Cơ học lý thuyết - Chương 2

-15-
Chơng 2
Lý thuyết về hệ lực
Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều
kiện cân bằng của hệ lực. Chơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ
bản nói trên.
2.1 Đặc trng hình học cơ bản của hệ lực
Hệ lực có hai đặc trng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính.
2.1.1. Véc tơ chính
Xét hệ lực (
1
F
r
,
2
F
r
,..
n
F
r
) tác dụng lên vật rắn (hình 2.1a).
Véc tơ chính của hệ lực là véc tơ tổng hình học các véc tơ biểu diễn các
lực trong hệ (hình 2.1b)





a/ b/
F

r
F
r
1

2

F
r
F
r
3

n

R
r

Hình 2.1
n
F
r
F
r
1

a
c
F
r

3

2

b
F
r
O
R
r

m
n


R
r
= + + ... =
1
F
r
2
F
r
n
F
r

=
n

1i
F
r
i
(2-1)
Hình chiếu véc tơ
lên các trục toạ độ oxyz đợc xác định qua hình chiếu
các lực trong hệ:
R
r
R
r
x
= x
1
+ x
2
+...+ x
n
=

=
n
1i
X
i
;
-16-
R
r

y
= y
1
+ y
2
+...+ y
n
=

=
n
1i
Y
i
;
R
r
z
= z
1
+ z
2
+... +z
n
=

=
n
1i
Z

i
.
Từ đó có thể xác định độ lớn, phơng, chiều véc tơ chính theo các biểu
thức sau:
R
r
=
z
2
y
2
x
2
RRR ++
;
cos(R,X) =
R
R
x
; cos(R,Y) =
R
R
y
; cos(R,Z) =
R
R
z
.
Véc tơ chính là một véc tơ tự do.
2.1.2. Mô men chính của hệ lực

Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc
tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men
chính là
M
r
o
ta có
M
r
o
=

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
) (2 -2)
30

m
r
A
3

A
2

F
r
3

2

F
r
A
1

F
r
1

3
z
r


2
z
r
M
r
0

m
r
20

10

m
r
O
m
2
1
z
r









Hình 2.2
Hình chiếu của véc tơ mô men chính
M
r
o
trên các trục toạ độ oxyz đợc
xác định qua mô men các lực trong hệ lấy đối với các trục đó:

-17-
M
x
= m
x
(
1
F
r
) + m
x
( ) +...+ m
2
F
r
x
(
n
F
r
) =

=
n
1i
m
x
(
F
r

i
);
M
y
= m
y
(
1
F
r
) + m
y
( ) +...+ m
2
F
r
y
(
n
F
r
) =

=
n
1i
m
y
(
F

r
i
);
M
z
= m
z
( ) + m
1
F
r
z
( ) +... +m
2
F
r
z
(
n
F
r
) =

=
n
1i
m
z
(
F

r
i
).
Giá trị và phơng chiều véc tơ mô men chính đợc xác định theo các biểu
thức sau:
M
o
=
z
2
y
2
x
2
MMM
++

cos(M
o
,x) =
o
x
M
M
; cos(M
o
,y) =
o
y
M

M
; cos(M
o
,z) =
o
z
M
M
.
Khác với véc tơ chính
R
r
véc tơ mô men chính
M
r
o
là véc tơ buộc nó phụ
thuộc vào tâm O. Nói cách khác véc tơ chính là một đại lợng bất biến còn véc
tơ mô men chính là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn O.
2.2. Thu gọn hệ lực
Thu gọn hệ lực là đa hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn
hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới đây.
2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta
rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ
F
r
'
F
r

F
r
d
A
B
''
Hình 2.3
-18-
có mô men bằng mô men của lực đã cho lấy đối với điểm cần rời đến.
Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực
F
r
đặt tại A. Tại điểm B trên vật
đặt thêm một cặp lực cân bằng (
F
r
',
F
r
'') trong đó
F
r
' =
F
r
còn
F
'' = -
r
F

r
. (xem
hình 2.3).
Theo tiên đề 2 có:
F
(
r
F
r
,
F
r
',
F
r
'').
Hệ ba lực (
F
r
, ', '') có hai lực (
FF
r
F
r
r
,
F
r
'') tạo thành một ngẫu lực có mô
men

m
r
=
m
r
B
(F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực).
Ta đã chứng minh đợc
F
r

