Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

Header Page 1 of 27.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TĂNG THỊ NGA

TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán học

Hà Nội - 2015

Footer Page 1 of 27.


Header Page 2 of 27.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TĂNG THỊ NGA

TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Toán học

Cán bộ hướng dẫn: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội- 2015

Footer Page 2 of 27.


Header Page 3 of 27.

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới GS. TS. Nguyễn Hữu Dư người Thầy đáng kính đã
luôn tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện khóa luận
em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý
kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn bè đồng nghiệp, để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2015.
Sinh viên
Tăng Thị Nga

1
Footer Page 3 of 27.


Header Page 4 of 27.

Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các khái niệm cơ bản về ổn định . . . . . . . . . . . . .
2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ sai
phân ngẫu nhiên
2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment của phương trình tựa tuyến tính . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp sử dụng Martingale và các bất đẳng thức .
2.3.1 Dáng điệu đuôi của phân phối xác suất. . . . . .
2.3.2 Ổn định tiệm cận hầu chắc chắn. . . . . . . . . .
2.3.3 Không ổn định hầu chắc chắn. . . . . . . . . . . .

5
5
12

14
14
19
36
36
40
43

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

2
Footer Page 4 of 27.


Header Page 5 of 27.

Mở đầu
Nghiên cứu tính ổn định của một hệ động lực là một bài toán hết sức
quan trọng trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Năm 1892, nhà toán học
nổi tiếng A.M. Lyapunov, trong bản luận án tiến sỹ của mình, đã đưa ra
hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình
vi phân. Đó là phương pháp số mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12].
Từ đó đến nay, bài toán này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu
của nhiều nhà toán học và có nhiều kết quả sâu sắc về cả lý thuyết lẫn
ứng dụng. Chúng ta có thể kể đến các nhà toán học có nhiều đóng góp
trong lĩnh vực này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al. (1989)
[10, 11] và nhiều nhà toán học khác như X. Mao [18]; L. Arnol [2]....
Trong các hệ động lực, hệ được mô tả bởi các phương trình sai phân
đóng vai trò hết sức quan trọng. Chúng ta có thể thấy sự xuất hiện nó
trong nhiều bài toán thực tế như là mô hình tăng trưởng của quần thể
kiểu Leslie, mô hình động học kinh tế đa lĩnh vực Leontief hoặc là khi

ta rời rạc hóa để tính toán nghiệm của một phương trình vi phân, trong
phân tích hệ thống dữ liệu mẫu của thống kê... Việc phân tích dữ liệu
trong cơ khí, điện, kĩ thuật điều khiển và các vấn đề thực tế khác cũng
phải cần đến các nghiên cứu của phương trình sai phân ngẫu nhiên.
Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định đối với nghiệm của
phương trình sai phân là bài toán được rất nhiều người quan tâm và
phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu bài toán này. Cũng như
hệ động lực khả vi, các phương pháp Lyapunov cũng được sử dụng để
nghiên cứu tính ổn định. Với phương pháp hàm Lyapunov, người ta xây
dựng một phiếm hàm (gọi là hàm Lyapunov). Phiếm hàm này đóng vai
trò như là một "chuẩn" hay như "phiếm hàm năng lượng" và các quỹ
3
Footer Page 5 of 27.


Header Page 6 of 27.

đạo dọc theo hàm này sẽ giảm hoặc tăng. Điều đó cho phép chúng ta biết
được hệ sẽ ổn định hoặc không ổn định. Nhược điểm chính của phương
pháp này là các điều kiện đưa ra phụ thuộc vào hàm được chọn nên nói
chung chỉ là điều kiện đủ.
Phương pháp thứ hai được sử dụng là phương pháp so sánh. Ở đây
ta so sánh các quỹ đạo của hệ với các quỹ đạo của hệ một chiều. Ưu
điểm của phương pháp này chúng ta có thể dễ dàng biết hệ 1 chiều có
ổn định hay không thông qua các tiêu chuẩn đơn giản. Tuy nhiên việc
so sách này không phải lúc nào cũng thực hiện được vì các quỹ đạo của
hệ nhiều chiều nói chung là rất phức tạp.
Phương pháp tiếp theo là sử dụng các định lý giới hạn đã có trong lý
thuyết hội tụ của các quá trình ngẫu nhiên (chủ yếu là các định lý giới
hạn trong lý thuyết martingale). Với phương pháp này người ta phân

