Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 .
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó.
Kí hiệu: lim un  0 .
Nói một cách ngắn gọn, lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a) lim un  0  lim un  0 .
b) Dãy số không đổi  un  , với un  0 , có giới hạn là 0 .
c) Dãy số  un  có giới hạn là 0 nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.
2. Một số dãy số có giới hạn 0
Định lí 4.1
Cho hai dãy số  un  và  vn  .
Nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0 .
Định lí 4.2
Nếu q  1 thì lim q n  0 .
Người ta chứng mình được rằng
1
0.
a) lim
n
1
b) lim 3  0

n
1
c) lim k  0 với mọi số nguyên dương k cho trước.
n
1
Trường hợp đặc biệt : lim  0 .
n

nk
 0 với mọi k  * và mọi a  1 cho trước.
an
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.
1. Định nghĩa
d) lim

Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là số thực L nếu lim un  L   0 .
Kí hiệu: lim un  L .
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
a) Dãy số không đổi  un  với un  c , có giới hạn là c .
b) lim un  L khi và chỉ khi khoảng cách un  L trên trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ
bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm un “
chụm lại” quanh điểm L .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
2. Một số định lí

Định lí 4.3
Giả sử lim un  L . Khi đó
a) lim un  L và lim 3 un  3 L .
b) Nếu un  0 với mọi n thì L  0 và lim un  L .
Định lí 4.4
Giả sử lim un  L , lim vn  M và c là một hằng số. Khi đó
a) lim un  vn   L  M .

b) lim un  vn   L  M .

c) lim unvn   LM .

D) lim  cun   cL .

e) lim

un
L

(nếu M  0 ).
vn M

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q  1 .
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
u
S  u1  u1q  u 1q 2  ...  1
1 q
III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.

1. Dãy số có giới hạn 
Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim un   .
Nói một cách ngắn gọn, lim un   nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Người ta chứng minh được rằng:
a) lim un   .
b) lim 3 un  
c) lim nk   với một số nguyên dương k cho trước.
Trường hợp đặc biệt : limn   .
d) lim q n   nếu q  1 .
2. Dãy số có giới hạn 
Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Kí hiệu: lim un   .
Nói một cách ngắn gọn, lim un   nếu un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Nhận xét:
a) lim un    lim  un    .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

1
1

trở

un
un
1
nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu lim un   thì lim  0 .
un
b) Nếu lim un   thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó

Định lí 4.5
Nếu lim un   thì lim

1
0.
un

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1
Nếu lim un   và lim v n   thì lim  unvn  được cho trong bảng sau:
lim u n

lim v n

lim  unvn 

























Quy tắc 2
Nếu lim un   và lim v n  L  0 thì lim  unvn  được cho trong bảng sau:
lim u n

Dấu của L

lim  unvn 






















Quy tắc 3
Nếu lim un  L  0 và lim v n  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì
u
lim n được cho trong bảng sau:
vn
Dấu của L

Dấu của v n














lim




B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 1:

un
vn





lim  n3  2n  1 bằng

A. 0 .
Đáp án D.

B. 1 .

C.  .
Lời giải

D.  .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Câu 2:

Hội toán Bắc Nam

2 1

Ta có: n3  2n  1  n3 1  2  3  .
 n n 
2 1

Vì lim n3   và lim 1  2  3   1  0 nên theo quy tắc 2, lim  n3  2n  1  
 n n 
lim  5n  n2  1 bằng

A. .

B. .

C. 5.
Hướng dẫn giải

D. 1.

Chọn B.
5 1 

Ta có 5n  n 2  1  n 2  1   2  .
n n 

5 1 

Vì lim n2   và lim  1   2   1  0 nên lim  5n  n2  1   (theo quy tắc 2).
n n 


Câu 3:

lim un , với un 

A. 0.

5n 2  3n  7
bằng:
n2
B. 5.
C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 7.

Chọn B.

 5n2 3n 7 
3 7

Ta có: lim un  lim  2  2  2   lim  5   2   5 .
n n 
n n 

 n
Câu 4:

lim un , với un 

A. 3.

2n3  3n 2  n  5
bằng
n3  n 2  7
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 0.

Chọn C.
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n3 ( n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta
3 1 5
2  2  3
n n n . Vì lim  2  3  1  5   2 và lim 1  1  7   1  0 nên
được: un 




3 
1 7
n n 2 n3 

 n n 
1  3
n n
3
2
2n  3n  n  5 2
lim
  2.
n3  n 2  7
1
Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số un  , với un 
A. 1.

n3  2n  1
bằng
n 4  3n3  5n 2  6
C. .

B. 0.

D.

1

.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n 4 ( n 4 là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được
1 2 1
 3 4
3
n  2n  1
n
n n  0  0.
lim un  lim 4
 lim
3
2
3 5 6
n  3n  5n  6
1  2  3 1
n n n
Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số  un  với un 

3n3  2n  1
, bằng
2n 2  n


Chuyên đề giới hạn và liên tục

3

A. .
2

Hội toán Bắc Nam

C. .

B. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Chia cả tử và mẫu cho n 2 ( n 2 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được
2 1
3n   2
3
3n  2n  1
n n . Vậy lim u  lim  3n    .
un 

n
 
2
1
2n  n
 2 
2
n
sin  n !

