Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,
chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô
giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn
bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Trần Hoài Anh


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân
dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn
nhiệt tình và chu đáo của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Luận văn với đề tài “Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán
kinh tế” không có sự trùng lặp.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Trần Hoài Anh

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn................................................................................................ 1
Lời cam đoan.............................................................................................2
Mục lục......................................................................................................3
MỞ ĐẦU.................................................................................................. 4
NỘI DUNG...............................................................................................6
Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân..........................................................6
1.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân........................................6
1.2. Phương trình vi phân cấp 1................................................................7
1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n...............................................11
1.4. Hệ phương trình vi phân cấp 1...........................................................15
Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế ..
18 2.1. Khái niệm phân tích cân bằng động
18
2.2. Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trường.............................23
2.3. Mô hình tăng trưởng Solow...............................................................28
2.4. Mô hình tăng trưởng với kỳ vọng giá được dự báo trước..................34
Chƣơng 3: Ứng dụng hệ phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 44
3.1. Mô hình cân đối liên ngành động với cầu vượt mức..........................44
3.2. Mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp.............................46
3.3. Biểu đồ pha hai biến và ứng dụng......................................................56
KẾT LUẬN..............................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 65


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời
điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỷ
XX. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân
tích và giải quyết các vấn đề kinh tế trong các hoạt động kinh tế một cách
chặt chẽ, hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả các vấn
đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp
toán học để giải quyết chúng, phân tích, chú giải cũng như kiểm nghiệm các
kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu cấp thiết đối với các
chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế. Trong các thập kỉ gần
đây, nhiều giải Nobel kinh tế được trao cho các công trình có vận dụng một
cách mạnh mẽ các lí thuyết và phương pháp toán học như phương trình vi
phân, phương trình sai phân, lí thuyết xác suất thống kê, …. Như vậy, nghiên
cứu lý thuyết về phương trình vi phân và ứng dụng nó vào giải bài toán kinh
tế là một vấn đề được các nhà kinh tế luôn quan tâm.
Xuất phát từ nhận thức trên cùng với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình
của TS. Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài: “ỨNG DỤNG PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ” để thực hiện luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân và ứng
dụng vào giải bài toán kinh tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:


- Phương trình vi phân.
- Ứng dụng phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân giải các
bài toán kinh tế.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về

ứng dụng của phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương trình vi phân và các
ứng dụng của nó.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Nhƣ̃ ng đó ng gó p củ a
luâṇ

văn

Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng phương trình vi phân giải
bài toán kinh tế. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho
môṭ lĩnh vực khác.

số một số


CHƢƠNG 1
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Một số khái niệm về phƣơng trình vi phân
1.1.1. Phƣơng trình vi phân thƣờng
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân thường là phương trình có
dạng



F x,y,y ,y ,...y

(n)

 0,

n 2

trong đó F là hàm xác định trong một miền nào đó của không gian
gồ m biế n
đôc̣

lâ x và y là hàm của biến độc lập , cùng các đạo hàm cấp một
p̣

đến cấp n của nó.
Nếu từ phương trình trên ta tim
̀
đươc̣

biể u
diêñ

củ a
đaọ

hàm cấp cao

nhấ
̀ giải ra được đố i
y(n) qua các biến cò n laị thì ta nó i phương trinh

t
vớ i
hoă ta co n
̀
c̣
goị

y(n)

là phương trình daṇ g chính tắ c , tức là phương trình có dạng
(n)

y f

x,y,y ,...,y  .
(n1)

1.1.2. Cấp của phƣơng trình vi phân
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện
trong phương trình.
Ví
dụ:

d
y

2

dx
1.1.3. Nghiệm

2

2

3
dy   y  0 là phương trình vi phân cấp 2.