F
r
' + ngẫu lực (
F
r
,
F
r
'')
2.2.2 Thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm
a.
Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn tơng đơng với một lực bằng véc
tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lực có mô men bằng mô men
chính của hệ lực đối với tâm O đó.
Chứng minh: Cho hệ lực bất kỳ (
1
F
r
,

2
F
r
,...,
n
F
r
) tác dụng lên vật rắn. Chọn
điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đa các lực của hệ về
đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực (
1
F
r
,
2
F
r
,...,
n
F
r
)
o
đặt tại O và một hệ các ngẫu lực
phụ có mô men là
m
r
1
=
m

r
o
( ) ,
1
F
r
m
r
2
=
m
r
o
(
2
F
r
), ...
m
r
n
=
o
(
n
F
r
) (hình 2.4).
m
r

Hợp từng đôi lực nhờ tiên đề 3 có thể đa hệ lực (
1
F
r
, ,...
F
)
2
F
r
n
r
o
về tơng
đơng với một lực
.
R
r
Cụ thể có:
A
3

F
r
F
r
F
r
1

A
1

O
m
r
20

m
r
30

M = M
o
F
r
1
R
r
F
r
2
F
r
3

3

2

A
2

(
, )
1
F
r
2
F
r
R
r
1
trong đó
R
r
1
=
1
F
r
+
2
F
r

(
R
r

1
,
F
r
3
)
R
r
2
trong đó
R
r
R
r
F
r
2
=
1
+
3
=
+ +
F
1
F
r
2
F
r

r
3
m
r
10

....
(
R
r
(n-1)
,
F
)
n
r
R
r
Hình 2.4
-19-
trong đó
=
R
r
R
r
(n-2)
+
n
F

r
=

=
n
1i
F
r
i
Hợp lực
R
của các lực đặt tại O là véc tơ chính
r
R
r
0
của hệ lực.
Các ngẫu lực phụ cũng có thể thay thế bằng một ngẫu lực tổng hợp theo
cách lần lợt hợp từng đôi ngẫu lực nh đã trình bày ở chơng 1. Ngẫu lực tổng
hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men
M
r
o
=

=
n
1i
m
r

o
(
F
r
i
). Đây là mô men chính của
hệ lực đã cho đối với tâm O
Theo định lý 2.2, trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O
bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng
hình học các lực trong hệ và là một đại lợng không đổi còn mô men chính bằng
tổng mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại lợng biến đổi
theo tâm thu gọn.
Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn
khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O
1
bất kỳ (hình 2.4a).
Thực hiện thu gọn hệ về tâm O ta
đợc
R
r r
0
và
M
o
.
R
r
0

M

r
M
r
01

O
1

O
R
r
R
r
0

01

Trên vật ta lấy một tâm O
1
khác O
sau đó rời lực
R
r
o
về O
1
ta đợc
R
r
o

R
r
o1
+ ngẫu lực (
R
r
o
,
R
r
'
o1
).
'
01

Suy ra (
R
r
o
,
M
r
o
)
R
r
o1
+ ngẫu lực

(
R
r r r
o
, '
R
o1
) +
M
o

Hình 2.4a
Nếu thu gọn hệ về O
1
ta đợc
M
r
o1
và
R
r
o1
.
Điều tất nhiên phải có là :
(
R
r
o
,
M

r
o
) (
R
r
o1
,
M
r
o1
).
Thay kết quả chứng minh ở trên ta có:
-20-
(
R
r
o
,
M
r
o
) R
o1
+(
R
r
o
,
R
r

'
o1
) + M
o
(
R
r
o
+M
o1
)
hay
M
r
01

M
r
o
+ (
R
r
o
,
R
r
'
01
) (2.3)
Ngẫu lực (

R
r
o
,
R
r
01
) có mô men
M
r
' =m
o1.
(R
o
)
Kết luận: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men chính thay đổi một đại
lợng M' bằng mô men của véc tơ chính đặt ở tâm trớc lấy đối với tâm sau.
2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực
Kết quả thu gọn hệ lực về một tâm có thể xẩy ra 6 trờng hợp sau
2.2.3.1. Véc tơ chính và mô men chính đều bằng không
R
r
= 0 ;
M
r
o
= 0
Hệ lực khảo sát cân bằng.
2.2.3.2. Véc tơ chính bằng không còn mô men chính khác không
R

r
= 0;
M
r
o
0
Hệ lực tơng đơng với một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính.
2.2.3.3. Véc tơ chính khác không còn mô men chính bằng không

