Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

NGUYỄN QUANG CHUNG

NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH
TRONG TÁI BẢO HIỂM

Chuyên ngành: Lí thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã ngành: 62460106

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Bùi Khởi Đàm
2. PGS. TS. Tống Đình Quỳ

Phản biện 1:................................................
Phản biện 2:................................................
Phản biện 3:................................................

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường
họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Vào hồi........ giờ, ngày........tháng........năm.........

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửi- Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Một trong những nghiên cứu đầu tiên về lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm
là luận án của Filip Lundberg (1903) ở Đại học Uppsala (Thụy Điển). Sau
đó, Harald Cramér đã phát triển ý tưởng của Filip Lundberg mà ngày nay
chúng ta gọi nó là mô hình Cramér- Lundberg hay mô hình rủi ro cổ điển.
Trong mô hình này phí thu bảo hiểm được xét là hằng số và phần chi trả bảo
hiểm là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
Một số tác giả S. Ross [32], H. Yang [46], B. K. Đàm và N. H. Hoàng [1],
B. K. Dam và N. T. T. Hong [17] và N. T. T Hong [21] đã xét các mô hình
rủi ro với phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là một biến ngẫu nhiên.
Sau đó một số tác giả B. Sundt và J. L. Teugels ([38], [39]), H. Yang [46],
J. Cai ([7], [8]), J. Cai và D. C. M. Dickson [9], X. Wei và Y. Hu [43], B. K.
Dam và P. D. Quang [18], N. T. T. Hong [21] và P. D. Quang ([30], [31]) đã
đề cập tới mô hình có lãi suất. Với hai mô hình rủi ro này, các tác giả trên đã
ước lượng hoặc đưa ra được biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của công
ty bảo hiểm.
Tuy nhiên trong kinh doanh bảo hiểm, ngay các công ty bảo hiểm cũng
có thể gặp thiệt hại do các yêu cầu bồi thường quá lớn. Một trong những
chiến lược để giảm nguy cơ thiệt hại trực tiếp cho các công ty bảo hiểm là
hình thức tái bảo hiểm. Có thể coi K. Borch [5] là một trong những người
đầu tiên nghiên cứu về tái bảo hiểm. Ở đó, tác giả đã chỉ ra trong các phương
án tái bảo hiểm khác nhau thì tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương

sai cho phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm. Nghiên cứu này mở ra
các hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm như P. Kahn [24], S. Vajda
[41], J. Ohlin [28], H. R. Waters [42], J. Cai và K. Tan [10], J. Cai, K. S. Tan,
1


C. Weng và Y. Zhang [11], R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene và M. Denuit
[23], K. S. Tan, C. Weng và Y. Zhang [40].
Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm, các yêu cầu bồi thường sẽ được
chi trả bởi công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm, do đó sự thiệt hại có
thể xảy ra ở công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm. Tuy nhiên, hầu hết các
công trình nghiên cứu trong danh mục tài liệu tham khảo của luận án này,
các nghiên cứu đều được xem xét từ quan điểm một phía (công ty bảo hiểm
hoặc công ty tái bảo hiểm). Gần đây, các bài toán có sự quan tâm tới cả
hai công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm đã được một số tác giả nghiên cứu, ví
dụ: V. K. Kaishev và D. S. Dimitrova [25], Z. Li [27] và S. Salcedo-Sanz, L.
Carro-Calvo, M. Claramunt, A. Casta˜
ner và M. Mármol [34]. Các nghiên cứu
về tái bảo hiểm sẽ phù hợp hơn nếu có sự quan tâm tới công ty bảo hiểm và
tái bảo hiểm. Mặc dù vậy, các nghiên cứu theo hướng này còn khá ít trong
các công trình nghiên cứu hiện nay.
Luận án này nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm
là các biến ngẫu nhiên. Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công
ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. Các ước lượng (chặn trên)
cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án:
Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm
quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không
lãi suất và có lãi suất.

Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết
(xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm);
xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác cho
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên)
cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm.
2


• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:
Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo
hiểm trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và tái
bảo hiểm excess of loss.
Các bài toán về tối ưu, bài toán về công thức tính đúng và bài
toán về ước lượng cho các xác suất thiệt hại.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án sử dụng các kiến thức của giải tích và xác suất.
Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập các chặn trên cho các xác
suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Với phương pháp này
các bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal và định lý về thời điểm
dừng với martingale và martingale trên được sử dụng trong quá trình chứng
minh.
Phương pháp truy hồi để xây dựng các chặn trên cho các xác suất thiệt
hại của từng công ty bảo hiểm.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
• Luận án đưa ra một số kết quả mới, có ý nghĩa về cả lý thuyết và ứng
dụng trong việc nghiên cứu các mô hình rủi ro bảo hiểm.
• Lần đầu tiên đưa ra cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu
xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm (cực
tiểu đồng thời cả xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo

hiểm).
• Xây dựng được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết,
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.
• Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh như là các hàm của tỷ lệ chia sẻ và
mức duy trì.
• Đưa ra ước lượng trên dạng Cramér- Lundberg cho các xác suất thiệt
của từng công ty bảo hiểm bởi phương pháp martingale và phương pháp truy
3


hồi.
• Chứng minh được sự tồn tại tỷ lệ chia sẻ α để cả hai xác suất thiệt hại
của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm đều nhỏ hơn một ngưỡng bé
tùy ý cho trước.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án.
• Chương 2 nghiên cứu bài toán tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, xây dựng công thức tính chính
xác cho các xác suất thiệt hại liên kết.
• Chương 3 ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm
bằng phương pháp martingale.
• Chương 4 ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm
bằng phương pháp truy hồi.
Nội dung chính của luận án dựa trên bốn bài báo được liệt kê ở
"Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các
bài [1], [2], [4] đăng ở nước ngoài, bài [3] đăng ở tạp chí trong nước.
Luận án đã được báo cáo tại:
– Seminar " Đánh giá sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm đối với chặn

trên của xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc" Trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng 8 năm 2017.
– Seminar "Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm",
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng
trong lý thuyết rủi ro

Xét ξ là một biến ngẫu nhiên xác định trong không gian xác suất (Ω, F, P).
Định nghĩa 1.1.1. ([6]) Cho ξ là biến ngẫu nhiên khả tích và A là σ− trường
con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với A là một biến ngẫu
nhiên, ký hiệu E(ξ | A) và thỏa mãn các điều kiện sau:
- E(ξ | A) là A− đo được;
- Với mỗi A ∈ A
E(ξ | A)dP =
A

1.1.1

ξdP.
A

Quá trình Markov

Cho {ξt }t∈T có tính Markov và E là tập hữu hạn hoặc đếm được, thì
{ξt }t∈T được gọi là xích Markov. Như vậy, về phương diện toán học, trong
trường hợp này tính Markov có thể định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng {ξt }t∈T có tính Markov nếu:
P ξtn+1 = j | ξt0 = i0 , ..., ξtn−1 = in−1 , ξtn = i = P ξtn+1 = j | ξtn = i ,
với bất kỳ t0 < t1 < ... < tn < tn+1 < ... và i0 , ..., in−1 , i, j ∈ E.

5


1.1.2

Martingale với tham số rời rạc

Định nghĩa 1.1.3. ([45])
Một dãy {ξn , An , n ∈ N} được gọi là một martingale, nếu
(i) ξn đo được với An , n ∈ N,
(ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N,
(iii) E(ξn | An−1 ) = ξn−1 , n ≥ 1.
Tương tự, một dãy {ξn , An , n ∈ N} là martingale trên (supermartingale), nếu
(i) ξn đo được với An , n ∈ N,
(ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N,
(iii’) E(ξn | An−1 ) ≤ ξn−1 , n ≥ 1
và một dãy {ξn , An , n ∈ N} là martingale dưới (submartingale), nếu
(i) ξn đo được với An , n ∈ N,
(ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N,
(iii") E(ξn | An−1 ) ≥ ξn−1 , n ≥ 1.

1.2

Một số mô hình rủi ro cổ điển

Chúng ta ký hiệu u0 là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm. Các đại lượng
Xn , Yn và In tương ứng là phần chi trả bảo hiểm, phần thu bảo hiểm và lãi
suất của công ty bảo hiểm ở chu kỳ thứ n.
- Mô hình rủi ro không lãi suất mà lợi nhuận Un ở chu kỳ thứ n (n =
1, 2, ...) của công ty bảo hiểm được xác định
n

n

Yi −

Un = u0 +
i=1

Xi .

(1.1)

i=1

- Mô hình rủi ro có lãi suất trong đó lợi nhuận ở chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ...)
của công ty bảo hiểm là
Un = Un−1 (1 + In ) + Yn − Xn .
6

(1.2)

1.3

Tái bảo hiểm

Định nghĩa 1.3.1. ([19]) Tái bảo hiểm quota share là một loại tái bảo hiểm
mà công ty bảo hiểm sẽ giữ lại một khoản từ việc thu phí bảo hiểm của
khách hàng và chi trả bảo hiểm cho khách hàng với cùng một tỷ lệ, ký hiệu
α (α ∈ [0, 1]). Phần thu và chi bảo hiểm còn lại sẽ được thực hiện bởi công ty
tái bảo hiểm. Ta gọi α là tỷ lệ chia sẻ.
Khi có tái bảo hiểm quota share ta có các mô hình rủi ro
- Trường hợp không có lãi suất lợi nhuận của công ty bảo hiểm và tái bảo
(1)

(1)

hiểm ở chu kỳ n tương ứng Un và Vn , được xác định:
n

Un(1)

Yi − α

= u0 + α
i=1

và

n

Xi
i=1

n

n

Vn(1)

(1.3)

Yi − (1 − α)

= v0 + (1 − α)
i=1

Xi

(1.4)

i=1

với n = 1, 2, ..., .
- Trường hợp có lãi suất lợi nhuận ở chu kỳ thứ n của công ty bảo hiểm
(1)

(1)

và tái bảo hiểm là Un và Vn

(1)

Un(1) = Un−1 1 + In(1) + α(Yn − Xn )

(1.5)

và
(1)

Vn(1) = Vn−1 1 + In(2) + (1 − α)(Yn − Xn )
(1)

(1.6)

(2)

trong đó In và In là lãi suất tương ứng của công ty bảo hiểm và công ty
tái bảo hiểm ở chu kỳ thứ n.
Định nghĩa 1.3.2. ([15],[19]) Tái bảo hiểm excess of loss là một hợp đồng
bảo hiểm mà phần thu phí bảo hiểm từ người mua bảo hiểm sẽ được chia cho
công ty bảo hiểm với một tỷ lệ α, phần còn lại được chia cho công ty tái bảo
7


hiểm. Ở mỗi chu kỳ nếu tổng số chi trả bảo hiểm vượt quá M thì công ty bảo
hiểm chi trả M , phần còn lại được chi trả bởi công ty tái bảo hiểm, trái lại
công ty bảo hiểm sẽ chi trả toàn bộ số tiền yêu cầu bồi thường.
Khi có tái bảo hiểm excess of loss ta có các mô hình rủi ro mà lợi nhuận
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm ở chu kỳ thứ n được cho:

- Trường hợp không có lãi suất
n

Un(2)

Vn(2)

Yi −

= u0 + α

và

n

i=1

i=1

n

n

= v0 + (1 − α)

Yi −
i=1

min {Xi , M }

(1.7)

max {Xi − M, 0}

(1.8)

i=1

- Trường hợp có lãi suất
(2)

Un(2) = Un−1 1 + In(1) + αYn − min{Xn , M }

(1.9)

và
(2)

Vn(2) = Vn−1 1 + In(2) + (1 − α) Yn − max{Xn − M, 0}

(1.10)

Kết luận Chương 1
Trong chương này, ngoài việc giới thiệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu
của luận án, kiến thức và khái niệm được sử dụng sau này trong luận án, tác
giả đã mở rộng một số mô hình rủi ro bởi xét các hợp đồng tái bảo hiểm lên
các quá trình lợi nhuận của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm.

8

Chương 2
XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MÔ
HÌNH RỦI RO VỚI TÁI BẢO HIỂM

2.1

Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết

Các định lý sau đây là lời giải bài toán tối ưu (cực tiểu) xác suất thiệt
hại liên kết.
a. Trường hợp không có lãi suất
Định lý 2.1.1. Cho các quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) trong đó α ∈ (0, 1).
Khi đó, với mỗi u0 và v0 thì xác suất thiệt hại liên kết ψn u0 , v0 , α đạt giá
trị bé nhất tại α∗ =

u0
u0 +v0 .

b. Trường hợp có lãi suất
Xét các quá trình lợi nhuận
n

Un(1)

=

k

n

Yk − Xk

1 + Ik u0 + α
k=1

1 + Ij

k=1

j=1

n

k

−1

(2.1)

và
n

Vn(1)

1 + Ik v0 + (1 − α)

=
k=1

Yk − Xk
k=1

1 + Ij

−1

(2.2)

j=1

Định lý 2.1.2. Cho các quá trình lợi nhuận (2.1) và (2.2) trong đó α ∈ (0, 1).
Khi đó, ψn (u0 , v0 , α, is ) đạt giá trị bé nhất tại α∗ =
mọi s = 0, 1, ..., N0 .