Ví dụ 7: lim 2
bằng
n 1
A. 0.
B. 1.
C. .
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

sin  n !
1
1
 2
mà lim 2
 0 nên chọn đáp án A.
2
n 1
n 1
n 1

 1
n  n  1
n

Ví dụ 8: lim

bằng

A. 1.

C. .
Hướng dẫn giải

B. 1.

D. 0.

Chọn D.

 1
n  n  1
n

Ta có

1
1
1
 1  0
1


 2 mà lim 2  0 nên suy ra lim
n  n  1 n.n n
n  n  1
n
n

Ví dụ 9: Tính giới hạn I  lim



A. I  1.

n2  2n  3  n



B. I  1.
C. I  0.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ta có I  lim



n  2n  3  n
2




 lim

n2  2n  3  n



D. I  .

n2  2n  3  n



n2  2n  3  n
3
2 
n 2  2n  3   n 2

2
2n  3
n
 lim
 lim

 1.
 lim
2 3
1 1
n 2  2n  3  n
n 2  2n  3  n
1  2 1
n n





Ví dụ 10: lim n  3 8n3  3n  2 bằng:
B. .

A. .

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 0.

Chọn B.






3 2 
Ta có lim n  3 8n3  3n  2  lim n 1  3 8  2  3  .
n n 







3 2 
Vì lim n  , lim 1  3 8  2  3   1  3 8  1  0 nên lim n  3 8n3  3n  2   .

n n 



Chuyên đề giới hạn và liên tục



Hội toán Bắc Nam



Ví dụ 11: lim n  n 4n  1 bằng:
2

A. 1.

D. .

C. .
Hướng dẫn giải

B. 3.

Chọn C.


4 1 
Ta có n2  n 4n  1  n 2 1 
 .

n n2 



4 1 
Vì lim n2   và lim 1 
 2   1  0 nên theo quy tắc 2, lim n2  n 4n  1  .
n
n 










Ví dụ 12. lim n  3 n3  3n2  1 bằng :
A. 1.

C.  .
Hướng dẫn giải

B. 1 .

D.  .

Chọn A.

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của n  3 n3  3n2 1
n3   n3  3n2  1
3 3
2
lim n  n  3n  1  lim
2 
 2
3 3
2
3
2
3
 n  n n  3n  1   n  3n  1 


1
3  2
n
 lim
 1 .





3 1
 3 1
1  1   3  3 1   3 
n n
 n n 

2

3

Ví dụ 13. lim
A.





n2  n  1  3 n3  3n  2 bằng :

1
.
2

C.  .

B. 0 .

D.  .

Hướng dẫn giải
Chọn A.







n2  n  1  3 n3  3n  2  lim 

Ví dụ 14. lim  5n  2n  bằng :
lim

A.  .

B. 3 .

 



1
n2  n  1  n  n  3 n3  3n  2  
 2
C.  .

D.

5
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.

  2 n 
Ta có 5  2  5 1    
 5 


  2 n 
Vì lim5n   và lim 1      1  0 nên theo quy tắc 2, lim 5n  2n   
 5 


n 1
n
Ví dụ 15. lim  3.2  5.3  7n  bằng :
n

A.  .

n

n

B.  .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
n

n

2
lim  3.2n 1  5.3n  7n   3n  5  6    7 n   

3 
3


D. 5 .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Ví dụ 16. lim

Hội toán Bắc Nam

n 1

4.3  7
bằng :
2.5n  7n
n

A. 1 .

3
.
5
Hướng dẫn giải

B. 7 .

C.

D.

7
.
5

C. 36 .

D.

4
.
5

Chọn B.
n

lim

Ví dụ 17. lim

4.3n  7n 1
2.5n  7n

3
4.    7

7
7
 lim   n
 7.
1
5
2.    1
7

4n 1  6n  2
bằng :
5n  8n

A. 0 .

B.

6
.
8

Hướng dẫn giải
Chọn A.
n

lim

4n1  6n  2
5n  8n

n

4
6
4.    36.  
8
8
 lim   n    0 .
5
  1
8

2n  3n
bằng :
2n  1
3
A.  .
2

Ví dụ 18. lim

C.  .

B. 0 .

D.  .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
n

2
  1
n
n
2 3
3
n
Chia cả tử và mẫu cho 3 ta được n
  n
2  1  2   1 n
   
 3  3
n
n
n
n
 2 

  2   1 n 
 2 1
Mà lim     1  1  0, lim         0 và       0 với mọi n nên theo
 3 

 3   3  
 3  3





2n  3n
lim
  .
quy tắc 3,
2n  1
Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
2  2un  1
Ví dụ 19. Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  1, un1 
với mọi n  1. Biết dãy số  un  có
un  3
giới hạn hữu hạn, lim un bằng:
2
A. 1.
B. 2 .
C. 4 .
D. .
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được un  0 với mọi n
Đặt lim un  L  0 . Ta có lim un1  lim

2  2 L  1
2  2un  1
hay L 
L3
un  3


Chuyên đề giới hạn và liên tục

L  2
 L2  L  2  0  
 L  1
Vậy lim un  2 .

Hội toán Bắc Nam

(n)
(l )

1
2
Ví dụ 20. Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  1, un1   un   với mọi n  1. Tìm giới hạn của
2
un 
 un  .
A. lim un  1 .

