Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

NGUYỄN QUANG CHUNG

NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH
TRONG TÁI BẢO HIỂM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

NGUYỄN QUANG CHUNG

NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH
TRONG TÁI BẢO HIỂM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lí thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã ngành: 62460106

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. BÙI KHỞI ĐÀM
2. PGS. TS. TỐNG ĐÌNH QUỲ

Hà Nội - 2018


MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

11

Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng trong lý thuyết rủi ro . 11
1.1.1

Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2

Martingale với tham số rời rạc . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2

Một số mô hình rủi ro cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3

Tái bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1

Tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2

Tái bảo hiểm stop\excess of loss . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 2. XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MÔ HÌNH RỦI
32

RO VỚI TÁI BẢO HIỂM

2.1

Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2

Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong
mô hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . . . 36

2.3

2.2.1

Mô hình rủi ro không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2

Mô hình rủi ro có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong
mô hình rủi ro với tái bảo hiểm excess of loss . . . . . . . . . . 46
2.3.1

Mô hình rủi ro không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2

Mô hình rủi ro có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 51
i

2.4

Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Chương 3. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH
59

TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE

3.1

3.2

3.3

Mô hình rủi ro không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.1

Trường hợp với tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . 60

3.1.2

Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β) . . . 67

3.1.3

Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss . . . . . . . 70

Mô hình rủi ro có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.1

Trường hợp với tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . 78

3.2.2

Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss . . . . . . . 86

Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Chương 4. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH
TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI

100

4.1

Trường hợp không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2

Trường hợp có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 122

ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS. Bùi Khởi Đàm và PGS. TS. Tống Đình Quỳ. Tất cả các
kết quả, số liệu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào.
Hà Nội, .................
Xác nhận của tập thể hướng dẫn

Tác giả luận án

Nguyễn Quang Chung

1


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể cán bộ hướng dẫn
khoa học:
1. PSG. TS. Bùi Khởi Đàm
2. PSG. TS. Tống Đình Qùy
Đặc biệt PGS. TS. Bùi Khởi Đàm, người đã giao đề tài, tận tình chỉ
bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã
nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn
Toán ứng dụng, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin
được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa
học cơ bản Trường Đại học Sư phạm- Kỹ thuật Hưng Yên đã tạo điều kiện
cho tôi học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã

luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường nghiên cứu
toán học mà mình đã chọn.
Hà Nội, .................
NCS. Nguyễn Quang Chung

2


MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

Tập các số tự nhiên, N = {0, 1, 2, ...}

R

Tập các số thực

✶A

Hàm chỉ tiêu của tập hợp A

x∧y

min{x, y}với x, y ∈ R

x∨y

max{x, y}với x, y ∈ R

(Ω, F, P)

Ω không gian mẫu, F là σ − đại số các tập con
của Ω, P độ đo xác suất trên(Ω, F)

Z+

max{Z, 0} với Z là biến ngẫu nhiên

Z−

min{Z, 0} với Z là biến nhẫu nhiên

MZ (r)
α
M
ψn (u0 )

Hàm sinh moment của biến ngẫu nhiên Z
Tỷ lệ chia sẻ phần thu phí bảo hiểm
Mức duy trì
Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu
kỳ n khi chưa có tái bảo hiểm

ψ(u0 )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian
vô hạn khi chưa có tái bảo hiểm

ψn(1) (u0 , α)

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu
kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share

ψ (1) (u0 , α)

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian
vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share

ψn(2) (v0 , α)

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới
chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share
3


ψ (2) (v0 , α)

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời
gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share

ψn(1) (u0 , α, β)

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu
kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share−(α, β)

ψn(2) (v0 , α, β)

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới
chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share−(α, β)

φ(1)
n (u0 , α, M )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu
kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss

φ(1) (u0 , α, M )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian
vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss

φ(2)
n (v0 , α, M )

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới
chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss

φ(2) (v0 , α, M )

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời
gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss

ψn(1) (u0 , α, is )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu
kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất

ψ (1) (u0 , α, is )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian
vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất

ψn(2) (v0 , α, jt )

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới
chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất

ψ (2) (v0 , α, jt )

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời
gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất

φ(1)
n (u0 , α, M, is )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu
kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất

φ(1) (u0 , α, M, is )

Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian
vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất
4


φ(2)
n (v0 , α, M, jt )

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới

chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất

φ(2) (v0 , α, M, jt )

Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời
gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất

ψn (u0 , v0 , α)

Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có
tái bảo hiểm quota share

ψ(u0 , v0 , α)

Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có
tái bảo hiểm quota share

ψn (u0 , v0 , α, M )

Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có
tái bảo hiểm excess of loss

ψ(u0 , v0 , α, M )

Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có
tái bảo hiểm excess of loss

ψn (u0 , v0 , α, is , jt )

Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có

tái bảo hiểm quota share và lãi suất

ψ(u0 , v0 , α, is , jt )

Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có
tái bảo hiểm quota share và lãi suất

ψn (u0 , v0 , α, M, is , jt )

Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có
tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất

ψ(u0 , v0 , α, M, is , jt )

Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có
tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất

5


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Một trong những nghiên cứu đầu tiên về lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm
là luận án của Filip Lundberg (1903) ở Đại học Uppsala (Thụy Điển). Sau
đó, Harald Cramér đã phát triển ý tưởng của Filip Lundberg mà ngày nay
chúng ta gọi nó là mô hình Cramér- Lundberg hay mô hình rủi ro cổ điển.
Trong mô hình này phí thu bảo hiểm được xét là hằng số và phần chi trả bảo
hiểm là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
Một số tác giả S. Ross [32], H. Yang [46], B. K. Đàm và N. H. Hoàng [1],

B. K. Dam và N. T. T. Hong [17] và N. T. T Hong [21] đã xét các mô hình
rủi ro với phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là một biến ngẫu nhiên.
Sau đó một số tác giả B. Sundt và J. L. Teugels ([38], [39]), H. Yang [46],
J. Cai ([7], [8]), J. Cai và D. C. M. Dickson [9], X. Wei và Y. Hu [43], B. K.
Dam và P. D. Quang [18], N. T. T. Hong [21] và P. D. Quang ([30], [31]) đã
đề cập tới mô hình có lãi suất. Với hai mô hình rủi ro này, các tác giả trên
đã ước lượng hoặc đưa ra biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của công ty
bảo hiểm.
Tuy nhiên trong kinh doanh bảo hiểm, ngay các công ty bảo hiểm cũng
có thể gặp thiệt hại do các yêu cầu bồi thường quá lớn. Một trong những
chiến lược để giảm nguy cơ thiệt hại trực tiếp cho các công ty bảo hiểm là
hình thức tái bảo hiểm. Có thể coi K. Borch [5] là một trong những người
đầu tiên nghiên cứu về tái bảo hiểm. Ở đó, tác giả đã chỉ ra trong các phương
án tái bảo hiểm khác nhau thì tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương
sai cho phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm. Nghiên cứu này mở ra
các hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm như P. Kahn [24], S. Vajda
[41], J. Ohlin [28], H. R. Waters [42], J. Cai và K. Tan [10], J. Cai, K. S. Tan,
6


C. Weng và Y. Zhang [11], R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene và M. Denuit
[23], K. S. Tan, C. Weng và Y. Zhang [40].
Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm, các yêu cầu bồi thường sẽ được chi
trả bởi công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm, do đó sự thiệt hại có thể xảy
ra ở công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm. Tuy nhiên, hầu hết các công trình
nghiên cứu trong danh mục tài liệu tham khảo của luận án, các nghiên cứu
đều được xem xét từ quan điểm một phía (công ty bảo hiểm hoặc công ty tái
bảo hiểm). Gần đây, các bài toán có sự quan tâm tới cả hai công ty bảo hiểm
và tái bảo hiểm đã được một số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V. K. Kaishev
và D. S. Dimitrova [25], Z. Li [27] và S. Salcedo-Sanz, L. Carro-Calvo, M.