9

u0
u0 +v0

với mỗi u0 , v0 và


2.2

Công thức tính chính xác cho xác suất
thiệt hại liên kết trong mô hình với tái
bảo hiểm quota share

Với giả thiết 2.1 và 2.2 (xem trong luận án) về phần thu bảo hiểm và phần

chi trả bảo hiểm, chúng ta có các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt
hại liên kết trong các trường hợp không có lãi suất và có lãi suất:

2.2.1

Mô hình rủi ro không có lãi suất

Định lý 2.2.1. Cho quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các giả thiết
2.1 và 2.2. Khi đó, với mỗi α ∈ [0, 1] thì
N3

N3

ψn (u0 , v0 , α) = 1 −

(1)

G1

N3

...
m1 =1 m2 =1

(1)

qm1 qm2 ...qmn
mn =1

(1)

G2

Gn

...
l1 =1 l2 =1

pl1 pl2 ...pln
ln =1

(2.3)
ở đây
(1)

Gk = max

lk =0,N4

ym ym ...ym

ym ym ...ym

1
2
2
k
k
lk : αxlk < Zxl1 1xl2 ...x
lk−1 , (1 − α)xlk < Wxl1 xl2 ...xlk−1

với k = 1, 2, ..., n quy ước x0 = 0.

2.2.2

Mô hình rủi ro có lãi suất

Định lý 2.2.2. Cho quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) thỏa mãn các giả
thiết 2.1, 2.2 và dãy lãi suất I (1) , I (2) là độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi
α ∈ [0, 1]; s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì
N1

N1

ψn (u0 , v0 , α, is , jt ) = 1 −

N1

...
c1 =0 c2 =0

N2

N2

(1) (1)
rsc
r ...rc(1)
1 c1 c2
n−1 cn

cn =0

10

N2
(2) (2)

...
k1 =0 k2 =0

rtk1 rk1 k2
kn =0


N3

(2)

G1

N3

N3

(2)
...rkn−1 kn

qh1 qh2 ...qhn

...

hn =1

h1 =1 h2 =1

(2)

(2)

G2

Gn

...
l1 =1 l2 =1

pl1 pl2 ...pln
ln =1

(2.4)
trong đó
G(2)
m = max

lm =0,N4

y y ,...,y

lm : αxlm < Zxlh1,xhl 2,...,xlhm
1

2

m−1

,ic1 ,ic2 ,...,icm

và (1 − α)xlm <

y y ,...,y

Wxlh1,xhl 2,...,xlhm
1

2

m−1

,jk1 ,jk2 ,...,jkm

với m = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0.

2.3

Công thức tính chính xác cho xác suất
thiệt hại liên kết trong mô hình với tái
bảo hiểm excess of loss

Tương tự như Mục 2.2 chúng ta cũng thiết lập các công thức tính chính
xác cho các xác suất thiệt hại liên kết.

2.3.1

Mô hình rủi ro không có lãi suất

Định lý 2.3.1. Cho quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn các giả thiết
2.1 và 2.2. Khi đó, với mỗi cặp (α, M ) thì
N3

N3

φn (u0 , v0 , α, M ) = 1 −

...
m1 =1 m2 =1

(3)

G1

N3

(3)

qm1 qm2 ...qmn
mn =1

(3)

G2

Gn

...
l1 =1 l2 =1

pl1 pl2 ...pln
ln =1

(2.5)
trong đó
(3)

Gk = max

lk =0,N4

ym ym ...ym

ym ym ...ym

2
1
2
k
k
lk : min{xlk , M } < Zxl1 1xl2 ...x
lk−1 , max{xlk −M, 0} < Wxl1 xl2 ...xlk−1

với k = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0.
11

2.3.2

Mô hình rủi ro có lãi suất

Định lý 2.3.2. Cho quá trình lợi nhuận (3.5) và (3.6) thỏa mãn các giả
thiết 2.1, 2.2 và dãy lãi suất I (1) , I (2) độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi
(α, M ); s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì
N1

N1

ψn (u0 , v0 , α, M, is , jt ) = 1 −

N1

N2

...
c1 =0 c2 =0
N3

cn =0

(2)

(4)

G1

h1 =1 h2 =1

(4)

kn =0
(4)

G2

qh1 qh2 ...qhn

...

