Các dạng toán phương trình đường thẳng oxyz – nguyễn bảo vương

Ti liệu toán 12

năm học 2018

3.PHNGTRèNHNGTHNG





DNG1.Phngtrỡnhngthng

Phngphỏp

Tacú:


1. Phng
trỡnh

,

vi iu kin a2 + b2 + c2 > 0 l phng trỡnh tham s ca mt


ngthng(d).Khiú,ngthng(d)cúvectvtcpl
viquaim

M0(x0;y0;z0).

2. Phngtrỡnh:

viiukinabc0lphngtrỡnhchớnhtccamtng

thng(d).Khiú,ngthng(d)cúvectvtcpl
viquaimM0(x0;y0;z0).


3. Phngtrỡnh:



lphngtrỡnhcamtngthngkhivchkhi:

A1:B1:C1A2:B2:C2

.



Khiú,vect
=

lmtvtcpca(d).



Chỳý:
ikốmvihngthng(dm)thngcúthờmcỏccõuhiph:
Cõuhi1:Chngminhrngh(dm)luụniquamtimcnh.
Cõuhi2:ChoimMcútớnhchtK,binluntheovtrớcaMsngthngcah(dm)iquaM.
Cõuhi3:Chngminhrnghngthng(dm)luụnthucmtmtphngcnh,thchinyờucu

nychỳngtalachnmttronghaicỏchsau:
Cỏch1:Khmthcaphngtrỡnh(d),tac:Ax+By+Cz+D=0

(1)

Khiú(1)chớnhlphngtrỡnhcamtphngcnh(P)chacỏcngthngcah(dm).
Cỏch2:Tathchintheocỏcbcsau:

Bớc 1:
Bớc 2:
Bớc 3:

Chựmmtphngtobitrc(dm)cúphngtrỡnh:
[A1(m)x+B1(m)y+C1(m)z+D1(m)]+[A2(m)x+B2(m)y+C2(m)z+D2(m)]=0.

(2)

Lachncỏcgiỏtrthớchhpca,,a(2)vdng:Ax+By+Cz+D=0(3)
Khiú(3)chớnhlphngtrỡnhcamtphngcnh(P)chacỏcngthngca
h(dm).

1. caực vớ duù minh hoùa
Vớd1.

x 2 (m 1)t

Chophngtrỡnh: y 1 (m 1)t ,t . (1)
z mt

a. Tỡmiukincamphngtrỡnhtrờnlphngtrỡnhcamthngthngkớhiul(dm),tú
chraimcnhmh(dm)luụniqua.
b. imA(3;1;1)cúthucngthngnocah(dm)khụng.
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|1


Ti liệu toán 12

năm học 2018

c. Chng minhrng h ng thng (dm) luụn thuc mt mt phng (P) c nh, tỡm phng trỡnh mt
phng(P).

d. Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvimingthngcah(dm)vcútõmthucmtphng(Q):x+
y+2z1=0.

e. Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnh R 2 6 tipxỳcvimingthngcah(dm).
Vớd2.

Chophngtrỡnh:

x 1 my z 1

.(1)
2m
2
m

a. Tỡmiukincamphngtrỡnh(1)lphngtrỡnhchớnhtccamtngthng,gilh(dm).
b. Tỡmimcnhmh(dm)luụniqua.
c. Chngtrnghngthng(dm)luụnthucmtmtphngcnh.
Nhnxột:Vimtphng(Q)chỳngtacũngpmtdngtoỏnlTỡmngthngcnhluụnthuchmtphng
(Q).Thớdvimtphng(Q):x+my3mzm1=0tathchinphộpbini:
(Q):x1+m(y3z1)=0

x 1 0
.
Tú,suyrangthngcnhthuchmtphng(Q)cúphngtrỡnh:(d):
y 3z 1 0
Nhvy,chngminhhmtphng(Pm)luụniquamtngthng(d)cnh,tathchin
theocỏcbc:
Bc1. Biniphngtrỡnhcah(Pm)vdng:f(x,y,z)+mg(x,y,z)=0.
Bc2. Vy,h(Pm)luụniquamtngthng(d)cnhcúphngtrỡnh:

f (x, y, z) 0
.
(d):
g(x, y, z) 0

DNG2.Vitphngtrỡnhngthng


Phngphỏp

vitphngtrỡnhngthng(d),tasdngcỏcktqu:

Cỏch1:ngthngiquamtimvbitvtcphocngthngiquahaiimphõnbitó

ctrỡnhbytrongphnphngtrỡnhngthng.


1)v(P2)chanú.Tú,tathc
Cỏch2:ngthngccoilgiaotuyncahaimtphng(P

hintheocỏcbc:

Bc1. Vitphngtrỡnhmtphng(P
1):A1x+B1y+C1z+D1=0.

Bc2. Vitphngtrỡnhmtphng(P
2):A2x+B2y+C2z+D2=0.

Bc3. ngthng(d)gmnhngimM(x;y;z)thomónhphngtrỡnh:

.
(*)



Bc4. ChnmtimM
0thomónh(*)vmtvtcp
cangthng(d)cxỏc

nhbi:
=
.


Bc5. Vitdngphngtrỡnhngthng(d)theoyờucucabitoỏn(trongnhiu

trng
hp chỳng ta cú th b qua bc 4 nu bi toỏn yờu cu v phng

trỡnhthamscangthng).






Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|2


Ti liệu toán 12

năm học 2018

1. caực vớ duù minh hoùa
Vớd1.

Vitphngtrỡnhngthng(d)iquaimM(2;1;3)v:

a. Songsongvingthng():

x y 2 2z 1


.
2
1
2

b. Vuụnggúcvimtphng(P):3x2y+z6=0.
c. Songsongvihaimtphng:(P1):2x+2y+z4=0,(P2):2xyz+5=0.
Vớd2.

ChoimM(1;2;1)vhaingthng(d1)v(d2)cúphngtrỡnh:
x y 1 2 z
x 1 1 y z
, (d 2 ) :
(d1 ) :


.
1
1
1

1
2
1
a. Tỡmgúcvkhongcỏchgiahaingthng(d1),(d2).
b. VitphngtrỡnhngthngiquaimAvvuụnggúcvic(d1),(d2).

Vớd3.

Chomtphng(P)vhaingthng(d1)v(d2)cúphngtrỡnh:(P):3x+3y4y=0,
x 1 y 3 z 2
x 2 y 1 z 1
, (d 2 ) :
.
(d1 ) :




1
2
1
3
1
2
a. Tớnhcụsingúcgiamtphng(P)vicỏcngthng(d1),(d2).
b. Vitphngtrỡnhngthngvuụnggúcvimtphng(P)vctchaingthng(d1),(d2).

Vớd4.

x 2

ChoimM(1;2;1)vngthng(d)cúphngtrỡnh:(d): y t
,t .
z 1 t


a. XỏcnhtohỡnhchiuvuụnggúccaMtrờnngthng(d).Tú,suyrataimM1ixng
viMqua(d).
b. LpphngtrỡnhngthngiquaMvuụnggúcvi(d)vct(d).
Vớd5.

Lp phng trỡnh ng thng i qua A(4; 1; 1) ct () v to vi () mt gúc bng 450, bit:

x 0

() : y 1 t , t .
z 1 t

Vớd6.

ChoimA(4;1;1)vhaingthng(1)v(2)cúphngtrỡnh:
x 1 y 3 z 2
x 3 y 1 z 1
, ( 2 ) :
.
( 1 ) :

2
1
1
2
1
3

a. Chngminhrnghaingthng(1),(2)chộonhau.
b. VitphngtrỡnhngthngiquaimAvuụnggúcvi(1)vct(2).


DNG3.Vtrớtngicangthngvimtphng


Phngphỏp
xộtvtrớtngicangthng(d)vmtphng(P)(hocxỏcnhiukinvvtrớtngigia
ngthng(d)vmtphng(P)),tathnglachnmttronghaicỏchsau:
Cỏch1:(Phngphỏpis):Thchintheocỏcbc:
Xộthphngtrỡnhtobi(d)v(P).
Binlun:
Nuhcúnghimduynht,khiú(d)(P)={A}cútolnghimcah.
Nuhvụnghim,khiú(d)(P)=(d)//(P).
Nuhcúvụsnghim,khiú(d)(P).
Cỏch2:(Phngphỏphỡnhhc):Thchintheocỏcbc:
Bc1.
Bc2.

Bc1.

Gis:

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|3


Ti liệu toán 12

năm học 2018


(d)cúvtcp u (a;b;c)viquaM0(x0;y0;z0).
(P)cúvtpt n (A;B;C).



Khiú:

Bc2.


1. (d)ct(P)iukinl: u . n 0Aa+Bb+Cc0.
2. (d)songsongvi(P)iukinl:


u n

u.n 0
Aa Bb Cc 0




M 0 (P) M 0 (P) Ax 0 By 0 Cz 0 D 0


u n
u.n 0
Aa Bb Cc 0
3. (d)nmtrong(P)iukinl:


.
M 0 (P) M 0 (P) Ax 0 By 0 Cz 0 D 0
HoccúthlyhaiimphõnbitM,Nthuc(d)vthitlpiukinM,Nthuc(P).



4. (d)vuụnggúcvi(P)iukinl u =k n .

Chỳý:Trongtrnghpngthng(d)nmtrongmtphng(P)chỳngtathnggpthờmcỏccõuhi:

1.
2.
3.
4.

Vitphngtrỡnhmtphngcha(d)vvuụnggúcvi(P).
Vitphngtrỡnhmtphngcha(d)vtovi(P)mtgúc.
VitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d)v(P)tiimM.
VitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d)tiimMvct(P)theothitdinl
ngtrũnln.
5. VitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d)tiimMvct(P)theothitdinl
ngtrũncúbỏnkớnhbngr.
ViyờucuVitphngtrỡnhmtphng(Q)cha(d)vvuụnggúcvi(P),chỳngtathchintheocỏc
bc:

Bc1.
Tỡmmtvtcp u cangthng(d)vlyimAthuc(d).



Tỡmmtvtpt n camtphng(P).


n Q u



Gi n Q lmtvtptcamtphng(Q),tacú: n Q u, n .


n Q n

Bc2.

Qua A

.
vtpt n Q

Khiú,phngtrỡnhmtphng(Q)cchobi:(Q):

ViyờucuVitphngtrỡnhmtphng(Q)cha(d)vtovi(P)mtgúc,chỳngtathchintheocỏc
bc:

Bc1.
Tỡmmtvtcp u cangthng(d)vlyimAthuc(d).



Tỡmmtvtpt n camtphng(P).



