ≥ 0},
n

min{ (x, Qx) + (c, x) : x
2
∈R
1
, Ax ≥ b, Cx = d}
n

min{ (x, Qx) + (c, x) : x
2
∈R
tương úng là dang chuan, dang chính tac và dang tong quát. (Nghĩa cna
A, C, b và d giong như mô tá trong dang đien hình cna quy hoach tuyen
tính). Chú ý rang phép bieu dien cna t¾p hang so cna quy hoach toàn
phương chính tac yeu so vói các t¾p khác cna quy hoach toàn phương
chính tac. Đ%nh nghĩa trên cna quy hoach toàn phương chính tac đưoc
dùng vì các quy hoach toàn phương cna loai này có m®t moi quan h¾
rat ch¾t che vói các bài toán bù tuyen tính.


n×n
Đ%nh

nghĩa 1.4.6.
M®tđ%nh
ma tr¾n
Q ∈(v,RQv)
đưoc
goi làúng
xác(v,
đ%nh
dương (tương
úng nxác
âm) neu
>
0 (tương
Qv)
< 0) vói moi v ∈ R \{0}.
n
Neu (v, Qv) ≥ 0( tương úng (v, Qv) ≤ 0 ) vói moi v ∈ R thì Q
đưoc
goi là núa xác đ%nh dương (tương úng núa xác đ%nh âm).


Ví dn 1.4.5.

Xét A
=

.
1 1
.
1 1

Vói moi x = (x1, x2) ∈ R2 ta có: .

. .

1.

1 1

T

x

x Ax =
(x1 x2 )
1 1
x2 .
.
x1 + x2

=

x1 + x2

(x1 x2 ) 2
=
x + x1x2 + x2x1 + x2
1

2

2

= (x1 + x2) ≥ 0 vói moi x ∈ R2
xT Ax = 0 ↔ x1 + x2 = 0 ↔ x2 = −x1
V¾y A là núa xác đ%nh dương.
Ví dn 1.4.6.





1 1 0
Xét ma tr¾n Q =  0 1 1 
1 0 1
Vói moi x ∈ R3 ta
có:

=
=
=
2

1


 1
x
  x12 1 0


x3
x1 + x2
(x1x2x3)  x2 + x3 
x1 + x3
x2 + x1x2 + x2 + x2x3 + x3x1 + x2
1

2

2

[(x1 + x2 ) + (x2 +
x3 )

2

+ (x3 +
x1 )

xT Qx = 0 ↔ x1 = x2 = x3 = 0
V¾y Q là ma tr¾n xác đ%nh dương.

xT Qx =

(x1x2x3)  1 1
0
1 0 1

23

]≥0


Chú ý 1.4.5. Neu f (x) =
∈ Rn

1
2

(x, Qx) + (c, x) + α vói Q ∈ Rn×n, c
S

và α ∈ R. Neu Q là m®t ma tr¾n núa xác đ%nh dương, thì f là m®t
hàm
loi.