 
 
dx 


Nghiệm của phương trình vi phân thường là hàm y  y(x)
khả vi n
lần trên khoảng (a,b) nào đó thỏa mãn phương trình đã cho , tứ c là
F

x,y(x),y(x),...,y

(n1)

(x)

 0,


với mọi x thuộc khoảng (a,b) .
1.2.Phƣơng trình vi phân cấp 1
1.2.1. Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát
F x,y,y   0 ,

(1.1)
3

trong đó hàm F xác định trong miền D   .
- Nếu trong miền D , từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y  :
y  f  x,y ,

(1.2)

thì ta được phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đối với đạo hàm.
- Hàm y   x  xác định và khả vi trên khoảng I  a,b  được gọi là
nghiệm của phương trình (1.1) nếu:





a, x, x  ,  x   D





với mọi x  I ;

b, F x, x  ,  x   0

trên I .

- Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đối với đạo hàm
dưới dạng đối xứng: M  x,y dx  N x,ydy  0.
1.2.2. Một số phƣơng trình vi phân cấp 1
i) Phương trình với biến số phân li
Phương trình vi phân cấp 1 dạng
M ydy  N x dx  0

(1.3)

được gọi là phương trình với biến số phân li (hay còn gọi là phương trình tách
biến).
Cách giải:
Các hàm M  y ,N x  được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó.


Khi đó chuyển vế số hạng thứ hai và lấy tích phân hai vế của (1.3) ta được

 M ydy   N x dx .
Công thức này cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.3).
ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng
y   p x  y  q x  ,
trong đó

p x ,q x 

(1.4)

là các hàm xác định trên khoảng a,b nào
đó,

y  y t 

là hàm cần tìm để phương trình được thỏa mãn.
Nếu q x   0, ta có phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất
y   p x  y  0
Nếu

(1.5)

q x   0, ta gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính không

thuần nhất.
* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số:
y  ay  b .

(1.6)

Cách giải:
- Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y  ay  0 .
dy  ay 


dx

dy

y

 ln y  ax  c  yc

  adx
 Ae ax

- Tìm được nghiệm riêng của (1.6) là y  b /
p
a
nếu a  0 .

.

nếu a  0 yp  bx
;

- Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng


y  yp  yc .
Vậy y  Ae

ax

b


 ax


 y(0)  b  e

a
a





b

, với a  0 ;

a

y  A bx  y(0) bx , với a  0 .
* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên:
y   p x  y  q x  .

(1.7)

Cách giải:
- Xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
y   p x  y  0.
dy
 y  p(x)dx
 ln y
 yc

 

p(x)dx C1

 Ce  p(x )dx .

- Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange
Coi C là một hàm theo biến x , ta sẽ tìm nghiệm của phương trình
(1.7) dưới dạng
 px dx

y  C x  e 

.

(1.8)

Thay vào phương trình (1.7) ta được
C   x e

 px dx

 q x  ,

suy
ra
C x    q x e 

px dx

dx C . Thay

vào (1.8) ta thu được nghiệm tổng quát của (1.7) là


— px dx 

e 

y

 



q x  e 

px dx

dx

C





 , C là hằng số.



iii) Phương trình Bernoulli
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng
y  p x  y  q x  y ,    .


(1.9)

Cách giải:
+ Với

  0 hay   1, thì (1.9) trở thành phương trình vi phân tuyến

tính cấp 1.
+ Với   0 và   1, ta chia cả hai vế của (1.9) cho y 
y y  p x y


y

1

 q x  .

1

(1.10)

. Khi đó

Đặt

z
z   1    y y  .


Thay biểu thức của z và z  vào (1.10) ta được
z   1   p  x z  1  q  x .
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với z . Giải phương trình
này ta tìm được nghiệm

z  z(x). Từ đó suy ra nghiệm của phương trình

(1.9) là
1/(1)



y   z(x)


iv) Phương trình vi phân toàn phần

.