Claramunt, A. Casta˜
ner và M. Mármol [34]. Các nghiên cứu về tái bảo hiểm
sẽ phù hợp hơn nếu có sự quan tâm tới công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm.
Mặc dù vậy, các nghiên cứu theo hướng này còn khá ít trong các công trình
nghiên cứu hiện nay.
Luận án này nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm
là các biến ngẫu nhiên. Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công
ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. Các ước lượng (chặn trên)
cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án:
Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm
quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không
lãi suất và có lãi suất.
Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết
(xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm);
xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác cho
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên)
cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm.
7


• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:
Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo
hiểm trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và tái
bảo hiểm excess of loss.
Các bài toán về tối ưu, bài toán về công thức tính đúng và bài
toán về ước lượng cho các xác suất thiệt hại.
3. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án sử dụng các kiến thức của giải tích và xác suất.
Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập các chặn trên cho các xác
suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Với phương pháp này
các bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal và định lý về thời điểm
dừng với martingale và martingale trên được sử dụng trong quá trình chứng
minh.
Phương pháp truy hồi để xây dựng các chặn trên cho các xác suất thiệt
hại của từng công ty bảo hiểm.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
• Luận án đưa ra một số kết quả mới, có ý nghĩa về cả lý thuyết và ứng
dụng trong việc nghiên cứu các mô hình rủi ro bảo hiểm.
• Lần đầu tiên đưa ra cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu
xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm (cực
tiểu đồng thời cả xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo
hiểm) (Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2);
• Xây dựng được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết,
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3,
Định lý 2.3.1 và Định lý 2.3.3);
• Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh như là các hàm của tỷ lệ chia sẻ
và mức duy trì (Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề
3.2.6 và Bổ đề 3.2.7);
8


• Đưa ra ước lượng trên dạng Cramér- Lundberg cho các xác suất thiệt
của từng công ty bảo hiểm bởi phương pháp martingale và phương pháp truy
hồi (Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.10, Định lý 3.1.14, Định lý 3.2.3, Định lý 3.2.8,
Định lý 4.1.2 và Định lý 4.2.2);
• Chứng minh được sự tồn tại tỷ lệ chia sẻ α để cả hai xác suất thiệt hại
của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm đều nhỏ hơn một ngưỡng bé

tùy ý cho trước (Hệ quả 3.1.4, Định lý 3.1.15, Hệ quả 3.2.5, Hệ quả 4.1.3 và
Hệ quả 4.2.3).
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1 trình bày khái niệm về kỳ vọng có điều kiện, quá trình
Markov, quá trình martingale; nhắc lại hai mô hình rủi ro rời rạc sẽ
được nghiên cứu trong luận án; giới thiệu hai loại tái bảo hiểm quan
trọng, tái bảo hiểm quota share và stop\excess of loss; cuối cùng một
số các thuật ngữ và ký hiệu dùng trong luận án.
• Chương 2 xác định lời giải tối ưu và công thức tính chính xác cho xác
suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm
trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share.
• Chương 3 nghiên cứu ảnh hưởng của tái bảo hiểm lên chặn trên của
các xác suất thiệt hại bởi phương pháp martingale. Trước tiên mô hình
rủi ro không có lãi suất sẽ được trình bày trong Phần 3.1. Phần 3.2
được dành để giới thiệu các nghiên cứu cho trường trường hợp có lãi
suất. Trong mỗi phần đều thiết lập các hệ số hiệu chỉnh như các hàm
của tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì, thể hiện trong các Bổ đề 3.1.1, Bổ
đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.6 và Bổ đề 3.2.7. Tiếp
theo, ước lượng trên cho các xác suất thiệt hại. Các Hệ quả 3.1.4 và Hệ
quả 3.2.5 như là một phương pháp để dung hòa chặn trên cho xác suất
9


thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.
• Chương 4 của luận án trình bày phương pháp truy hồi để thiết lập sự
ảnh hưởng của tái bảo hiểm quota share đối với chặn trên của xác suất
thiệt hại. Chúng tôi cũng nghiên cứu mô hình rủi ro trong các trường
hợp có lãi suất và không lãi suất tương ứng Phần 4.1 và Phần 4.2. Các

chặn trên ở phần này không có dạng mũ như Phần 3 nhưng các chặn
trên này bé hơn các chặn trên dạng mũ trong một số trường hợp. Dựa
trên các chặn trên này, một phương pháp để dung hòa chặn trên cho
các xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được giới thiệu.
Nội dung chính của luận án dựa trên bốn bài báo được liệt kê ở
"Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các
bài [1], [2], [4] đăng ở nước ngoài, bài [3] đăng ở tạp chí trong nước.
Luận án đã được báo cáo tại:
– Seminar " Đánh giá sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm đối với chặn
trên của xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc" Trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng 8 năm 2017.
– Seminar "Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm",
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017.