0;
R
r
M
r
o
= 0
Hệ có một hợp lực bằng véc tơ chính.
2.2.3.4. Véc tơ chính và mô men chính đều khác không nhng vuông góc với
nhau (hình 2.5)
R
r
0;
M
r
o
0 và
MR
r
r
o

Trong trờng hợp này thay thế mô men chính
M
r
o
bằng ngẫu lực (
R
r
',
R
r
'')
với điều kiện:
R
r
' = ;
R
r
R
r
'' = - và
R
r
M
r
o
=
m
r
o
(

R
r
')


P
R
r

O'
O
P'
n
o
R
r
d
O
R
r
R
r
o

M
r
o

o

O'
O
M
r
R
r

a)
'
b)
O'
-21-




Ta có ( ,
MR
r r
o
) ( ,
RR
r
r
',
R
r
'' ).
Theo tiên đề 1
R

r
o
và '' cân bằng do đó có thể bớt đi và cuối cùng hệ còn
lại một lực bằng véc tơ chính nhng đặt tại O
R
r
1
. Nói khác đi hệ có một hợp lực đặt
tại O
1
.
2.2.3.5. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không nhng song song với
nhau (hình 2.6).
R
r
o
0;
M
r
o
0 và
R
r
o
//
M
r
o
Trong trờng hợp này nếu thay
M

r
o
bằng một ngẫu lực ( ') mặt phẳng
của ngẫu này vuông góc với véc tơ chính
P
r
P
r
R
r
.
Hệ đợc gọi là hệ vít động lực. Nếu véc tơ
R
r
song song cùng chiều với
véc tơ
M
r
o
hệ gọi là hệ vít động lực thuận (phải) và ngợc lại gọi là hệ vít động
lực nghịch (trái). Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận
2.2.3.6. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không và hợp lực với nhau
một góc

bất kỳ (hình 2.7)
Trờng hợp này nếu thay thế
véc tơ
M
r
o

bằng một ngẫu lực (
P
r
P
r
')
trong đó cólực
P
r
đặt tại O còn lực
' đặt tại O
P
r
1
sao cho m
o
(P) =
M
r
o
.
Rõ ràng mặt phẳng tác dụng của
ngẫu lực (
P
') không vuông góc với
r
P
r
R
r

o
. Mặt khác tại O có thể hợp hai
lực
và
P
r r
R
o
thành một lực
R
r
'. Nh
R
r
'
R
r
0
O
1


P
r

P
r
'
M
r

0

Hình 2.7
-22-
vậy đã đa hệ về tơng đơng với hai lực
P
r
',
R
r
' hai lực này chéo nhau.
2.2.4. Định lý Va ri nhông
Định lý: Khi hệ lực có hợp lực
R
r
thì mô men của
R
r
đối với một tâm hay
một trục nào đó bằng tổng mô men của các lực trong hệ lấy đối với tâm hay trục
đó.
m
r
o
( ) =
R
r

=
n

1i
m
r
o
(
F
r
i
)
m
r
z
(
R
) =
r

=
n
1i
m
r
z
(
F
r
i
) (2.4)
F
r

n

O
R
r
'
R
r

F
r
2

F
r
1

x
y
z
Chứng minh: Cho hệ lực (
1
F
r
,
2
F
r
,...,
n

F
r
)
tác dụng lên vật rắn. Gọi
là hợp lực của hệ
(hình 2.8).
R
r
Tại điểm C trên đờng tác dụng của
hợp lực
đặt thêm lực ' = -
R
r
R
r
R
r
.Hệ lực đã
cho cùng với
' tạo thành một hệ lực cân
bằng:
R
r
Hình 2.8
(
, ,...
1
F
r
2

F
r
n
F
r
, + ') 0
R
r
Khi thu gọn hệ lực này về một tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và
một mô men chính. Các véc tơ này bằng không vì hệ cân bằng, ta có:
M
r
o
=

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
) +
m
r
o
(

R
r
') = 0
Thay
' = - ta có:
R
r
R
r

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
) -
m
r
o
( ) = 0
R
r
Hay m
o
( ) =

R
r

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
)
Chiếu phơng trình trên lên trục oz sẽ đợc: