Hinh hoc 12 trac nghiem toa do trong khong gian

Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

CHƢƠNG 3: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Trong không gian Oxyz cho: A  x A ; yA ;z A  ,B  x B ; yB ;z B  và a   a1;a 2 ;a 3  , b   b1;b2 ;b3  .
Khi đó:

 x B  x A    yB  yA    z B  z A 
k.a   ka1;ka 2 ;ka 3 

1. AB   x B  x A ; yB  yA ;z B  z A 

2. AB 

3) a  b   a1  b1;a 2  b2 ;a 3  b3 

4.

5. a  a12  a 22  a 32

6. a  b  a1  b1;a 2  b2 ;a 3  b3

7. a.b  a1.b1  a 2 .b2  a 3.b3

8. a / /b  a  k.b  a, b   0 

2

2

2

a1 a 2 a 3


b1 b2 b3

 a a 3 a 3 a1 a1 a 2 
10. a, b    2
;
;

b
b
b
b
b2 
3
3
1 b1
 2
11) a, b,c đồng phẳng  m,n  : a  mb  nc hay a, b  .c  0
12) a, b,c không đồng phẳng  m,n  : a  mb  nc hay a, b  .c  0
 x kx B y A ky B z A kz B 
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k  1  MA  kMB  M  A
;
;
.
1 k

1 k 
 1 k
 x  x B yA  yB z A  z B 
Đặc biệt: M là trung điểm AB: M  A
;
;
.
2
2
2 

 x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C 
14. G là trọng tâm tam giác ABC: G  A
;
;

3
3
3


 x  x B  x C  x D y A  y B  yC  y D z A  z B  z C  z D 
15. G là trọng tâm tứ diện ABCD: G  A
;
;

4
4
4




9. a  b  a.b  0  a1.b1  a 2 .b 2  a 3.b3  0

16. Véctơ đơn vị: i  (1;0;0); j  (0;1;0);k  (0;0;1)
17. Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0)  Ox; N(0; y;0)  Oy;K(0;0;z)  Oz
18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0)   Oxy  ; N(0; y;z)   Oyz  ;K(x;0;z)   Oxz  .

1
 AB, AC

2
20. Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB, AC
1
21. Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD   AB, AC .AD
6
22. Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : VABCD.A ' B'C ' D '   AB, AD .AA'
19. Diện tích tam giác ABC: SABC 

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 1


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

2. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác.

 A,B,C là ba đỉnh tam giác  AB, AC không cùng phương hay  AB, AC  0 .
 G  x G ; yG ;zG  là trọng tâm tam giác ABC thì:

xG 

xA  xB  xC
y  y B  yC
z  zB  zC
; yG  A
;z G  A
3
3
3

1
 AB, AC . Suy ra diện tích của hình bình hành ABCD là: SABCD   AB, AC



2
2.SABC
 Đường cao: AH 
BC
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
 ABCD là hình bình hành  AB  DC
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

AB;AC;AD không đồng phẳng hay  AB;AC .AD  0 .


SABC 

G  x G ; yG ;zG  là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
x  xB  xC  xD
y  y B  yC  y D
z  z B  zC  z D
xG  A
; yG  A
;zG  A
4
4
4
1

Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD   AB;AC .AD
6
1
3V
Đường cao AH của tứ diện ABCD: V  SBCD .AH  AH 
3
SBCD





Thể tích hình hộp: VABCD.A ' B'C ' D '   AB;AD .AA' .

MẶT CẦU

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phƣơng trình mặt cầu:
2
2
2
Dạng 1: S  I;R  :  x  a    y  b    z  c   R 2
1
=>(S) có tâm I(a; b; c), bán kính R
Dạng 2:Trong không gian Oxyz phương trình x 2  y2  z2  2Ax  2By  2Cz  D  0 là phương
trình mặt cầu khi: A2  B2  C2  D  0 . Khi đó mặt cầu có:
Tâm I  A; B; C  .
Bán kính R  A2  B2  C2  D .
2. Vị trí tƣơng đối của mặt phẳng và mặt cầu
2
2
2
Cho mặt cầu S:  x  a    y  b    z  c   R 2 và mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 .
Tính: d  d  I;   



Aa  Bb  Cc  D

. Khi đó, nếu:
A 2  B2  C2
d  R : mặt cầu (S) và mặt phẳng    không có điểm chung.

d  R : mặt phẳng    tiếp xúc mặt cầu (S) tại H.

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 2


Hình Học Tọa Độ Không Gian



GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

Điểm H được gọi là tiếp điểm.
Mặt phẳng    được gọi là tiếp diện.

d  R : mặt phẳng    cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn.

Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng ()
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có u d  n  .
 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ().
Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng:
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có u d  n  .
 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ().
 Bán kính r  R 2  d 2 với d  IH  d  I;   .
3. Giao điểm của đƣờng thẳng và mặt cầu
 x  x 0  a 1t
2
2
2

d :  y  y0  a 2 t
 2

1 và S:  x  a    y  b    z  c   R 2
z  z  a t
0
3

 Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t.
 Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm.
2. CÁC DẠNG TOÁN
Vấn đề 1: Viết phƣơng trình mặt cầu:
Dạng 1: Biết trƣớc tâm I  a;b;c  và bán kính R:
Phương trình: S  I;R  :  x  a    y  b    z  c   R 2
Nếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính R  IA
Dạng 2: Mặt cầu đƣờng kính AB
 Tâm I là trung điểm AB.
1
 Bán kính R  AB .
2
2
2
2
 Phương trình S  I;R  :  x  a    y  b    z  c   R 2
2

2

2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng    :

 Tâm I là trung điểm AB.

Aa  Bb  Cc  D
 Bán kính R  d  I;   
.
A 2  B2  C 2
2
2
2
 Phương trình S  I;R  :  x  a    y  b    z  c   R 2
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x 2  y2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

 2 .

 Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2).
 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.
 Viết phương trình mặt cầu.
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I     : Ax  By  Cz  D  0 :
 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x 2  y2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

 2 .
Trang 3


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

 Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2).
 I  a;b;c       Aa  Bb  Cc  D  0

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.
 Viết phương trình mặt cầu.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện () của mc(S) tại A: () qua A, vectơ pháp tuyến n  IA

PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp: n  0 là véctơ pháp tuyến của     n     .
2. Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng    : hai vectơ không cùng phương a, b là cặp vectơ
chỉ phương của mặt phẳng     a, b có giá cùng song song với    .
3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n và cặp vectơ chỉ phương a, b : n  a, b  .


4. Phương trình mặt phẳng    qua M0  x 0 ; y0 ;z0  có vectơ pháp tuyến n   A ; B ; C  :

() : A(x  x 0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0


Mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D  0 thì có vectơ pháp tuyến n   A ; B ; C  .
5. Phương trình mặt phẳng đi qua A  a;0;0  ,B  0;b;0  ,C  0;0;c  :

x y z
  1
a b c
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0.
7. Chùm mặt phẳng:
Giả sử       '  d trong đó: () : Ax  By  Cz  D  0 và ( ') : A'x  B' y  C'z  D'  0 .
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2  n 2  0 : m  Ax  By  Cz  D   n  A'x  B' y  C'z  D'   0 .
8. Vị trí tƣơng đối của hai mp    và   ' :

()  ( ')  A : B : C  A' : B' : C'
()  ( ')  AA' BB' CC'  0
A B C D
A B C D
()  ( ') 



() / /( ') 



A ' B' C' D'
A ' B' C' D'
9. Khoảng cách từ M0  x 0 ; y0 ;z0  đến () : Ax  By  Cz  D  0

d  M;   

Ax 0  By0  Cz0  D

A 2  B2  C2
n1 .n 2
10. Góc giữa hai mặt phẳng: cos(,) 
n1 . n 2

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 4

Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

2. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:
 Cặp vectơ chỉ phương: AB, AC
 Mặt phẳng    đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến n   AB, AC .
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:
 M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 Mặt phẳng    đi qua M và có vectơ pháp tuyến n  AB .
Dạng 3: Mặt phẳng () qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB)
 Mặt phẳng    đi qua M và có vectơ pháp tuyến n  AB hoặc vectơ chỉ phương của đường
thẳng d.
Dạng 4: Mp qua M và song song ( ): Ax + By + Cz + D = 0
 Mặt phẳng    đi qua M và có vectơ pháp tuyến n   n   A;B;C 
Dạng 5: Mp() chứa (d) và song song (d/)
 Lấy điểm M0  x 0 ; y0 ;z0    d 
 Xác định vectơ chỉ phương u d ;u d ' của đường thẳng  d  và đường thẳng  d ' .
 Mặt phẳng    đi qua M 0 và có vectơ pháp tuyến n   u d , u d '  .
Dạng 6 Mp() qua M, N và vuông góc  :
 Tính MN .
 Tính n    MN, n  
 Mặt phẳng    đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n 
Dạng 7 Mp() chứa (d) và đi qua M
 Lấy điểm M0  x 0 ; y0 ;z0    d 
 Tính MM 0 . Xác định vectơ chỉ phương u d của đường thẳng  d  .
 Tính n    MM0 , u d 
 Mặt phẳng    đi qua M (hoặc M 0 ) và có vectơ pháp tuyến n  .

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mp    nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với
mp    , viết tắt là n     .




Nếu u  (x1; y1;z1 ), v  (x 2 ; y2 ;z 2 ) là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng
song song (hoặc nằm trên) mp    ( u, v còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp    ) thì:

z x1 x1 y1 
    y z
n   u, v    1 1 ; 1
;
 là một VTPT của mp    .

  y2 z2 z2 x 2 x 2 y2 
2. Phƣơng trình tổng quát: Ax  By  Cz  D  0 với A2  B2  C2  0


Vectơ pháp tuyến: n   A;B;C 
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 5


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com


qua M 0 (x 0 ; y0 ;z 0 )
3. mặt phẳng () : 
 mp() : A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C(z  z 0 )  0

VTPT
n

(A
;
B
;
C)


4. Trƣờng hợp đặc biệt. Cho mp    : Ax  By  Cz  D  0 . Khi đó:
* D  0     đi qua gốc tọa độ.

* C  0;D  0     song song với trục Oz; C  0;D  0     chứa trục Oz.

* B  C  0;D  0     song song với mp(Oyz); B  C  D  0     chính là mp(Oyz)
(Các trường hợp khác suy ra tương tự).
5. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 và   ' : A'x  B' y  C'z  D'  0 .

A B C D



()  ( ')  AA' BB' CC'  0

A ' B' C' D'
A B C D
A B
B C
C A
()  ( ') 



()  ( ') 

hay

hay

A ' B' C' D'
A ' B'
B' C'
C' A '
 Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0.
6. Phƣơng trình theo đọan chắn của mặt phẳng.
Mp    cắt Ox tại A  a;0;0  , cắt Oy tại B  0;b;0  , cắt Oz tại C  0;0;c  có phương trình là:
() / /( ') 

x y z
   1 , abc  0
a b c
7. Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 và   ' : A'x  B' y  C'z  D'  0

AA ' BB' CC'

Gọi  là góc của hai mặt phẳng, ta có: cos  

A 2  B2  C2 . A '2  B'2  C'2
8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho mp    : Ax  By  Cz  D  0 và điểm M0  x 0 ; y0 ;z0  . Khi đó:
d  M0 ;     

Ax 0  By0  Cz 0  D
A 2  B2  C 2

Dạng 1: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng:
Bài Toán 1: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua M0  x 0 ; y0 ;z0  Và Có Vectơ Pháp
Tuyến n   A;B;C   0 .
 Phương

trình

mặt

phẳng



là:

A  x  x 0   B  y  y0   C  z  z 0   0

hay

Ax  By  Cz  D  0 với D    Ax 0  By0  Cz0  .

Bài Toán 2: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua 3 Điểm A, B, C Không Thẳng Hàng.
 Tính AB;AC   AB, AC .
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  AB, AC với k là số thực khác 0.
 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 3: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua M0  x 0 ; y0 ;z0  Và Vuông Góc Với
Đƣờng Thẳng    Cho Trƣớc.

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 6


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là vectơ chỉ phương của đường thẳng    .
 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 4: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua M0  x 0 ; y0 ;z0  Và Song Song Với Hai
Đƣờng Thẳng  1  ,   2  Chéo Nhau Cho Trƣớc.

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1  và vectơ chỉ phương u 2 của đường thẳng

 2  .

 Tính  u1 , u 2  .
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  u1 , u 2  với k là số thực khác 0.
 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 5: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua Đƣờng Thẳng  1  Và Song Song Với
Đƣờng Thẳng   2  Cho Trƣớc.

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1  và u 2 của đường thẳng   2  .
 Tính  u1 , u 2  .
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  u1 , u 2  với k là số thực khác 0.
 Chọn điểm M0  x 0 ; y0 ;z0    1 

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 6: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Chứa Hai Đƣờng Thẳng  1  ,   2  Song Song.
 Chọn điểm M1  x1; y1;z1    1  và M2  x 2 ; y2 ;z 2    2  .
 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1  hoặc vectơ chỉ phương u 2 của đường thẳng

 2  .

 Tính  u1 , M1M 2  hoặc  u 2 , M1M 2  .
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  u1 , M1M 2  hoặc n  k.  u 2 , M1M 2  ;k  0 .
 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 7: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua M0  x 0 ; y0 ;z0  Và Vuông Góc Với Hai
Mặt Phẳng   ,    Cho Trƣớc.

 Tìm vectơ pháp tuyến n1 của mặt phẳng    và vectơ pháp tuyến n 2 của mặt phẳng    .
 Tính  n1 , n 2  .
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  n1 , n 2  với k là số thực khác 0.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 8: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Chứa Hai Đƣờng Thẳng  1  ,   2  Cắt Nhau.
 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1  và u 2 của đường thẳng   2  .
 Tính  u1 , u 2  .
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 7


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  u1 , u 2  với k là số thực khác 0.
 Chọn điểm M0  x 0 ; y0 ;z0    1  hoặc M0  x 0 ; y0 ;z0    2 
 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .

Bài Toán 9: Viết Phƣơng Trình Mặt Phẳng    Đi Qua Đƣờng Thẳng  1  Và Vuông Góc Với
Mặt Phẳng    Cho Trƣớc.

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1  và vectơ pháp tuyến n1 của mặt phẳng    .
 Tính  u1 , n1  .
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    là n  k.  u1 , n1  với k là số thực khác 0.
 Chọn điểm M0  x 0 ; y0 ;z0    1  .

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng    .
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (): ta có a d  n 

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đƣờng thẳng (d)

Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có n   a d

Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()
Dạng 5: Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp

Tìm hình chiếu H của M trên mp () (dạng 4.1)

H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đƣờng thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2)

H là trung điểm của MM/ .

ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Phƣơng trình tham số và phƣơng trình chính tắc.


Đường thẳng d đi qua M0  x 0 ; y0 ; z 0  và có vectơ chỉ phương u   a;b;c  có :

 x  x o  at

- Phương trình tham số của d:  y  y0  bt (t  R)
z  z  ct
0



x  x 0 y  y0 z  z 0


a
b
c
2. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.
- Phương trình chính tắc của d:

(abc  0)


Đường thẳng d đi qua M0  x 0 ; y0 ; z 0  và có vectơ chỉ phương u   a;b;c  và đường thẳng d ' đi qua


M0  x '0 ; y'0 ;z '0  và có vectơ chỉ phương u '   a ';b';c'  . Khi đó:
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 8


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
 

+ d và d ' cùng nằm trong một mặt phẳng  [u, u '].M0 M0'  0 .
 

 



+ d và d ' cắt nhau  [u, u '].M0 M0'  0  [u, u ']  0 .
 







+ d / /d '  [u, u ']  0  [u, M 0M 0' ]  0 .
 





