BỘ 45 đề THI học SINH GIỎI TOÁN lớp 8

PHềNG GD & T NINH GIANG
THI KHO ST CHT LNG MI NHN
NM HC: 2017 2018.
Mụn thi: TON 8
Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Bi 1: (2.5 im ).
2
a. Phõn tich a thc thanh nhõn t: x 2 x 4 x 6 x 12 36 x

2
b. Gii phng trỡnh: x

9x2

x 3

2

27

c. Tỡm x, y, z bit:
x 2 y 2 z 2 xy yz zx va x 2016 y 2016 z 2016 32017 .
Bi 2: (2.0 im).
a) Cho a; b; clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a
b
c
3

b c c a a b 2

b) Tỡm cỏc s t nhiờn x, y thừa món x 2 5 x 7 3 y
Bi 3: (1,5 im)
a.

Cho hai số dơng a và b thoả mãn điều kiện: 5a2 b2

Tìm giá trị nhỏ nhất của ab.
b. Cho cỏc s nguyờn a, b,c tho món: ab + bc + ca = 1.
2
2
2
Chng minh rng: A= 1 a 1 b 1 c la s chinh phng







1
5ab 0
a2



Bi 4: ( 4.0 im)
Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H la trc tõm, O la giao im ca
cỏc ng trung trc ca ABC , M la trung im ca BC, N la trung im ca AC

a. Tinh tng

HA' HB' HC'


AA' BB' CC'

b. Chng minh AHB ng dng vi MON va AH = 2.OM
c. Gi G la trng tõm ca ABC . Chng minh 3 im H, G, O thng hang.

Ht./.
H v tờn thớ sinh....SBD.

1


PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2017 – 2018.
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a 3  5a chia hết cho 6.
2
2
2
x  3 � �x  3 � 7  x  9 

6


0
b. Giải phương trình: �
�
� �
�
2

�x  2 �
c. Cho a  b  c  0 và abc �0

Tính giá trị của biểu thức: P 
Bài 2: (2.0 điểm).

�x  2 �

x 4

1
1
1
 2 2
 2
2
2
2
b c a
a  c  b a  b2  c2
2

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=

( x  16)( x  9)
với x > 0.
x

b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) �8
Bài 3: (1,5 điểm)
a. Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c .
Chøng minh r»ng : A =

a
b
c


3
b c  a a c  b a b  c

b Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5 là như nhau.
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía AB các tia Ax và By
�
vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho COD
= 900 .

a) Chứng minh rằng tam giác ACO đồng dạng với tam giác BDO.
b) Chứng minh rằng CD = AC + BD.
c) Kẻ OM vuông góc CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC.
Chứng minh rằng: MN//AC
Hết./.

Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………

2


PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2017 – 2018.
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
a.

Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x - 1 thì dư 3, f(x) chia cho x + 1 thì dư 5, còn chia

cho x 2  1 thì được thương là x 2  3 và còn dư.
b. Giải phương trình:

1
1
1
1
1




x 2  3x  2 x 2  5x  6 x 2  7x  12 x 2  9x  20 8

c. Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức: A 

1 1 1
   0.
x y z

yz
xz
xy
 2
 2
.
x  2yz y  2xz z  2xy
2

Bài 2: (2.0 điểm).
a) Cho x, y, z thỏa mãn:x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1.
Tính tổng: S = x 2014 + y 2015 + z 2016
b) Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
B=

1 1 1
 
a b c

Bài 3: (1,5 điểm)
a.

�ac  b(a  b  c)
�

Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c biết rằng: �1 1 1
  1
�
�a b c

b. Cho đa thức Q  ( x  3)( x  5)( x  7)( x  9)  2014 . Tìm số dư trong phép chia đa thức Q
cho đa thức x 2  12 x  32 .
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC( �A < 900 ). Bên ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE, ACFG.
Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh rằng .
a.  ABC =  GIA và CI = BF.
b. Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng quy
Hết./.
3


Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………
PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2017 – 2018.
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
a. T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó: x2 – 2x – 14 lµ sè chÝnh ph¬ng.
b. Giải phương trình: y 2  4 x  2 y  2 x 1  2 0
x2  y 2  z 2
x2 y 2 z 2
c. Cho a, b, c �0. Biết x, y, z thoả mãn: 2 2 2 = 2 + 2 + 2
a b c

a

b

c

Tính D = x2016 + y2017 + z2018.
Bài 2: (2.0 điểm).
a) Tìm GTLN và GTNN của: y 

4x  3
x2  1

b) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Bài 3: (1,5 điểm)
a. T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y, z biÕt r»ng: x3  y 3  z 3 3xyz vµ x 2  2( y  z )
b. Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ADE : ABC
b) Chứng minh: BH . BD + CH . CE = BC2
c) Trên các đoạn thẳng BD và CE lấy lần lượt hai điểm M và N sao cho
�
AMC  �
ANB  900 . Chứng minh rằng: AM = AN.

Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………

4

PHềNG GD & T NINH GIANG
THI KHO ST CHT LNG MI NHN
NM HC: 2017 2018.
Mụn thi: TON 8
Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Bi 1: (2.5 im ).
a. Cho x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by va x + y + z 0; xyz 0.
CMR:

1
1
1


2
1 a 1 b 1 c
3

3

3
1
3

b. Gii phng trỡnh: x 3 x 4 1 x 0
4
4

c. Cho x,y,z 0 tho món x+ y +z = xyz va
Tinh giỏ tri ca biu thc P =

1 1 1
+ + = 3
x y z

1
1
1
2 2
2
x
y
z

Bi 2: (2.0 im).
a) Tìm GTNN của biểu thức B

3x 2 8 x 6
.
x2 2x 1

2
2
2
b) Tinh giỏ tri biu thc: A = x y 5 2 x 4 y ( x y 1) 2 xy vi x 2 2011 ; y 16 503

Bi 3: (1,5 im)

3
3
2
2016
2016
2016
a. Cho a b c 3ab c va a b c 3 Tinh GT ca BT: K = 675 a b c 1

b. Tỡm s t nhiờn n sao cho cỏc s sau la s chinh phng n2 + n + 1589
Bi 4: ( 4.0 im)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên
tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đng vuông góc với BC tại D cắt
AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác
BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:

GB
HD

.
BC AH HC

5


Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………
PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2017 – 2018.
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
a. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính S = a2 + b 2016 + c 2017.

 2009  x    2009  x   x  2010    x  2010   19
2
2
 2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  49
2

b. Giải phương trình:

2

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy – 8x – 2y + 18
Bài 2: (2.0 điểm).
a) Cho các số x  bc  a ; y  a b  c ; z  c a  b là các số nguyên tố (a, b, c là các số tự nhiên
khác 0). Chứng minh rằng ba số x, y, z ít nhất có hai số bằng nhau.
b) Cho x, a, b  Z

+

 x  3  2a
tho¶ m·n: 
 3 x  1  4b

Bài 3: (1,5 điểm)

a
b
c
a2
b2
c2



1
a. Cho
. Chứng minh rằng:


0
b  c c  a a b
b  c c  a a b
b. Tìm các số nguyên tố tho¶ m·n: xy + 1 = z
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC, đường cao AH ( H � BC ). Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H
trên AB và AC .
a) Chứng minh  ABH

 AHD

b) Chứng minh: HE2 = AE.EC
c) Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: BD.CM = BM.CE
Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………

6


PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2017 – 2018.
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
Cho biÓu thøc: A 

x3  3
6  2x x  3


2
x  2x  3 1 x 3  x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
b) Tìm x để A �x  2 .
c) Cho x �0 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 2: (2.0 điểm).
a) Cho 3 số a; b; c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn a + b + c = 0
Tính giá trị biểu thức Q = (

a
b
c
bc c a a b



)(


)
bc ca ab
a
b
c

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 2x – 11 = y2
Bài 3: (1,5 điểm)
2
2
x
 . Hãy tính giá trị của biểu thức: Q =
a. Cho biết 2
x  x 1 3
x4  x2  1

x

x 2  2 x  2 x 2  8 x  20 x 2  6 x  16 x 2  4 x  2



b. Giải phương trình:
x 1
x4
x 3

x2

c. Cho a, b, c � Z, thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh a5 + b5 + c5 M30
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Lấy điểm M
nằm trên đoạn HB, điểm N nằm trên đoạn HC sao cho �AMC  �ANB  900 . Chứng minh:
a. Tam giác AMN cân.
b.

