Sử dụng ngôn ngữ lập trình Wolfram Mathematica xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy (Khóa luận tốt nghiệp)

L IC

hoàn thành khóa lu n v

d ng ngôn ng l p trình Wolfram

Mathematica x p x hàm s b

cn

n d ng nh ng ki n th c ti
luôn nh

c s gi

c

ng, tìm tòi h c h i, em

ng d n t n tình c a cô giáo Ph m H ng Minh.

Em xin t lòng bi
b

nh s n l c c a b n

c nh

n cô

c ti

ng d n, ch

em hoàn thành khóa lu n c a mình.
Em xin chân thành c

i h c Qu ng Bình,

toàn th các th

c bi t là th y cô giáo khoa Khoa h c t

gi ng d

em trong su t th
t

n tình
ng s

ng

u ki n thu n l i cho em trong su t

quá trình th c hi n khóa lu n.
M cd

uc g

th c hi n khóa lu n m t cách hoàn ch nh

nh t, song v i th i gian và kh

n ch , khóa lu n không th tránh

kh i nh ng thi u sót. Em r t mong nh

c s góp ý chân tình t các th y, cô

và b n bè.
Cu i cùng, em xin kính chúc quý th y, cô giáo s c kh e và nhi u thành
công.
Em xin chân thành c
ng H i,
Sinh viên

Hoàng Th Hòa

i


M CL C
....................................................................................................... i

L IC

M C L C ............................................................................................................ii
U .................................................................................................. 1

PH N M

1. Lý do ch

tài ............................................................................................ 1
u ..................................................................................... 2

2. M

3. Nhi m v nghiên c u ..................................................................................... 2
ng và ph m vi nghiên c u................................................................. 2
u............................................................................... 2
PH N N I DUNG .............................................................................................. 3
.......................................................................................................... 3
KI N TH C CHU N B ................................................................................... 3
TV

.................................................................................................. 3
C N I SUY LAGRANGE ............................................................ 3

c n i suy Lagrange v i m c b t k .................................................... 3
u ................................................ 7

c n i suy Lagrange v i m
3. Sai s c

c n i suy............................................................................... 9
C N I SUY NEWTON............................................................... 11

1. T sai phân và m t vài tính ch t.................................................................. 11
c n i suy Newton v i m c b t k ...................................................... 13
3. Sai phân và m t vài tính ch t....................................................................... 15

u ................................................. 17

h c n i suy Newton v i m

....................................................................................................... 25
NG D NG C A MATHEMATICA ............................................................ 25
GI I BÀI TOÁN N I SUY....................................................................... 25
I. T ng quan v ngôn ng l p trình Mathematica ......................................... 25
1. Gi i thi

v ngôn ng l p trình mathematica:............................... 25

1.1.Gi i thi u...................................................................................................... 25
1.2.Giao di

a Mathematica ...................................................... 26
ii


2. Các quy t

n v ng pháp c a Mathematica:................................. 26
n trong Mathematica ......................................................... 27

3.1. Các ph

i s ................................................................................... 27

4. Danh sách trong Mathematica..................................................................... 30
4.1. Xây d ng danh sách................................................................................... 30

m các ph n t trong danh sách ............................................................ 31
4.3. Chuy

i d ng m t danh sách............................................................... 31

4.4. Tính toán v i danh sách: ........................................................................... 31
h a v i Mathematica............................................................................... 32
5.1.V

th trong m t ph ng.......................................................................... 32

II. L p trình Mathematica trong gi i bài toán n i suy.................................. 35
1. Phép n i suy Lagrange trong Mathematica .............................................. 35
2. Phép n i suy Newton trong Mathematica.................................................. 36
K T LU N ........................................................................................................ 44
TÀI LI U THAM KH O ................................................................................ 46

iii


PH N M
1. Lý do ch

U

tài

Lý thuy t n i suy

m t lý thuy t toán h c có l ch s phát tri n lâu dài g n

li n v i tên tu i c a nhi u nhà toán h c n i ti ng trên th gi
Lý thuy t n

cho nhi u lý thuy t toán h c khác nhau,

ch ng h n trong vi c gi i g
o hàm riêng nh
n c a lý thuy t n i suy là d ng m

nx px m t

c cho b ng b ng ho c là có công th c gi i tích ph c t p. T
tính g

o hàm, g

ig

t

s bài toán v
V

n bài toán n
c Lagrange s d

c s d ng s m b
xu t l

ng sai s c

n

c Cauchy thi t l
Các v

v lý thuy t n i suy r

tài này
i suy Lagrange

i suy

Newton
trong

ng.
Mathematica

nh

Ngoài ra,

các
n nghiên c
trình Wolfram Mathematica x p x hàm s b
m t tài li

n v các v

liên quan

m m Mathematica trong gi i toán n i suy.