Gi n Q (a;b;c)lmtvtptcamtphng(Q),talnltcú:






n Q u n Q .u 0 .



n Q .n
g((P),(Q))= cos .

nQ . n

(1)
(2)



Giihtobi(1)v(2)chỳngtanhnctoca n Q .
Bc2.

Qua A
.
vtpt n Q

Khiú,phngtrỡnhmtphng(Q)cchobi:(Q):

ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)cúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d)v(P)tiimMthỡbitoỏnc
chuynvdngVitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(P)tiimM,õyldngtoỏnm
chỳngtaóbitcỏchthchin.
ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)cúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d)tiimMvct(P)theothitdinl
ngtrũnln,chỳngtacúthlachnmttrongcỏccỏch:
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|4

Ti liệu toán 12

năm học 2018

Cỏch1:Tathchintheocỏcbc:
Bc1.

I (P)
I (P)


GisI(x;y;z)ltõmmtcu(S),khiú: MI (d) MI.u 0 TotõmI.
MI R
IM 2 R2



Bc2. Vitphngtrỡnhmtcu(S)vitõmIbỏnkớnhR.
Cỏch2:Tathchintheocỏcbc:
Bc1.
Bc2.

Lpphngtrỡnhthamscangthng()nmtrong(P)vvuụnggúcvi(d)
tiM.
GisIltõmmtcu(S),khiú:totõmIthomónphngtrỡnhthamsca
().
Sdngiukin:
MI=RTotõmI.

Bc3. Vitphngtrỡnhmtcu(S)vitõmIbỏnkớnhR.

ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)cúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d)tiimMvct(P)theothitdinl
ngtrũncúbỏnkớnhbngr,chỳngtathchintheocỏcbc:

Bc1.

Bc2.

MI (d)

GisI(x;y;z)ltõmmtcu(S),khiú: MI R
TotõmI.

2
2
d(I, (P)) R r
Vitphngtrỡnhmtcu(S)vitõmIbỏnkớnhR.

1. caực vớ duù minh hoùa
Vớd1.

x 1

Chomtphng(P)vngthng(d)cúphngtrỡnh:(P):x+2y+2z5=0, (d) : y 2 t , t .
z t


a. Chngminhrngngthng(d)nmtrongmtphng(P).
b. Vitphngtrỡnhmtphng(Q)cha(d)vvuụnggúcvi(P).
c. Vitphngtrỡnhmtphng(R)cha(d)vtovi(P)mtgúccú cos

6
.
3

d. Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnh R 18 tipxỳcvi(d)tiimM(1;2;0)vct(P)theothit
dinlngtrũnln.

e. Vitphngtrỡnhmtcu(S)cúbỏnkớnh R 3 tipxỳcvi(d)tiimN(1;3;1)vct(P)theo
2
.
9
Chỳý:Trongtrnghpngthng(d)songsongvimtphng(P)chỳngtathnggpthờmcõuhi:
1. Tớnhkhongcỏchgia(d)v(P).
2. Vitphngtrỡnhmtphngcha(d)vsongsongvi(P).
3. Vitphngtrỡnhhỡnhchiuvuụnggúcca(d)trờn(P).
4. Vitphngtrỡnhmtphngcha(d)vtovi(P)mtgúc.
5. Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhnhnhttipxỳcvi(P)vtipxỳcvi(d)tiimM.
6. Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvi(d)vtipxỳcvi(P)tiimM.
thitdinlngtrũncúdintớchbng

ViyờucuTớnhkhongcỏchgia(d)v(P),chỳngtacúngay:d(d,(P))=d(A,(P)),viA(d).
Qua A (d)

ViyờucuVitphngtrỡnhmtphngcha(d)vsongsongvi(P),chỳngtacúngay:(Q):

vtpt n P
ViyờucuVitphngtrỡnhhỡnhchiuvuụnggúcca(d)trờn(P),chỳngtacúcỏccỏchgiisau:
Cỏch1:Tathchintheocỏcbc:

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng

0946798489

Page|5


Tμi liÖu to¸n 12

n¨m häc 2018

Bước 1.
Bước 2.

Lấy điểm A  (d), từ đó xác định toạ độ điểm HA là hình chiếu vuông góc của A lên 
(P). 
Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) là đường 

qua H A
. 
(d1 ) //(d)

thẳng (d1) được cho bởi:(d1):  
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1.
Bước 2.

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P). 
Khi đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) chính là giao 

tuyến của (P) và (Q). 

Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với (P) một góc ʺ, chúng ta thực hiện tương tự như 
trong trong hợp đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P). 
Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và tiếp xúc với (d) tại điểm Mʺ, 
chúng ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Gọi (S) là mặt cầu cần dựng, suy ra (S) chính là mặt cầu đường kính MN với N là hình chiếu 
vuông góc của M trên (P). 
Bước 2. Xác định toạ độ điểm N. 
Bước 3. Viết phương trình mặt cầu đường kính MN. 
Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d) và tiếp xúc với (P) tại điểm Mʺ, chúng ta thực hiện 
theo các bước: 
Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I, bán kính R và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại N. 
Vì N  (d) nên thoả mãn phương trình tham số của (d). 
Bước 2.

Viết phương trình tham số của đường thẳng () qua M và vuông góc với (P). 
Vì I  () nên thoả mãn phương trình tham số của (). 

Bước 3.

Thiết lập điều kiện IN  (d) và R = IM = IN chúng ta sẽ nhận được toạ độ tâm I và độ dài bán 
kính R. 

Bước 4.

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R. 

x  1


Ví dụ 2.  Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:(P): x + y  6 = 0,  (d) : y  1 , t  .  
z  4  t

a. Chứng minh rằng đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa (d) và (P). 
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và song song với (P). 
c. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P). 
3
d. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với (P) một góc  có  cos  
. 
10
e. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và tiếp xúc với (d) tại điểm A(1; 1; 1). 
f. Viết phương trình mặt cầu có bán kính  R  2 2  tiếp xúc với (P) và tiếp xúc với (d) tại điểm A(1; 1; 1). 
g. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d) và tiếp xúc với (P) tại điểm E(5; 1; 1). 
Chú ý:  Trong trường hợp đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A chúng ta thường gặp thêm câu hỏi: 

1. Tính góc giữa (d) và (P). 
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P). 
3. Viết  phương  trình  đường  thẳng  ()    đi  qua  A,  nằm  trong  mặt  phẳng  (P)  và  vuông  góc  với 
4.
5.
6.
7.
8.

đường thẳng (d). 
Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với (P) một góc có số đo nhỏ nhất. 
Viết phương trình mặt cầu có bán kính R, tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với (P). 
Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d) và tiếp xúc với (P) tại điểm M. 
Viết phương trình mặt cầu có bán kính R tiếp xúc với (d) tại điểm M và tiếp xúc với (P). 
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (d) tại điểm M và tiếp xúc với (P). 

Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v−¬ng

 

‐0946798489

Page | 6  


Tμi liÖu to¸n 12

n¨m häc 2018

Với yêu cầu ʺTính góc giữa (d) và (P)ʺ, chúng ta có ngay: 

 Mặt phẳng (P) có vtpt  n (A; B; C). 




Đường thẳng (d) có vtcp  u(a;b;c) . 
Gọi  là góc tạo bởi (P) và (d), ta có: sin  

Aa  Bb  Cc
A 2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c2

. 

Với yêu cầu ʺViết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P)ʺ, chúng ta có các cách giải sau: 

Cách 1:  Ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1.
Bước 2.
Bước 3.

Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P) 
Lấy điểm M  (d), từ đó xác định toạ độ điểm HM là hình chiếu vuông góc của M lên 
(P). 
Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) là đường 

Qua A
 . 
 vtcp AH M

thẳng (d1) được cho bởi:(d1):  
Cách 2:  Ta thực hiện theo các bước: 

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P). 
Khi đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) chính là giao tuyến 
của (P) và (Q). 
Với yêu cầu ʺViết phương trình đường thẳng () đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng 
(d)ʺ, chúng ta có các cách giải sau: 
Cách 1:  Ta thực hiện theo các bước: 
 


 
 u   u
Bước 1. Gọi  u   là một vtcp của đường thẳng (), ta có:      u    u, n  . 



 u   n
Bước 1.
Bước 2.

Bước 2.

Qua A
 . 
 vtcp u 

Khi đó, phương trình đường thẳng () được cho bởi:():  

Cách 2:  Ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1.
Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với (d). 
Bước 2. Khi đó, đường thẳng ()  chính là giao tuyến của (P) và (R). 
Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với (P) một góc có số đo nhỏ nhấtʺ, chúng ta có các cách 
giải sau: 
Cách 1:  Ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1.

Gọi (Q) là mặt phẳng  cần dựng, nhận xét rằng: g((Q), (P))  g((d), (P))  
 Min[g((Q), (P))] = g((d), (P)) = . 

Bước 2.

Gọi  n Q  là một vtpt của mặt phẳng (Q), ta lần lượt có: 






 
 
n Q  u    n Q .u  0 .   
 
 
n Q .n
g((P), (Q)) =       cos  . 
nQ . n

 

(1) 

 

(2) 



Giải hệ tạo bởi (1), (2) chúng ta nhận được toạ độ của  n Q . 
Bước 3.

Qua A
 . 
 vtpt n Q

Khi đó, phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi:(Q):  

Cách 2:  Ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1.

Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v−¬ng

 

Gọi (Q) là mặt phẳng  cần dựng, nhận xét rằng:g((Q), (P))  g((d), (P))  
 Min[g((Q), (P))] = g((d), (P)) = . 

‐0946798489

Page | 7  


Tμi liÖu to¸n 12

n¨m häc 2018

 
 n Q  u
  

Bước 2. Gọi  n Q  là một vtpt của mặt phẳng (Q), ta lần lượt có:       n Q   u  , u  . 


 n Q  u 
Qua A

 . 
Bước 3. Khi đó, phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi:(Q):  
 vtpt n Q
Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu có bán kính R, tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với (P)ʺ, chúng ta 
thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I. 
Vì I  (d) nên thoả mãn phương trình tham số của (d). 
Bước 2.

Để (S) tiếp xúc với (P) điều kiện là d(I, (P)) = R  Toạ độ tâm I. 

Bước 3.

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R. 

Các yêu cầu (6), (7) được thực hiện tương tự như trong trường hợp (d) song song với (P). 
Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (d) tại điểm M và tiếp xúc với (P)ʺ, chúng 
ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Mặt cầu (S) với tâm I cần dựng sẽ tiếp xúc với hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (P).  
Bước 2. Ta lần lượt có: 
 
(d) 


 
 n '  u
E 
 Mặt phẳng ((d), (d’)) với vtpt  n '  được cho bởi:      n '   n, u  . 





 n '  n
 


 
 v  n '
Đường thẳng (EI) với vtcp  v  được cho bởi:      v   u, n '  . 


 v  u

I 

P 

A 

Phương trình đường thẳng (EI) được cho bởi: 
Qua E
   Phương trình tham số (theo t) của (EI). 
(EI) : 
 vtcp v

Bước 3.