10


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này cung cấp các khái niệm và kiến thức quan trọng được sử dụng
trong luận án. Các định lý chỉ phát biểu mà không chứng minh. Các khái
niệm về tích phân Lebesgue, hàm khả tích được xem như các khái niệm quen
thuộc. Tuy nhiên chi tiết của các chứng minh và các khái niệm đó được giới
thiệu trong các tài liệu tham khảo của luận án. Đầu tiên tác giả giới thiệu
một số quá trình ngẫu nhiên được sử dụng trong luận án. Ví dụ: quá trình
Markov, quá trình martingale,... Một số mô hình rủi ro được nghiên cứu ở
các chương tiếp theo sẽ được nhắc lại. Hai loại tái bảo hiểm quan trọng là
quota share và stop\excess of loss được trình bày trong phần này.

1.1

Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng
trong lý thuyết rủi ro

Mở đầu mục này là khái niệm kỳ vọng có điều kiện, một công cụ quan
trọng trong lý thuyết xác suất. Xét ξ và ζ là hai biến ngẫu nhiên xác định
trong không gian xác suất (Ω, F, P).
Định nghĩa 1.1.1. ([6]) Cho ξ là biến ngẫu nhiên khả tích và A một σ−
trường con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với A là một biến
ngẫu nhiên, ký hiệu E(ξ | A) và thỏa mãn các điều kiện sau:
- E(ξ | A) là A− đo được;
- Với mỗi A ∈ A
E(ξ | A)dP =
A

ξdP.
A

11


Chú ý 1.1.2. Cho η là một biến ngẫu nhiên bất kỳ thì kỳ vọng có điều kiện
của ξ đối với η, ký hiệu E(ξ | η) được định nghĩa bởi
E(ξ | η) = E(ξ | σ(η))
trong đó σ(η) là σ− trường sinh bởi η (σ− trường nhỏ nhất mà η đo được).
Định nghĩa 1.1.3. Cho ξ là một biến ngẫu nhiên khả tích và một biến cố
B ∈ F sao cho P(B) = 0. Kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với biến cố B được
xác định bởi
E(ξ | B) =

1
P(B)

ξdP.
B

Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều
kiện. Các tính chất này được phát biểu trên σ− trường con A và H của F,
các biến ngẫu nhiên ξ và ζ được giả thiết khả tích và a, b ∈ R.
1) E(aξ + bζ | A) = aE(ξ | A) + bE(ζ | A) (tính chất tuyến tính);
2) E(E(ξ | A)) = E(ξ);
3) E(ξζ | A) = ξE(ζ | A) nếu ξ là A− đo được;
4) E(ξ | A) = E(ξ) nếu ξ độc lập với A ( tức σ(ξ) và A độc lập);
5) E(E(ξ | A) | H) = E(E(ξ | H) | A) = E(ξ | H) nếu H ⊂ A;
6) Nếu ξ ≥ 0 thì E(ξ | A) ≥ 0.
Định lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Jensen) ([16])
Cho ϕ : R → R là hàm lồi dưới và ξ là biến ngẫu nhiên khả tích sao cho ϕ(ξ)
cũng khả tích. Khi đó
ϕ(E(ξ | A)) ≤ E(ϕ(ξ) | A)
với mỗi σ− trường con A của F.

12


1.1.1
a.

Quá trình Markov
Tính Markov ([4])

Cho không gian xác suất (Ω, F, P) và (E, B) là không gian đo được sao
cho tất cả các tập gồm một điểm là đo được (tức là {e} ∈ B). Giả sử {ξt }t∈T
với T ⊂ R+ với mỗi t ∈ T , ξt : Ω → E là ánh xạ đo được nếu
ξt−1 (B) ∈ F, với mọi B ∈ B.
Tập E được gọi là không gian trạng thái của {ξt }t∈T . Nói một cách trực giác,
quá trình Markov là quá trình có tính Markov, tức là, khi biết hiện tại, thì
tương lai và quá khứ của quá trình độc lập với nhau. Về phương diện xác
suất, ta phải dùng xác suất có điều kiện để diễn tả tính Markov. Cụ thể, nếu
s là thời điểm hiện tại thì ξs = x là trạng thái hiện tại; {ξq }q{ξt }t>s là tương lai. Khi đó, tính Markov có thể diễn đạt như sau:
P (A1 A2 | ξs ) = P (A1 | ξs ) P (A2 | ξs ) ,
trong đó A1 là biến cố thuộc về tương lai, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường
sinh bởi {ξt }t>s , A2 là biến cố thuộc về quá khứ, tức là, biến cố thuộc vào
σ− trường sinh bởi {ξq }qNếu {ξt }t∈T có tính Markov và E là tập hữu hạn hoặc đếm được, thì
{ξt }t∈T được gọi là xích Markov.
Định nghĩa 1.1.5. Ta nói rằng {ξt }t∈T có tính Markov nếu:
P ξtn+1 = j | ξt0 = i0 , ..., ξtn−1 = in−1 , ξtn = i = P ξtn+1 = j | ξtn = i ,
với bất kỳ t0 < t1 < ... < tn < tn+1 < ... và i0 , ..., in−1 , i, j ∈ E
ở đây tn là thời điểm hiện tại, tn+1 là thời điểm tương lai và (t0 , t1 , ..., tn−1 )
là các thời điểm quá khứ.
Khi đó, nếu t ∈ N thì {ξt }t∈N là một xích Markov với thời gian rời rạc,
còn nếu t ∈ [0; ∞) thì {ξt }t∈N là một xích Markov với thời gian liên tục.
13


Đặt p (s, i, t, j) = P (ξt = j | ξs = i) , s < t và p(s, i, t, j) được gọi là xác
suất chuyển trạng thái của xích Markov.
Đặc biệt nếu xác suất chuyển trạng thái chỉ chỉ phụ thuộc vào (t − s), tức
là,

p(s, i, t, j) = p(s + h, i, t + h, j),
thì {ξt }t∈T sẽ là một xích Markov thuần nhất theo thời gian.
b.

Xích Markov rời rạc và thuần nhất ([4])

Cho {ξn }n≥0 là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Khi đó, xác suất chuyển
trạng thái sau một bước:
pij = P (ξn+1 = j | ξ0 = i0 , ..., ξn−1 = in−1 , ξn = i)
= P (ξn+1 = j | ξn = i)
và không phụ thuộc vào n.
Đặt P = (pij ), P là ma trận xác suất chuyển sau 1 bước và ma trận này
có các tính chất sau:
0 < pij ≤ 1, ∀i, j ∈ E;

pij = 1.
j∈E

Ma trận P xác định trên còn là ma trận ngẫu nhiên. Tương tự, xác suất
chuyển sau n bước được định nghĩa theo công thức:
(n)

pij = P(ξn+m = j | ξm = i) = P(ξn = j | ξ0 = i)
Đây là xác suất để hệ tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n bước chuyển
(1)

sang trạng thái j. Rõ ràng pij = pij . Ta quy ước

1 nếu i = j
(0)

pij =
0 nếu i = j
(n)

Đặt P (n) = (pij ) và P (n) là ma trận xác suất chuyển sau n bước. Ta có
(n+m)

pij

(n) (m)

=

pik pkj
k∈E

14

(1.1)


(1.1) được gọi là phương trình Chapman-Kolomogorov.
Định nghĩa 1.1.6. Phân phối của hệ tại thời điểm n được cho bởi công thức
sau:
(n)

pj = P(ξn = j); n = 0, 1, 2, ...; j ∈ E.
(n)

Đặt Π(n) = (pj , j ∈ E) và gọi Π = Π(0) là phân phối ban đầu của hệ.

(n)

Ta quy ước viết Π(n) = (pj , j ∈ E) là vectơ hàng. Rõ ràng
Π(n) =ΠP (n) ,
Π(n+1) =Π(n) P,
Π(n+1) =Π(1) P (n) ,
Π(n+m) =Π(n) P (m) .
Như vậy, mô hình của một xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba
(ξn , Π, P ), trong đó:
• {ξn }n≥0 là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc,
• Π là phân phối ban đầu,
• P là ma trận xác suất chuyển.
Trong phần tiếp theo, ta sẽ trình bày một số khái niệm, kết quả cơ bản
về quá trình Martingale, một công cụ quan trọng được sử dụng trong chứng
minh một số kết quả của luận án.