B. lim un  1 .

C. lim un  2 .
Hướng dẫn giải

D. lim un   2 .

Chọn C.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được un  0 với mọi n
Đề bài không cho biết dãy số  un  có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài
cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số  un  có giới hạn hữu

hạn. Đặt lim un  L  0

1
2
lim un1  lim  un  
2
un 
1
2
2
Hay L   L    L   L2  2  L  2
2
L
L
Vậy lim un  2
( loại trường hợp L   2 ). Vậy lim un  2 .

1
với mọi n  1. Khi nó lim un bằng:
2
1
1
C.  .
D. .
2
2

Ví dụ 21. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1 và un1  2un 

1

B.  .
2

A. 0 .
Đáp án C.

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L .
Ta có: lim un1  2lim un 

1
1
1
 L  2L   L   .
2
2
2

Đến đây có thể kết luận là lim un  

1
được không? Câu trả lời là không?
2

Vì không khó để chứng minh được rằng un  0 với mọi n . Do đó nếu dãy số có giới hạn L thì
L  0 . Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực.

Vậy ta chọn đáp án C.
Ta xét hai cách giải sau:
Đặt vn  un 

1
1 1
1
1

. Ta có: vn 1  un 1   2un    2  un    2vn
2
2 2
2
2


Vậy  vn  là cấp số nhân có v1 

3
3
và q  2 . Vậy vn  .2n1  3.2n2 .
2
2


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Do đó lim vn  lim 3.2

n 2

   . Suy ra lim u

Hội toán Bắc Nam

n

  .

Ví dụ 22. Cho dãy số  un  xác định u1  0 , u2  1 , un1  2un  un 1  2 với mọi n  2 . Tìm giới hạn của
dãy số  un  .
A. 0 .

C.  .

B. 1 .

D.  .

Đáp án D.
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L .
Ta có: lim un 1  2lim un  lim un 1  2  L  2 L  L  2  0  2 (Vô lý)
Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực (  và  ), vậy
chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.
Ta có u1  0 , u2  1 , u3  4 , u4  9 . Vậy ta có thể dự đoán un   n  1 với mọi n  1. Khi đó
2

un1  2un  un1  2  2  n  1   n  2   2  n2   n  1  1 .
2

2

2

Vậy un   n  1 với mọi n  1. Do đó lim un  lim  n 1   .

2

2

Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a  2,151515... (chu kỳ 15 ), a được biểu diễn dưới dạng
phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m  n .
A. m  n  104 .
B. m  n  312 .
C. m  n  38 .
D. m  n  114 .
Đáp án A.
Ta có a  2,151515...  2 

15
15
15


 ...
2
100 100 1003

15
15
15
15
, công



 ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 
2
3
100 100 100
100
15
71
1
bội q 
nên a  2  100 
.
1
100
33
1
100
Vì

Vậy m  71, n  33 nên m  n  104 .
Ví dụ 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản
đó a, b là các số nguyên dương. Tính a  b .
A. a  b  611 .
B. a  b  611 .

C. a  b  27901.

Đáp án B.
Lời giải
Ta có:

1
3
32
1
1
1
32
289
.
0,32111... 
 3  4  5  ... 
 10 
100 10 10 10
100 1  1 900
10

a
, trong
b

D. a  b  27901 .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

Vậy a  289, b  900 . Do đó a  b  289  900  611.

Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác.

1 1 1
Ví dụ 25. Tổng S  1     ... bằng:
2 4 8
A. 1 .

B. 2 .

C.

2
.
3

D.

3
.
2

D.

3
.
4

Đáp án B.
Lời giải
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u1  1 và q 

Do đó S 

1
1
1
2

Ví dụ 26. Cho dãy số  un 
A.

1
.
2

 2.

 1
1 1 1
với un     ... 
2 4 8
2n

1
.
3

n 1

B. 1 .

. Khi đó lim un bằng:
C.

2
.
3

Đáp án A.
Lời giải
un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 

1
1
và q   .
2
2

n

1
1  
n
n
1
1 1 
1 1  1
2

Do đó un  .
 1     . Suy ra lim un  lim 1      .

3   2   3
2
 1  3   2  
1   
 2
 1

1
1
Ví dụ 27. Tính lim  
 ... 
 bằng:
1.3
3.5
2
n

1
2
n

1





A. 0 .

B. 1 .

C.

1
.
2

D.

1
.
3

Đáp án C.
Lời giải
Ta có:

1
1
1
1 1 1 1
1
1  1
1 

 ... 
 1     ... 

  1 


1.3 3.5
2n 1 2n  1  2  2n  1 
 2n 1 2n  1 2  3 3 5
 1

1
1
1
1
Vậy lim  
 ... 
  lim 1 
2  2 n 1
2 n 1 2 n 1  
1.3 3.5

 1
 .
 2


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

1  2  ...  n
Ví dụ 28. Cho dãy số  un  với un 
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
n2  1
1

A. lim un  0 .
B. lim un  .
C. lim un  1 .
D. Dãy số  un  không
2
có giới hạn khi n  .
Đáp án B.
Lời giải
Ta có: 1  2  ...  n 

Do đó lim un  lim

n  n  1
1  2  ...  n n  n  1
. Suy ra
.

2
n2  1
2  n2  1

n  n  1

2  n  1
2



1
.