(2) (2)

rtk1 rk1 k2

...
k1 =0 k2 =0

N3

N3

...rkn−1 kn

N2

N2

(1) (1)
rsc
r ...rc(1)
1 c1 c2
n−1 cn

Gn

...

hn =1

l1 =1 l2 =1

pl1 pl2 ...pln
ln =1

(2.6)
trong đó
G(4)
m = max

lm =0,N4

y y ,...,y

lm : min{xlm , M } < Zxlh1,xhl 2,...,xlhm
1

2

m−1

,ic1 ,ic2 ,...,icm

và

y y ,...,y

max{xlm − M, 0} < Wxlh1,xhl 2,...,xlhm
1

2

m−1

,jk1 ,jk2 ,...,jkm

với m = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0.

Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã:
• chỉ ra được cách xác định tỷ lệ chia sẻ, dựa trên vốn ban đầu của hai
công ty bảo hiểm mà tỷ lệ chia sẻ này làm cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm.
• thiết lập được các công thức tính chính xác cho các xác suất thiệt hại
liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, xác suất thiệt hại của từng
công ty bảo hiểm trong các mô hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share và
tái bảo hiểm excess of loss.

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2], [3] trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.
12


Chương 3
ƯỚC LƯỢNG CHO XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG
MÔ HÌNH CÓ TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP MARTINGALE
Trong chương này chúng tôi trình bày các ước lượng trên dạng mũ cho
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.

3.1
3.1.1

Mô hình rủi ro không có lãi suất
Trường hợp với tái bảo hiểm quota share

Bổ đề sau cho ta thiết lập các hệ số hiệu chỉnh là các hàm số của α.
Bổ đề 3.1.1. Giả sử
essup(X1 ) < +∞, essup(Y1 ) < +∞, E(Y1 ) > E(X1 ) và P (X1 − Y1 > 0) > 0.
Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1)) tồn tại duy nhất R(1) (α) và R(2) (α) sao cho
E eαR

(1)

(α)(X1 −Y1 )

=1

(3.1)

và
E e(1−α)R

(2)

(α)(X1 −Y1 )

=1

(3.2)

Sau đây là các bất đẳng thức dạng mũ cho xác suất thiệt hại của công ty
bảo hiểm và tái bảo hiểm.

13


Định lý 3.1.2. Cho các quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các điều
kiện trong Bổ đề 3.1.1. Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1)) thì
ψn(1) (u0 , α) ≤ e−u0 R

(1)

(α)

(3.3)

(α)

(3.4)

và
ψn(2) (v0 , α) ≤ e−v0 R

(2)

n = 1, 2, ...
Hệ quả 3.1.3. Với mỗi

(1)

∈ L1 đều tồn tại α ∈ (0, 1) sao cho ψn (u0 , α) ≤

(2)

= e−(u0 +v0 )R0 thì α =

và ψn (v0 , α) ≤ . Trường hợp riêng,

u0
u0 +v0 .

Hệ quả 3.1.3 là phương pháp để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai
công ty bảo hiểm.

3.1.2

Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β)

Lợi nhuận cho công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm sẽ có dạng
n

Un(1)

n

Yi − β

= u0 + α
i=1

và

Xi
i=1

n

Vn(1)

= v0 + (1 − α)

(3.5)

n

Yi − (1 − β)
i=1

Xi

(3.6)

i=1

với n = 1, 2, ...
Tương tự, Bổ đề 3.1.1 chúng ta thiết lập sự phụ thuộc của các hệ số hiệu
chỉnh vào các tỷ lệ α và β.
Bổ đề 3.1.4. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > βE(X1 )
và P (βX1 − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, β). Khi đó, tồn tại duy nhất R(1) (α, β)
(R(1) (α, β) > 0) sao cho
E eR

(1)

(α,β) βX1 −αY1

14

= 1.

(3.7)


Bổ đề 3.1.5. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, (1 − α)E(Y1 ) >
(1 − β)E(X1 ) và P ((1 − β)X1 − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, β). Khi đó,
tồn tại duy nhất R(2) (α, β)(R(2) (α, β) > 0) sao cho
E eR

(2)

(α,β) (1−β)X1 −(1−α)Y1

= 1.