Từ đó, vì I thuộc (EI) nên thoả mãn phương trình tham số của (EI), ta có điều kiện: 
EI = IH = d(I, (P))  EI2 = d2(I, (P))  Tham số t  Toạ độ tâm I. 

Bước 4.

 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R = EI. 

Ví dụ 3.

H  (dʹ) 

 Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình: 
x2 y4 z2


,  (P): 2x + 2y + z  5 = 0. 
(d) :
1
3
1
a. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Tìm toạ độ A, tính góc giữa (d) và (P). 
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P). 
c. Viết phương trình đường thẳng () đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d). 
d. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với (P) một góc có số đo nhỏ nhất. 
e. Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3, tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với (P). 
 

DẠNG 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 

 
Phương pháp 
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2) , ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1.

Bước 2.

Thực hiện: 

Với đường thẳng (d1) chỉ ra vtcp  u1  và điểm M1(d1). 



Với đường thẳng (d2) chỉ ra vtcp  u 2  và điểm M2(d2). 



Kiểm tra: 



  

Nếu  u1 ,  u 2 ,  M1 M 2  cùng phương thì kết luận  (d1) và (d2) trùng nhau. 

Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v−¬ng

 





‐0946798489

Page | 8  


Ti liệu toán 12



năm học 2018



Nu u1 , u 2 cựng phng v khụng cựng phng vi M1 M 2 thỡ kt lun (d1) v (d2) song
songvinhau.


Bc3.



Nu u1 , u 2 khụngcựngphng,thchinbc3.



Xỏcnh[ u1 , u 2 ]. M1 M 2 ,khiú:


Nu[ u1 , u 2 ]. M1 M 2 =0thỡktlun(d1)v(d2)ctnhau.

Nu[ u1 , u 2 ]. M1 M 2 0thỡktlun(d1)v(d2)chộonhau.

Chỳý:Vihaingthng(d1)v(d2)songsongvinhau,chỳngtathnggpthờmcỏcyờucu:

1. Tớnhkhongcỏchgia(d1)v(d2).
2. Vitphngtrỡnhmtphngcha(d1)v(d2).
3. Vit phng trỡnh ng thng (d) thuc mt phng cha (d1), (d2) v song song, cỏch u
(d1),(d2).

4. Vitphngtrỡnhmtphngcha(d1)vcỏch(d2)mtkhongbngh.
5. Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhnhnhttipxỳcvi(d1)tiimEvtipxỳcvi
(d2).
6. Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng().


M1 M 2 , u 2


ViyờucuTớnhkhongcỏchgia(d1)v(d2),chỳngtacúngay:d((d1),(d2))=d(M1,(d2))=
,

u2

viM1(d1),M2(d2)v u 2 lmtvtcpca(d2).
ViyờucuVitphngtrỡnhmtphng(P)chahaingthngsongsong(d1)v(d2),chỳngtacúthla
chnnhngcỏchgiisauthchin:
Cỏch1:Thchintheocỏcbc:



Bc1.

Gi u1 lvtcpca(d1)vlyM1(d1)vM2(d2).

Bc2.

Mtphng(P)cchobi:(P):

Qua M
Qua M1

.
(P):


vtpt
n

u
Cặp
vtcp
M
M
v
u

1
2
1

1 , M1 M 2

Cỏch2:Thchintheocỏcbc:
Bc1. LyA,M1(d1)vM2(d2).
Bc2. Gismtphng(P)cúphngtrỡnh:(P):Ax+By+Cz+D=0,viA2+B2+C2>0.
Bc3. VỡbaimA,M1,M2(P)Phngtrỡnhca(P).
Vi yờu cuVit phngtrỡnh ng thng (d) thuc mt phng cha (d1), (d2)v song song,cỏch u (d1),(d2),
chỳngtathchintheocỏcbc:



Bc1.

Gi u1 lvtcpca(d1)vlyM1(d1)vM2(d2).SuyratatrungimMcaM1M2.

Bc2.

ngthng(d)cchobi:(d):

Qua M
.
vtcp u1

ViyờucuVitphngtrỡnhmtphng(P)changthng(d1)vcỏchngthng(d2)mtkhongbngh,
chỳngtathchintheocỏcbc:
Bc1. LyA,M1(d1)vM2(d2).
Bc2. Gismtphng(P)cúphngtrỡnh:
(P):Ax+By+Cz+D=0,iukinA2+B2+C2>0.
Bc3.

VỡimA,M1(P)vd(M2,(P))=h,suyraphngtrỡnhca(P).

ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)cúbỏnkớnhnhnhttipxỳcvi(d1)tiimEvtipxỳcvi(d2),
chỳngtathchintheocỏcbc:
Bc1. GiFlhỡnhchiuvuụnggúccaEtrờn(d2)thỡmtcu(S)cndngchớnhlmtcung
kớnhEF.
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|9


Ti liệu toán 12

Bc2.

năm học 2018

Talnlt:
TỡmtoimF.
VitphngtrỡnhmtcungkớnhEF.

ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)tipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng(),chỳngta
thchintheocỏcbc:
Bc1. Vỡ(d1)v(d2)songsongvinhaunờntõmIcamtcu(S)thucmtphng(R)songsong,
cỏchu(d1),(d2)vvuụnggúcvimtphngcha(d1),(d2).
Vitphngtrỡnhmtphng(R).

Bc2.

Bc3.

Khiú:
TõmIchớnhlgiaoimca(Q)v().
BỏnkớnhcamtculR=d(I,(d1)).
Vitphngtrỡnhmtcu(S).

Luý:Chỳngtacũncúmtphngphỏptngquỏtthchinyờucunysctrỡnhbytrong
chỳýcahaingthngchộonhau.

1. caực vớ duù minh hoùa
x 2 2t
x 1 1 y 3 z



Chohaingthng(d1)v(d2)cúphngtrỡnh: (d1 ) : y 1 t ,t v (d 2 ) :
.
2
1
2
z 1 2t


Vớd1.

a.
b.

c.
d.
e.

Chngminhrnghaingthng(d1)v(d2)songsongvinhau.Tớnhkhongcỏchgia(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhmtphng(P)cha(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhngthng(d)nmtrongmtphng(P)vsongsong,cỏchu(d1),(d2).
Vitphngtrỡnhmtphng(Q)cha(d1)vcỏch(d2)mtkhongbng1.
Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhnhnhttipxỳcvi(d1)vtipxỳcvi(d2)tiimB(3;0;1).
x y 1 z 3

f. Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvi(d1),(d2)vcútõmthucngthng ( ) :
.
1
2
2
Chỳý:Vihaingthng(d1)v(d2)ctnhautiM,chỳngtathnggpthờmcỏcyờucu:

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Tớnhgúcgia(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhmtphng(P)cha(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhngphõngiỏccagúctobi(d1)v(d2).
VitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d1),(d2)tiimM.
Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng().

VitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d1)tiimEvtipxỳcvi(d2).
ViyờucuTớnhgúcgia(d1)v(d2),chỳngtacúngay:







Vi(d1)cúvtcp u1 (a1;b1;c1)v(d2)cúvtcpl u 2 (a2;b2;c2).


Gilgúctobihaingthng(d1)v(d2)(0 ),tacú:
2

u1 .u 2
a1a 2 b1b 2 c1c 2
.
cos= =
u1 . u 2
a12 b12 c12 . a 22 b 22 c22

Luý:(d1)(d2)cos=0a1a2+b1b2+c1c2=0.
ViyờucuVitphngtrỡnhmtphngchahaingthngctnhau(d1)v(d2),chỳngtacúthla
chnnhngcỏchgiisauthchin:
Cỏch1:Gis(d1)(d2)={M},tathchintheocỏcbc:

Bc1.
Xỏcnhcỏcvtcp u1 , u 2 cangthng(d1)v(d2).
Bc2.

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



Qua M
Qua M

.
(P):



vtpt
n
u
Cặp vtcp u1 v u 2
1, u2


Mtphng(P)cchobi:(P):

0946798489

Page|10


Ti liệu toán 12

năm học 2018

Cỏch2:Thchintheocỏcbc:
Bc1.
Bc2.

LyhaiimM1(d1)vM2(d2)khụngtrựngvigiaoimMca(d1)v(d2).
Gismtphng(P)cúphngtrỡnh:(P):Ax+By+Cz+D=0,viA2+B2+C2>0.
VỡbaimM,M1,M2(P),suyraphngtrỡnhca(P).

ViyờucuVitphngtrỡnhngphõngiỏcca(d1)v(d2),chỳngtacúthlachnnhngcỏchgii
sauthchin:
Cỏch1:Thchintheocỏcbc:
Bc1.
Bc2.
Bc3.

XỏcnhtagiaoimMca(d1)v(d2).LyimA(d1),viAM.
LyimB(d2)thomónAI=BI,Tú,nhnctohaiimB1,B2.
Tacú:
ViB1thỡsuyratotrungimK1caAB1.

Qua M
.
vtcp MK1

Khiú,phngtrỡnhngphõngiỏcthnhtl:(1):


ViB2thỡsuyratotrungimK2caAB2.

Qua M
.
vtcp MK 2

Khiú,phngtrỡnhngphõngiỏcthhail:(2):
Luý:Vicỏchgiiny,tacúcỏcluýsau:

1. Tacúktqu:

a. Nu MA.MB1 >0thỡ(1)v(2)theothtlphngtrỡnhngphõngiỏcgúcnhn,
gúctựcagúctobi(d1),(d2).

b. Nu MA.MB1 <0thỡ(1)v(2)theothtlphngtrỡnhngphõngiỏcgúctự,gúc
nhncagúctobi(d1),(d2).
2. Nubitoỏnyờuculõpphngtrỡnhmtphngphõngiỏc(Q)cagúctobi(d1),(d2),ta
Qua M
.
cú:(Q):
vtpt AB
Cỏch2:Thchintheocỏcbc:
Bc1. XỏcnhtogiaoimMca(d1)v(d2).
LyA(d1)vB(d2),viA,BI.
Bc2. GiK1,K2theothtlchõnngvuụnggúcngoi,tronghtMxungAB.
Talnltcú:

AK1
IA
IA
=
ToK1.

imK1(x1;y1;z1)chiaABtheotst=
IB
IB
BK1

qua I
.
vtcp IK1

Khiú,phngtrỡnhngphõngiỏcngoicxỏcnhbi:(IK1):



AK 2
IA
IA
=
ToK2.
imK2(x2;y2;z2)chiaABtheots
IB
IB
BK 2

qua I
.
vtcp IK 2
ViyờucuVitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d1),(d2)tiimM,chỳngtathyngayú
chớnhlMtcucúbỏnkớnhRtipxỳcvimtphng(P)tiimMvõyldngtoỏnchỳngtaóbitcỏch
thchin.
ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)tipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng(),chỳngta

thchintheocỏcbc:
Bc1. Vỡ(d1)v(d2)ctnhaunờntõmIcamtcu(S)thucmtphngphõngiỏc(Q)cagúcto
bi(d1),(d2).Vitphngtrỡnhmtphng(Q).
Khiú,phngtrỡnhngphõngiỏctrongcxỏcnhbi:(IK2):

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|11


Ti liệu toán 12

Bc2.

năm học 2018

Khiú:



Bc3.