Phương trình vi phân cấp một
P x,ydx Q x,ydy  0

(1.11)

được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phân toàn
phần của hàm nào đó, tức là tồn tại hàm U  x,y sao cho

dU  x,y  P  x,ydx Q x,ydy
hay
U
x

 P(x,y);

Từ (1.11) và (1.12) suy ra

U
y

 Q(x,y).

(1.12)

dU(x,y)  0

U(x,y)  C , C là hằng số.
2

Do

U
xy



2
 U , nên

yx

P
y 

Q
x

. Có thể chứng minh điều ngược

lại cũng đúng. Vậy phương trình (1.11) là phương trình vi phân toàn phần khi
và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn:
P Q
y  x.

(1.13)

Cách
giải:
U
Từ x  P(x,y) ta có
U(x,y) 

 P(x,y)dx  (y).

Lấy đạo hàm hai vế theo y ta thu được
U   P(x,y)dx  (y)  Q(x,y).



y  y  
Từ đó ta có thể tìm (y), do đó tìm được U(x,y). Nghiệm cần tìm sẽ là
U x,y   C .
1.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp n
1.3.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình có dạng


    p1(x)y   p0(x)y  f (x),

y(n)  p n
1

(1.14)

(x)y(n1)

trong đó p (x), p (x),..., p (x) f
là cać hàm liên tục trên khoảng
n1
0
1
(x)
và
(a,b) nào đó.
Nếu f (x)  0 , thì (1.14) gọi là phương trình vi phân tuyến tinh
́ thuần
nhất

    p1(x)y   p0(x)y  0 .

y(n)  p n1

(1.15)

(x)y(n1)
Nếu f (x)  0 , thì (1.14) gọi là phương trình vi phân tuyế n tính không
thuần nhất.
Nếu pi (x);i  0,...,n 1 , là cá c hằng số , thì phương trình (1.14)
đươc̣
gọi là phương trình vi phân tuyến t ính với hệ số hằng số .
1.3.2. Cấu trúc nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính
Ta gọi hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất (1.15) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó.
Nếu y ,y ,...,y là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi
1 2
m

phân tuyến tiń h thuần nhất (1.15), thì nghiệm tổng quát của phương trình đó
có dạng
m

y
trong đó
c1,c2,...,cm

k 1ckyk (x),

là các hằng số tùy ý.

Giả sử y là một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyế n tính
không thuần nhất (1.14)
và

y1,y2,...,y là một hệ nghiệm cơ bản của phương
n


trình thuầ n nhấ t (1.15) tương ứ ng vớ i phương trinh
̀ (1.14). Khi đó ,
nghiệm tổng quát của phương trình (1.14) là


n

y(x)  y(x)   ckyk (x).
k 1

1.3.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số là phương
trình có dạng
(n)

    p1y   p0y  0,

y (n1)
p
n1

trong
đó

(1.16)

p0, p1,..., pn1 là các hằng số thực.

Ta tim
̀
nghiêṃ

riêng của phương trình (1.16) dưới dạng
x

ye ,

trong đó hằng số  được xác định sao cho y là nghiệm của phương trinh
̀
(1.16). Khi đó
x

2 x

(n)

n x

y   e ,y    e ,...,y   e .
Thay vào phương trình (1.16) ta
nhâṇ


Bở i vì
e

x

n

 p n1

n1

được
 p1  p0

e

0.

x

 0 , nên từ phương t rình trên, ta suy
ra
n

Pn ()  

n1

 pn1

 p1  p0  0 .