+ d  d '  [u, u ']  [u, M 0M '0 ]  0
 

+ d và d’ chéo nhau  [u, u '].M0 M0'  0
3. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng với mặt phẳng.


Đường thẳng d đi qua M0  x 0 ; y0 ; z 0  và có vectơ chỉ phương u   a;b;c  và mặt phẳng

   : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ pháp tuyến n   A;B;C  . Khi đó:
+ d cắt ()  Aa  Bb  Cc  0
Aa  Bb  Cc  0
+ d / /()  
Ax 0  By 0  Cz 0  D  0
Aa  Bb  Cc  0
+ d  ( )  
Ax 0  By 0  Cz 0  D  0


+ d  ()  u / /n  u,n   0
4. Góc giữa hai đƣờng thẳng.



Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u   a;b;c  và đường thẳng d ' có vectơ chỉ phương


u '   a ';b';c'  . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:




u. u'
cos  

 



u u'

a.a ' bb ' cc'
a 2  b 2  c 2 . a '2  b '2  c'2

(0    900 )

5. Góc giữa đƣờng thẳng với mặt phẳng.


Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u   a;b;c  và mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến

n   A;B;C  . Gọi  là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng    ta có:
 

u.n
sin  





u.n



Aa  Bb  Cc
A 2  B2  C 2 . a 2  b 2  c 2


6. Khoảng cách từ điểm M1  x1; y1;z1  đến đƣờng thẳng  có vectơ chỉ phƣơng u :
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng    qua M1 và vuông góc với  .
-

Tìm tọa độ giao điểm H của  và mặt phẳng    .
d  M1;    M1H .

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 9


Hình Học Tọa Độ Không Gian

+ Cách 2: Sử dụng công thức: d  M1;   

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

 M1M 0 , u 


u

7. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.


Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M0  x 0 ; y0 ; z 0  và có vectơ chỉ phương u và đường thẳng


 ' đi qua M'0  x '0 ; y'0 ; z'0  và có vectơ chỉ phương u ' .
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng    chứa  và song song với  ' .
-

Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng    .
d(,  ')  d(M'0 ,()) .

 u, u ' .M 0 M '0


+ Cách 2: Sử dụng công thức: d(,  ') 
.
 u, u '


2.CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phƣơng u :
 Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
 Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương u  AB .
 Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.
 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương
của đường thẳng.
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ()
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  u  .
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp()
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  n  .
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên :

Cách 1:
 Viết phương trình mặt phẳng    chứa (d) và vuông góc với    .
 Đường thẳng d ' là giao tuyến của    và    .
Cách 2:
 Xác định A là giao điểm của d và    .

 Lấy điểm M, M  A trên d. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với    .
 Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của  với    .

 Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH.
Đặc biệt: Nếu d song song    thì đường thẳng d ' là đường thẳng đi qua H và song song d.
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d1) và (d2):
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u   u d1 , u d2 
Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của  d1  và  d 2  :

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 10


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

 Chuyển phương trình đường thẳng  d1  ,  d 2  về dạng tham số và xác định u1 , u 2 lần lượt là
vectơ chỉ phương của  d1  ,  d 2  .

 Lấy A, B lần lượt thuộc  d1  ,  d 2  (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).

AB.u1  0

 Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: 
* . Giải hệ phương trình *
AB.u 2  0
tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B.
 Viết phương trình đường vuông góc chung.
Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = ()  ( )
với mp() = (A,d1) ; mp() = (A,d2)
Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = (1)  (2)
với mp (1) chứa d1 //  ; mp (2) chứa d2 // 
Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB
với mp () qua A,  d1 ; B = d2  ()
Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d = ()  ( ) với mp() chứa d1 ,(P) ; mp() chứa d2 ,  (P).
CÁC VÍ DỤ GIÁO VIÊN GIẢI TRÊN LỚP

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
LUYỆN TẬP LẦN 1

Câu 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng  Q  đi qua ba điểm không thẳng hàng
M (2; 2;0) , N  2;0;3 , P  0;3;3 có phương trình:

A. 9 x  6 y  4 z  30  0
C. 9 x  6 y  4 z  30  0

B. 9 x  6 y  4 z  6  0
D. 9 x  6 y  4 z  6  0

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;3;5), B(5; 3; 1) . Phương trình mặt cầu đường
kính AB là
A. x2  y 2  z 2  4 x  4 z  10  0
B. x2  y 2  z 2  2 x  2 z  19  0

C. x2  y 2  z 2  4 x  4 z  19  0
D. x2  y 2  z 2  4 x  4 z 19  0
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  P  : x  2 y  2 z  1  0 và  Q  : x  2 y  2 z  5  0 ,
khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q) là
A. 2
B. 3
C. 3
D. 4
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;3), B(4;4;6). Tọa độ trọng tâm G của tam
giác OAB là
 3

9

A. G   ;3; 
 2 2

B. G(3;6;9)

C. G(1;2;3)

Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng d :

D. G(1; 2; 3)

x  3 y 1 z  1
. và mặt phẳng


3

1
1

( P) : x  z  4  0 . Hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là:

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 11


Hình Học Tọa Độ Không Gian

x  3  t

A.  y  1  t
 z  1  t


GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

x  3  t

B.  y  1
 z  1  t


 x  3  3t

C.  y  1  t
 z  1  t



x  3  t

D.  y  1  2t
 z  1  t

x y7 z2
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : 
và điểm

3
5
2
M  2; 1;3 Gọi M ' là điểm đối xứng với M qua , tính OM '.

A. OM '  5 2.
B. OM '  5 3.
C. OM '  2 5.
D. OA '  53.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A  a;0;0 , B  0; b;0  , C  0;0; c  , trong đó a  0 , b  0 , c  0
1 2 3
72
2
2
2
   7. Biết mặt phẳng  ABC  tiếp xúc với mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  .
a b c
7
Thể tích của khối tứ diện OABC là.

2
1
5
3
A. .
B. .
C. .
D. .
9
6
6
8

và

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho u(1;0;1), v(0;1; 2). Tích vô hướng của u và v là
A. u.v  0
B. u.v  2
C. u.v  2
D. u.v  (0;0; 2)
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : ( x  2)2  y 2  ( z  1)2  9 . Tọa độ tâm I
của mặt cầu (S) là
A. I (2;0; 1)
B. I (2;0;1)
C. I (2; 1)
D. I (2; 1;3)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;5) , mặt phẳng ( P) : z  5  0 và mặt
cầu (S ) : ( x  3)2  ( y  4)2  ( z  8)2  25 . Tìm phương trình tham số của đường thẳng  đi qua A ,
nằm trong (P) và cắt (S) theo dây cung ngắn nhất
x  2  t


A.  y  3  t
z  5


x  2  t

B.  y  3  t
z  5


x  2  t

C.  y  3  2t
z  5


Câu 11: Đâu là phương trình tham số của đường thẳng
 x  1  2t

A.  y  1  3t
 z  2t


 x  2  2t

D.  y  3  t
z  5


x 1 y  1 z


2
3
2
x

1

2
t


C.  y  1  3t
 z  2t


 x  1  2t
 x  1  2t


B.  y  1  3t
D.  y  1  3t
 z  2t
 z  2t


x  1 t


Câu 12: Cho đường thẳng d:  y  1  t và mặt phẳng (P): x  2 y  2 z  3  0 . Tìm phương trình đường
z  9


thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P)
 x  3  2t

A  y  1 t
 z  1  2t


 x  3  2t

B.  y  1  t
 z  1  2t


 x  3  2t

C.  y  1  t
 z  1  2t


 x  3  2t

D.  y  1  t
 z  1  2t


Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;  1;1 , B  0;1;  2  , và điểm M

thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Tìm giá trị lớn nhất của MA  MB .
A. 14 .