BC.BD AC. AE

.
BF
AF

Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………

7


PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2017 – 2018.
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
Giải các phương trình:
3

3

3
�1
� �3
�
a) � x  3 � � x  4 �  1  x   0
�4
� �4
�

3 x

3 x

�
�
�
�
b) x � ��x 
� 2
�x  1 �
� x 1 �

Bài 2: (2.0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = 3x  1  x  2  4 x  3
b) B =

14x 2  8x  9

3x 2  6x  9

Bài 3: (1,5 điểm)
a. Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và
Chứng minh rằng:

a
b
c


0
bc ca a b

a
b
c


0
2
2
(b  c) (c  a) (a  b) 2

b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4(x + y) = 11 + xy
c. Cho a, b, c tho· m·n:

1 1 1
1
  

a b c abc

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.
a) Chứng minh rằng EC = BH; EC  BH
b) Gọi M, N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC.
Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ?
8


Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN NINH GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 21/04/2017
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

�2
2 �x  1
� x 1
�
.�
 x  1�
Câu 1(2,0 điểm): Cho biểu thức P = � 

�: x
3 x x  1 �3x
�
�
�
a) Rút gọn P.
b) Tìm x � Z để P có giá trị nguyên.
c) Tìm x để P �1.
Câu 2(2,0 điểm):
a) Giải phương trình: x3 – 6x2 – x + 30 = 0

b) Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh rằng

a
b
2(ab  2)
 3
 2 2
b 1 a 1 a b  3
3

c) Trong ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c là độ dài 3 cạnh của tam giác thoả mãn:
ab
bc
ca
ca
ab
bc






bc c a a b b c c a a b

Chứng minh ∆ABC là tam giác cân.
Câu 3(2,0 điểm):

1
1
4


a 1 b 1 3
b) Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: S = ( x – 1)2017 + y2018 + (z + 1)2019

a) Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Chứng minh rằng :

� 1�
� 1�
� 1� � 1�
� 1�
� 1�
c) Chứng minh rằng: �a  ��b  ��c  ���a  ��b  ��c  �, trong đó a, b, c là các
b
c
a
a
b

c
�

�
�

�
�

��

�
�

�
�

�

số thực không nhỏ hơn 1.
Câu 4(2,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

BC 2
b) BH.BE + CH.CF = BC2 và AD.HD �
4
c) Gọi I, K, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC.
Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên một đường thẳng.

Câu 5(2,0 điểm): Cho a, b, c > 0; a + b + c  1 . Chứng minh rằng :
1
1
1


9
a 2  2bc b 2  2ca c 2  2ab
.............. Hết.............
9


Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................

UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Câu 1(2,0 điểm):
1) Tìm số dư trong phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x2 + 8x + 12.
1

1

1

yz

xz

xy

2) Cho x  y  z  0( x, y, z �0) . Tính 2  2  2
x
y
z
Câu 2(2,0 điểm):

a) Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) M120 với m, n � Z.
b) Giải phương trình: x  1 + x  2 + x  3 = 14
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =

27  12 x
x2  9

Câu 3(2,0 điểm):
x 2 y2 z2 x 2  y2  z2

 
a) Tìm x, y, x biết :
2
3
4
5
b 

c 
a 

b) Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức:  a   b   c   �8
ac 
ba 
bc 

c) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x 2  xy  y 2  x 2 y 2
Câu 4(2,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các hình vuông ABDE
và ACGH.
a) Chứng minh rằng BCHE là hình thang cân.
b) Kẻ đường cao AK của tam giác ABC.
Chứng minh rằng các đường thẳng AK, DE, GH đồng quy
Câu 5(2,0 điểm):
Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a 3  5a 2  21  7b và a  5  7 c
.............. Hết.............
Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................
10


UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5 là như nhau.
b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p là số nguyên tố.
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
P

1
1
1
 2
 2
2
2
2
2
a b c
b c a
c  a2  b2
2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

x 2  2 x  2016
x2
1
1
1

1
1
 2
 2
 2
Bài 3 (1.5 điểm): Cho biểu thức: P  2  2
x  x x  3 x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20
A  x 4  2 x 3  3x 2  4 x  2015 ;