2

1  5  9  ...  4n  3
bằng:
2  7  12  ...  5n  3
4
3
A. .
B. .
5
4

Ví dụ 1: lim

C.

2
.
3

D.

5
.
6

Hướng dẫn giải
Chọn A
Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng  un  với n  1 , un  4n  3 và công bội

d  4.
Do đó 1  5  9  ...  4n  3 

n 1  4n  3 n  4n  2 

.
2
2

Tương tự ta có: 2  7  12  ...  5n  3 

Vậy lim

Ví dụ 2: lim

n  2  5n  3 n  5n  1

.
2
2

n  4n  2  4
1  5  9  ...  4n  3
 lim
 .
2  7  12  ...  5n  3
n  5n  1 5

3  32  33  ...  3n
bằng:

1  2  22  ...  2n

A.  .

B. 3 .

C.

3
.
2

D.

2
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân  un  với u1  3 và q  3 .
Do đó 3  32  33  ...  3n  3.

3n  1 3 n
  3  1 .
3 1 2

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân  vn  với vn  1 và q  2 . Do đó

1  2  22  ...  2n  2.

2n1  1
 2.  2n 1  1 .
2 1


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam
n

n

 3 1
   
3  3  3  ...  3
3 3 1 3
2
3
Vậy lim
 lim . n1
 lim    n   .
2
n
1  2  2  ...  2
4 2 1 4
1
2 
 3
2

3

n

n

2
n 
 1
Ví dụ 3: lim  2
 2
 ...  2
 bằng
n n
 n 1 n  2

A. 0.

B.

1
.
2

C.

1
.
3

D.  .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có

1  2  ...  n
1
2
n
1  2  ...  n
 2
 2
 ...  2

.
2
n n
n 1 n  2
n n
n2  1

n  n  1
n  n  1
1  2  ...  n
1
1

2


...

n
1
 lim 2 2
 ; lim
 lim 22
 .
Mà lim
2
2
n n
n n
2
n 1
n 1
2
2
n  1
 1
 2
 ...  2
Vậy lim  2
 .
n n  2
 n 1 n  2

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT

Câu 1:

Chọn khẳng định đúng.
A. lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
B. lim un  0 nếu un có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
D. lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 2:

Chọn khẳng định đúng.
A. lim un   nếu un có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
B. lim un   nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. lim un   nếu un có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
D. lim un   nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở
đi.

Câu 3:

Chọn khẳng định đúng.
A. lim un  a nếu un  a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
B. lim un  a nếu un  a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. lim un  a nếu un  a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
D. lim un  a nếu un  a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 4:

Chọn khẳng định đúng.
A. lim q n  0 nếu q  1 .

B. lim q n  0 nếu q  1 .

C. lim q n  0 nếu q  1 .

D. lim q n  0 nếu q  1 .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Câu 5:

Câu 6:

Hội toán Bắc Nam

Chọn khẳng định đúng.
A. lim q n   nếu q  1 .

C. lim q n   nếu q  1 .

B. lim q n   nếu q  1 .

D. lim q n   nếu q  1

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Nếu q  1 thì limq n  0 .
B. Nếu lim un  a , lim vn  b thì lim(un vn )  ab .

1
 0.

nk
D. Nếu lim un  a  0 , lim vn   thì lim(un vn )   .
C. Với k là số nguyên dương thì lim

Câu 7:

Biết lim un  3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. lim

Câu 8:

C. lim

3un  1
 2.
un  1

B. lim

3un  1
 1 .
un  1

D. lim

3un  1
 1.
un  1

D. lim

un  1
  .
3un2  5

Biết lim un   . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. lim

Câu 9:

3un  1
3.
un  1
un  1 1
 .
3un2  5 3

C. lim

1
1.3

Cho dãy số un với un
A.

1
.
2

Câu 10: lim

3n

B.

un  1
0.
3un2  5

1
3.5

B. lim

un  1 1
 .
3un2  5 5

1

...

2n 1 2n 1

1
.
4

. Ta có lim un bằng:

C. 1 .

D. 2 .

C. 0 .

D.

4.2n 1 3
bằng
3.2n 4n

A.

B. 1 .

.

n3 2n
bằng
1 3n 2
1
A.
.
3

Câu 11: lim

B.

.

C.

Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng
A. lim

2n 2 3
.
2n 3 4

B. lim

2n 2 3
.
2n 2 1

0 thì lim un

Câu 14: Cho dãy số un với un
A.

.

Câu 15: Nếu lim un

B. 1 .

L thì lim

un

D. Nếu lim un

2n
n

4

2
n

2

1

8

2
.
3

D. lim

bằng bao nhiêu?

.

2n 3 3
.

2n 2 1

a thì lim un

thì lim un

. Chọn kết quả đúng của lim un
C.

1
3

2n 2 3
.
2n 3 2n 2

B. Nếu lim un

0.

n 1

D.

1?
C. lim

Câu 13: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un
thì lim un

.
C. Nếu lim un

.

D. 0 .

a.
.


Chuyên đề giới hạn và liên tục
A.

1
.
L 2

3

Câu 16: lim

n 1

Hội toán Bắc Nam
C.

B.

.

C.

.

D. 0 .

B.

.

C.

.

D.

C. un

1 2n
.
5n 5n2

D. un

3

1
.
L 8

1

B.