B. 12 .

C. 2 2 .

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

D. 6 .
Trang 12


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

1 y 2 z 4
x 1
y
z 2
và d2 :
là:
2
1
3
1
1
3
A. 3x 2y 5 0

B. 6x 9y z 8 0
C. 8x 19y z 1 0
D. 6x 9y z 8 0
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2;1 , B 0;2; 1 , C 2; 3;1 . Điểm M
thỏa mãn T  MA2  MB2  MC 2 nhỏ nhất. Tính giá trị của P  xM2  2 yM2  3zM2 .
A. P  101.
B. P  134.
C. P  114.
D. P  162.
x 1 y z 1
Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :
và hai điểm
 
Câu 14: Phương trình mặt phẳng chứa d1 :

x

2

3

1

A(1;2; 1), B(3; 1; 5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho
khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình của d là:
x 1 y  2 z  1


1
2

1
x 1 y  2 z  1
C. d :


1
2
1

x 1 y  2 z 1
.


1
2
1
x 1 y  2 z  1
D. d :


2
2
1

A. d :

B. d :

Câu 17:Trong không gian Oxyz, mặt phẳng () đi qua điểm M(1; -2; 2) và song song với mặt phẳng
() : x – 2y + z + 3 = 0 có phương trình là:

A. x – 2y + z - 7 = 0.
B. x – 2y + z + 1 = 0.
C. x + 2y + z – 7 = 0.
D. x - 2y + z + 7 = 0.
7
4

Câu 18:Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  x  y  3z   0 . Tọa độ tâm I và
bán kính R của mặt cầu ( S ) là:
1

1 3

 1 1

1

3

1

1

1 3

 1 1

3

A. I  ;  ;  , R  . B. I   ; ;   , R  . C. I  ;  ;  , R  1. D. I   ; ;   , R  1.

2
2
2 2 2
 2 2 2
 2 2 2
 2 2 2
Câu 19: Trong không gian Oxyz và điểm I (1;2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt
phẳng (Oyz ) là
A. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2.
B. ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  1.
C. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  3.
D. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  1.
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của a để khoảng cách từ điểm M(1; 4;a) đến mặt phẳng
(P) : x  2 y  2 z  5  0 bằng 8?
A. a =18.

B. a = - 6.

a  6
.
a  18

C. 

a  18

D. 
.
a  18
Câu 21: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt mặt cầu (S):

(x  2) 2 (y 3) 2 (z 3) 2 100 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm diện tích đường tròn (C)?
A. 64.
B. 16.
C. 8.
D. 20.
Câu 22:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, xác định điểm A’ đối xứng với điểm A(1; 2; -3) qua mặt phẳng
(P): x – 2y + z = 0 ?
A. A’(3; -2; -1).
B. A’(2;-1;2).
C. A’(2; 0; -2).
D. A’(1; -1; 3).
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3), mặt cầu (S) có phương trình
x 1 y  8 z  5
. Viết phường trình đường thẳng


2
1
2
 đi qua M cắt mặt cầu (S) tại A, cắt đường thẳng d tại B sao cho MB  2MA , Biết điểm B có hoành

 x  1   y  2   z  2
2

2

2

 5 và đường thẳng d :

độ nhỏ hơn 2.
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 13


Hình Học Tọa Độ Không Gian

x  1

A.  :  y  2  6t
 z  3  2t

x  1

 :  y  6t
 z  3  2t


GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

x  1 t

B.  :  y  2  6t
 z  3  2t


x  t

C.  :  y  2  6t

 z  3  2t


Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

 P  :11x  my  nz  16  0 . Biết

D.

x y  2 z 1


và mặt phẳng
2
1
3

   P  , khi đó m,n có giá trị bằng bao nhiêu?

A. m  6; n  4
B. m  4; n  6
C. m  10;n  4
D. m  4;n  10
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vecto a  1; 2; 4  và b   x0 ; y0 ; z0  cùng
phương với vectơ a . Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b  21 . Khi đó tổng x0  y0  z0
bằng bao nhiêu
A. x0  y0  z0  3

B. x0  y0  z0  3

C. x0  y0  z0  6

D. x0  y0  z0  6

Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :
d2 :

x7 y 2 z

 . Vị trí tương đối giữa d1 và d 2 là:
6
9
12

A. Cắt nhau.

B. Chéo nhau.

C. Song song.

x  2 y z 1


và
4
6 8

D. Trùng nhau.

Câu 27: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  6  0 . Khẳng định nào

sau đây sai?
A. Điểm M 1; 3; 2  thuộc mặt phẳng  P  .
B. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n  (2; 1; 2) .
C. Mặt phẳng  P  cắt trục hoành tại điểm H (3;0;0)
D. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng  P  bằng 2 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 .
Mặt cầu  S  có tâm I và bán kính R là:
A. I  2;1;3 , R  2 3 .

B. I  2; 1; 3 , R  12 .

C. I  2; 1; 3 , R  4 .

D. I  2;1;3 , R  4 .

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d đi qua hai điểm M  2; 3; 4  ,
N  3; 2; 5 có phương trình chính tắc là
x 3 y 2 z 5
x 2 y 3 z 4
x 3 y 2 z 5
x 2 y 3 z 4
.B.
.C.
.D.
.









1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ giao điểm của mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  2  0

A.

và đường thẳng  :
A. 2 .

x 1 y  2 z

 là M  a; b; c  . Tổng a  b  c bằng
1
2
1
B. 1 .
C. 5 .

D. 1 .

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 14


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

Câu 31: Cho mặt cầu (S): x  y  z  2 x  4 y  9  0 . Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại
điểm M  0; 5; 2  có phương trình là :
A. x  2 y 10  0
B. 5 y  2 z  9  0
C. x  3 y  2 z  5  0
D.
2

2

2

x  2 y  3z  19  0

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  Q  : 2 x  2 y  z  4  0 . Gọi M , N ,
P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  Q  với ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz . Đường cao MH của tam

giác MNP có một véctơ chỉ phương là
A. u   3;4; 2  .

B. u   2; 4;2  .
C. u   5; 4;2  .
D. u   5; 4;2  .
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0 . Tính tọa độ tâm I và bán kính R của S .
A. Tâm I 1;2; 3 và bán kính R 4 .
B. Tâm I 1; 2;3 và bán kính R 4 .
C. Tâm I 1;2;3 và bán kính R 4 .
D. Tâm I 1; 2;3 và bán kính R 16 .
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S có tâm I 2;1; 1 , tiếp xúc với mặt phẳng
tọa độ Oyz . Phương trình của mặt cầu S là:
A. x 2 2 y 1 2 z 1 2 4
B. x 2 2 y 1 2 z 1 2 1
C. x 2 2 y 1 2 z 1 2 4
D. x 2 2 y 1 2 z 1 2 2
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Q : 2 x y 5z 15 0 và điểm E 1;2; 3
. Mặt phẳng P qua E và song song với Q có phương trình là:
A. P : x 2 y 3z 15 0
B. P : x 2 y 3z 15 0
C. P : 2x y 5z 15 0
D. P : 2x y 5z 15 0
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 4;1; 2 và B 5;9;3 . Phương trình mặt
phẳng trung trực của đoạn A B là:
A. 2x 6 y 5z 40 0 B. x 8y 5z 41 0
C. x 8y 5z 35 0
D. x 8y 5z 47 0
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P 2;0; 1 , Q 1; 1;3 và mặt phẳng
P : 3x 2 y z 5 0 . Gọi
là mặt phẳng đi qua P , Q và vuông góc với P , phương trình của
mặt phẳng

là:
: 7 x 11y z 3 0
: 7 x 11y z 1 0
A.
B.
: 7 x 11y z 15 0
: 7 x 11y z 1 0
C.
D.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 3x y 3z 6 0 và mặt cầu
2
2
2
S : x 4
y 5
z 2
25 . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn.
Đường tròn giao tuyến này có bán kính r bằng:
A. r 6
B. r 5
C. r 6
D. r 5
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz ,

cho đường thẳng

d:

x
2

y
1

z

1
1

và mặt phẳng

Tìm điểm A trên d sao cho khoảng cách từ A đến
bằng 3 .
A. A 0;0; 1
B. A 2;1; 2
C. A 2; 1;0
D. A 4; 2;1
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;1; 1) , B(3;0;1) và C (2; 1;3) , điểm D thuộc
Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Tìm tọa độ của đỉnh D ?
:x

2y

A.  0; 7;0  .

2z

5

0.