B

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn: x3 – x2 + 2 = 0
Bài 4 (2.0 điểm):
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ca �a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0
Bài 5 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng
song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB
cắt cạnh AC tại N.
1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.
2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD.
3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC.
11


Bài 6 (1.0 điểm):

Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a 2  a  3b 2  b .
Chứng minh rằng: a  b và 3a  3b  1 là các số chính phương.
Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
x
5x
 2
 2
x  4x  4 x  4
6
b) Giải phương trình: y2 – 2y + 3 = 2
x  2x  4

a) Giải phương trình :

2

Bài 2 (1.5 điểm):

abc
với a, b, c là độ dài ba cạnh.

2
1
1
1
�1 1 1 �


�2 �   �.
Chứng minh
pa pb pc
�a b c �
b) Cho các số dương a, b, c và a+ b + c = 3
a) Cho tam giác có nửa chu vi p 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

1 1 1
 
a b c

Bài 3 (1.5 điểm):
1) Tìm a, b, c thuộc Z biết a 2  b2  c 2  4 �ab  3b  2c
2
2) Cho các số a,b,c thoả mãn b �0, a  b �c, c  2  ac  bc  ab  .

Chứng minh rằng

a2   a  c 
b2   b  c 

2
2



ac
bc

Bài 4 (2.0 điểm): Cho biểu thức
� (x  1) 2
1  2x 2  4x
1 �x 2  x
A�


�: 3
2
3
x

1
3x

(x

1)
x

1
�

�x  x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > -1
Bài 5 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với
CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
2

a)AIM và ABI đồng dạng.

AM �AI �
� �
b)
BN �BI �

Bài 6 (1.0 điểm):
12


Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc  1 . Chứng minh rằng :
1
1
1
3
 3
 3
� .
a (b  c) b (c  a) c ( a  b) 2
3

Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
x 1
1  2x
 1 x
 2
 1 :
.
2
 3x  3 x 6 x  3x  2 x


Cho biểu thức: P 

a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm x � Z để P có giá trị nguyên.
c. Tìm x để P �1.
Bài 2 (1.5 điểm):
x  y  z  2017
�

�
a) Cho ba số x, y, z khác không thỏa mãn: �1  1  1  1
�x y z 2017
�

Chứng minh rằng trong ba số x, y, z tồn tại hai số đối nhau.
a2
b2
c2
abc


�
b) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng:
bc

ca

ab

2

Bài 3 (1.5 điểm):
1) Cho a1 , a2 ,..., a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5.
3
Chứng minh rằng: A  a13  a23  ...  a2016
chia hết cho 5.
2
2) Cho các số a,b,c thoả mãn b �0, a  b �c, c  2  ac  bc  ab  .

Chứng minh rằng

a2   a  c 
b2   b  c 

2
2



ac
bc

Bài 4 (2.0 điểm): Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
a) x  3x  2  x  1  0
2

2

2

1 � �2 1 � �2 1 �
2
� 1�
b) 8 �
�x  � 4 �x  2 � 4 �x  2 �
�x  �  x  4 
� x� � x � � x �
� x�

Bài 5 (2.0 điểm):
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,
C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH  BN ( H � BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng.
13


Bài 6 (1.0 điểm): Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: (a  b)3  (b  c)3  (c  a )3  210 .
Tính giá trị của biểu thức A  a  b  b  c  c  a .
Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2  y 2  3  xy.
b) Giải phương trình: (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7) 2  72 .
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  2016) 2  ( x  2017) 2 .
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng:
1
1

1
3
 2
 2
� .
x x y y z z 2
2

Bài 3 (1.5 điểm):
{ {
1) Cho A=11...155...56
với n �N * . Chứng minh A là số chính phương.

2) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1

1

1

P = 16 x  4 y  z
Bài 4 (2.0 điểm): Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:

ab
bc
ac


�a  b  c

a  b  c a  b  c a  b  c

Bài 5 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường
thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA
có giá trị không đổi.
c) Kẻ DH  BC  H �BC  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,
DH. Chứng minh CQ  PD .
Bài 6 (1.0 điểm):
14


Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :

a b b c c d a d



.
b c c d d a a b

Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Đề chính thức

Bài 1 (2.0 điểm):

2
2
2
a) Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  .
2

Chứng minh rằng

2

2

a b c .

b) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n sao cho 2m – 2n = 448
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  2016) 2  ( x  2017) 2 .
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng:
1
1
1
3
 2
 2

� .
x x y y z z 2
2

Bài 3 (1.5 điểm):
{ {
1) Cho A=11...155...56
với n �N * . Chứng minh A là số chính phương.

2) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1

1

1

P = 16 x  4 y  z
Bài 4 (2.0 điểm): Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:

ab
bc
ac


�a  b  c
a  b  c a  b  c a  b  c

Bài 5 (2.0 điểm):

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE
= AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H � BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.
Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng:

1
1
1
=
+
.
2
2
AD
AM
AN 2

Bài 6 (1.0 điểm):
15


Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :

a b b c c d a d



.

b c c d d a a b

Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Đề chính thức

Bài 1 (2.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: (n2 + n – 1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n sao cho 2m – 2n = 448
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Định a và b để đa thức A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác
x

b) Tìm giá trị lớn nhất của P = ( x  10)2
Bài 3 (1.5 điểm):
1) Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và
Chứng minh rằng:

a
b
c



0
bc ca a b

a
b
c


0
2
2
(b  c) (c  a) (a  b) 2

2) Cho tù nhiªn a, b, c. CMR nÕu a + b + c chia hÕt cho 3 th× a3 + b3 +
c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho 6.
Bài 4 (2.0 điểm): Cho x, y > 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y  6. T×m GTNN
cña biÓu thøc:
6

8

P 3x  2 y  x  y .
Bài 5 (2.0 điểm):
 ABC vuông cân tại A, M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua M và

vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Qua M kẻ MH song
song với AB (H thuộc AC) và MK song song với AC (K thuộc AB).
a. Chứng minh rằng: AM = KH.
b. Gọi F là điểm đối xứng với M qua đường thẳng AC, chứng minh MEFC là hình vuông ?
c. Gọi N là hình chiếu của B trên CD, chứng minh ba điểm B, E, N thẳng hàng.

d. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm O của KH nằm trên đường thẳng cố định?
Bài 6 (1.0 điểm):
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
16


Chng minh :

ab
bc
ca
1


.
c 1 a 1 b 1 4

H tờn thớ sinh:..SBD:
UBND HUYN NINH GIANG
PHềNG GIO DC V O TO

K THI CHN HC SINH GII CP HUYN
Mụn: Toỏn 8
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian phỏt )
Khúa thi: Ngay 23/04/2017

Bi 1 (2.0 im):
ab

a) Cho 4a2 + b2 = 5ab va 2a b 0. Tinh: P 4a 2 b 2

b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 va

1 1 1
1
1
1
0 . Rỳt gn: N 2
2
2
a b c
a 2bc b 2ca c 2ab

Bi 2 (1.5 im):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
1
a

x 2 2 x 2017
, ( x khác 0)
2017 x 2

26
5

b) Cho a 5 . Chng minh rng: a .
Bi 3 (1.5 im):
1) Cho x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by va x + y + z 0; xyz 0.
Chng minh rng:

1

1
1


2
1 a 1 b 1 c

14 2 43 và B 44......44
14 2 43 Chứng minh rằng: A + B + 1 là một số
2) Cho A 11.....11
2n
n

chính phơng.
Bi 4 (2.0 im):
ac b(a b c)

1) Tỡm b ba s nguyờn dng a, b, c bit rng: 1 1 1
1

a b c

2) Chng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khụng la s chinh phng vi mi s t nhiờn
n khỏc 0.
Bi 5 (2.0 im):
Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC ct BD ti O. M la im bõt k thuc cnh BC (M khỏc B,
C).Tia AM ct ng thng CD ti N . Trờn cnh AB lõy im E sao cho BE = CM.
a)Chng minh : OEM vuụng cõn.
b)Chng minh : ME // BN.
c)T C k CH BN ( H BN). Chng minh rng ba im O, M, H thng hang.