TõmIchớnhlgiaoimca(Q)v().
BỏnkớnhcamtculR=d(I,(d1)).

Vitphngtrỡnhmtcu(S).

ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)cúbỏnkớnhRtipxỳcvi(d1)tiimEvtipxỳcvi(d2),chỳngta
lachnmttronghaicỏchgiisau:
Cỏch1:TathyngaytõmIcamtcu(S)thucngthng(a)lgiaotuyncahaimtphng(R),
(T)vi:

(R)lmtphngquaEvvuụnggúcvi(d1).
(T)lmtphngquaFvvuụnggúcvi(d2),bitFthuc(d2)saochoME=MF.
Tphõntớchúchỳngtathchinbitoỏntheocỏcbc:
Bc1.

Vitphngtrỡnhmtphng(R)quaEvvuụnggúcvi(d1).

Bc2.

TỡmimFthuc(d2)saochoME=MF.

Bc3.

Vitphngtrỡnhmtphng(T)quaFvvuụnggúcvi(d2).

Bc4.

Thitlpphngtrỡnhthamscagiaotuyn(a)cahaimtphng(R),(T).

Bc5.

TiukintõmIthuc(a)saochoIE=RsuyratocaI.

Bc6.

Vitphngtrỡnhmtcu(S).

Cỏch2:Thchintheocỏcbc:
Bc1.

Gismtcu(S)cndngvitõmI(a;b;c)tipxỳcvi(d2)tiF,suyratocaFthomón
phngtrỡnhthamsca(d2).

Bc2.

Tacúcỏciukin:
EI=REI2=R2.


EI u1 EI.u1 0 .

Bc3.









(1)

(2)

ME=MFME2=MF2TocaF.


ViFtỡmcthitlpiukin: FI u 2 FI.u 2 0 .

(3)

Bc4.

Kthp(2)v(3),thchinvicbiudinhaitrongsbana,b,ctheoncũnli.Rithay
vo(1)chỳngtasnhnctocatõmI.

Bc5.

VitphngtrỡnhmtcutõmIbỏnkớnhR.
x 1 2t

Vớd2.

x 3 2u

Chohaingthng(d1)v(d2)cúphngtrỡnh: (d1 ) : y 1 2t ,t v (d 2 ) : y 2 u ,u .
z 1 t
z 4 2u



a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

Chngminhrng(d1)ct(d2)tiimM.TỡmtocaMvtớnhgúcgia(d1),(d2).
Vitphngtrỡnhmtphng(P)cha(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhmtphng(Q)cha(d1)vtovi(d2)mtgúclnnht.
Vitphngtrỡnhmtphng(R)cha(d1)vtovi(d2)mtgúcbit sin 4 / 9 .
Vitphngtrỡnhngphõngiỏccagúctobi(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnh R 17 tipxỳcvi(d1),(d2)tiimM.
Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng()cúphngtrỡnh:

x 2 v

() : y 0
, v .
z 1 2v

Chỳý:Vihaingthng(d1)v(d2)chộonhau,chỳngtathnggpthờmcỏcyờucu:

1. Tớnhgúcgiahaingthng(d1)v(d2).
2. Tớnhkhongcỏchgiahaingthng(d1)v(d2).
3. Vitphngtrỡnhmtphng(Q1)cha(d1)vsongsongvi(d2).
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|12


Ti liệu toán 12

năm học 2018

4.
5.
6.
7.
8.

Vitphngtrỡnhcỏcmtphng(Q1),(Q2)theothtcha(d1),(d2)vsongsongvinhau.
Vitphngtrỡnhmtphng(Q)songsongvcỏchu(d1),(d2).
Vitphngtrỡnhngvuụnggúcchungca(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhnhnhttipxỳcvic(d1)v(d2).
Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng().
ViyờucuTớnhgúcgia(d1)v(d2),chỳngtathchintngtnhtrongphnchỳývhaing
thngctnhau.

ViyờucuTớnhkhongcỏchgia(d1)v(d2),chỳngtacúktqu:

(d1)iquaimM1(x1;y1;z1)vcúvtcp u1 (a1;b1;c1).

(d2)iquaimM2(x2;y2;z2)vcúvtcp u 2 (a2;b2;c2).

u1 , u 2 .M1 M 2


.
Khiú,khongcỏchgia(d1),(d2)cchobi:d((d1),(d2))=

u1 , u 2


Ngoira,cũncúthsdngktqutrongyờucu(3)hocyờucu(6).
ViyờucuVitphngtrỡnhmtphng(Q1)cha(d1)vsongsongvi(d2),chỳngtathchintheocỏc
bc:


Bc1.
Tỡm u1 v u 2 lvtcpca(d1)v(d2)vlyimM1(d1).

Qua M1
.
Mtphng(Q1)cchobi:(Q1):
vtpt n1 u1 , u 2
ViyờucuVitphngtrỡnhmtphng(Q)songsongvcỏchuhaingthngchộonhau(d1)v(d2)chotrc,
chỳngtathchintheocỏcbc:

Bc1. Tỡm u1 v u 2 lvtcpca(d1)v(d2).
Bc2.

LyM1(d1)vM2(d2),suyratatrungimMcaM1M2.

Qua M

.
Mtphng(Q)cchobi:(Q):
vtpt n u1 , u 2
Vi yờu cu Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca (d1) v (d2), chỳng ta cú th la chn nhng
cỏchgiisauthchin:
Cỏch1:Tathchintheocỏcbc:

Bc2.

Bc1.
Bc2.

Bc3.

GisA,Btheothtlchõnngvuụnggúcchungtrờn(d1)v(d2).
Chuynphngtrỡnh(d1)v(d2)vdngthams,suyratacaA,Btheophngtrỡnh
thamsca(d1)v(d2).



(d) (d1 )
t

AB u1
AB.u1 0
Tiukin:

ToA,B
u
(d) (d 2 )
AB u 2
AB.u 2 0

qua B
.
Khiúphngtrỡnhngvuụnggúcchung(d)cchobi:(d):
vtcp AB
Cỏch2:Thchintheocỏcbc:



Bc1. Tỡm u1 v u 2 lvtcpca(d1)v(d2).Gi u lvtcpcangvuụnggúcchung(d),
Bc4.


u u1


tacú: u u1 , u 2 .
u u 2

Bc2.

Bc3.
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



Qua M1 (d1 )

(P1):
Gi (P1) l mt phng cha (d) v (d1), khi ú:(P1):
Cặp vtcp u v u1
qua M1 (d1 )
(P1).

vtpt n1 [u, u1 ]
Gi(P2)lmtphngcha(d)v(d2),khiú:
0946798489

Page|13


Ti liệu toán 12

năm học 2018

qua M 2 (d 2 )
Qua M 2 (d 2 )
(P2).

(P2):
(P2):

vtpt n 2 [u, u 2 ]
Cặp vtcp u v u 2
Bc4. ngthngchung(d)chớnhlgiaotuynca(P1)v(P2)nờngmcỏcimM(x;y;
(P1 )
Phngtrỡnhthamshocchớnhtcca(d).
z)thomónh:
(P2 )
Cỏch3:Tathchintheocỏcbc:



Bc1. Tỡm u1 v u 2 lvtcpca(d1)v(d2).Gi u lvtcpcangvuụnggúcchung(d),




u u1
tacú: u u1 , u 2 .
u u 2

Bc2.

Gi(P1)lmtphngcha(d)v(d1),khiú:
Qua M1 (d1 )
qua M1 (d1 )

(P1):
(P1).
(P1):
Cặp vtcp u v u1

vtpt n1 [u, u1 ]

Bc3.

Gis(d)(d2)={B}suyra(P1)(d2)={B}toB.

qua B
.
Khiúphngtrỡnhngthng(d)cchobi:(d):
vtcp u
Cỏch4:(pdngtrongtrnghphaingthng(d1),(d2)chộonhauvvuụnggúcvinhau):Ta
Bc4.

thchintheocỏcbc:
Bc1.
Bc2.

(d1 ) (P1 )
Dngmtphng(P1)thomón:
.
(P1 ) (d 2 )
(d 2 ) (P2 )
Dngmtphng(P2)thomón:
.
(P2 ) (d1 )

ngthngchung(d)chớnhlgiaotuynca(P1)v(P2)nờngmcỏcimM(x;y;
(P1 )
Phngtrỡnhthamshocchớnhtcca(d).
z)thomónh:

(P2 )
Vi yờu cu Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c (d1) v (d2), chỳng ta i vit
phngtrỡnhmtcungkớnhABviA,Btheothtlchõnngvuụnggúcchungtrờn(d1)v
(d2).
Bc3.

ViyờucuVitphngtrỡnhmtcu(S)tipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng(),chỳngta
thchintheocỏcbc:
Bc1. Chuynphngtrỡnhcỏcngthng(),(d1)v(d2)vdngthamsvtỡmcỏcvtcptng

ng u1 , u 2 .
Bc2.

Bc3.

Bc4.

Vớd3.

Gismtcu(S)cútõmIvtipxỳcvi(d1),(d2)theothttiAvB,suyratoI,A,B
theocỏcphngtrỡnhthams.



IA (d1 )
IA u1
IA.u1 0

Toạ độ I
Tacúiukin:. IB (d 2 ) . IB u 2 IB.u 2 0

R IA
IA IB
IA IB
2
2


IA IB
Vitphngtrỡnhmtcu(S)tõmIbỏnkớnhR.

x 1
x 1 u


Chohaingthng(d1)v(d2)cúphngtrỡnh: (d1 ) : y t , t , (d 2 ) : y 0 , u .
z 1
z 2



a. Chngminhrnghaingthng(d1),(d2)chộonhau.Tớnhkhongcỏchvgúcgiachỳng.
b. Vitphngtrỡnhcỏcmtphng(Q1),(Q2)theothtcha(d1),(d2)vsongsongvinhau.
c. Vitphngtrỡnhmtphng(Q)songsongvcỏchu(d1),(d2).
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng

0946798489

Page|14


Ti liệu toán 12

năm học 2018

d. VitphngtrỡnhngthngiquaimA(0;1;0)ctc(d1),(d2).
e. Vitphngtrỡnhngthngctc(d1),(d2)vsongsongvingthng (1 ) :

x y 1 z 1


.
1
1
1

f. VitphngtrỡnhngthngiquaimB(2;1;2)vvuụnggúcvic(d1),(d2).
g. Vitphngtrỡnhngvuụnggúcchungca(d1)v(d2).
h. Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnhnhnhttipxỳcvic(d1)v(d2).
x 1 y z 1

.
1
1
1
j. Vitphngtrỡnhmtcucúbỏnkớnh R 5 / 2 tipxỳcvi(d1)tiimC1(1;1;1)vtipxỳcvi

(d2).