1
L 8

D.

L

8

n là:

A. 1 .

Câu 17: L  lim  5n  n3  là:

4.

A.

Câu 18: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1 2n 2
.
5n 5

A. un

Câu 19:

lim n



B. un

n 2 2n
.
5n 5n 2

B.

1
.
2

C.
n

1
.
3

D.

1
.
4

n 1
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề
n  n 1
2

sau?
A. lim un  0 .

B. lim un  0 không tồn tại.

C. lim un  2 .

D. lim un  1 .

lim

1 2n
.
5n 5



Câu 20: Cho dãy số  un  xác định bởi un   1





n2  2n  n2  2n có kết quả là

A. 4 .
Câu 22:

1
?
5

n  1  n bằng

A. 0 .

Câu 21:

6.

B. 2 .

C. 1 .

D.  .

B. 1.

C.  .

D.

lim  34.2n1  5.3n  bằng
2

.
3

A.

Câu 23: lim n
A. 





n2  1  n2  2 bằng:

1
.
2

B.

 

Câu 24: Cho dãy số un với un 
A. 4 .
Câu 25: lim



3

1
.
3

1
.
2

C.

3
.
2

D. 1 .

4n 2  n  2
. Để  un  có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là:
an2  5
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .



n3  1  3 n3  2 bằng:

A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 26: Dãy số  un  với un  3 n3  1  n có giới hạn bằng:
A. 1.

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Câu 27: Nếu L  lim n




Hội toán Bắc Nam



n2  n  1  n2  n  6  thì L bằng

B.  .

A. 3 .

C.

7
.
2

D.

7 1.

DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 28: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn?
A. (sin n) .

C. ((1)n ) .

B. (cos n) .

Câu 29: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0?
A. ((0,98)n ) .
C. ((0,99)n ) .
B. ((0,99)n ) .

1
D. ( ) .
2
D. ((1, 02) n ) .

A. lim un  1 .

1
. Tính lim un .
n3
B. lim un  0 .

C. lim un  1 .

D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số (u n ) .

Câu 30: Biết dãy số (u n ) thỏa mãn un  1 

Câu 31: Giới hạn nào dưới đây bằng  ?
A. lim(3n 2  n3 ) .
C. lim(3n 2  n) .

B. lim(n 2  4n3 ) .

D. lim(3n3  n 4 ) .

C. 0.

D.  .

(2n  1) 2 ( n  1)
Câu 32: lim 2
bằng bao nhiêu?
(n  1)(2n  1)
A. 1.

B. 2.

Câu 33: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ?
A. lim

n 2  3n3  2
.
n2  n

C. lim

2n 2  3n
.
n3  3n

B. lim

n 3  2n  1
.
n  2n 3

D. lim

n2  n  1
.
1  2n

Câu 34: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại
A. lim(1 

n 2 sin 3n
).
n3  1

C. lim

n 2  sin 2 3n
.
n2  5

B. lim

2n  cos 5n
.
5n

D. lim

3n  cos n
.
3n 1

Câu 35: Để tính lim( n2 1  n2  n ) , bạn Nam đã tiến hành các bước như sau:
Bước 1: lim( n 2  n  n 2  1)  lim(n 1 
Bước 2: lim(n 1 

1
1
 n 1 ) .

n
n

1
1
1
1
 n 1  )  lim n( 1   1  ) .
n
n
n
n

Bước 3: Ta có limn   ; lim( 1 

1
1
 1 )  0 .
n
n

Bước 4: Vậy lim( n2 1  n2  n )  0 .
Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào?
A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Bước 4.

C.  .

D.  .

Câu 36: lim( 3n  1  2n  1) bằng?
A. 1.

B. 0.


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

n 1  n 1
bằng?
3n  2
2

Câu 37: lim
A. 0.

B.

1
.
3

n3

bằng?
n  n 1
B. -2.

Câu 38: lim(1  2n)

C.  .

D.  .

C.  .

D.  .

3

A. 0.

Câu 39: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn?
C. lim( n2  n  2  n  1) .

A. lim( n  1  n )n .
1
B. lim
.
n  2  n 1

D. lim( n2  n  1  n) .

Câu 40: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn?

n2  1  n

3

A. lim 3

n
.
n 1  3 n

C. lim

B. lim( 3 1  n3  n) .
Câu 41: Biết lim

3

n3  n  n

D. lim( 3 n2  n3  n) .

n2  4n  4n2  1



6 3 m
m
 , trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số

2
n
n

3n2  1  n
nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. m.n  10 .
C. m.n  15 .
B. m.n  14 .

Câu 42: Tìm lim

.

D. m.n  21 .

1  2.3n  6n
:
2n (3n1  5)

1
.
C. 1.
2
DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
A.  .

B.

D.

1
.
3

1 1 1
1
m
Câu 43: Cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  ,..., ( )n1 ,... có tổng là một phân số tối giản
. Tính
2 4 8
2
n
m  2n .
A. m  2n  8 .
C. m  2n  7 .
B. m  2n  4 .
D. m  2n  5 .
Câu 44: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 27323232... được biểu diễn bởi phân số tối giản

m
( m , n là
n

các số nguyên dương). Hỏi m gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
A. 542.
B. 543.
C. 544.
D. 545.
Câu 45: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là

của cấp số nhân đó là?
A. 4.