17


Bài 6 (1.0 điểm):
Cho a, b, c > 0. Chứng minh

1
1 1
1
1
1
  �


3a 3b 3c 2a  b 2b  c 2c  a

Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………

UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
a) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

x 2  4 x  6 x 2  16 x  72 x 2  8 x  20 x 2  12 x  42




x2
x 8
x4
x6
b) Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Bài 2 (1.5 điểm):
x2  1
a) Tìm GTNN và GTLN của biểu: P  2
x  x 1

b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: ab + bc + ca = 1.
2
2
2
Chứng minh rằng: A =  1 a   1 b   1 c  là số chính phương;

Bài 3 (1.5 điểm):
2015

2015

2015

�x �
�y �
�z �
1) Tìm các số x; y; z biết rằng: � �  � �  � �

�2 �
�3 �
�5 �

và xyz = 810

2) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 13 và n – 76 đều là số chính phương
Bài 4 (2.0 điểm):
1) Cho các số x  bc  a ; y  a b  c ; z  c a  b là các số nguyên tố (a, b, c là các số tự nhiên
khác 0). Chứng minh rằng ba số x, y, z ít nhất có hai số bằng nhau.
2) Cho ba số dương 0 �a �b �c �1 chứng minh rằng:

a
b
c


�2
bc  1 ac  1 ab  1

Bài 5 (2.0 điểm):
Cho  ABC là tam giác nhọn có AB < AC , đường cao AD. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu
của D trên AB và AC.
18


a)Chứng minh rằng: IA . IB = ID2
b)Gọi giao điểm của IK với BC là S. Chứng minh : SD2 = SB.SC
Bài 6 (1.0 điểm):
Cho 3 số a; b; c dương thoả mãn abc = 1

Chứng minh:

1
1
1
 2
 2
�a  b  c
2
2
a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2
2

Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn 8
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
2x
5  
2 


 : 3 


2
1 x 
 2 x  5x  3 2x  3  

Cho biĨu thøc: B = 
a) Rót gän B
b) T×m x ®Ĩ B =

1
x2

c) T×m x ®Ĩ B > 0
Bài 2 (1.5 điểm):

a) Chứng minh rằng:  a10  b10  a 2  b 2   a 8  b 8  a 4  b 4 
b) Tìm các số a, b, thỏa mãn : 4a 2  4b 2  4ab  4a  4b  4  0
Bài 3 (1.5 điểm):
2

2

�x 2  4 �
�x  2 � �x  2 �
1) Giải phương trình: 10.�
� �
� 11.� 2
� 0.
x

1

�x  1 � �x  1 �
�
�
2) Tìm các nghiệm ngun (x;y) của các phương trình sau: x2 = y.(y + 1).(y + 2).(y + 3)
Bài 4 (2.0 điểm):
1) Tính giá trò của biểu thức: M = 2

1 1
1 650
4
4
.

.3


315 651 105 651 315.651 105

2) Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh
rằng ab – 2 chia hết cho 3.
Bài 5 (2.0 điểm):
Cho ABC vng ở A và đường cao AH, AB = 15cm, AC = 20cm.
a) Chứng minh CA2 = CH . CB
�
b) Kẻ AD là tia phân giác của BAC
(D � BC). Tính HD.
19


c) Trờn tia i ca tia AC lõy im I. K AK vuụng gúc vi BI ti K.

Chng minh rng BHK : BIC
d) Cho AI = 8cm. Tinh din tich BHK
Bi 6 (1.0 im):
Cho 3 s a; b; c dng tho món abc = 1
Chng minh:

1
1
1
2
2
a b c
2
2
a ab b b bc c c ca a 2
2

H tờn thớ sinh:..SBD:
UBND HUYN NINH GIANG
PHềNG GIO DC V O TO

K THI CHN HC SINH GII CP HUYN
Mụn: Toỏn 8
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian phỏt )
Khúa thi: Ngay 23/04/2017

Bi 1 (2.0 im):

Cho E 1

và F

1
1
1


1
.....1

1 2 1 2 3 1 2 3 ... n

n2
E
với n N*. Tính
n
F

Bi 2 (1.5 im):
x y z 2(1)

a) Tỡm cỏc s nguyờn x, y bit rng:

2
2 x xy x 2 z 1(2)

x 2 4x 1
x 2 5x 1

2


b) Giải phơng trình sau :
x 1
2x 1

Bi 3 (1.5 im):
1) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: 12n2
5n 25