DNG5.Vtrớtngicamtcuvngthng



Phngphỏp
Talachnmttronghaicỏchsau:

Cỏch1:Thchintheocỏcbc:

Bc1. XỏcnhtõmIvtớnhbỏnkớnhRcamtcu(S),tútớnh:

d=d(I,(d)).

Bc2. SosỏnhdviRaraktlun:
Nud>R(d)(S)=(Hỡnh1).
Nud=R(d)tipxỳcvimtcu(S)tiH(Hỡnh2).
Nud


i. Vitphngtrỡnhmtcutipxỳcvic(d1),(d2)vcútõmthucngthng ( 2 ) :




(d)
I

H
Hỡnh1

I

I
(d)

H
Hỡnh2

A

H

B (d)

Hỡnh3



Cỏch2:Thchintheocỏcbc:


Bc1. Chuynphngtrỡnh(d)vdngthamstheot.
Bc2. Thayx,y,zca(d)vo(S),tac:At2+Bt+C=0
(1)

Bc3. Ktlun:
Nu(1)vụnghim(d)(S)=.
Nu(1)cúnghimkộpt0(S)tipxỳcvi(d)tiimH(x(t0);y(t0);z(t0)).
Nu(1)cúhainghimphõnbitt1,t2(d)(S)={A,B}viA(x(t1);y(t1);z(t1))vB(x(t2);

y(t2);z(t2)).

Vicỏcbitoỏnkhụngchathams,khisdngcỏch1chỳngtaddngktluncvvtrớ

tngica(d)v(S),tuynhiờn:


Trongtrnghp(d)(S)={A,B}hoc(d)(S)={M}chỳngtakhụngnhnctoca

A,BvM.

Vicỏcbitoỏncúchathamskhisdngcỏch1srtphctp,dovy,ttnhthóychncỏch
2.




Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|15

Tμi liÖu to¸n 12

n¨m häc 2018

 
Chú ý:  Trong trường hợp đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) (tâm I bán kính R) tại hai điểm A, B chúng ta thường 
gặp thêm câu hỏi: 

1. Tìm toạ độ A, B (hoặc độ dài đoạn AB). 
2. Viết phương trình đường thẳng () song song với (d) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm E, F sao 
cho EF có độ dài lớn nhất. 

3. Viết phương trình các mặt phẳng (PA), (PB) tiếp xúc với (S) theo thứ tự tại các điểm A, B. 
4. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: 
a. Tiếp xúc với mặt cầu (S). 
b. Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn của (S). 
c. Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi 
đường tròn hoặc biết diện tích hình tròn đó). 
5. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một 
đường tròn lớn của (S). 
6. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một 
đường tròn nhận AB làm đường kính. 
7. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường 
tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi đường tròn hoặc biết diện tích hình tròn đó). 
Với yêu cầu (1) thì trong phần xét vị trí tương đối giữa (d) và (S) chúng ta sử dụng cách 2. 
Với yêu cầu (2) thì đường thẳng () cần dựng sẽ đi qua I và song song với (d). 
Với yêu cầu (3) thì chúng ta có ngay: 




Mặt phẳng (PB) đi qua B và có vtpt  IB . 

Mặt phẳng (PA) đi qua A và có vtpt  IA . 


Lưu ý: Nếu chỉ với yêu cầu tính góc  giữa (PA), (PB) thì  = g(IA, IB). 
Với yêu cầu (4), chúng ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Ta có: 

Bước 2.
Bước 3.



Đường thẳng (d) có vtcp  u(a; b; c) . 

 Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. 
Gọi (P) là mặt phẳng cần dựng, thì vì (P) vuông góc với (d) nên:(P): ax + by + cz + D = 0. 
Ta lần lượt: 
a. Để (P) tiếp xúc với (S) điều kiện là: d(I, (P)) = R  D  Phương trình các mặt phẳng (P1), (P2). 
b. Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn của (S) điều kiện là: 
I  (P))   D  Phương trình mặt phẳng (P). 

c. Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có bán kính bằng r điều kiện là: 

d(I, (P))  R 2  r 2   D  Phương trình các mặt phẳng (P1), (P2). 
Với yêu cầu (5), gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng thì (Q) = (I, (d)) = (IAB) 
và chúng ta đã biết hai cách để viết được phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. 

Với yêu cầu (6), chúng ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Gọi H là trung điểm AB, suy ra toạ độ của H. 
Bước 2.

Qua H
 . 
 vtpt IH

Gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng thì IH  (Q). Do đó: (Q) : 

Với yêu cầu (7), chúng ta thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng, giả sử:(Q): Ax + By + Cz + D = 0. 
Vì (Q) chứa (d) nên A, B thuộc (Q).   
 
 
(1) 
Bước 2.

Để (Q) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có bán kính bằng r điều kiện là: 

d(I, (Q))  R 2  r 2 . 

 

 

 

(2) 

Từ (1), (2) chúng ta nhận được giá trị tương ứng của A, B, C, D. 
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v−¬ng

 

‐0946798489

Page | 16  


Ti liệu toán 12

năm học 2018

1. caực vớ duù minh hoùa
Vớd1.

Chongthng(d)vmtcu(S)cúphngtrỡnh:
x 1 y 2 z 1


,
(d) :
2
1
2
(S):(x4)2+(y+1)2+(z2)2=27.

a. Chngminhrngngthng(d)ctmtcu(S)tihaiimA,B.TớnhdiAB.
b. Vitphngtrỡnhngthng()songsongvi(d)vctmtcu(S)tihaiimE,FsaochoEFcú

c.
d.

e.
f.
g.

dilnnht.
Vitphngtrỡnhcỏcmtphng(PA),(PB)tipxỳcvi(S)theothtticỏcimA,B.Tớnhcosingúcgia
haimtphng(PA),(PB).
Vitphngtrỡnhmtphngvuụnggúcvi(d)v:
a. Tipxỳcvimtcu(S).
b. Ctmtcu(S)theothitdinlngtrũnlnca(S).
c. Ctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũn(C)cúdintớchbng18.
Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũn
lnca(S).
Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũnnhn
ABlmngkớnh.
Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũn

(C)cúbỏnkớnhbng r 54 / 5 .
Chỳý:Trongtrnghpngthng(d)tipxỳcvimtcu(S)(tõmI,bỏnkớnhR)tiimAchỳngta
thnggpthờmcõuhi:

1. TỡmtotipimA.
2. Vitphngtrỡnhngthngsongsongvi(d)vctmtcu(S)tihaiimE,Fsaocho
EFcúdilnnht.

3. Vitphngtrỡnhmtphngvuụnggúcvi(d)v:
a. Tipxỳcvimtcu(S).

b. Ctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũnlnca(S).
c. Ctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũn(C)cúbỏnkớnhbngr(hocbitchuvi
ngtrũnhocbitdintớchhỡnhtrũnú).
4. Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vtipxỳcvi(S).
5. Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmt
ngtrũnlnca(S).
6. Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmt
ngtrũn(C)cúbỏnkớnhbngr(hocbitchuvingtrũnhocbitdintớchhỡnhtrũn
ú).
7. VitphngtrỡnhngthngquaAvctmtcu(S)tiimBsaochoABcúdiln
nht.
8. VitphngtrỡnhngthngquaAtipxỳcvi(S)vvuụnggúcvingthng(d).
9. VitphngtrỡnhngthngquaAtipxỳcvi(S)vtovingthng(d)mtgúc.
Viyờucỏccu(1),(2),(3),(6),chỳngtathchintheoỳngphngphỏpóbittrongphnchỳýv
trnghpngthngctmtcu.



Viyờucỏccu(4)tathyngaymtphng(P)cndngsiquaAvcúvtptl IA .
Viyờucỏccu(7)tathchinvitphngtrỡnhngthng(IA).
Viyờucỏccu(8),chỳngtathchintheocỏcbc:
Bc1.




u ' u

(d') (d)
Gisngthng(d)cndngcúvtcp u ' ,tacú:

u ' u, IA .


(d') IA
u ' IA

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|17


Ti liệu toán 12

năm học 2018

Qua A
.
Khiú,phngtrỡnhngthng(d)cchobi:(d):
vtcp u '
Viyờucỏccu(9),chỳngtathchintheocỏcbc:

Bc1.
Gisngthng()cndngcúvtcp u (a;b;c),tacú:


u IA u .IA 0 .

(1)
Bc2.




u .u
g((),(d))= cos .
u . u



(2)


Giihtobi(1)v(2)chỳngtanhnctoca u .
Bc2.

Vớd2.

Qua A
.
Khiú,phngtrỡnhngthng()cchobi:():
vtcp u

x 1 t

Chongthng(d)vmtcu(S)cúphngtrỡnh:(d): y 2 t ,t ,(S):(x1)2+(y2)2+(z1)2=3.

z 4 2t


a.
b.
c.
d.
e.

Chngminhrngngthng(d)tipxỳcvimtcu(S)tiimA.TỡmtotipimA.
Vitphngtrỡnhmtphngcha(d)vtipxỳcvi(S).
VitphngtrỡnhngthngquaAvctmtcu(S)tiimBsaochoABcúdilnnht.
VitphngtrỡnhngthngquaAtipxỳcvi(S)vvuụnggúcvingthng(d).
VitphngtrỡnhngthngquaAtipxỳcvi(S)vtovingthng(d)mtgúc300.
Chỳý:Trongtrnghpngthng(d)khụngctmtcu(S)(tõmIbỏnkớnhR)chỳngtathnggpthờm
cõuhi:

1. Vitphngtrỡnhmtphngvuụnggúcvi(d)v:
a. Tipxỳcvimtcu(S).
b. Ctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũnlnca(S).
c. Ctmtcu(S)theothitdinlmtngtrũn(C)cúbỏnkớnhbngr(hocbitchuvi
ngtrũnhocbitdintớchhỡnhtrũnú).
2. Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmt
ngtrũnlnca(S).
3. Vitphngtrỡnhmtphngchangthng(d)vctmtcu(S)theothitdinlmt
ngtrũn(C)cúbỏnkớnhbngr(hocbitchuvingtrũnhocbitdintớchhỡnhtrũn
ú).
4. Vitphngtrỡnhcỏcmtphngchangthng(d)vtipxỳcvimtcu(S).Giscỏc
tipimlT1,T2,hóyvitphngtrỡnhngthng(T1T2).
Vicỏcyờucu(1),(2),(3),chỳngtathchintngtnhtrongcỏctrnghpngthngcthoc

tipxỳcvimtcu.
Vicỏcyờucu(4),chỳngtathchintheocỏcbclnsau:
Bc1.
Lpphngtrỡnhcỏcmtphng(P1),(P2)cha(d)vtipxỳcvi(S).
Bc2. TỡmtocỏctipimT1,T2vicỏchhiuchỳngchớnhlhỡnhchiuvuụnggúccaItrờncỏc
mtphng(P1),(P2).
Bc3. Vitphngtrỡnhngthng(T1T2).
Vớd3.

x 3 y 2 z 1
,(S):x2+(y1)2+(z2)2=14.