Từ đó cho thấy , nếu  là một nghiệm của phương trình (1.17) thì

(1.17)
x

ye

là một nghiệm của phương trình (1.16).
Phương trình (1.17) được gọi là phương trình đặc trưng của phương
trình (1.16). Đa thức P () gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.16).
n
Như
vâỵ

, hê
̣ nghiêṃ

cơ bả n củ a phương triǹ h
đươc̣

(1.16)

xây dưṇ g


trên cơ sở cá c

nghiêṃ sau:

củ a phương trinh
̀
đăc̣

trưng

(1.17). Xét các trường hợp


i) Phương trình (1.17) có m nghiệm thực khác nhau: 1,2,...,m . Khi
đó
 x

 x

 x

e 1 ,e 2 ,...,e m

là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tinh
́
thuần nhất (1.16).
ii) Phương trình (1.17) có nghiệm bội m , giả sử nghiệm đó là  . Khi
1
đó
e

1x

,xe

1x

,...,x

m1 1x

e

là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tinh
́
thuần nhất (1.16).
iii) Phương trình (1.17) có cặp nghiệm phức   i bội m . Khi đó
x

x

e cosx,xe cosx,...,x
x

x

m1 x

e sin x,xe sin x,...,x

e cosx ;

m1 x

e sin x

là 2m nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tinh
́
thuần nhất (1.16).
1.3.4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số
hằng số
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số có
dạng
(n)

y(n1)
p
n1

trong
đó

 p1y   p0y  f (x),

(1.18)

p0, p1,..., pn1 là các hằng f (x) liên tục trên khoảng (a,b) nào
đó.
số,
Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (1.18), ta lấy một

nghiệm riêng của phương trình này cộng với nghiệm tổng quát của phương

trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng. Ta xét
môṭ có dạng đặc biệt như sau:
x
i) f (x)  e Pk (x), trong
đó

số trườ ng
hơp̣

f (x)

Pk (x) là một đa thức bậc k của x .

+ Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm
nghiệm riêng của phương trình (1.18) dưới dạng
x

y  e Q k (x);
+ Nếu  là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm
nghiệm riêng của phương trình (1.18) dưới dạng
m x
( )
y  x e Qk x ,

trong đó Qk (x) là một đa thức bậc k của x .
ii) f (x)  ex P(x)cos x Q(x)sin x  , trong đó P(x),Q(x) là



những đa thức bậc có thể khác nhau và ,  là các hằng số.
+ Nếu

  i

không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta tìm

nghiệm riêng y(x) của phương trình (1.18) dưới dạng
x
y(x)  e R(x)cos x  S(x)sin x  .


+ Nếu   i

là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta tìm

nghiệm riêng y(x) của phương trình (1.18) dưới dạng
m x
y(x)  x e R(x)cos x  S(x)sin x  ,


trong đó

R(x)
và

S(x) là những đa thức có bậc bằng bậc lớn nhất của các đa

thức P(x) và Q(x).

1.4. Hệ phƣơng trình vi phân cấp một
1.4.1. Định nghĩa


dy
'
f


Hệ phương trình
sau

 x,y ,...,y 

1
1
n

'
dx
(1.19)



dy
 f  x,y1,...,y 
 '

n
 dx n

được gọi là hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc, trong đó x là

biến độc lập; y1,...,
yn

là các hàm phải tìm và các hàm
fi

(i  1,n ) xác định

trên miền G  n1 .
Hệ y1  1(x),...,yn   (x) khả vi trên khoảng
n
(a,b)
của hệ phương trình nếu:
i) x,1(x),...,n (x)  G;

gọi là nghiệm

x  (a,b).

  f x, (x),..., (x);i  1,n; x  (a,b).
ii) i (x)
i
1
n
1.4.2. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một
Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

dy

x y  f (x)
(x)y 
(x)  p

 1
y
p
 dx
p
11
1
12
2
1n
n
1




dy
n
 p x  p x  p
x
f x
y n1( ) y n2( ) y

( )
nn  
1

2
n
n
 dx
trong
đó

pij x ;i, j 
1,n

liên tục trên khoảng (a,b) .

(1.20)


Nếu

fi (x)  0;i  1,n , thì (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân

tuyến tính cấp một thuần nhất.


Nếu f (x)  0;i  1,n , thì (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân
i
tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Nếu p x ;i, j 
ij
1,n

là hằng số, thì (1.20) được gọi là hệ phương trình

vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số.


CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ
2.1. Khái niệm phân tích cân bằng động
2.1.1. Một số định nghĩa
Các biến kinh tế thường nhận các giá trị khác nhau tùy vào thời điểm
cụ thể được xem xét. Chẳng hạn, giá cả của một mặt hàng nào đó có tính biến
động theo thời gian, tức là giá cả là một hàm của thời gian: P  P(t) . Thuật
ngữ “kinh tế động” dùng để chỉ lĩnh vực phân tích kinh tế mà trong đó mục
tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế, nhằm
xác định xem các biến có hội tụ đến một mức giá trị (cân bằng) nhất định
không sau một khoảng thời gian đủ dài (thường được ký hiệu là t  ).
Trong việc phân tích kinh tế động, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế
không nhất thiết được coi là luôn đạt tới được, mà chỉ có thể đạt tới được với
một số điều kiện nhất định. Phân tích cân bằng động là một lĩnh vực quan
trọng của phân tích kinh tế động nhằm tìm ra các điều kiện đó.
Một cách tổng quát hơn, có thể nghiên cứu sự hội tụ của quỹ đạo thời
gian của biến kinh tế tới một quỹ đạo cân bằng, chẳng hạn quỹ đạo thời gian
x(t) của biến kinh tế x tiệm cận dần tới một quỹ đạo cân
bằng

x * (t) có tính

tối ưu theo một nghĩa nào đó. Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng ta sẽ
chỉ đề cập tới trường hợp khi

x * (t) 
x


Lúc này ta nói x là mức
const.

cân bằng liên thời (cân bằng theo thời gian) có tính dừng của biến kinh tế
được xem xét. Nếu với một số điều kiện nhất định

x(t) hội tụ tới x thì ta nói


x là mức cân bằng liên thời ổn định động và có tính dừng, hay x(t) có tính
ổn định động.
P(t)

P

O

t
Hình 2.1

Trong phân tích cân bằng động, yếu tố thời gian hay thời điểm là rất
quan trọng. Chính vì vậy, các biến kinh tế được phân chia làm hai loại:
- Biến liên tục là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách liên tục.
- Biến rời rạc là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách rời rạc
t  t0,t1,t2,....
Trên hình 2.1, biến giá cả

P t  của một đơn vị hàng hóa là biến liên tục,

tại mỗi thời điểm t , giá của một đơn vị hàng hóa là P t  . Sau một thời
gian
đủ dài, giá P t sẽ ổn định tới mức giá cân bằng P . Cần chú ý rằng,
trong
trường hợp đang xét quỹ đạo thời gian P t (còn được gọi là đường biến



động giá cả) có tính dao động xung quanh mức giá cân bằng P . Trong một số
trường hợp khác, đường biến động giá cả có thể không có tính dao động mà
tiệm cận tới P từ dưới lên hoặc từ trên xuống.
Để thực hiện phân tích cân bằng động, ta có thể sử dụng các công cụ
của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai
phân, ….


2.1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân
Bài toán 1.
Cho

dH

1/2
và H 0100
dt  t

Trong đó:

H t là dân số tại thời điểm t .



là dân số tại thời điểm t 0.

H

0
Hãy xác định quĩ đạo thời gian của biến dân

H t .

số Giải.
Xét phương trình vi phân
dH

1
 t1/2  dH

dt
dt
t

  dH  

dt
t  c,
 H(t)  2

t

Tại thời điểm t  0 ta có H  0 c
 H(t)  2 t  H(0).
Theo bài ra ta có H(0)  100 .
Vậy H(t) 
2

t  100 .

Phương trình này xác định quỹ đạo thời gian của biến dân
số
Bài toán 2.
Cho
MC

 C (Q) 
0,2Q
2e

và
FC

 C 0  90 .

Tìm chi phí toàn phần phụ thuộc vào mức sản phẩm đầu
ra. Trong đó: MC là hàm chi phí biên

H (t).

FC là chi phí cố định
C= C(Q) là chi phí toàn phần