B.  0;8;0  .

(0; 7; 0)

C. 
(0;8; 0)

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

(0; 8;0)
(0;7;0)

D. 

Trang 15


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

Câu 41: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình
x 1 y  2 z  3


. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng (d)?
3

2
4
A. M 1; 2;3 .
B. N  4;0; 1 .
C. P  8;1;2  .
D. Q  2; 4;7  .

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm trên trục tung tất cả các điểm cách đều hai điểm
A 1; 3;7  và B  5;7; 5 .
A. M  0;2;0 .
B. N  0; 2;0 .
C. M  0;2;0 , N  0; 2;0 . D. M  0;2;0 , P  0;1;0 .
Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x  1  y  z  3 và
d2 :

1

x y 1 z  2
. Khẳng định nào sau đây là đúng?


2
4
6

A. d1 , d 2 cắt nhau.

B. d1 , d 2 trùng nhau. C. d1 , d 2 song song.

2

3

D. d1 , d 2 chéo nhau.

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  4 z  4  0 và mặt cầu

 S  : x2  y 2  z 2  4x 10z  4  0 . Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn (C),
tính bán kính của đường tròn (C).
A. 3 .
B. 2.
C. 7 .
D. 4 .
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát
của mặt phẳng qua điểm M  3;0; 1 và vuông góc với hai mặt phẳng x  2 y  z  1  0 và
2x  y  z  2  0 ?
A. x  3 y  5z  8  0 . B. x  3 y  5z  8  0 . C. x  3 y  5z  8  0 . D. x  3 y  5z  8  0 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và đường thẳng d:
x 1 y  2 z

 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
1
1
2

nhất.
4
5

A. 5x  13 y  z  21  0 . B. 5x  13 y  z  21  0 . C. 5x  13 y  4 z  21  0 . D. 5x  13 y  5z  21  0 .

Câu 47: Trong không gian với hệ trục Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1; 1;2  và
song song với mặt phẳng  P  : x  2 y  z  1  0 .
A.  x  2 y  z  1  0 .
B. x  2 y  z  2  0 .
C. 2 x  y  z  1  0 .
D.  x  2 y  z  1  0 .
Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  3;3;0  , B  3;0;3 , C  0;3;3 ,
D  3;3;3 . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D .

A. x2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  0 .
B. x2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  0 .
C. x2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  0 .
D. x2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  0 .
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 cắt mặt cầu  S 
1
3

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r  . Biết tâm của  S  là I 1; 2; 2  , tính bán kính
mặt cầu  S  .
A. 3 .

B.

65
.
3

C. 1 .

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

D.

7
.
3

Trang 16


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;1;1) và
vuông góc với đường thẳng d’:
x 1 t'
A. y 1 t ' (t'
z 1
x

y 1
1

).

z 1
cách B(3;1;3) một khoảng nhỏ nhất.
2
x 1 t'

B. y 1 t ' (t'
z

1 2t '

C. y 1
z

x
1

(t'

).

D.

1 t'

).

1

x 1
1

y 1
1

z 1
.
1

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  5; 2;0  , B  2;3;0  và C  0; 2;3 . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
A. G 1;1;1 .
B. G  2;0; 1 .
C. G 1; 2;1 .
D. G 1;1; 2  .
Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S):
2
2
 x  1   y  2  z 2  1 .
A. I(-1;2;0) và R = 1. B. I(1;0;2) và R = 2. C. I(1;-2;0) và R = 1. D. I(3;2;1) và R = 2.
Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y +5 z + 5 = 0. Vectơ nào
trong các vectơ sau là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A. n   2;1;5 .
B. n   2; 1;5 .
C. n   2;1; 1 .
D. n  1; 1;5 .
Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  3;0; 1 và B 1;3; 2 . Gọi M là điểm
nằm trên trục hoành và cách đều 2 điểm A, B . Tìm tọa độ điểm M .
A. M  1;0;0  .
B. M 1;0;0  .
C. M  2;0;0  .
D. M  2;0;0  .
Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I  2; 4; 1 và đi qua
A  5; 2;3 .
A. x2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  8  0 .

C. x2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  12  0 .

B. x2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  8  0 .
D. x2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  12  0 .
x
1

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 

y 1 z  2

và mặt phẳng
2
3

 P  : x  2y  2z  3  0 . M là điểm có hoành độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.

Tìm toạ độ điểm M.
A. M  2;3;1 .
B. M  1;5; 7  .
C. M  2; 5; 8 .
D. M  1; 3; 5 .
Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1; 0; 0) , B(0;1; 0) , C(0; 0;1) . Gọi
H  a; b; c  là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của a  b  c .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1;1;1), B(2;1;0), C(2;0;2). Viết
phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm B, C và cách A một khoảng lớn nhất.

A. -5x+2y+z+8=0.
B. -3x+2y+z+4=0.
C. 7x+2y+z-16=0
D. -x+2y+z=0
Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
( x  5)2  y 2  ( z  4)2  4 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) .
A. I (5;0;4), R= 4.
B. I (5;0;4), R= 2.
C. I (-5;0;-4), R= 2
D. I (-5;0;-4), R= -2
Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2 x  y  2 z  3  0 .
Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P)?
A. M(2;-1;-3).
B. N(2;-1;-2).
C. P(2;-1;-1).
D. Q(3;-1;2).
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 17


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
x 1 y 1 z  2


. Véc tơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?

2
1
1
A. a  (1;1; 2) .
B. a  (1; 1; 2) .
C. a  (2; 1;1) .
D. a  (2;1; 2) .

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M  2;3; 1 , N  1;1;1 , P 1; m  1;2  . Tìm
tất cả các giá trị thực của m để tam giác MNP vuông tại N ?
A. m  3 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  0 .
Câu 63: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2;3 và đi
qua gốc O .
2
2
2
2
2
2
A.  x  1   y  2    z  3  14 .
B.  x  1   y  2   z  3  14 .
C. x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  0 .
D. x2  y 2  z 2  x  2 y  3z  0 .
Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  4  0 và mặt cầu

 S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  6z 11  0 . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính là :
A. 2.

B. 3.
C. 4.
D. 5.
Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A 1;0;1 , B  2;1; 2  và
giao điểm của hai đường chéo là I  3 ;0; 3  . Tính diện tích của hình bình hành
2 2


A.

3

B.

2



C.

5

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;4;2) và d:

D.

ABCD .

6

x 1 y  2 z

 . Viết phương
1
1
2

trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
4
5
LUYỆN TẬP LẦN 2:
Câu 1. Cho a = (2; –3; 3), b = (0; 2; –1). Tìm tọa độ của vector u  2a  3b
A. (5; –3; 3)
B. (5; 3; –1)
C. (4; 0; –1)
D. (4; 0; 3)
Câu 2. Tìm y, z sao cho b = (–2; y; z) cùng phương với a = (1; 2; –1)
A. y = –4 và z = 2
B. y = 4 và z = –2
C. y = –2 và z = 4
D. y = 2 và z = –4
Câu 3. Cho a = (1; –1; 1), b = (3; 0; –1). Tìm tọa độ của vector u  (a.b)[a, b]
A. (2; 4; 6)
B. (2; 8; 6)
C. (2; 6; 8)
D. (2; 6; 4)
Câu 4. Tính góc giữa hai vector a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)
A. 135°
B. 90°
C. 60°