9
3
5
a. Chngminhrngngthng(d)khụngctmtcu(S).
b. Vitphngtrỡnhcỏcmtphngchangthng(d)vtipxỳcvimtcu(S).
c. Giscỏctipimca(S)vicỏcmtphngtrongcõub)lT1,T2,hóyvitphngtrỡnhngthng
(T1T2).

Chongthng(d)vmtcu(S)cúphngtrỡnh: (d) :

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn


Giảng dạy: nguyễn bảo vơng

0946798489

Page|18


Ti liệu toán 12

năm học 2018

Vn1.PHNGTRèNHNGTHNG

thng AB .

Cõu 1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng Cõu4. Trong khụng gianvi h ta Oxyz , cho ng
thng d :

x -1 y - 2 z + 3
. Vect no di õy l
=
=
-8
5
7

thng d :

mtvectchphngca d ?

A. u1 = (1;2;-3) .

C. u3 = (5;-8;7) .



(I ) . d cúmtVTCPl a = (2;7;4 ) .


B. u2 = (-1; -2;3) .

D. u4 = (7;-8;5) .

(II) .im M (0;-8;-4 ) thucngthng (d ) .
ùỡù x = 2t
ù
(III ) .Phngtrỡnhthamsca d : ùớ y = -8 + 7t .
ùù
ùùợ z = -4 + 4 t

Cõu2.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chocỏcng
thngcúphngtrỡnhsau:
ỡ
x = 2 + 2t
ù
ù
ù
(I) : ùớ y = -3t .
ù

ù
ù
ù
ợ z = -3 + 5t



(III) :

ỡ
x = 2 - 4t
ù
ù
ù
.
(II ) : ùớ y = 6t
ù
ù
ù
ù
ợ z = -3 - 10t

x - 4 y -3 z -2
.
=
=
2
-6
5

Trongcỏckhnginhtrờn,khngnhnoỳng?
A. (I )

C. (III )

D. C

(I ) ,

Cõu5. Trong khụng gianvi h ta Oxyz , cho ng
ùỡù x = 2 - t
ù
thng d : ùớ y = 1 + t . Phng trỡnh no sau õy l
ùù
ùùợ z = t

phng trỡnh ca ng thng qua M (2;0; -3) v nhn

a = (2;-3;5) lmmtVTCP:
A.Chcú (I )

B.Chcú (III )

C. (I ) v (II )

D. (I ) v (III )

phngtrỡnhchớnhtcca d ?
A.

Cõu3.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chohaiim
A (2;3; -1), B (1;2;4 ) v ba ng thng cú phng

trỡnhsau:



B. (II )

(II) v (III ) .

Trong cỏc phng trỡnh trờn phng trỡnh no l

ỡx = 2 - t
ù
ù
ù
(I) : ùớ y = 3 - t .
ù
ù
ù z = -1 + 5t
ù
ợ
ỡx = 1- t
ù
ù
ù
(III ) : ùớ y = 2 - t .
ù
ù

ù
ù
ợ z = 4 + 5t

x
y +8 z +4
.Xộtcỏckhngnhsau:
=
=
2
7
4

x - 2 y - 3 z +1
=
=
.
(II) :
-5
1
1

x -2 y z +3
= =

-1
1
-1

x +2

y
z -3
=
=

1
-1
1
x - 2 y -1 z
=
=
D.
1
1
-1
B.

C. x - 2 = y = z + 3

Cõu 6. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , giao im
ca

hai

ng

thng

ỡù x = -3 + 2t
ùù

d : ùớ y = -2 + 3t
ùù
ùùợ z = 6 + 4 t

v

ỡù x = 5 + t '
ùù
d ' : ùớ y = -1 - 4 t ' cútal:
ùù
ùùợ z = 2 - 8t '

A. (-3; -2;6) B. (3;7;18)

C. (5; -1;20 ) D. (3; -2;1)

Mnhnosauõylỳng?
A.Chcú (I ) lphngtrỡnhcangthng AB .
B.Chcú (III ) lphngtrỡnhcangthng AB .
C.Chcú (I ) v (II ) lphngtrỡnhcangthng
AB .

D. C (I ), (II ), (III ) u l phng trỡnh ca ng
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Cõu 7. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng

thng D i qua im M (2;0; -1) v cú vect ch

phng a = (4;-6;2) .Phngtrỡnhthamsca D l:
ỡ
x = -2 + 4 t
ù
ù
ù
ù
A. ớ y = -6t

ù
ù
ù
ù
ợ z = 1 + 2t

ỡ
x = -2 + 2t
ù
ù
ù
ù
B. ớ y = -3t

ù
ù
ù
ù
ợz = 1 + t

Page|19


Ti liệu toán 12

năm học 2018

ùỡù x = 2 + 2t
ù
C. ùớ y = -3t
ùù
ùợù z = -1 + t

ùỡù x = 4 + 2t
ù
D. ùớ y = -6 - 3t
ùù
ùợù z = 2 + t

ỡ x = 1 + 3t
ù
ù
ù
C. ùớ y = 2 - 4 t
ù
ù
ù z = 3 - 7t
ù
ợ

ỡ x = -1 + 8t
ù
ù
ù
D. ùớ y = -2 + 6t
ù
ù
ù z = -3 -14 t
ù
ợ

Cõu 8. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho d l Cõu12.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chobaim
ng thng i qua hai im A (2; -1;3) v B (0;2;1) .

A (0;0;1) , B (-1; -2;0 ) v C (2;1; -1) . ng thng D

Phngtrỡnhnosauõylphngtrỡnhthamsca

i qua trngtõm G ca tam giỏc ABC v vuụng gúc

d ?

vimtphng ( ABC ) cúphngtrỡnhl:

ùỡù x = 4 t
ù
A. ùớ y = 2 + 6t
ùù
ùùợ z = 1 - 4 t

ùỡù x = 2 + 2t
ù
B. ùớ y = -1 + 3t
ùù
ùùợ z = 3 + 2t

ùỡù x = -2 + 2t
ù
C. ùớ y = 5 - 3t
ùù
ùùợ z = -1 + 2t

D.CA,B,Cusai.

Cõu 9. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , phng
trỡnhnosauõylphngtrỡnhchớnhtccang
thngiquahaiim A (1;2 - 3) v B (3; -1;1) ?

ỡù
ùù x = 1 - 5t
ùù
3
ù
1
ớ
A. ùù y = - - 4 t
3
ùù
ùù z = 3t

ùợ

ỡù
ùù x = 1 + 5t
ùù
3
ù
1
ớ
B. ùù y = - - 4 t
3
ùù
ùù z = 3t
ùợ

ỡù
ùù x = 1 + 5t
ùù
3
ù
1
ớ
C. ùù y = - + 4 t
3
ùù
ùù z = 3t
ùợ

ỡù
ùù x = 1 - 5t

ùù
3
ù
1
ớ
D. ùù y = - - 4 t
3
ùù
ùù z = -3t
ùợ

Cõu 13. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho d l



x -1 y - 2 z + 3

A.
=
=
3
-1
1

x -1 y - 2 z + 3
B.

=
=
2

-3
4

x - 3 y + 1 z -1
C.

=
=
-3
1
2

x +1 y + 2 z - 3
D.

=
=
-3
2
4

ngthngiquagcta O ,vuụnggúcvitrc
ùỡù x = 1 + t
ù
Ox v vuụng gúc vi ng thng D : ùớ y = 2 - t .
ùù
ùùợ z = 1 - 3t

Phngtrỡnhca d l:

Cõu 10. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , ng
thngiquaim M (1;2;3) vsongsongvitrc Oy

ùỡù x = t
ù
A. ùớ y = 3t
ùù
ùùợ z = -t

cúphngtrỡnhthamsl:
ùỡù x = 1 + t
ù
A. d : ùớ y = 2
ùù
ùợù z = 3

ùỡù x = 1
ù
B. d : ùớ y = 2 + t
ùù
ùợù z = 3

ùỡù x = 1
ù
C. d : ùớ y = 2
ùù
ùùợ z = 3 + t

ùỡù x = 1 - t
ù

D. d : ùớ y = 2 + t
ùù
ùùợ z = 3 - t

x
y
z
C. = =

1 3 -1

ỡù x = 0
ùù
D. ùớ y = -3t
ùù
ùùợ z = t

Cõu 14. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai

ng thng i qua im A (1;2;3) v vuụng gúc vi

ỡù x = t
ùù
x
y -1 z + 2
ngthng d1 : ùớ y = -1 - 4 t v d 2 : =
.
=
ùù
-5

2
1
ùùợ z = 6 + 6t

mt phng (a ) : 4 x + 3 y - 7 z + 1 = 0 . Phng trỡnh

Trong cỏc phng trỡnh sau õy, phng trỡnh no l

Cõu 11. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho d l

phng trỡnh ca ng thng d3 qua M (1; -1;2 ) v

thamscadl:
ỡù x = -1 + 4 t
ùù
A. ùớ y = -2 + 3t
ùù
ùùợ z = -3 - 7t

ỡù x = 1 + 4 t
ùù
B. ùớ y = 2 + 3t
ùù
ùùợ z = 3 - 7t

vuụnggúcvic d1 , d2 .



Giảng dạy: nguyễn bảo vơng

ùỡù x = 1
ù
B. ùớ y = -3t
ùù
ùùợ z = -t

0946798489

A.

x + 4 y -1 z + 3

=
=
5
2
7

B.

x -1 y + 1 z - 2

=
=
14

17
9

C.

x -1 y + 1 z - 2

=
=
14
9
3

D. d 3 :

x -1 y + 1 z - 2

=
=
-14
7
9

Page|20


Ti liệu toán 12

năm học 2018

Cõu15.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong

thng

ỡ
9
ù
ù
x = - -t
ù
ù
5
ù
ù

d : ớ y = 5t
ù
ù
7
ù
ù
z = + 3t
ù
ù
5
ù
ợ

v

mt

phng

( P ) : 3 x - 2 y + 3 z -1 = 0 .