tích quá trình thành tổng của một quá trình tăng (hoặc giảm) với một
martingale. Từ đó ta có thể đưa ra kết luận hệ hội tụ hay không.
Nội dung chính của luận văn bao gồm 2 chương. Trong chương 1 chúng
tôi đưa vào các kiến thức tối thiểu để sử dụng về sau. Chương 2 là nội
dung chính của bản Luận văn. Phần 2.1 của chương này đề cập đến sử
dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định. Trong đó chúng tôi
trình bày các điều kiện đáp ứng trạng thái để xích Markov là ổn định.
Trong mục 2.2 chúng tôi sử dụng phương pháp so sánh với hệ 1 chiều.
Đây là một tổng quát hóa của định lý so sánh của Ma và Caughey’s [14]
và sử dụng định lý này để nghiên cứu các định lý ổn định chung của
phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến. Mục 2.3 chúng tôi tái lập
lại các ý tưởng cơ bản từ các lý thuyết của martingale cùng với các kết
quả về tập hội tụ. Nội dung chính của phần này là hai kết quả về ổn
định tiệm cận hầu chắc chắn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện khóa luận
không nhiều nên trong khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và
sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy
cô. Em xin chân thành cảm ơn!

4
Footer Page 6 of 27.


Header Page 7 of 27.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các khái niệm cơ bản về xác suất

Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con
của Ω. Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi
là độ đo xác suất trên F nếu
(i) P(A) 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá);
(iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) thì
∞
P(∪∞
n=1 An ) =
n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được).
Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất. Bộ
ba (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất.
Định nghĩa 1.1. Giả sử (Ω1 , F1 ) và (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo. Ánh
xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì
X −1 (B) ∈ F1 .
Mệnh đề 1.1. 1. Giả sử F1 , G1 là hai σ-đại số các tập con của Ω1 , F2 , G2
là hai σ-đại số các tập con của Ω2 . Khi đó, nếu F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 và
X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được thì X là ánh xạ G1 /G2 đo được.
2. Giả sử X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh
xạ F2 /F3 đo được. Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1 /F3 đo được.
3. Giả sử F2 = σ(C). Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1 /F2 đo được
khi và chỉ khi X −1 (C) ∈ F1 với mọi C ∈ C.

5
Footer Page 7 of 27.

Header Page 8 of 27.

Định nghĩa 1.2. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ- đại
số con của σ- đại số F. Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến
ngẫu nhiên G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi
B ∈ B(R) thì X −1 (B) ∈ G).
Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì
X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là
biến ngẫu nhiên và G là σ−trường con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều
kiện của X đối với σ−trường G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:
(i) Y là biến ngẫu nhiên G−đo được;
(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có
Y dP =
A

XdP.
A

Ký hiệu Y = E(X|G).
Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta xét một không gian xác suất
đầy đủ có lọc (Ω, F, (Fn )n∈N , P).
Định nghĩa 1.4. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là
(Fn )−martingale nếu
(i) X = (Xn ) ∈ N là quá trình (Fn )−phù hợp;
(ii) E|Xn | < ∞ với mọi n ∈ N;
(iii) Với mọi m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = Xm h.c.c.
Martingale X = (Xn ) ∈ N được gọi là martingale bình phương khả
tích nếu E(|xn |2 ) < ∞; ∀ n ∈ N. Ký hiệu tập tất cả các martingale bình
phương khả tích là M2 .

Định nghĩa 1.5. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn ) ∈ N được gọi là
(Fn )−martingale dưới nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và
(iii’) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≤ Xm h.c.c.
Định nghĩa 1.6. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là
(Fn )−martingale trên nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và
(iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≥ Xm h.c.c.
6
Footer Page 8 of 27.