1.1.2
a.

Martingale với tham số rời rạc
Khái niệm tương thích và dự báo được ([4])

Cho A là σ− trường con của F và ξ là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói
rằng ξ tương thích với A nếu ξ là A− đo được. Trong trường hợp đó ta viết
ξ ∈ A.

15


Ký hiệu σ(ξ) = ξ −1 (B), trong đó B là σ− trường Borel của R. Rõ ràng, ξ ∈ A

khi và chỉ khi
σ(ξ) ⊂ A.
Cho trước dãy ngẫu nhiên {ξn }n∈N . Ký hiệu σ {ξn }n∈N là σ− trường con
bé nhất của F chứa tất cả các σ−trường σ(ξn ), n ∈ N. Ta gọi σ {ξn }n∈N là
σ− trường sinh ra từ {ξn }n∈N . Đặt:
ξ
= σ≤n = σ ({ξm })m≤n , m, n ∈ N,
σ≤n
ξ
= σσξ
σ=n
= σ=n = σ(ξn ),
ξ
= σ≥n = σ ({ξm })m≥n , m, n ∈ N,
σ≥n
ξ
= σ>n = σ ({ξm })m>n , m, n ∈ N.
σ>n

Cho dãy σ− trường con {An }n∈N của F. Dãy này được gọi là không giảm,
nếu
Am ⊂ An , m ≤ n, ∀m, n ∈ N.
Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta luôn giả thiết dãy σ− trường con
{An }n∈N của F là dãy không giảm.
Định nghĩa 1.1.7. Với các ký hiệu như trên, ta nói rằng quá trình ngẫu
nhiên {ξn , An , n ∈ N} là dãy tương thích, nếu ξn ∈ An với mỗi n ∈ N.
Ta nói rằng {ζn , An−1 , n ∈ N} là dãy dự báo được, nếu ζn ∈ An−1 với mỗi
n ∈ N (A−1 = A0 ).

Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích. Tất nhiên, ta luôn có
{ξn , σ≤n , n ∈ N} là dãy tương thích. Người ta thường gọi σ≤n là σ− trường
tự nhiên của dãy biến ngẫu nhiên {ξn }n∈N .
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên. Ta nói
rằng τ là thời điểm Markov đối với {An }n∈N , nếu.
{ω : τ (ω) = n} ∈ An , ∀n ∈ N.
16


Nếu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1 thì τ được gọi là thời điểm dừng.
Ví dụ 1.1.9. Cho {ξn , An , n ∈ N} là một dãy tương thích và B ⊂ R là một
tập Borel. Khi đó
τ = min {n : ξn ∈ B}
là một thời điểm dừng.
b.

Martingale

Định nghĩa 1.1.10. ([45])
Một dãy {ξn , An , n ∈ N} được gọi là một martingale, nếu
(i) {ξn , An , n ∈ N} là dãy tương thích,
(ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N,
(iii) E(ξn | An−1 ) = ξn−1 , n ≥ 1.
Tương tự, một dãy {ξn , An , n ∈ N} là martingale trên (supermartingale), nếu
(i) {ξn , An , n ∈ N} là dãy tương thích,
(ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N,
(iii’) E(ξn | An−1 ) ≤ ξn−1 , n ≥ 1
và một dãy {ξn , An , n ∈ N} là martingale dưới (submartingale), nếu
(i) {ξn , An , n ∈ N} là dãy tương thích,
(ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N,

(iii") E(ξn | An−1 ) ≥ ξn−1 , n ≥ 1.
Một số kết quả quan trọng liên quan tới martingale, martingale trên và
martingale dưới được sử dụng trong luận án.
Định lý 1.1.11. ([36])
I. Cho {ξn , An , n ∈ N} là một martingale dưới. Khi đó với mọi λ > 0
λP max ξk ≥ λ
k≤n

λP min ξk ≤ −λ
k≤n

≤ E ξn+ ✶(max ξk ≥λ)
k≤n

≤ Eξn+ ,

≤ E ξn ✶(min ξk >−λ) − Eξ0 ≤ Eξn+ − Eξ0 ,
k≤n

17

(1.2)
(1.3)


λP max |ξk | ≥ λ
k≤n

≤ 3 max E|ξk |.