ỡx = 2
ù
ù
ù
A. ùớ y = 1 + t
ù
ù
ùz = 1
ù
ợ

ỡ x = -2
ù
ù
ù
B. ùớ y = 1 + t
ù
ù
ù z = -1
ù
ợ

ỡ
x =2

ù
ù
ù
C. ùớ y = -1 + t
ù
ù
ù
ù
ợz = 1

ỡ
x =2
ù
ù
ù
D. ùớ y = 1 + t
ù
ù
ù
ù
ợ z = -1

Gi d ' lhỡnhchiuca d trờnmtphng ( P ) .Trong Cõu 19. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ùỡù x = 1 - t
cỏc vect sau, vect no khụng phi l vect ch phng
x -2 y + 2 z -3
ù
=
=
, d 2 : ùớ y = 1 + 2t

ng thng d1 :
ùù
ca d ' ?
2
-1
1
ùùợ z = -1 + t


A. (5; -51; -39 )

B. (10; -102; -78)

C. (-5;51;39 )

D. (5;51;39 )

vim A (1;2;3) .


phngtrỡnhl:

Cõu16.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong
ùỡù x = 2 + 3t
ù
thng d : ùớ y = 1 - t
. ng thng no sau õy
ùù
ùùợ z = -2 - 2t

vuụnggúcvct d ?



ùỡù x = 2 + t
ù
A. d1 : ùớ y = 1 + 2t
ùù
ùùợ z = -2 - t
ùỡù x = -1 + 2t
ù
C. d 3 : ùớ y = 2 + 2t
ùù
ùợù z = 2 + 2t

x -1 y z + 1
= =
. Vit phng trỡnh
1
1
2
ngthng D iqua A, vuụnggúcvct d .

ỡx = 0
ù
ù
ù
:ù
ớ y = 4 - 2t ' .
ù

ù
ù
ù
ợ z = 5 + 3t '

C.

x + 4 y z -2

= =
-2
3
2

ỡx = 4 - t
ù
ù
ù
B. ùớ y = 3t

ù
ù
2
ù
z
=
+
t
ù
ợ

D.



v

hai

song song vi ( P ) v vuụng gúc vi d cú phng



trỡnh:

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

x -1 y - 2 z -1
x -1 y - 2 z -1
B. D :
=
=
=
=
-2
-3

-4
-2
4
3
x -1 y - 2 z -1
x -1 y - 2 z -1
C. D :
D. D :

=
=
=
=
-2
4
2
3
4
3

A. D :

thng

x - 2 y -1 z -1
x - 2 y + 3 z -1
d1 :
=
=
d2 :

=
=
,
.
1
2
2
1
-2
-1
ngthng D ct d1 , d 2 lnltti A v B saocho
M ltrungimca AB cúphngtrỡnh:

D:

ỡx = 1 + t
ù
ù
ù
thng d : ùớ y = 2t , im M (1;2;1) v mt phng
ù
ù
ù
ù
ợ z = -1
( P ) : 2 x + y - 2 z -1 = 0 . ng thng D i qua M ,

x -4 y z +2

= =

-2
3
2

ng

x -1 y z - 2
= =
.
1
1
-1
x -1
y
z -2
D. D :
.
=
=
-3
1
1

B.

Cõu21.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong

Cõu 18. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
M (2; -1;1)

x -1 y z - 2
= =
.
1
1
1
x -1 y z - 2
= =
.
C. D :
2
2
1
A. D :

Phngtrỡnhngvuụnggúcchungca d1 v d 2 l:
x -4
y
z -2
A.

=
=
-3
-2
2

x -1 y - 2 z - 3

=

=
-1
-3
-5
x -1 y - 2 z - 3
D.

=
=
-5
1
3

B.

ng thng d :

Cõu 17. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai



x -1 y - 2 z - 3

=
=
-3
-5
1
x -1 y - 2 z - 3
C.

=
=
1
3
5

A.

Cõu20.(MINHHAQUCGIANM2017)Trong
khụnggianvihta Oxyz , choim A (1;0;2) v

ỡx = 5 + t
ù
ù
ù
B. d 2 : ùớ y = -t

ù
ù
4
2
ù
z
=
+
t
ù
ợ
ỡ

x = 1 + 2t
ù
ù
ù
ù
D. d 4 : ớ y = 2 - t
ù
ù
ùz = 2 + t
ù
ợ

ỡx = 1 + t
ù
ù
ù
ngthng d1 : ùớ y = 0
v d 2
ù
ù
ù
ù
ợ z = -5 + t

ngthng D qua A ,vuụnggúcvi d1 vct d 2 cú

Cõu 22. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
phng ( P ) : x + 2 y = 0 . Phng trỡnh no sau õy l
phng trỡnh ng thng qua A (-1;3; -4 ) ct trc
Ox vsongsongvimtphng ( P ) :

Page|21


Ti liệu toán 12

năm học 2018

ùỡù x = 5 + 6t
ù
A. ùớ y = -3t
ùù
ùợù z = 4 t

C.

ỡ x = -1 + 3t
ù
ù
ù
B. ùớ y = 3 + t
ù
ù
ùz - 4 - t
ù
ợ

x +1 y - 3 z + 4

=

=
6
2
4

D.

ỡ x = 1 + 3t
ù
ù
ù
M (2; -6;3) vngthng d : ù
ớ y = -2 - 2t .
ù
ù
ùz = t
ù
ợ

x +1 y - 3 z + 4

=
=
-5
6
4



Tahỡnhchiuvuụnggúcca M lờn d l:

A. (1; -2;0 ) B. (-8;4; -3) C. (1;2;1)

D. (4; -4;1)

Cõu23.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong
d:

thng

x -3 y -3 z
=
= ,
1
3
2

mt

phng

(a ) : x + y - z + 3 = 0 vim A (1;2 -1) .ngthng
D iqua A ct d vsongsongvimtphng (a ) cú

phngtrỡnhl:

x -1 y - 2 z + 1
=
=

1

2
1
x -1 y - 2 z + 1
=
=

C.
1
-2
-1
A.



x -1 y - 2 z + 1
=
=

-1
-2
1
x -1 y - 2 z + 1
=
=
D.

1
2
1

B.

Cõu 24. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
phng

( P ) : x + 2 y - 3 z + 4 = 0 v ng thng

x +2 y -2
z
=
=
. ng thng D nm trong
1
1
-1
( P ) ng thi ct v vuụng gúc vi d cú phng

Cõu27.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong
x - 2 y -1 z + 1
v im A (1;2;3) . Ta
=
=
-1
3
1
im A ' ixngvi A qua d l:

thng d :

A. A ' (3;1; -5)

B. A ' (-3;0;5)

C. A ' (3;0; -5)

D. A ' (3;1;5)



Cõu 28. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cho
im

A (-1;3;2 )

v

mt

phng

( P ) : 2 x - 5 y + 4 z - 36 = 0 .Tahỡnhchiu H ca A
trờn ( P ) l.
A. H (-1; -2;6 )

B. H (1;2;6)

C. H (1; -2;6 )

D. H (1; -2; -6 )

d:

Cõu29.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chotamgiỏc

trỡnh:

x - 3 y -1 z - 1
x + 3 y + 1 z -1
=
=
=
=
B. D :
A. D :
1
-2
-1
1
-2
-1
C. D :



x + 3 y -1 z - 1
x + 3 y -1 z + 1
=
=
=
=

D. D :

1
-2
-1
1
-2
-1

ABC cú A (3;0;0) , B (0; -6;0 ) , C (0;0;6 ) vmtphng

(a ) : x + y + z - 4 = 0 .Tahỡnhchiuvuụnggúcca
trngtõmtamgiỏc ABC lờnmtphng (a ) l:
A. (2; -1;3) . B. (2;1;3) .

C. (-2;-1;3) .D. (2; -1; -3) .

Cõu 25. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai Cõu 30. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
phng ( P ) : 2 x + 3 y - z - 7 = 0 v im A (3;5;0) . Gi
im
v mt phng
A (3;3;1) ,
B (0;2;1)
A ' limixngca A quamtphng ( P ) .im
( P ) : x + y + z - 7 = 0 . ng thng d nm trong ( P )
A ' cútal:
sao cho mi im ca d cỏch u hai im A, B cú
B. A ' (-1; -1;2 )
A. A ' (1; -1;2 )
phngtrỡnhl:

ùỡù x = t
ù
A. ùớ y = 7 + 3t
ùù
ùợù z = 2t

ỡ x = 2t
ù
ù
ù
B. ùớ y = 7 - 3t
ù
ù
ùz = t
ù
ợ

ùỡù x = t
ù
C. ùớ y = 7 - 3t
ùù
ùùợ z = 2t

ỡ x = -t
ù
ù
ù
D. ùớ y = 7 - 3t
ù
ù

ù
ù
ợ z = 2t

C. A ' (1;1;2)


Vn2.HèNHCHIUKHONGCCH
Cõu 26. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

D. A ' (-1; -1; -2)

Cõu 31. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
I (1;2;3) v mt phng (a ) cú phng trỡnh

2 x - 2 y - z - 4 = 0 .Mtcu (S ) cútõm I tipxỳcvi

(a) ti H .Taim H l:
ổ 23 4 20 ử
A. ỗỗ , , ữữữ
ỗố 9 9 9 ứ

ổ 23 4 20 ử
B. ỗỗ- , , - ữữữ
ỗố 9 9

9ứ

ổ 23 4 20 ử
C. ỗỗ , - , ữữữ
ỗố 9
9 9ứ

ổ 23 20 4 ử
D. ỗỗ , , ữữữ
ỗố 9 9 9 ứ

Page|22


Ti liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 32. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , bit rng Cõu 37. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , bỏn kớnh
mt phng ( P ) : 2 x - 2 y - z - 3 = 0 ct mt cu (S ) cú

camtcutõm I (1;3;5) vtipxỳcvingthng

tõm I (3, -1, -4 ) theo giao tuyn l mt ng trũn.

d:

Tõm H ca ng trũn giao tuyn l im no sau
õy:

A. 14

A. H (1,1,3)

B. H (1,1, -3)

C. H (-1,1,3)


D. H (-3,1,1)



khongcỏchtim A nngthng d chotrc,
nhsau:

v

mt

phng

Bc 1. Vit phng trỡnh mt phng (a ) cha A v
vuụnggúcvi d .