D. 45°
Câu 5. Cho a = (1; –3; 2), b = (m + 1; m – 2; 1 – m), c = (0; m – 2; 2). Tìm m để ba vector đó đồng phẳng
A. m = 0 V m = –2 B. m = –1 V m = 2 C. m = 0 V m = –1 D. m = 2 V m = 0
Câu 6. Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1). Tính thể tích khối tứ diện ABCD
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
Câu 7. Cho điểm S(3; 1; –2) và mặt phẳng (P): x – 5y – z + 9 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của S
trên mặt phẳng (P)
A. H(8/3; 8/3; –5/3) B. H(8/3; –5/3; 7/3) C. H(5/3; 8/3; –8/3) D. H(5/3; 7/3; –1)
Câu 8. Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0
A. I(4; –1; 0), R = 4 B. I(–4; 1; 0), R = 4 C. I(4; –1; 0), R = 2 D. I(–4; 1; 0), R = 2
Câu 9. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)
A. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 3
B. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 4 = 0
C. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 6
D. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 10 = 0
Câu 10. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1)

A. 5 x  13 y  z  21  0 .B. 5x  13 y  z  21  0 .C. 5x  13 y  4 z  21  0 .D. 5x  13 y  5z  21  0 .

Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 18


Hình Học Tọa Độ Không Gian
GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
A. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z + 6 = 0

B. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z – 6 = 0
C. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z + 24 = 0 D. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z – 24 = 0
Câu 11. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3),
C(2; 0; –1)
A. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 17
B. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 11
C. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11
D. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17
Câu 12. Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(2; 1; 1) và B(2; –1; 3)
A. (P): y – z – 2 = 0 B. y – z + 2 = 0
C. y + z + 2 = 0
D. y + z – 2 = 0
Câu 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(1; 2; –3), B(3; 3; –4), C(0; 4; 0)
A. (P): x + y – z – 10 = 0
B. (P): x – y + z + 4 = 0
C. (P): x – y + z – 4 = 0
D. (P): x + y – z – 6 = 0
Câu 14. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(–1; 1; 0), song song với (Q): x – 2y + z – 10 = 0
A. x – 2y + z – 3 = 0 B. x – 2y + z + 3 = 0 C. x – 2y + z – 1 = 0 D. x – 2y + z + 1 = 0
Câu 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x – y + 3z – 1 = 0
A. 5x + 4y – 2z – 21 = 0
B. 5x + 4y – 2z + 21 = 0
C. 5x – 4y – 2z – 13 = 0
D. 5x – 4y – 2z + 13 = 0
Câu 16. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3)
A. –3x + 6y + 2z + 6 = 0
B. –3x – 6y + 2z + 6 = 0
C. –3x – 6y + 2z – 6 = 0
D. –3x + 6y – 2z + 6 = 0

Câu 17. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; –2) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x
+ y – z – 2 = 0 và (R): x – y – z – 3 = 0
A. –2x + y – 3z + 4 = 0
B. –2x + y – 3z – 4 = 0
C. –2x + y + 3z – 4 = 0
D. –2x – y + 3z + 4 = 0
Câu 18. Tìm giá trị của m để hai mặt phẳng (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z –
5 = 0 vuông góc với nhau
A. m = –2 V m = 2 B. m = –2 V m = 4 C. m = 2 V m = 4
D. m = –4 V m = 2
Câu 19. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến (P)
A. 18
B. 6
C. 9
D. 3
Câu 20. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 2 = 0 và (Q): 2x – 3y + 6z + 9 = 0. Tính khoảng cách giữa hai
mặt phẳng (P) và (Q)
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
Câu 21. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm A(2; –1; 4)
một đoạn bằng 4
A. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0
B. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0
C. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 8 = 0
D. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z + 4 = 0
Câu 22. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 5; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y + 3z + 1 = 0
A. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 16
B. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 12

C. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 14
D. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 10
Câu 23. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 tại điểm
M(4; –3; 1)
A. 3x – 4y – 20 = 0 B. 3x – 4y – 24 = 0 C. 4x – 3y – 25 = 0 D. 4x – 3y – 16 = 0
Câu 24. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và
song song với mặt phẳng (BCD)
A. 6x – 3y – 2z – 12 = 0
B. 6x – 3y – 2z + 12 = 0
C. 3x + 2y – 6z + 6 = 0
D. 3x – 2y + 6z – 6 = 0
Câu 25. Đường thẳng AB với A(2; 1; 0), B(0; 1; 2) đi qua điểm nào sau đây?
A. (–1; 0; 1)
B. (1; 1; –1)
C. (3; 1; 2)
D. (1; 1; 1)
x  2 y5 z 2
Câu 26. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(4; –2; 2), song song với Δ:


4
2
3
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 19


Hình Học Tọa Độ Không Gian
GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com

x4 y2 z2
x4 y2 z2
A. d:
B. d:




4
2
3
4
2
3
x4 y2 z2
x  4 y  2 z 2
C. d:
D. d:




4
2
3
4
2
3
Câu 27. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(–1; 0; 2), vuông góc với (P): 2x – 3y + 6z + 4 = 0
x 1 y z  2

x 1 y z  2
A. d:
B. d:
 


2
3
6
2
3
6
x 1 y z  2
x 1 y z  2
C. d:
D. d:
 


2
3
6
2
3
6
Câu 28. Giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0; (Q): x + y + z – 1 = 0 có vector chỉ phương
với tọa độ là
A. (2; –3; 1)
B. (2; 3; 1)
C. (2; 1; 3)

D. (2; –1; 3)
Câu 29. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời song song với hai mặt phẳng (P1): 2x – 2y + z = 0
và (P2): x – y + 3z – 3 = 0. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d
A. (6; 5; 9)
B. (4; 3; 5)
C. (1; 2; 5)
D. (–2; 3; 3)
x y 1 z
Câu 30. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; –2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ: 

1
1
2
có tọa độ vector chỉ phương là
A. (1; 1; –1)
B. (1; –1; 1)
C. (1; 1; 1)
D. (1; –1; 0)
Câu 31. Cho các điểm A(0; –2; 1), B(3; 1; –3) và mặt phẳng (P): x + y + z = 0. Tìm tọa độ giao điểm của
đường thẳng AB và mặt phẳng (P)
A. (3/2; 1/2; –1)
B. (3/2; –1; 1/2)
C. (3/2; –1/2; –1)
D. (3/2; –1; –1/2)
Câu 32. Cho điểm A(–1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A
trên (P)
A. (2; 1; –3)
B. (–2; 1; 3)
C. (–2; 3; 1)
D. (2; 3; –1)

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP LẦN 3
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; –1; 3), C(1; 1; 1). Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C và vuông góc với AB
A. x + y – 3z + 1 = 0 B. x + y – 3z – 1 = 0 C. x + y + 3z – 5 = 0 D. x – y + 3z – 1 = 0
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y –
2z – 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)
A. (–2; –6; 8)
B. (–1; –3; 4)
C. (3; 1; 0)
D. (0; 2; –1)
x  2 y z 1
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2; 2; –1) và đường thẳng d:
.


1
1
1
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
A. y + z – 6 = 0
B. x + y + 6 = 0
C. y + z – 1 = 0
D. y + z – 2 = 0
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.
Phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là
A. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 4
B. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 9
C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 3
D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 5) và B(0; 0; 1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A, B và song song với trục Oy
A. 4x + y – z + 1 = 0 B. 2x + z – 5 = 0
C. 4x – z + 1 = 0
D. y + 4z – 1 = 0
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(1; 3; 2), D(–2;
3; –1). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1
= 0. Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 20


Hình Học Tọa Độ Không Gian
GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
x y  2 z 1
x 1 y  2 z 1
A. d: 
B. d:



2
3
1

2
3
1
x 1 y  2 z 1
x y  2 z 1
C. d:
D. d: 



2
3
1
2
3
1
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 6 = 0 và điểm A(2; –1; 0).
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)
A. (1; –1; 1)
B. (–1; 1; –1)
C. (3; –2; 1)
D. (5; –3; 1)
 x  6  4t

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng d:  y  2  t . Tìm tọa
z  1  2t

độ hình chiếu vuông góc của A trên d
A. (2; –3; –1)
B. (2; 3; 1)

C. (2; –3; 1)
D. (–2; 3; 1)
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; –4; 0), B(0; 2; 4), C(4; 2; 1). Tìm tọa độ
điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC
A. D(0; 0; 0), D(6; 0; 0)
B. D(–2; –4; 0), D(8; –4; 0)
C. D(3; 0; 0), D(0; 0; 3)
D. D(–2; 0; 0), D(8; 0; 0)
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1), B(0; 2; 3) và C(0; 0; 2). Độ dài đường
cao hạ từ C của tam giác ABC là
A. 2
B. 3
C. 1/2
D. 1
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 3; –4), B(1; 2; 3), C(–2; 1; 2), D(–1; 2; 3).
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
A. (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² = 16
B. (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² = 32
C. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 4)² = 16
D. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 4)² = 32
x 1 y z  2
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x +
 
2
1
3
2y + z – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với d
x 1 y 1 z 1
x  1 y  1 z 1

A.
B.




5
1
3
5
1
3
x 1 y  1 z 1
x 1 y  1 z 1
C.
D.