(3.8)

Định lý 3.1.6. Cho các quá trình lợi nhuận (3.5) và (3.6) thỏa mãn các điều
kiện trong Bổ đề 3.1.4 và Bổ đề 3.1.5. Khi đó, với mỗi (α, β) thì
ψn(1) (u0 , α, β) ≤ e−u0 R

(1)

(α,β)

(3.9)

(α,β)

(3.10)

và
ψn(2) (v0 , α, β) ≤ e−v0 R

(2)

n = 1, 2, ..., .
Chú ý 3.1.7. Khi α = β thì kết quả trong Định lý 3.1.6 trở thành các kết

quả được phát biểu trong Định lý 3.1.2.

3.1.3

Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss

Bổ đề 3.1.8. Giả sử
essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > E (min {X1 , M })
và P (min {X1 , M } − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại duy nhất
R(1) (α, M )(R(1) (α, M ) > 0) sao cho
E eR

(1)

(α,M ) min{X1 ,M }−αY1

= 1.

(3.11)

Bổ đề 3.1.9. Giả sử
essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, (1 − α)E(Y1 ) > E (max{X1 − M, 0})
và
P (max{X1 − M, 0} − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ).
15


Khi đó, tồn tại duy nhất R(2) (α, M )(R(2) (α, M ) > 0) sao cho
E eR

(2)

(α,M )(max{X1 −M,0}−(1−α)Y1 )

= 1.

(3.12)

Định lý sau là một phương pháp để dung hòa đồng thời xác suất thiệt
hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm.
Định lý 3.1.10. Cho quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn các giả
thiết trong Bổ đề 3.1.8 và Bổ đề 3.1.9. Khi đó, với mỗi (α, M )
−u0 R
φ(1)
n (u0 , α, M ) ≤ e

(1)

(α,M )

(3.13)

và
−v0 R
φ(2)
n (v0 , α, M ) ≤ e

(2)

(α,M )

.

(3.14)

n=1,2,...,.

Đặt:

0

= P (Y1 ≤ xN4 − u0 − v0 ) P

(X1 = xi ) .

(3.15)

i=1,N4 :xi ≥u0

Định lý 3.1.11. Cho các quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn giả
thiết (2.2) và xN4 − u0 − v0 > 0. Khi đó, với mỗi ≥

0

đều tồn tại (α, M ) để

(1)

(3.16)

(2)

(3.17)

φ1 (u0 , α, M ) ≤
và
φ1 (v0 , α, M ) ≤ .

3.2
3.2.1

Mô hình rủi ro có lãi suất
Trường hợp với tái bảo hiểm quota share

Bổ đề 3.2.1. Giả sử E(X1 ) < E(Y1 ); P(X1 − Y1 > 0) > 0; essup{X1 } <
+∞; essup{Y1 } < +∞. Khi đó với mỗi I (1) = is , I (2) = jt và α ∈ (0, 1) đều
16


(1)

(2)

tồn tại duy nhất Ris (α) và Rjt (α) để
(1)

(1) −1

E eαRis (α)(X1 −Y1 )(1+I1

)

(1)

| I0 = is = 1

(3.18)

và
(2)

E e(1−α)Rjt

(2)

(α)(X1 −Y1 )(1+I1 )−1

(2)

| I0 = jt = 1

(3.19)

Định lý 3.2.2. Xét quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) với các điều kiện
của Bổ đề 3.2.1 được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi α ∈ (0, 1) và mọi s =
0, 1, ..., N1 , t = 0, 1, ..., N2 , ta có
ψn(1) (u0 , α, is ) ≤ e−u0 R

(1)

(α)

(3.20)

(α)

(3.21)

và
ψn(2) (v0 , α, jt ) ≤ e−v0 R

(2)

n = 1, 2, ...,.
(1)

Hệ quả 3.2.3. Nếu ∈ L2 thì tồn tại tỷ lệ chia sẻ α ∈ (0, 1) để ψn (u0 , α, is ) ≤
(2)

và ψn (v0 , α, js ) ≤ , với mọi s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 . Đặc biệt,
nếu

= e−u0 R1 −v0 R2 thì α =

3.2.2

u0 R1
u0 R1 +v0 R2 .

Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss

Sau đây ta thiết lập các hệ số hiệu chỉnh như các hàm của α và M .
Bổ đề 3.2.4. Giả sử
essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > E (min {X1 , M })
và P (min {X1 , M } − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại và duy
nhất Ri∗s (α, M )(Ri∗s (α, M ) > 0) sao cho
(1) −1

∗

E eRis (α,M )(min{X1 ,M }−αY1 )(1+I1
với mỗi s = 0, 1, ..., N1 .
17

)

(1)

I0 = is = 1

(3.22)


Bổ đề 3.2.5. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, (1 − α)E(Y1 ) >
E (max {X1 − M, 0}) và P (max {X1 − M, 0} − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi
(α, M ). Khi đó, tồn tại duy nhất Rjt (α, M )(Rjt (α, M ) > 0) sao cho
(2) −1

E eRjt (α,M )(max{X1 −M,0}−(1−α)Y1 )(1+I1

(2)

)

I0 = jt = 1.

(3.23)

với mỗi t = 0, 1, ..., N2 .
Chặn trên dạng mũ cho xác suất thiệt hại với tái bảo hiểm excess of loss.
Định lý 3.2.6. Cho quá trình lợi nhuận (1.9) và (1.10) thỏa mãn các giả
thiết của Bổ đề 3.2.4 và Bổ đề 3.2.5. Khi đó, với mỗi (α, M ) thì
−u0 R
φ(1)
n (u0 , α, M, is ) ≤ e

(1)

(α,M )

(3.24)

(α,M )

(3.25)

và
−v0 R
φ(2)
n (v0 , α, M, jt ) ≤ e

(2)

với mọi n = 1, 2, ..., s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 .

Kết luận Chương 3
Trong chương này chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Đưa ra các điều kiện cho sự tồn tại của các hệ số hiệu chỉnh. Các điều
kiện này đều hoàn toàn phù hợp với thực tế như: trong mỗi một chu
kỳ số tiền thu phí bảo hiểm, chi trả bảo hiểm đều là hữu hạn; trung
bình thu phí bảo hiểm lớn hơn trung bình chi trả bảo hiểm; có xuất
hiện trường hợp mà trong một chu kỳ số tiền thu bảo hiểm bé hơn số
tiền chi trả bảo hiểm.
• Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh của công ty bảo hiểm và công ty
tái bảo hiểm như các hàm của tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì.
18


• Đưa ra được các chặn trên cho các xác suất thiệt hại của cả hai công ty
bảo hiểm. Hệ quả 3.1.3 và Hệ quả 3.2.3 là phương pháp gợi ý để chúng
ta xác định α để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo
hiểm.
• Với mô hình rủi ro có tái bảo hiểm excess of loss bài toán xác định
(α, M ) để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo hiểm là
bài toán khó. Tuy nhiên, trong Định lý 3.1.11 chúng tôi đề xuất cách
xác định (α, M ) để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty với
chu kỳ n = 1 trong đó một số điều kiện hạn chế lên phần thu và chi trả
bảo hiểm. Kết quả này cho ta cách đánh giá xác suất thiệt hại ở các
chu kỳ tiếp theo nếu số vốn ở chu kỳ ngay trước đó của công ty bảo
hiểm và tái bảo hiểm lớn hơn không.

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1], [2], [3], [4] trong Danh
mục công trình đã công bố của luận án.

19


Chương 4
ƯỚC LƯỢNG CHO XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG
MÔ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TRUY HỒI

4.1

Trường hợp không có lãi suất

Sau đây chúng ta thiết lập các phương trình truy hồi cho xác suất thiệt
hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm
Bổ đề 4.1.1. Với mỗi α ∈ (0, 1), ta có:
(1)
ψn+1 (u0 , α)

∞

1
(u0 + αy) dF (y)
α

H

=

0
∞

1
α (u0 +αy)

+
0
(2)

∞

ψn+1 (v0 , α) =

ψn(1) (u0 + α(y − x), α)dH(x)dF (y),

0

1
(v0 + (1 − α)y) dF (y)
1−α

H
0
∞

1
1−α (v0 +(1−α)y)

+

0

(4.1)

ψn(2) (v0 + (1 − α)(y − x), α)dH(x)dF (y).

0

(4.2)
n = 1, 2, ...
Đặc biệt,
(1)
ψ1 (u0 , α)

∞

=

H
0

(2)
ψ1 (v0 , α)

∞

=

H
0

1
(u0 + αy) dF (y),
α
1
(v0 + (1 − α)y) dF (y)
1−α
20

(4.3)
(4.4)


Chặn trên cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết
lập sau đây.
Định lý 4.1.2. Cho quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các điều
kiện của Bổ đề 3.1.1. Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1) thì
ψn(1) (u0 , α) ≤ γe−u0 R

(1)

(α)

(4.5)

(α)

(4.6)

và

ψn(2) (v0 , α) ≤ γe−v0 R
trong đó γ −1 = inf

z≥0

∞ R0 x
dH(x)
z e
eR0 z H(z)

(2)

và n = 1, 2, ...

Các chặn trên (4.5) và (4.6) bé hơn các chặn trên tương ứng trong (3.3)
và (3.4).
Hệ quả 4.1.3. Nếu

(1)

∈ L3 thì tồn tại α ∈ (0, 1) sao cho ψn (u0 , α) ≤

(2)

= γe−(u0 +v0 )R0 thì α =

ψn (v0 , α) ≤ . Đặc biệt, nếu

4.2

và

u0
u0 +v0 .

Trường hợp có lãi suất

Tương tự Mục 4.1 chúng ta thiết lập các công thức truy hồi và các chặn
trên cho các xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.
Bổ đề 4.2.1. Với mỗi α ∈ (0, 1), s = 0, 1, ...N1 và t = 0, 1, ..., N2 , ta có:
N1
(1)
ψn+1 (u0 , α, is )

(1)
rsk

=
k=0

N1
(1)
rsk

+
k=0

H
0

1
α (u0 (1+ik )+αy)

∞
0

∞

1
(u0 (1 + ik ) + αy) dF (y)
α

ψn(1) (u0 (1 + ik ) + α(y − x), α, ik )dH(x)dF (y),

0

(4.7)
N2
(2)
ψn+1 (v0 , α, jt )

(2)
rtk

=
k=0

∞

H

0

1
(v0 (1 + jk ) + (1 − α)y) dF (y)
1−α
21


N2
(2)
rtk

+
k=0

1
1−α (v0 (1+jk )+(1−α)y)

∞
0

ψn(2) (v0 (1 + jk ) + (1 − α)(y − x), α, jk )

0

dH(x)dF (y).

(4.8)

n = 1, 2, ...

Đặc biệt
N1
(1)
ψ1 (u0 , α, is )

(1)
rsk

=
k=0
N2

(2)
ψ1 (v0 , α, jt )

(2)
rtk

=
k=0

∞

H

1
(u0 (1 + ik ) + αy) dF (y),
α

H

1
(v0 (1 + jk ) + (1 − α)y) dF (y) (4.10)
1−α

0
∞
0

(4.9)

Sử dụng các phương trình truy hồi trên chúng ta có định lý sau:
Định lý 4.2.2. Xét quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) sao cho các giả thiết
trong Bổ đề 3.1.1 đều thỏa mãn. Khi đó với mỗi α ∈ (0, 1), s = 0, 1, ..., N1 và
t = 0, 1, ..., N2 thì
ψn(1) (u0 , α, is ) ≤ γE e−u0 R

(1)

(1)

(α)(1+I1 )

(1)

(4.11)

(2)

(4.12)

| I0 = is

và
ψn(2) (v0 , α, jt ) ≤ γE e−v0 R
ở đó γ −1 = inf

z≥0

∞ R0 x
dH(x)
z e
,
eR0 z H(z)

(2)

(2)

(α)(1+I1 )

| I0 = jt

(0 < γ ≤ 1) và n = 1, 2, ...

Từ các chặn trên trong (4.11) và (4.12) cho ta cách xác định α để dung
hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo hiểm. Điều này được thể hiện
trong Hệ quả 4.2.3.
Hệ quả 4.2.3. Nếu
(2)

ψn (v0 , α, jt )

≤

(1)

∈ L4 thì tồn tại α ∈ (0, 1) để ψn (u0 , α, is ) ≤

và

với mỗi s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, .., N2 . Đặc biệt, nếu

= γe−u0 R0 (1+i∗ )−v0 R0 (1+j∗ ) thì α =

u0 (1+i∗ )
u0 (1+i∗ )+v0 (1+j∗ ) .

22


Kết luận Chương 4
Trong chương này chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Thiết lập được các công thức truy hồi cho các xác suất thiệt hại trong
trường hợp không lãi suất và có lãi suất.
• Đưa ra các chặn trên cho các xác suất thiệt hại. Các chặn trên này
không có dạng mũ. Tuy nhiên, các chặn trên trong Định lý 4.1.2 là bé
hơn các chặn trên dạng mũ trong Định lý 3.1.2.
• Chúng tôi giới thiệu cách xác định tỷ lệ chia sẻ, để cân bằng xác suất
thiệt hại của hai công ty bảo hiểm. Các kết quả này trình bày trong
các Hệ quả 4.1.3 và Hệ quả 4.2.3.

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2] và [3], trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.

23