Header Page 9 of 27.

Định nghĩa 1.7. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là
(Fn )−hiệu martingale nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và
(iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = 0 h.c.c.
Bổ đề 1.1. Giả sử {Xn }n∈N là một Fn -martingale, và xác định ξn =
Xn − Xn−1 . Khi đó {ξn }n∈N là một Fn -hiệu-martingale.
Bổ đề 1.2. Giả sử {ξn }n∈N , n ∈ N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc
lập sao cho Eξn = 0 và E |ξn | < ∞, với mỗi n ∈ N. Định nghĩa
Zn = ni=1 ξi . Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale và {ξn }n∈N , n ∈ N
là một Fn -hiệu-martingale.
Bổ đề 1.3. Giả sử {ξn }n∈N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao
cho Eξn = 0 và E |ξn | < ∞, với mỗi n ∈ N và (Fn )n∈N là bộ lọc được
sinh ra bởi {ξn }n∈N . Giả sử {yn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên Fn đo được. Đặt Zn+1 = ni=0 yi ξi+1 . Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale
Bổ đề 1.4. Giả sử {Xn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
Fn -đo được. Nếu EXn = 1 và Zn = ni=1 Xi , với mỗi n ∈ N. Khi đó
{Zn }n∈N là một Fn -martingale.
Bổ đề 1.5. Giả sử {ξn }n∈N là một hiệu-martingale, bình phương khả
tích. Khi đó tồn tại một dãy {µn }n∈N của Fn -hiệu-martingale và một
dãy ngẫu nhiên dương Fn−1 -đo được {ηn }n∈N sao cho với mỗi n = 1, 2, ...

hầu chắc chắn.
ξn2 = µn + ηn ,

trong đó ηn = E ξn2 /Fn−1 ,

µn = ξn2 − E ξn2 /Fn−1 .

Bổ đề 1.6. Nếu {Xn }n∈N là một dãy ngẫu nhiên tăng với E |Xn | < ∞
với ∀n ∈ N thì {Xn }n∈N là một martingale dưới.
Bổ đề 1.7. Nếu {Xn }n∈N là một Fn -martingale không âm, thì limn→∞ Xn
tồn tại, h.c.c.
Định lý 1.1. Giả sử rằng {Xn }n∈N là một Fn -martingale dưới. Khi đó
tồn tại một Fn -martingale {Mn }n∈N và một dãy ngẫu nhiên tăng Fn−1 -đo
được {An }n∈N sao cho với ∀n = 1, 2, ...
Xn = Mn + An ,

hầu chắc chắn.
7

Footer Page 9 of 27.

(1.1)


Header Page 10 of 27.

Định lý 1.2. Giả sử {Xn }n∈N là một Fn -martingale dưới không âm
với khai triển Doob’s (1.1). Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} . Trong đó
{Xn →} là tập tất cả các ω ∈ Ω mà lim Xn (ω) tồn tại và hữu hạn.
n→∞

Bổ đề 1.8. Giả sử {Zn }n∈N là một quá trình Fn -đo được không âm, với
E |Zn | < ∞ với mỗi n ∈ N và
Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1 ,

n = 0, 1, 2, ...,

trong đó {ςn }n∈N là một Fn -hiệu-martingale, {un }n∈N , {υn }n∈N là các quá
trình Fn -đo được không âm và E |un | , E |υn | < ∞ với mỗi n ∈ N. Khi đó
∞

∞

un < ∞

ω:

⊆

υn < ∞

ω:

n=1

∩ {Zn →} .

n=1

Ở đây {Zn →} là tập các ω ∈ Ω trong đó limn→∞ Zn tồn tại và hữu hạn.