5
1
3
5
1
3
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0.
Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
A. B(–2; 0; –4)
B. B(–1; 3; –2)

C. B(–2; 1; –3)
D. B(–1; –2; 3)
x  2 y 1 z
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và điểm A(–1; 0; 1).


2
2
1
Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
A. (1; 2; 3)
B. (1; 2; 1)
C. (1; –2; 3)
D. (0; 1; 1)
x 1 y  2 z  1
Câu 16. Cho điểm A(–1; 0; 0) và đường thẳng Δ:
. Tính khoảng cách từ A đến Δ


2
1
2
A. 5
B. 2
C. 4
D. 3
Câu 17. Cho hai điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. x² + (y + 3)² + (z – 1)² = 9
B. x² + (y + 3)² + (z – 1)² = 36

C. x² + (y – 3)² + (z + 1)² = 9
D. x² + (y – 3)² + (z + 1)² = 36
x  2 y  3 z 1
Câu 18. Cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): 3x + 5y – 2z – 4 = 0. Tìm tọa độ giao


2
3
3
điểm của d và (P)
A. (4; 0; 4)
B. (0; 0; –2)
C. (2; 0; 1)
D. (–2; 2; 0)
Câu 19. Mặt cầu tâm I(3; 2; –4) và tiếp xúc với trục Oy có bán kính là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 2
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 21


Hình Học Tọa Độ Không Gian
GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
Câu 20. Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 3 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 6z + 1 = 0. Vị trí
tương đối giữa (P) và (S) là
A. cắt nhau theo đường tròn có bán kính 2 B. cắt nhau theo đường tròn có bán kính 3

C. cắt nhau theo đường tròn có bán kính 4 D. chúng không cắt nhau
Câu 21. Cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 10 = 0. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) // (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
A. 4x + 3y – 12z – 78 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z + 26 = 0
B. 4x + 3y – 12z + 78 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z – 26 = 0
C. 4x + 3y – 12z + 62 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z – 20 = 0
D. 4x + 3y – 12z – 62 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z + 20 = 0
x y z 1
Câu 22. Tìm tọa độ điểm A trên đường thẳng d: 
sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng

2 1
1
(P): x – 2y – 2z + 5 = 0 bằng 3. Biết rằng A có hoành độ dương
A. (2; –1; 0)
B. (4; –2; 1)
C. (–2; 1; –2)
D. (6; –3; 2)
x6 y6 z2
x 1 y  2 z  3
Câu 23. Cho các đường thẳng d1:
, d2:
. Gọi M, N là các điểm lần




2
2
1

2
3
1
lượt thuộc d1, d2 sao cho MN là đoạn vuông góc chung của d1, d2. Tìm tọa độ của M, N
A. M(–8; –4; –1) và N(–3; –8; –1)
B. M(–8; –4; –1) và N(3; 1; –4)
C. M(–4; –8; –3) và N(3; 1; –4)
D. M(–4; –8; –3) và N(–3; –8; –1)
x 1 y  4 z  3
x  3 y 1 z 1
Câu 24. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1:
, d2 :




6
2
1
3
2
2
A. 1/2
B. 2
C. 3/2
D. 1
x 1 y  3 z 1
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x



3
2
2
– 3y + z – 4 = 0. Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) có vector chỉ phương với tọa độ là
A. (2; –1; 1)
B. (–2; 1; 1)
C. (2; 1; –1)
D. (2; 1; 1)
x  10 y  2 z  2
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
và mặt phẳng (P):


5
3
1
3x + (m – 1)y + mz + 11 = 0. Tìm giá trị của m để (P) song song với Δ
A. m = –6
B. m = 6
C. m = –3
D. m = 3
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x + y +
2z + 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Phương
trình của mặt cầu (S) là
A. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 8
B. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 10
C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 8
D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 10
x 1 y 1 z  1

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 2) và đường thẳng Δ:
.


1
1
2
Đường thẳng d đi qua A, đồng thời vuông góc và cắt Δ có một vector chỉ phương với tọa độ là
A. (1; 1; 1)
B. (1; 1; –2)
C. (2; 2; 1)
D. (1; –3; 1)
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1;
4). Số mặt phẳng cách đều bốn điểm đó là
A. 1
B. 4
C. 7
D. vô số
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABDC với A(1; 2; 1), B(1; 1; 0), C(1; 0; 2).
Tọa độ đỉnh D là
A. (1; –1; 1)
B. (1; 1; 3)
C. (2; –1; 3)
D. (2; 1; 3)
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABCD với A(1; 1; 0), B(1; 1; 2), D(1; 0; 2).
Diện tích của hình bình hành ABCD là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 4; 2), B(3; 2; –3/2), C(1; 4; –1/2). Xét các
phát biểu sau
(1) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác có trọng tâm G thuộc mặt phẳng Oxy
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661
Trang 22


Hình Học Tọa Độ Không Gian
GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
(2) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân
(3) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có chu vi là 10
(4) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn
Số câu phát biểu đúng là
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 2), B(1; 0; 3), C(2; 0; 1). Tìm tọa độ của
điểm D sao cho ABCD là là hình bình hành
A. (2; 1; 0)
B. (2; –1; 0)
C. (–2; 1; 2)
D. (2; 2; 1)
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 1; 4), C(0; 2; 3), D(2; 2; 5). Xét
các phát biểu sau
(1) Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BCD
(2) Các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn
(3) Hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng đi qua hai điểm A, C có tọa độ là (1; 2; 1)
(4) Trung điểm của đoạn thẳng AD trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC
Số câu phát biểu đúng là

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2). Tìm điểm N thuộc mặt phẳng Oxy sao
cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất
A. (1; 1; 0)
B. (1; 2; 2)
C. (2; 1; 0)
D. (2; 2; 0)
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1). Gọi M là điểm thuộc mặt
phẳng Oxy. Tìm tọa độ của M để P = | MA  MB | đạt giá trị nhỏ nhất
A. (1; 2; 1)
B. (1; 1; 0)
C. (2; 1; 0)
D. (2; 2; 0)
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(0; 1; 0), B(0; 1; 1), C(2; 1; 1), D(1;
2; 1). Tính thể tích của tứ diện ABCD
A. 1/6
B. 1/3
C. 2/3
D. 4/3
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(3; 0; 5), C(2; 2; 1). Gọi M là một
điểm chạy trên mặt phẳng Oyz. Giá trị của P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất khi M có tọa độ là
A. (0; 2; 1)
B. (0; 1; 3)
C. (0; 2; 3)
D. (0; 1; 2)
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 0), B(0; 1; 5), C(2; 0; 1). Gọi M là một
điểm chạy trên mặt phẳng Oyz. Giá trị nhỏ nhất của P = MA² + MB² + MC² là

A. 23
B. 25
C. 27
D. 21
Câu 40. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và vuông góc mặt phẳng (Q): 2x – z – 9 = 0
A. x + y – 2z = 0
B. x + 2z = 0
C. x – 2z = 0
D. x + 2z – 3 = 0
x  3 y 1 z
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–3; 1; 2), đường thẳng d1:
và