B. 5.

Câu 46: Phương trình 2 x  1  x 2  x3  x 4  x5  ... 

C. 3.

D.

9
.
4

5
, trong đó x  1 , có tập nghiệm là:
4

9
. Số hạn đầu
4


Chuyên đề giới hạn và liên tục


 7  97 

A. S  

.
24





Hội toán Bắc Nam


 3  41 

C. S  
.
16






 7  97 

B. S  
.
24






 3  41 

D. S  
.
16





Câu 47: Cho tam giác đều A1 B1C1 cạnh a . Người ta dựng tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng đường cao
của tam giác A1 B1C1 ; dựng tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng đường cao của tam giác A2 B2C2
và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều A1 B1C1 , A2 B2C2 ,
A3 B3C3 ,…
3a 2 3
3a 2 3
.
B.
.
C. a 2 3 .
D. 2a 2 3 .
4
2
DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

A.

Câu 48: Cho số thực a và dãy số (u n ) xác định bởi: u1  a và un 1  1 

un
với mọi n  1. Tìm giới hạn
2

của dãy số (u n ) .
A. a .

B.

a
.
2

C. 1.

D. 2.

Câu 49: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  3, 2un 1  un  1 với mọi n  1. Gọi S n là tổng n số hạng đàu
tiên của dãy số (u n ) . Tìm lim S n .
A. lim Sn   .

C. lim S n  1.

B. lim Sn   .

D. lim Sn  1 .

un1  un
với mọi n  1. Tìm lim un .

2
5
4
C. .
D. .
3
3

Câu 50: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  1, u2  2, un 2 
A.  .

B.

3
.
2

u
1
Câu 51: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  , un1  un2  n với mọi n  1. Tìm lim un .
4
2
1
1
A. lim un  .
C. lim un  .
B. lim un  0 .
D. lim un   .
4
2

Câu 52: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  1, un 1  un  2n  1 với mọi n  1. Khi đó lim
A.  .
B. 0.
C. 1.
DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

un 1
bằng.
un

D. 2.

un1  un
với mọi n  1, trong đó a và
2
b là các số thực cho trước, a  b . Tìm giới hạn của (un ) .

Câu 53: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u1  a, u2  b, un2 

A. lim un  a .

C. lim un 

Câu 54: Cho dãy số (u n ) với un 

a  2b
.
3

B. lim un  b .

D. lim un 

2a  b
.
3

3n  m
, trong đó m là tham số. Để dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn thì:
5n  2

A. m là số thực bất kỳ.
B. m nhận giá trị duy nhất bằng 3.
C. m nhận giá trị duy nhất bằng 5.
D. Không tồn tại số m .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Câu 55: Cho dãy số (u n ) với un 

Hội toán Bắc Nam

4n  n  2
, trong đó a là tham số. Để (u n ) có giới hạn bằng 2 thì
an 2  5
2

giá trị của tham số a là?
A. -4.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số (u n ) với un  2n2  n  a 2n2  n có giới
hạn hữu hạn.
A. a  .

C. a  (1; ) .

D. a  1 .

B. a  (;1) .

Câu 57: Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: lim( n2  an  5  n2  bn  3)  2 .
A. a  b  2 .
B. a  b  2 .
C. a  b  4 .
D. a  b  4 .
Câu 58: Tìm số thực a để lim
A. a  10 .

an 2  1  4n  2
 2.
5n  2
B. a  100 .

Câu 59: Tìm số thực a để lim(2n  a  3 8n3  5)  6 .

A. a  2 .
B. a  4 .

C. a  14 .

D. a  144 .

C. a  6 .

D. a  8 .

Câu 60: Tìm các số thực a và b sao cho lim( 3 1  n3  a n  b)  0 .

a  1
a  1
a  1
a  0
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
b  0
b  0
b  1
b  1
DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA

N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC
1  2  3  ...  n
bằng:
2  4  6  ...  2n
1
2
A. .
B. .
2
3

Câu 61: lim

D.  .

C. 1.

1  2  22  ...  2n
Câu 62: lim
bằng:
1  5  52  ...  5n
A. 0.

B. 1.

C.

1
1
1 


Câu 63: Tìm lim (1  2 )(1  2 )...(1  2 )  ta được:
2
3
n 

1
A. 1.
B. .
2

Câu 64: lim

2
.
5

D.

5
.
2

C. 0.

D. 2.

C. 1.

D.

n!
bằng:
(1  1 ).(1  22 )...(1  n2 )
2

B.  .

A. 0.
n

Câu 65: Cho dãy số (u n ) . Biết  uk 
k 1

A. 1.

B.

1
3n 2  9n
với mọi n  1. Tìm
nun
2

1
.
2

C. 0.

1
.
2

n

u
k 1

k

.
D.  .


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

1  3  3  ...  3
bằng:
5k  2
k 1
2

n

Câu 66: lim 

k

A. 0.

B.

17
.
100

C.

17
.
200

D.

1
.
8

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm
Định nghĩa 1:
Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên

f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà
 a; b  \ x0 . xlim

x

xn   a; b \ x0 , xn  x0 ta có lim f  xn   L.

0

Nhận xét:
- Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số.
- Hàm số không nhất thiết phải xác định tại x0 .
Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên):
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x0 ; b  . lim f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà
x  x0

x0  xn  b, xn  x0 ta có lim f  xn   L.

Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; x0  . lim f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà
x  x0

a  xn  x0 , xn  x0 ta có lim f  xn   L.

Định lí 1
lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L.

x  x0

x  x0

x  x0

2. Giới hạn vô cực tại một điểm

Định nghĩa 3
Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên

f  x    
 a; b  \ x0 . xlim
x

với mọi dãy số  xn  mà xn   a; b \ x0 , xn  x0 ta có f  xn   .

0

Lưu ý:
Các định nghĩa lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    được
x  x0

x  x0

x  x0

phát biểu hoàn toàn tương tự.
3. Lưu ý:
a) f  x  không nhất thiết phải xác định tại điểm x0 .

x  x0

x  x0


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

b) Ta chỉ xét giới hạn của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  a; b  (dù nhỏ) chứa x0 mà f  x  xác
định trên  a; b  hoặc trên  a; b \ x0.
Chẳng hạn, hàm số f  x   x có tập xác định là D  0;   . Do đó ta không xét giới hạn của hàm số
tại điểm x0  0 , do không có một khoảng  a; b  nào chứa điểm 0 mà f  x  xác định trên đó cả. Tương
tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f  x  tại mọi điểm x0  0.
c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  x0 ; b  (khoảng nằm bên phải
x0 ) mà f  x  xác định trên đó.

Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  a; x0  (khoảng nằm bên
trái x0 ) mà f  x  xác định trên đó.
Chẳng hạn, với hàm số f  x   x 1 , tại điểm x0  1 , ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số

g  x   1  x , tại điểm x0  1 , ta chỉ xét giới hạn bên trái.
d) lim f ( x )    lim f ( x )  lim f ( x )  
x  xo

xx

xx

o

o

lim f ( x )    lim f ( x )  lim f ( x )  

x  xo

xx

o

xx

o

II. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực
1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x)  L  với mọi dãy số

x , x
n

x 

n

 a và xn   ta đều có lim f ( x)  L .

LƯU Ý: Định nghĩa lim f ( x )  L được phát biểu hoàn toàn tương tự.
x 

2. Giới hạn vô cực tại vô cực
Định nghĩa 5
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x )    với mọi dãy số

x , x

n

x 

n

 a và xn   ta đều có lim f ( x)   .

LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)   được phát biểu hoàn toàn tương
x 

x 

tự.
III. Một số giới hạn đặc biệt
a) lim x  xo .
x  xo

b) lim c  c; lim c  c ( c là hằng số )
x  xo

x 

c
 0 ( c là hằng số, k nguyên dương ).
x  x k

c) lim

x 

Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

d) lim x   với k nguyên dương; lim x   nếu k là số nguyên lẻ; lim x k  
k

k

x 

x 

x 

nếu k là số nguyên chẵn.
Nhận xét: lim f ( x)    lim  f ( x)   .
x 
x 
IV. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 2

Giả sử lim f ( x )  L và lim g( x )  M . Khi đó
x  xo

x  xo

a) lim  f ( x )  g( x )  L  M .

x  xo
b) lim  f ( x )g( x )  LM ; lim cf ( x )  cL với c là một là một hằng số.
x  xo
x  xo

f (x) L
 ( M  0) .
g( x ) M

c) lim

x  xo

Định lí 3
Giả sử lim f ( x )  L . Khi đó
x  xo

a) lim f ( x )  L .
x  xo

b) lim 3 f ( x)  3 L .
x  xo

c) Nếu f ( x)  0 với mọi J \ xo  , trong đó J là khoảng nào đó chứa x o , thì L  0 và

lim

x  xo

f ( x)  L .

LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x  xo bởi x  x o , x  x o .
V. Quy tắc về giới hạn vô cực
Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp:
x  xo , x  x o , x  x o , x   và x   .
Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp x  xo .
Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích ).
L  lim f ( x )
x  xo

lim g( x )

x  xo

L0
L0






lim  f ( x )g( x )

x  xo






STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số
- Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có
giới hạn vô cực.


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam

- Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số.
Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương)
L  lim f ( x )

Dấu của g( x )

lim g( x )

x  xo

x  xo

L
L0

f (x)
x  xo g( x )
0



lim


0

Tùy ý
+
0
+
L0
( Dấu của g  x  xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x  xo ).





0 
, ,0. và    .
0 

VI. Các dạng vô định: Gồm

B. Các dạng toán về giới hạn hàm số
Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc
Phƣơng pháp:

- chọn hai dãy số khác nhau  an  và  bn  thỏa mãn a n và bn thuộc tập xác định của hàm số
y  f ( x) và khác x0 ; an  x0 ; bn  x0 .

-

Chứng minh lim f  an   lim f bn  hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.

- Từ đó suy ra xlim
f ( x ) không tồn tại. TH x  x0 hoặc x   chứng minh tương tự.
x
o

Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
B. lim sin x  1

A. lim sin x  1

x 

x 

C. lim sin x  0
x 

Đáp án D
Lời giải
Xét dãy số ( xn ) với xn 


2

 2n .




Ta có xn   và limsin xn  limsin   2n   1 .
2



Lại xét dãy số ( yn ) với yn  


2

1

 2n .