Chứng minh. Ta có
Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − vn + ςn+1 )
= Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1 ,

(1.2)

trong đó wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 là một quá trình Fn+1 -đo
n
được. Vì dãy Zn =
i=1 wi là dãy tăng và Fn -đo được với E |Zn | ≤
n
i=1 E |wi | < ∞ với mọi n ∈ N, nên theo bổ đề 1.6 {Zn }n∈N là một
Fn -martingale dưới. Do đó, theo Định lý 1.1 chúng ta có biểu diễn
(1)

Zn+1 = Cn + Mn+1 ,
trong đó

(1)

Mn+1

n∈N

là một Fn -martingale và {Cn }n∈N quá trình tăng

Fn -đo được. Kết hợp với (1.2) ta thu được
(1)

Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn ) + (Mn+1 − Mn+1 ),

(1.3)

trong đó Un = ni=1 ui , Vn = ni=1 υi , Mn = ni=1 ςi . Chúng ta định nghĩa
(1)
M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un . Khi đó đó theo phương trình (1.3) với
mọi n ∈ N thì
Zn+1 + (Vn + Cn ) = U n + M n+1 = Yn+1 .
8
Footer Page 10 of 27.

(1.4)


Header Page 11 of 27.

Tài liệu tham khảo
[1] V. Anantharam and T. Konstantopoulos, Stations solutions of
stochastic recursions describing discrete event systems. Stochastic
Processes and Applications, 68 (1997), 181-194.
[2] L. Arnold, Random Dynamical Systems (Springer- Verlag, Berlin,
1998).
[3] J. D. A. Appleby, G. Berkolaiko, and A. Rokina, Non-exponential
stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equation
with unbounded noise, Stochastic: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, 81 (2), (2009), 99-127.
[4] J. A. D. Appleby, X. Mao, and Rodkina, On stochastic stabilization
of difference equations, Discrete Contin, Dyn. Syst., 15(3), (2006),
843-857.
[5] G. Berkolaiko, C. Kelly and A. Rodkina, Sharp pathwise asymptotic
stability criteria for planar systems of linear stochastic difference

equations, Discrete and continuous dynamical systems, Supplement
2011 pp. 163-173
[6] L. Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Odinary
Diferential Equation, Springer-Verlag, New York, 1973.
[7] F. G. Foster: On the stochastic matrices associated with certain queueing processes. The Annals of Mathematical Statistics, 24
(1953), 355-360.

46
Footer Page 11 of 27.


Header Page 12 of 27.

[8] S. Foss and T. Konstantopoulos, An overview of some stochastic
stability methods, Journal of the Operations Research Society of
Japan, Vol. 47, No. 4(2004), 275-303.
[9] Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.
1. Academic Press, New York, 1975.
[10] V. Lakshmikantham and S. Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol. 1. Academic Press, New York, 1969.
[11] V. Lakshmikantham and D. Trigiante, Theory of Difference Equations, Academic Press, San Diego, 1988.
[12] A. M. Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion
(In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English
translations: A. T. Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992.
[13] F. Ma, Stability theory of stochastic difference system, in Probabilistic Analysis ang Related Topics, (A. T. Bharucha-Reid, Ed.), Vol.
3. pp. 127-160, Academic Press, New York/London, 1983.
[14] F. Ma and T. K. Caughey, On the stability of stochastic difference
systems, Internat. J. Non-Linear Mech. 16 (1981), 139-153.
[15] F. Ma and T. K. Caughey, On the stability of linear and nonlinear
stochastic tranformation, Internat. J. Control 34 (1981), 501-511.
[16] F. Ma and T. K. Caughey, Mean stability of stochastic difference

systems, Internat. J. Non-Linear Mech. 17 (1982), 69-84.
[17] S. P. Meyn and R. L. Tweedie: Markov Chains and Stochastic Stability (Springer, New York, 1993).
[18] X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997.
[19] A. G. Pakes: Some conditions for ergodicity and recurrence of
Markov chains. Operations Research, 17 (1969), 1048-1061.
47
Footer Page 12 of 27.


Header Page 13 of 27.

[20] T. Taniguchi, E. Stanley Lee, Stability theorems of stochastic defference equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications
And Applications 147, 81-96 (1990).
[21] R. L. Tweedie, Criteria for classifying general Markov chains. Advances in Applied Probability 8 (1976), 737-771.

48
Footer Page 13 of 27.