( P ) : x + y + z - 7 = 0. Phngtrỡnhngthng D ' l

Bc2.Tỡmtagiaoim H ca (a ) v d .

hỡnhchiuvuụnggúcca D trờn ( P ) l:

Bc3.Tớnhtoỏnvktlun d [ A, d ] = AH .

ùỡù x = 8 + 4 t
ù
A. ùớ y = 15 - 5t
ùù
ùùợ z = t .


ùỡù x = -8 - 4 t
ù
B. ùớ y = 15 - 5t
ùù
ùùợ z = t.


ỡ x = -8 + 4 t
ù
ù
ù
C. ùớ y = 5 - 5t
ù
ù
ùù
ợ z = t.



ùỡù x = -8 + 4 t

ù
D. ùớ y = 15 - 5t
ùù
ùùợ z = t .


Bigiitrờnsaibcno?
A.Bc1.

Khongcỏcht A (0; -1;3) nngthng D bng:

x -1 y + 1 z -1
=
=
.
2
1
2
A (1;0;3) n D bng:
D:

cỏch

9 14
.
14

2 5
.
3

5
B. .
3

C. 2 5.

t

6
D. .
5

ng

A (1; -1;0 ), B (1;0; -2), C (3; -1; -1) . Tớnh khong cỏch

tim A nngthng BC .

D' :
21
.
6

B.

14
.
2

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



C.

21
.
2

0946798489

D.

7
.
2

C. 14.

D.

6
14

.

B.

4 2

.
3

C.

4
.
3

D.

4 3
.
2

Cõu 41. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai

Cõu36.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chobaim

A.

14 14
.
9

d1 :

thng

A. 4 2 .

A.

B.

x - 2 y +1 z + 3
=
=

v
1
2
2
x -1 y - 1 z + 1
d2 :
=
=
. Tớnh khong cỏch gia hai
1
2
2
ngthng d1 v d 2 .

D. 8.

Khong

d:

Cõu40.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chohaing

Cõu 35. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng
thng

D.Khụngsai

bng:
A.

C. 6.

C.Bc3.

x -1 y - 7 z - 3
=
=
v mt phng
2
1
4
( P ) : 3 x - 2 y - z + 5 = 0 . Khong cỏch gia d v ( P )

thng

ỡ
x = 1 + 2t
ù
ù
ù
thng D : ùớ y = 2
.

ù
ù
ùù
ợ z = -t

B. 14.

B.Bc2.

Cõu39.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong

Cõu34.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong

A. 3.

D.7

mt hc sinh ó trỡnh by bi gii theo th t cỏc bc

ỡ x =t
ù
ù
ù
D:ù
ớ y = 8 + 4t
ù
ù
ù z = 3 + 2t
ù
ợ

thng

C. 7

B.14

Cõu 38. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , tớnh

Cõu33.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong



x
y +1 z - 2
=
=
bng:
-1
-1
1



ỡ x = 1 + 2t
ù
ù
ù
thng D : ùớ y = -3 + t
ù

ù
ù z = 4 - 2t
ù
ợ

v

x + 2 y -1 z + 1
=
=
.
-4
-2
4

Khongcỏchgiahaingthng D v D ' bng:
Page|23


Ti liệu toán 12

A.

79
.
3

B.

năm học 2018

3
.
386

C.

11 5
.
5

D.

dionvuụnggúcchungcahaingthng d1

386
.
3

v d 2 bng:

Cõu 42. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ng

d:


x - 2 y - 3 z -1

D:

=
=
-4
-5
2

thng

A. 2 6 .

v

x -1
y
z +1
=
=
.
1
-2
2

B. 3 .

thng D :

C.

45
14

.

A. m = -2; n = 1

B. m = 2; n = -1

C. m = -4; n = 7

D. m = 0; n = 7

Cõu 48. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ng

thng

Khongcỏchgiahaingthng d v d ' l:
B.

1
14

.

C. 7 .

D.

1
7

d2 :

.

Cõu 44. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc
im

A (1;1;1) ,

B (2; -1;3) ,

C (-1; -1; -2 )



v

D (-3;5; -3) .



x
y + 2 z -1
i qua im M (2; m; n ) .
=
=
-1
1
3

Khiúgiỏtrca m, n lnltl:

5
.
D.
5

ỡù x = 1 - t
ỡù x = 2t
ùù
ùù
ngthng d : ùớ y = t
v d ' : ùớ y = -1 + t .
ùù
ùù
ùùợ z = -t
ùùợ z = t

A. 14 .

Tớnhkhongcỏchgiahaingthng AB v CD .
A.

15
113

.

B.

20
113

D. 4 .

Cõu47.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong

Cõu 43. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai



C. 2 2 .

Vn3.VTRTNGI

Khongcỏchgiahaingthng D v d bng:
A. 5 .

B. 6 .

.

C.

10
113

.

D.

5
113

Vtrớtngica d1 v d 2 l:
A.Songsong.

B.Trựngnhau.

C.Ctnhau.

D.Chộonhau.

d2 :

im A (0;0;2) , B (1;0;0 ) , C (2;2;0 ) v D (0; m;0 ) .iu

ộm = 4
ộ m = -4
ộm = 4
. B. ờ
. C. ờ
.
A. ờ
ờ m = -2
ờm = 2
ờm = 2
ở
ở

ở

x -1 y - 2 z - 3
.
=
=
1
2
-3

ng

Cõu 45. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc

thng AB v CD bng 2 l:

v

Cõu 49. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai

.

kincnvca m khongcỏchgiahaing

ỡ
x = -1 + 3t
ù
ù
ù

d1 : ùớ y = -t
ù
ù
ù
ù
ợ z = 1 - 2t



ộ m = -4
D. ờ
.
ờ m = -2
ở

thng

ỡ x = -1 + 3t
ù
ù
ù

d1 : ùớ y = -t
ù
ù
1
2
z
t
ù

=
ù
ợ

v

x -1 y - 2 z - 3
.
=
=
1
2
-3

Vtrớtngica d1 v d 2 l:
A.Songsong.

B.Trựngnhau.

C.Ctnhau.

D.Chộonhau.

Cõu 46. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai Cõu 50. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ỡ
x = 1 + 2t
ù
ù
ù
ngthnglnltcúphngtrỡnhl d1 : ùớ y = 2

ù
ù
ù
ù
ợ z = -t
ỡù x = 3 - t
ùù

v d 2 : ùớ y = 4 + t .
ùù
ùùợ z = 4

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

ùỡù x = t
x - 3 y - 2 z -1
ù
=
=
ngthng d1 :
v d 2 : ùớ y = 2 .
ùù
1
2
1

ùợù z = 2 + t

Vtrớtngica d1 v d 2 l:
A.Songsong.

B.Trựngnhau.

Page|24


Ti liệu toán 12

năm học 2018

C.Ctnhau.

ỡ x = 2 + 3t
ù
ù
ù
A. d1 : ùớ y = 2 - t .
ù
ù
ùz = 1 + 4t
ù
ợ

D.Chộonhau.

Cõu 51. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai

x
y z -2
ngthng d1 : = =
v d 2
1 2
-3

ùỡù x = 2t
ù
: ùớ y = -3 - t .
ùù
ùùợ z = 0



C. d3 :

B.

ùỡù x = 3t
ù
d 2 : ùớ y = 1 + t .
ùù
ùợù z = 5t

x + 2 y + 3 z -1
x
y + 1 z -1
=
=

.D. d 4 : =
.
=
-3
6
6
2
-4
-4

Cõu55.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong


Mnhnosauõyỳng:
A. d1 songsong d 2 .

ỡ
x =t
ù
ù
ù
thng d : ùớ y = 2
.Trongcỏcngthngsau,ng
ù
ù
ù
ù
ợz = 2 + t

B. d1 v d 2 chộonhau.

C. d1 ct d 2 vvuụnggúcvinhau.

thngnoct d ?



x - 3 y - 2 z -1
x -1 y - 2 z - 3
=
=
=
=
.B. d 2 :
.
1
2
1
1
1
-1
ỡ
ỡ
x = 2-t
x = 1 + 2t
ù
ù
ù
ù
ù

ù
ù
C. d 3 : ớ y = 1
.
D. d 4 : ùớ y = 2
.
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ợ z = -t
ợ z = 3 + 2t

D. d1 vuụnggúc d 2 vkhụngctnhau.

A. d1 :

Cõu 52. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ng

ùỡù x = t
ù
d1 : ùớ y = -2 + 3t
ùù
ùùợ z = 6 - 4 t

thng

v

x + 4 y -2 z +5
.
d2 :
=
=
6
2
3



Cõu 56. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ỡ x = 1 + at
ù
ù
x
y -3 z + 2
ù
=
ngthng d : ùớ y = -2 + t v d ' : =
.
ù
2
2
-1
ù

2
z
t
ù
=
ù
ợ

Mnhnosauõyỳng:
A. d1 songsong d 2 .

B. d1 v d 2 chộonhau.

C. d1 ct d 2 vvuụnggúcvinhau.



Vi giỏ tr no sau õy ca a thỡ d v d ' song song
vinhau?



D. d1 vuụnggúc d 2 vkhụngctnhau.
Cõu53.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong

A. a = 0



B. a = 1

C. a = -2



D.Khụngtnti.



Cõu 57. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
ỡ
x = -1 + 2 t
ù
ù
ù
x -1 y - 3 z + 1
thng d : ùớ y = -t
. Trong cỏc ng thng sau,
d1 :
=
=

v
ng
thng
ù
ù
1
1
-1

2
z
t
ù
=
ù
ợ
ỡ x = n + 2t
ù
ù
ngthngnovuụnggúcvi d ?
ù
d 2 : ùớ y = -1 - 2t .
ù
ù
ù
ùỡù x = 3t
ùỡù x = 2
ù
ợ z = 3 + mt
ùù
ùù
A. d1 : ớ y = 1 + t .
B. d 2 : ớ y = 2 + t .
ùù
ùù
Vigiỏtrnoca m, n thỡhaingthngútrựng
ùùợ z = 5t
ùùợ z = 1 + t
nhau?

C. d 3 :

x - 2 y z -1
.
= =
3
2
-5

D. d 4 :

x +2
y
z +1
=
=
.
2
2
-1


A. m = 2, n = 5 .

B. m = -2, n = 5 .

C. m = 5, n = 2 .

D. m = -5, n = 2 .

Cõu54.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chong
Cõu58.Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chohaing
x +2
y
z +1
=
=
. Trong cỏc ng thng
ỡ
x = 1 + at
ù
2
2
-1
ù
ù
ù
thng
ln
lt
cú
phng
trỡnh
v
:
d
sau,ngthngnosongsongvi d ?
1 ớy = t
ù
ù

ù
ù
ợ z = -1 + 2 t
thng d :

Giảng dạy: nguyễn bảo vơng



0946798489

Page|25