1

S d ng ngôn ng l p
c n i suy nh m cung c p

n n i suy và ng d ng c a ph n


2. M

u

- H th ng l i các v

nc

cn

c

n i suy Newton.
- Nghiên c u và khai thác s d ng ph n m m Mathematica vào vi c gi i
các bài toán n

n và v

th .

3. Nhi m v nghiên c u
-T

u, nghiên c u lý thuy t.

- Nghiên c u v c u trúc c

c n i suy.

- Nghiên c u v m t s bài toán n i suy, m t s công th

nc an i

suy.
- Nghiên c u m t s
4.

ng d ng c a lý thuy t n i suy.

ng và ph m vi nghiên c u
-

cn

c n i suy Newton và các v

liên

- Ngôn ng l p trình Mathematica và ng d ng c a nó trong v

th và

quan.

gi i bài toán n i suy.
5.

u
-

u lý thuy

c và tìm hi

c
- B ng nh ng ví d c th

c n i suy,

c.
áp d

c n i suy.

- Th c hi n các l

xây d

2

c n i suy và v

th .


PH N N I DUNG
KI N TH C CHU N B
TV
Trong th c t

ng ph i tính giá tr c a hàm s

v i

n [a, b] , trong khi ch bi t các giá tr :

xb

yi

f ( xi ) , xi

[a, b],
a f ( x)

n P( xi )

P ( x)
x

;

f ( x) , còn các

f ( x) cho

f ( xi ) , i

0,1,..., n và

thì P ( x)

a, b ,

(i 0,1,..., n)

Bài toán xây

xi , yi ,

ng x

M

xi , f ( xi ) .
f ( x)

n [a,b] .

C N I SUY LAGRANGE
1.

c n i suy Lagrange v i m c b t k

Bài toán:
Cho xi

a, b , i

xj , i

0,1,..., n ; xi

Ln ( x)

Hãy xây
.

3

j , và yi

f ( xi ) i

a mãn deg Ln ( x)

0,1,..., n .

n , Ln ( xi )

yi ,


n

j

( x)

(x

xi )

(x j

xi )

i 0
i j
n
i 0
i j

( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn )
( x j x0 )( x j x1 )...( x j xi 1 )( x j xi 1 )...( x j xn )
Rõ ràng: deg

j

và :

( xi ) =
0 (i
1 (i

j)
j)
n

t Ln ( x)

y j j ( x)

yo 0 ( x)

y1 1 ( x) ... yn n ( x).

j 0

Vì y0 , y1 ,..., yn = const và deg
deg Ln ( x)

= deg 1 ( x)

eg

n

( x)

n và:
,

Ln ( x1 )

y0 0 ( x1 )

Ln ( xn )

y0 0 ( xn )

y, ta có: Ln ( xi )

y1 1 ( x1 ) ... yn n ( x1 )

y1 1 ( xn ) ... yn n ( xn )
yi ,

y1 ,

yn .

.

Ln ( x)

Ln ( x)

4

n nên


t:
n
n 1

( x)

( x xi )

( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )( x xi )( x xi 1 )...( x xn ).

i 0

Ta có:

'n 1 ( x)
(x

(x

x0 )( x

x1 )( x x2 )...( x xn ) ( x x0 )( x x2 )...( x xn ) ...
x1 )...( x

xn 1 ).
x0 , x1 ,...., x j , ta có:

Thay

'n 1 ( x0 )

( x0

x1 )( x0

x2 )...( x0

xn ),

Ta có:

(1)

t là (n 1)

thì deg

x0 , x1 ,..., xn

( x)

0

.