 

Ta có yn   và limsin yn  limsin    2n   1 .
 2


 2

Từ 1 và  2 suy ra lim sin x không tồn tại. Vậy chọn đáp án D.
x 

D. lim sin x không tồn tại.
x 

Chuyên đề giới hạn và liên tục

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) 

Hội toán Bắc Nam

x 1
, lim f ( x) bằng:
x 3
2 x
2

A.  .

B. 0 .

C.

5 3
.
3

D.

Đáp án C.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên  0; .
Giải sử ( xn ) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn  0, xn  3 và xn  3 khi n  . Ta có

lim f ( xn )  lim

lim f ( x) 
x 3

xn2  1 32  1 5 3
( áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó


3
2 xn
2 3

5 3
.
3

Ví dụ 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ?
A. lim

x2
1.
x2

B. lim

C. lim

x2
 1 .
x2

D. Hàm số f  x  

x 3

x 3

x 3

x2
 5.
x2
x2
không có giới hạn khi x  3 .
x2

Đáp án B
Lời giải
Hàm số f  x  

x2
xác định trên các khoảng  ;2 và  2;   . Ta có 3   2;   .
x2

lim f  x   f  3 
x 3

Ví dụ 4:

3 2
 5.

3 2

lim  2 x3  5 x  bằng:

x 

A. 2 .

B. 3 .

C.  .

D.  .

Đáp án C.
Lời giải
5 

Ta có 2 x3  5 x  x3  2  2  .
x 


5 
5 


Vì lim x3   và lim  2  2   2  0 nên lim x3  2  2    .
x 
x


x 
x 
x 


5 

Vậy theo Quy tắc 1, lim  2 x3  5 x   lim x3  2  2    . Do đó chọn C.
x 
x 
x 


Ví dụ 5:

lim  3x 4  2 x 2  1 bằng:

x 

1
.
2


Chuyên đề giới hạn và liên tục
A.  .
B.  .

Hội toán Bắc Nam

C. 3.

D. 2.

Đáp án A
Lời giải





Cách 1: Theo nhận xét trên thì lim 3x 4  2 x 2  1   ( x  , k chẵn và ak  0 ). Thật
x 

2 1 

vậy, ta có 3x 4  2 x 2  1  x 4  3  2  4  .
x
x 


2 1 

Vì lim x4   và lim  3  2  4   3  0 nên lim 3x 4  2 x 2  1   .
x 
x 
x 
x
x 






Ví dụ 6: Cho hàm số f  x   x2  2 x  5 . Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. lim f  x    .

B. lim f  x    .

C. lim f  x   1.

D. lim f  x  không tồn tại.

x 

x 

x 

x 

Đáp án B.
Lời giải
Hàm số f  x   x2  2 x  5 xác định trên

.

Có thể giải nhanh như sau : Vì x2  2 x  5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô
cực. Mà

x2  2x  5  0 với mọi x nên giới hạn của f  x   x2  2x  5 tại  chắc chắn là

 .
Thật vậy, ta có

2 5
 2 5
x 2  2 x  5  x 2 1   2   x 1   2 .
x x
 x x 

Vì lim x   và lim 1 
x 

x 

2 5

 1  0 nên lim x 2  2 x  5   .
x 
x x2

Ví dụ 7: Giới hạn của hàm số f  x   x2  x  4 x 2  1 khi x   bằng:
A.  .

B.  .

C. 1.

Đáp án A.
Lời giải
Ta có:

1
1
1
 1

x 2  x  4 x 2  1  x 2 1    x 2  4  2   x 1   x 4  2
x 
x
x
 x



1
1 
 x  1   4  2 
x
x 


D. 3.


Chuyên đề giới hạn và liên tục

Hội toán Bắc Nam


1
1 
Mà lim x   và lim  1   4  2   1  2  1  0 .
x 
x 
x
x 

Vậy lim

x 

Ví dụ 8:

lim

x 

A.



 
1
1 
x 2  x  4 x 2  1  lim  x  1   4  2     .
x 
x

x  
 



2017
bằng:
3x3  5 x5

2017
.
3

C.  .

B.  .

D. 0.

Đáp án D.
Lời giải





2017
0.
x  3x3  5 x5

Vì lim 3x3  5 x5   nên theo quy tắc 2, lim
x 

Ví dụ 9: Giới hạn bên phải của hàm số f  x  
A.  .

B.  .

3x  7
khi x  2 là
x2
C. 3.

D.

7
.
2

Đáp án B.
Lời giải

3x  7
xác định trên  ;  \ 2 .
x2

Hàm số f  x  

Ta có lim  x  2   0, x  2  0 với mọi x  2 và lim  3x  7   3.2  7  1  0 . Do đó theo
x 2

x 2

quy tắc 2 thì lim
x 2

3x  7
  .
x2

Ví dụ 10: Xét bài toán “Tìm lim
x 2

3x 2  x  1
”, bạn Hà đã giải như sau:
2 x2  5x  2





Bước 1: Vì lim 2 x 2  5 x  2  0 .
x 2

Bước 2: 2 x2  5x  2  0 với x  2 và x đủ gần 2,





Bước 3: lim 3x 2  x  1  13  0
x 2

Bước 4: nên theo quy tắc 2, lim
x 2

3x 2  x  1
  .
2 x2  5x  2

Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ?
A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

Đáp án B
Lời giải

D. Bước 4.