2
1
1
x y5 z 4
d2: 
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, đồng thời song song với hai đường thẳng

1
2
1
d1, d2.
A. x + 3y + 5z – 13 = 0
B. x – 3y – 5z + 13 = 0
C. x + 3y + 5z – 10 = 0
D. x – 3y – 5z + 10 = 0
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (Q1): 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q2): 3x – y +

4z + 8 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Q1) và (Q2) là
A. (P): 3x – y + 4z + 10 = 0
B. (P): 3x – y + 4z + 5 = 0
C. (P): 3x – y + 4z – 10 = 0
D. (P): 3x – y + 4z – 5 = 0
x  2  t
 x  1  2s


Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:  y  3  t và d2:  y  2  s . Viết
z  1  3s
z  2  t


phương trình mặt phẳng (P) song song, cách đều hai đường thẳng d1, d2.
A. (P): 4x – 5y – z + 17 = 0
B. (P): 4x + 5y + z – 17 = 0
C. (P): 4x – 5y – z + 8 = 0
D. (P): 4x + 5y + z – 8 = 0
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 23


Hình Học Tọa Độ Không Gian

GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
x2 y2 z
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –2; –1) và đường thẳng d:


 .
2
2
1
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất
A. (P): x + y = 0
B. (P): x – y + 2 = 0 C. (P): x – y = 0
D. (P): x + y – 2 = 0
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua G(1; 2; –1) và lần lượt cắt Ox,
Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là
A. (P): x + 2y – z – 4 = 0
B. (P): 2x + y – 2z – 2 = 0
C. (P): x + 2y – z – 2 = 0
D. (P): 2x + y – 2z – 6 = 0
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(2; 1; 1) và lần lượt cắt Ox, Oy,
Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là
A. (P): 2x + y + z – 6 = 0
B. (P): x + 2y + 2z – 6 = 0
C. (P): 2x – y – z – 2 = 0
D. (P): x – 2y – 2z + 2 = 0
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(–2; 1; 2) và B(1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt
phẳng Oxy sao cho biểu thức P = MA + MB có giá trị nhỏ nhất
A. (2; 1; 0)
B. (1; –1; 0)
C. (–1; 1; 0)
D. (0; 1; 0)
x  1 y  2 z 1
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x



1
1
1
+ 3y + 2x – 6 = 0. Viết phương trình đường mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P)
A. (Q): x + y – 2z + 1 = 0
B. (Q): x – y – 2z – 5 = 0
C. (Q): x + y – 2z – 1 = 0
D. (Q): x – y – 2z + 5 = 0
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y – 1)² + z² = 9 và đường thẳng d:
x2 y z2
. Tìm tọa độ các giao điểm của d và (S)


2
1
1
A. (0, –1; 1) và (2; 2; 0)
B. (0, 1; 1) và (2; –2; 0)
C. (0, –1; 1) và (2; –2; 0)
D. (0, 1; –1) và (–2; 2; 0)
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Tìm tọa độ
của điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
A. (2; 1; 3)
B. (–2; 5; 7)
C. (2; 3; –7)
D. (1; 2; 5)
Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3). Tìm tọa độ
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A. (3; 3; 3)

B. (1; 1; 1)
C. (1; 2; 3)
D. (2; 2; 2)
Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 2)² = 36 và mặt
phẳng (P): x + 2y + 2z + 18 = 0. Đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P), cắt mặt
cầu tại các giao điểm là
A. (–1; –2; –2) và (2; 4; 4)
B. (3; 6; 6) và (–2; –4; –4)
C. (4; 8; 8) và (–3; –6; –6)
D. (3; 6; 6) và (–1; –2; –2)
x 1 y  2 z  3
Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d:
.


2
1
1
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với d
A. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49
B. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 7
C. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 50
D. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 25
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x² + y²
+ z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm và bán kính
của đường tròn (C)
A. (3; 0; 2) và r = 2 B. (2; 3; 0) và r = 2 C. (2; 3; 0) và r = 4 D. (3; 0; 2) và r = 4
x 1 y  3 z  1
Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x



2
1
1
– 2y – z – 3 = 0. Số đo góc a tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là
A. a = 60°
B. a = 45°
C. a = 30°
D. a = 90°
Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) và
D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho (P) cách đều hai điểm C, D
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 24


Hình Học Tọa Độ Không Gian
GV: Đoàn Văn Tính – Web: giasutrongtin.com
A. (P): 2x + 3z – 5 = 0 hoặc (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0
B. (P): 2x – 3z + 1 = 0 hoặc (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0
C. (P): 2x + 3y – 10 = 0 hoặc (P): 4x – 2y – 7z + 7 = 0
D. (P): 2x – 3y + 4 = 0 hoặc (P): 4x – 2y – 7z + 7 = 0
Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và các điểm A(–3; 0;
1), B(0; –1; 3). Đường thẳng d đi qua A và song song với (P), sao cho khoảng cách từ B đến d có giá trị nhỏ
nhất. Tọa độ vector chỉ phương của d có thể là
A. (2; 1; –1)
B. (2; –1; 0)
C. (2; –1; 1)
D. (2; 1; 0)

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng
(P): x + y + z – 6 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song
với mặt phẳng (P)
A. D(5/2; 1/2; –1)
B. D(3/2; –1/2; 0)
C. D(0; –1/2; 3/2)
D. (–1; 1/2; 5/2)
x 1 y z  2
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
và mặt phẳng (P): x 
 
2
3
6
2y + 2z – 5 = 0. Gọi A là giao điểm của Δ với (P); M là điểm thuộc Δ thỏa mãn MA = 21/2. Tính khoảng
cách từ M đến (P)
A. 6
B. 5
C. 7
D. 4
x 2 y2 z3
Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
và điểm A(0; 0; –


2
3
2
2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A, cắt đường thẳng Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8
A. (S): x² + y² + z² + 4z – 21 = 0

B. (S): x² + y² + z² + 4z – 25 = 0
C. (S): x² + y² + z² – 4z – 21 = 0
D. (S): x² + y² + z² – 4z – 25 = 0
Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b >
0, c > 0 và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Tìm b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách
từ O đến (ABC) bằng 1/3
A. b = 2 và c = 2
B. b = 1/2 và c = 1/2 C. b = 2 và c = 1
D. b = 1 và c = 2
x y 1 z
Câu 62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: 
 . Tìm tọa độ điểm M trên
2
1
2
trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM
A. (–1; 0; 0) hoặc (1; 0; 0)
B. (2; 0; 0) hoặc (–2; 0; 0)
C. (1; 0; 0) hoặc (–2; 0; 0)
D. (2; 0; 0) hoặc (–1; 0; 0)
Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z  3 = 0 và (Q): 2y – z 
1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ
O đến (R) bằng 2
A. 2x – 3y – 6z + 14 = 0 V 2x – 3y – 6z – 14 = 0
B. 2x – 3y – 6z + 18 = 0 V 2x – 3y – 6z – 18 = 0
C. 2x + 3y – 6z + 14 = 0 V 2x + 3y – 6z – 14 = 0
D. 2x + 3y – 6z + 18 = 0 V 2x + 3y – 6z – 18 = 0
x  3  t
x  2 y 1 z


Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:  y  t
và d2:

 .
2
1
2
z  t

Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng 1
A. (6; 3; 3), (3; 0; 0) B. (4; 1; 1), (7; 4; 4) C. (3; 0; 0), (7; 4; 4) D. (5; 2; 2), (4; 1; 1)
Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 2; 3), B(1; 0; –5) và mặt phẳng (P): 2x +
y – 3z – 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) để các điểm A, B, M thẳng hàng
A. (0; 1; 2)
B, (–2; 1; –3)
C. (0; 1; –1)
D. (3; 1; 1)
Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y
– z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. Biết M có hoành độ nguyên
A. (3; –2; 3)
B. (2; 0; 4)
C. (–1; 0; 2)
D. (0; 1; 3)
Ôn thi tốt nghiệp và LTĐH môn Toán – 0946069661

Trang 25