1:

y

f ( x)

sau:

xi

0

2

3

5

1

3

2

5

5

c (1)
Ta có: n 3
Nên:

'4 (0) (0 2)(0 3)(0 5)

'4 (5) 5(5 2)(5 3) 30

Suy ra:

( x 2)( x 3)( x 5)
( 30)

x( x 3)( x 5)
2

x( x 2)( x 5)
( 3)

x3 10 x 2 31x 30 x3 8 x2 15x
30
2
3
2
9 x 65x 124 x 30
30
3 3 13 2 62
x
x
x 1

10
6
5

x3

3 3
x
10

L3 ( x)

y

1
2

7 x 2 10 x
3

13 2
x
6

x3 5x 2
6

62
x 1.
15

f ( x)

xi

f

x( x 2)( x 3)
6

f

1
2

0

1

2

3

1

0

2

1

L3

1
.
2
6

6x


Ta có: n
Nên:

n 1

3

( x)

4

( x)

x( x 1)( x 2)( x 3)

'n 1 ( x) ( x 1)( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3) x( x 1)( x 3) x( x 1)( x 2)
'4 (0) (0 1)(0 2)(0 3)

'4 (1) 1(1 2)(1 3)

'4 (2)

2

2(2 1)(2 3)

x3
6 x3

x3

2

6 x 2 11x 6
6
27 x 2
6

9 2
x
2

6

x3

4x2
1

L3

3x 2
6

2x

27 x 6

9
x 1
2

x3

L3 ( x)
1
Suy ra: f
2

x3

3x

1
2

1
2

3

9 1
2 2

2

9 2
x
2

91
1
22

9
x 1.
2
1
4

2.
, x0

,

a, xn

b

dùng phép

c

j

( x)

( x)
x j ) 'n 1 ( x)
n 1

(x

Ta có:
n 1

( x)

( x0

( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )( x xi )( x xi 1 )...( x xn )

th x0 )( x0

th x0

h)...( x0

th x0
7

(i 1)h)


( x0

th x0 ih)( x0

th x0

(i 1)h...( x0

th x0

nh)

hn 1t (t 1)...(t n).

( x0

jh x0

( j 1)h)...( x0

jh x0

nh)

hn j ( j 1)...( j ( j 1))( j ( j 1))...( j n).
Suy ra:
j

( x)

h n 1 (t

h n 1t (t 1)...(t n)
j ) j ( j 1)...( j ( j 1))( j ( j 1))...( j n)

c:

Ln ( x)

Ln ( x0

th)

t (t 1)...(t n) ( 1)n j
yj
(t j )
j !(n j )!
0

n

n
i

t (t 1)...(t n)
n!

( 1)

i 0

Cnj

n
n j

i 0

( 1) n

(t

j)

t (t 1)...(t n)
n!
yj
(t j )n !
j !(n j )!

yj.

(2)

( 1)n j Cnj

c (2),

f ( x) ,

j

c h. Nên

quá trình tính toán.

8


n thì Ln ( x)

c, deg f ( x)

xi

f ( x).

0

1

2

3

1

0

2

1

ange L3 ( x)
f

1
2

f

1
2

L3

n [0, 3]

1
.
2

(2)
Ta có: n

3

Suy ra:

L3 ( x)

L3 ( x0 th) mà x0

0; h 1

x3

L3 ( x)
1
Suy ra: f
2

L3

1
2

1
2

3

2

9 1
2 2

3.

9

9 2
x
2

91
1
22

9
x 1
2
1
4


: Cho
vi trên (a, b) và f (a)

f (b) . K

m

Ln ( x)

Khi thay f ( x)
,i

(

sao cho

.

f ( x)

0,1,..., n ).
(n 1)

Xét F ( x)

f ( x) Ln ( x) C

n 1

( x)

óC

i x

y F ( x)

x0 , x1 ,..., xn , và x

t (n 2)
thì F '( x)

F ( n 1) ( x)

t (n 1)

x*

( a , b)

f n 1 ( x* ) Lnn 1 ( x* ) C (n 1)! 0
C

f n 1 ( x* )
,
(n 1)!

f ( x ) Ln ( x )
i M
Rn ( x)

f n 1 ( x* )
(n 1)!

n 1

(x )

Max f n 1 ( x) ,
Ln ( x)

f ( x)

M
(n 1)!

k
n 1

( x)

c trên

10

n [a, b] ,
t trên (a, b) , và


y sin x

x0

1
, x2
6

0, x1

1
1

trên 0, .
2
2

Ta có:
x0

0
1
6
1
2

x1
x2

y0

0

y1

1
2

y2 1

n 2
3

( x)

'3 ( x) ( x

'3 0

1
1
)( x
)
6
2
1
1
)( x
) x( x
6
2

x( x

1
1
; '3
6
12

Suy ra: L2 ( x) 0

1

2

1
;
18

1
6
1
6

x x
x

L2 ( x)

Vì f ( x) sin x nên f '''( x)

x( x

1
)
6

1
2

1
6

'3

1
2

x

1

1
2

x

x

1 1
2 6

1
8

1
6

7
x
2
M 1
3! 8

1
8
3

0

cos x nên M

3

1
6 83

1
6

x x

1
18

3x 2
R2

1
R2
8

1

)
2

sin

25
.
64

8

III.
1. T
11

3

1
8

1
2


a) Khái

y
và

f ( x)

xi

,

( yi
( xi
y

xj.

yi )
xi )

1
1

f ( x)

, (i 0,1,..., n 1)

f ( xi 1 ; xi 2 ) f ( xi ; xi 1 )
xi 2 xi

y

f ( x)

.

pk

i

f ( xi ; xi 1 ;...; xi k ).
k

i) f ( x0 ;...; xk )
i 0

f ( xi )
'n 1 ( xi )

ii)
iii)

p (m 1)

G

x

P ( x)

P( x; x0 ; x1 ;...; xm )

c m

a, b và (m 2)

P ( x; x0 )

T

cm

P ( x) P ( x0 )
x x0
: P( x; x0 ; x1 )

c (m 1).

P( x; x0 ) P( x0 ; x1 )
x x1

12

c (m 2).

0


c [m (k 1)]

P( x; x0 ; x1 ;...; xm 1 ; xm ) 0.

2.

,
cách

y

và

y

n [a, b] và xi

f ( x)

Ln ( x)

,

f ( x)

Ln ( x; xo ) ,

: Ln ( x; x0 )

Ln ( x) Ln ( x0 )
x x0

v.v...

i

Ln ( x)

Ln ( x0 ) Ln ( x; x0 )( x x0 )

L i có: Ln ( x; x0 ; x1 )

Ln ( x; x0 ) Ln ( x0 ; x1 )
,t
x x1

ta có:

Ln ( x; x0 ;...; xi 1 )
Ln ( x)

Ln ( x0 ;...; xi 1 ) Ln ( x; x0 ;...; xi )( x xi )

Ln ( x0 ) Ln ( x0 ; x1 )( x x0 ) Ln ( x0 ; x1 ; x2 )( x x0 )( x x1 )

... Ln ( x0 ; x1 ...xn )( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 )
và
Ta có:

13

[a, b] ,


Ln ( x)

f ( x0 )

f ( x0 ; x1 )( x x0 )

f ( x0 ; x1 ; x2 )( x x0 )( x x1 )
(3)

f ( x0 ; x1 ...xn )( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 )

...

Ln ( x)

c (3)

Chú ý:
+

.
+)
khác.
y

5:

f ( x)

0

2

3

5

1

3

2

5

a nó?

Ta có b

0

1

2

3

1

3

2

-1

5

5
c (3) ta có:

2
3
( x 0)( x 2)
( x 0)( x 2)( x 3)
3
10
2 2 3
3 3 3 2 9
x
x
x
x
x
3
4
10
2
5
13 2 62
x
x 1
6
15

L3 ( x) 1 1( x 0)

1 x
3 3
x
10

14


y

6:

f ( x)

ng sau:
0

1

2

3

1

0

2

1

, 3]

f

1
2

1
2

f

1
.
2

L3

TSP
0

1

1

0

-1

2

2

2

3

1

-1

-1
3
2

c (3) ta có:

L3 ( x) 1 1( x 0)
1 x
x3

3
( x 0)( x 1) 1( x 0)( x 1)( x 2)
2

3 2 3
x
x x3
2
2

9 2 9
x
x 1
2
2

3x 2

2x

x3

L3 ( x)
1
Suy ra: f
2

L3

1
2

1
2

3

9 1
2 2

3.

15

2

9 2
x
2

91
1
22

9
x 1.
2
1
4


n [a,b] , h const 0

f ( x)
y

f ( x h)

f ( x)

f ( x) i x

0

f ( x)

1

f ( x)

f ( x),

f ( x)

(

f ( x),

...
n

n 1

f ( x)), n

N , n 1.
pn

i

:

X
n [a, b]
( f

g)

(c )

, f,g
f

X , ta có:

g

0

.

:
n

( xn )

n !h n

:

( xn )
2

( x h) n

( xn )
n

( xn )

xn

nhx n

(nhx n 1 ) ...

n(n 1)...1h n

2

...

nh ( x n 1 ) ...

n !h n

16

n(n 1)h 2 x n

2

...


n
n

( 1)i Cni f ( x (n i )h).

f ( x)
i 0

n

f n ( x)

n

f

C [a, b] ,

4.

Newton

x0

x1

xn và xi

...

1

xi

h,

Ln ( x)

x0 , x1 ,..., xn

x

T

, i

0,1,...n.

Ta có:

Ln ( x0 ) a0 0
Ln ( x1 ) a0
y1

y0

a0

a1 ( x1
a1 h

y0

x0 ) 0
a1

y1

y1

y0

y0

a1 ( x0

y0

h

h

i

y, ta có: ai

y0
i !hi

17

h x0 )

f ( x)
.
hn


x
Ln ( x0

th)

x0

th ,

y0
t
1!

y0

,

. Thì ta có:
n

2

y0
t (t 1) ...
2!

y0
t (t 1)...(t
n!
.

c (4)

y

7:

f

f ( x)
0

1

2

3

1

0

2

1

i suy Newton

Hãy tìm
1
2

f

1
2

L3

, 3]

1
.
2

Ta có:

c (4)

L3 ( x)

L3 ( x0

th)

x3

L3 ( x)
1
Suy ra: f
2

L3

1
2

n 1)

1
2

3

9 1
2 2
:

18

2

9 2
x
2

91
1
22

9
x 1.
2
1
4

(4)


và xi

xi

1

h,

x

. Ta tìm

:

i

0,1,...n.

Ta có:

yn

2

a2 ( xn

yn

2

yn 1
( xn (n n 2)h xn )
h
(n n 2)h xn )( xn (n n 2)h
yn

yn 2 y n
2h 2

1

yn

yn

( yn
2h 2

1

1

n

an

y0
n !hn

19

xn

yn 2 )

(n n 1)h)

, xj

xn

(n

j )h , j 0,1,..., n, thì ta có:
(5)

c (5)
8:

ng sau:
0

1

2

3

1

0

2

1

, 3]

f

1
2

f

1
2

L3

1
.
2

Ta có:

c (5)

Mà x

xn

th 3 t

t

x 3

20


9
9
( x 3) 2
( x 3) 1
2
2
9 2
81 9
27 x 27
x 27 x
x
2
2 2

( x 3)3

L3 ( x)
x3

9x2

1
Suy ra: f
2

L3

1
2

1
2

3

2

9 1
2 2

27
1
2

91
1
22

x3

9 2
x
2

9
x 1
2

1
4

:
,

t

xi
L2 n 1 ( x)

x0

a0

ih , i

0,1,..., n .

a1 ( x x0 ) a2 ( x x 1 )( x x0 ) a3 ( x x 1 )( x x0 )( x x1 )

... a2 n 1 ( x x

( n 1)

)...( x x 1 )( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 )

a2 n ( x x n )...( x x 1 )( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 )
T

,

L2 n 1 ( x 1 )
y

y0

1

L2 n 1 ( x1 )
y1
a2

a0

a1 ( x0

a0

y0
y1

a1 ( x 1

a1 ( x1

, ta có:

x0 ) 0

h x0 )

a1

x0 ) a2 ( x1

y0

y

y1
h

1

h
x 1 )( x1

x0 ) 0

y1
( x0 h x0 ) a2 ( x0 h x0
h
2
y0
y1
y0
y1
y1

2
2
2h
2h
2h 2

21

h)( x0

h

x0 )


L2 n 1 ( x 2 )
a3 ( x

a0

a1 ( x

x 1 )( x

2

x0 ) a2 ( x

2

x0 )( x

2

x 1 )( x

2

2

x0 )

x1 )

2

a3 ( x0

2h

2
y1
y1
( x0 2h x0 )
( x0 2h x0
h
2h 2
x0 h)( x0 2h x0 )( x0 2h x0 h)

y

y0

2 y

y

y0

2

2

y0

a3

y

1

6h

y0
2

2 y

2
1

y0
y

y
2

1

y

2h

x0 )

a3 6h3

1
2

2

y

1

3

y2
6h3

1

y

h)( x0

y

2
1

y

1

y

2

y1
6h3

2

y

1

3

y2
6 h3

2

6h3

:
2i 1

a2i

1

yi
, a2i
(2i 1)!h 2i 1

2i

yi
(2i)! h 2i

u dùng phép

L2 n 1 ( x0

th)

, thì ta rút ra:

y0

y1
t
1!

2

y1
t (t 1)
2!

3

y2
t (t 1)(t 1)
3!

2n 1

yn
(t
(2n 1)!

...

n 1)...(t 1)t (t 1)...(t n 1)

2n

yn
(t
(2n)!

n)(t

n 1)...(t 1)t (t 1)...(t n 1)

22

(6)