2) Chng minh rng: 10n + 18n 28 chia ht cho 27 vi n N
Bi 4 (2.0 im):
1) Tỡm d ca phộp chia x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1
1
1
2) Cho x + = 3. Tinh giỏ tri ca cỏc biu thc sau : B = x3 + 3
x
x
Bi 5 (2.0 im):

20


Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I
�  900 (I và M không trùng với các
thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM

đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD, K là giao điểm của OM và BN.
1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

�  BCO
� .
2) Chứng minh BKM

3) Chứng minh

1
1
1
=
+
.
2
2
CD
AM
AN 2

Bài 6 (1.0 điểm):
1

1

2

Cho xy  1 .Chứng minh rằng : 1  x 2  1  y 2 1  xy
Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
a) Tính A =

1
1
4586 2
7
3
.7
3
.


4587 3897
4587 3897 4587 4587.3897

b) Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd)
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: x + y + z =

1 1 1 1
;    4 và 8 x 2  5 z  3
4 x y z

b) Gi¶i phư¬ng tr×nh sau : 3   x 2  2 x  3  26 x 2   x 2  2 x  3  9 x 4  0

4

2

Bài 3 (1.5 điểm):
1

1

1

19
5
2018
1) Cho x, y, z thỏa mãn xyz = 1 và x  y  z  x  y  z . Tính A =  x  1  y  1  z  1

2

2) Cho a, b, c thỏa mãn c = 4(ac + bc – 2ab). Chứng minh rằng:

4a 2   2a  c 
4b   2b  c 
2

2
2



2a  c

2b  c

Bài 4 (2.0 điểm):
1) Cho x, y, a, b thỏa mãn a + b = x + y và x3 + y3 = a3 + b3.
Chứng minh rằng: x2017 + y2017 = a2017 + b2017.
2) Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn

a
b
c
+
+
= 0.
b- c c- a a- b
21


Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
=0
2
2
(b- c)
(c- a)
(a- b)2

Bài 5 (2.0 điểm):  ABC vuông cân tại A, M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường
thẳng qua M và vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Qua
M kẻ MH song song với AB (H thuộc AC) và MK song song với AC (K thuộc AB).
a. Chứng minh rằng: AM = KH.
b. Gọi F là điểm đối xứng với M qua đường thẳng AC, chứng minh MEFC là hình vuông ?
c. Gọi N là hình chiếu của B trên CD, chứng minh ba điểm B, E, N thẳng hàng.
Bài 6 (1.0 điểm): Cho x, y, z khác 0 và x + y + x � 0; x � y + z thỏa mãn
x2  y 2  z 2 y 2  z 2  x2 z 2  x2  y 2


 1 . Chứng minh rằng: y = x + z
2 xy
2 yz
2 zx

UBND HUYỆN NINH GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
�2

2

�x  1

� x 1
�

.�
 x  1�
Cho biểu thức: A  � 
�: x
3 x x  1 �3x
�
�
�

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Cho a, b, c > 0, chứng minh:

1
1
1
1 �1 1 1 �


� �  �
a  b b  c c  a 2 �a b c �

2
b) Gi¶i phư¬ng tr×nh sau : x 

x2

 x  1

2

 15

Bài 3 (1.5 điểm):
1) Tìm n � N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7
2) Cho p = n4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để p là số nguyên tố.
Bài 4 (2.0 điểm):
1) Tìm giá trị bé nhất của M = 2 x 2  5 y 2  6 xy  4 x  10 y  100
2) Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn x 2  5 x  7  3 y
Bài 5 (2.0 điểm):
22


Gi O la trung im ca on thng AB . Trờn cựng mt na mt phng b la ng thng
AB k hai tia Ax va By cựng vuụng gúc vi AB . Trờn tia Ax lõy im C (C khỏc A). T O
k ng thng vuụng gúc vi OC, ng thng nay ct By ti D. T O h ng vuụng
gúc OM xung CD (M thuc CD)
a) Chng minh OA2 = AC.BD
b) Chng minh tam giỏc AMB vuụng
c) Gi N la giao im ca BC va AD . Chng minh MN//AC
Bi 6 (1.0 im):
1

1

1

Cho x, y, z khụng õm va x y z 1 . Chng minh x y z x y z 10
H tờn thớ sinh:..SBD:
UBND HUYN NINH GIANG
K THI CHN HC SINH GII CP HUYN
PHềNG GIO DC V O TO
Mụn: Toỏn 8
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian phỏt )
Khúa thi: Ngay 23/04/2017

Bi 1 (2.0 im):
1

1

1

1

1) Tỡm x, y, z bit x + y + z = 3; x y z 3 va 2x2 + y = 1
2) Tỡm x, y nguyờn thoa món ng thc: x3 xy 3 x 2y
3) Cho phng trỡnh ( 2x 3)2 = 5. Tinh giỏ tri ca biu thc A

3x 2
x4 9x2 1

Bi 2 (1.5 im):
a) Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

8x 3

4x2 1

2

x
b) Giải phơng trình sau : x
8
x 1
2

Bi 3 (1.5 im):
1) Tỡm x, y Z sao cho: x 2 xy y 2 x y .
2) Cho a, b, c la s o ba cnh ca mt tam giỏc. Chng minh:
a b c b c a c a b a3 b3 c3 .
2

2

2

Bi 4 (2.0 im):
1) Phõn tich a thc thanh nhõn t: x7 + x2 + 1
2) Cho

1 1 1
1
1
1
+ + = 2 va 2 + 2 + 2 = 2 . Chng minh rng: a + b + c = abc
a

b c
a
b
c
23


Bài 5 (2.0 điểm):
Cho hình vng ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vng góc
với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vng góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
a  b  c
Bài 6 (1.0 điểm): Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 
.
2

2

2

2

3

2

2

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a + b + c – (a + 2b + 3c) + 2017
Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Mơn: Tốn 8
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: B   x 2  5x  6   7x  x 2  5x  6   12x 2
2

2) Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với
mọi m, n � N
3) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiƯm lµ sè nguyªn: x(x 2 + x + 1) = 4y(y + 1).
Bài 2 (1.5 điểm):
a) Xác định a và b để đa thức f (x)  x 4  9x 3  21x 2  ax  b chia hết cho đa thức x 2  x  2 .
b) Cho phương trình

1  21a
 1  3a (a là tham số)
x7

Tìm giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm.
Bài 3 (1.5 điểm):
1) Giải phương trình: 6 x 4  11x 3  3x 2  11x  6 x 2  3 0.
2) Tìm các số ngun x, y thoả mãn 5 x 2  2 xy  y 2  4 x  40  0 .

Bài 4 (2.0 điểm):
x  y  z  2015
�
�
1) Cho ba số x, y, z khác khơng thỏa mãn: �1  1  1  1
�x
y z
2015
�

Chứng minh rằng trong ba số x, y, z tồn tại hai số đối nhau.
2) Cho a1 , a2 ,..., a2016 là các số tự nhiên thỏa mãn a1  a2  ...  a2016  152017
3
Chứng minh rằng: A  a13  a23  ...  a2016
chia hết cho 5.

24


Bài 5 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng:
a)
b)

ACB

AFE

�

EH là tia phân giác của FED

2) Gọi I là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI, đường thẳng này
cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh IMN cân.
a2
b2
c2
4
Bài 6 (1.0 điểm): Chứng minh rằng: P = 2
 2
 2
 2
1
a  3 b  2 c  1 a  4  c2
Với mọi a,b,c.
Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………
UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2017

Bài 1 (2.0 điểm):
2
2
2
1) Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  .
2

Chứng minh rằng

2

2

a b c .

x  241 x  220 x  195 x  166



 10
17
19
21
23
3) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Bài 2 (1.5 điểm):
2) Giải phương trình:

a) Phân tích đa thức a 2 (b  c)  b 2 (c  a)  c 2 ( a  b) thành nhân tử.
b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: (a  b)3  (b  c)3  (c  a )3  210 .
Bài 3 (1.5 điểm):
1) Giải phương trình: (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7) 2  72
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng:
1
1
1

3
 2
 2
�
x x y y z z 2
2

Bài 4 (2.0 điểm):
1) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.
Chứng minh rằng: a2 + b2  1 + ab
2) Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
25