(1.4)

k≤n

II. Cho {ξn , An , n ∈ N} là một martingale trên. Khi đó với mọi λ > 0
λP max ξk ≥ λ
k≤n

λP min ξk ≤ −λ
k≤n

λP max |ξk | ≥ λ
k≤n

≤ Eξ0 − E ξn ✶(max ξk <λ)
k≤n

≤ −E ξn ✶(min ξk ≤−λ)
k≤n

≤ Eξ0 + Eξn− ,

≤ Eξn− ,

≤ 3 max E|ξk |.

(1.5)
(1.6)
(1.7)

k≤n

III. Cho {ξn , An , n ∈ N} là một martingale trên không âm. Khi đó với mọi
λ>0
λP max ξk ≥ λ

≤ Eξ0 ,

(1.8)

λP sup ξk ≥ λ

≤ Eξn .

(1.9)

k≤n

k≥n

Định lý sau đây được biết như định lý về thời điểm dừng của martingale
(martingale trên).
Định lý 1.1.12. ([45])
(i) Cho martingale {ξn }n∈N và thời điểm dừng T . Khi đó, dãy "ngắt" tại
thời điểm T , tức ξ T = {ξT ∧n }n∈N là một martingale, đặc biệt
E(ξT ∧n ) = E (ξ0 ) , ∀n ∈ N.

(1.10)

(ii) Cho martingale trên {ξn }n∈N và thời điểm dừng T . Khi đó, dãy ξ T là

một martingale trên, đặc biệt
E(ξT ∧n ) ≤ E (ξ0 ) , ∀n ∈ N.

(1.11)

Tiếp theo ta phân tích hai mô hình rủi ro của công ty bảo hiểm ở đó các
phí bảo hiểm thu được ở mỗi chu kỳ là các biến ngẫu nhiên.
18


1.2

Một số mô hình rủi ro cổ điển

Đầu tiên, mô hình rủi ro được nghiên cứu trong S. Ross [32], H. Yang
[46], J. Cai [7], B. K. Đàm và N. H. Hoàng [1], B. K. Dam và N. T. T. Hong
[17] và N. T. T. Hong [21], lợi nhuận của công ty bảo hiểm Un (n = 0, 1, 2, ...)
được cho bởi.

n

n

Yi −

Un = u0 +
i=1

Xi

(1.12)

i=1

• u0 là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm;
• Yn là tổng số tiền thu bảo hiểm ở chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ..., ) của công ty
bảo hiểm, dãy thu phí bảo hiểm Y = {Yn }n≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc
lập cùng phân phối;
• Xn là tổng số tiền chi trả bảo hiểm ở chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ..., ) của công
ty bảo hiểm, X = {Xn }n≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân
phối và độc lập với dãy Y .
Một trong các hướng nghiên cứu chính đối với mô hình rủi ro này là đánh
giá xác suất thiệt hại của một công ty bảo hiểm. Tuy nhiên, để hiểu kỹ hơn
về bài toán ta cần giới thiệu một số thuật ngữ để mô tả bài toán đó.
Định nghĩa 1.2.1. ([19]) Đặt {Un ≤ 0} là sự kiện xảy ra thiệt hại (phá sản)
đối với công ty bảo hiểm. Khi đó, thời điểm τ đầu tiên xảy ra sự kiện này gọi
là thời điểm thiệt hại
τ = min {n ≥ 1 : Un ≤ 0} .
Xác suất thiệt hại tới chu kỳ n (n = 1, 2, ...) và xác suất thiệt hại với thời
gian vô hạn của công ty bảo hiểm được xác định
ψn (u0 ) = P (τ ≤ n) và ψ (u0 ) = P (τ ≤ ∞) .
Như vậy các xác suất này còn được biểu diễn thành
n

(Ui ≤ 0)

ψn (u0 ) = P

i=1

19


và

∞

(Ui ≤ 0) .

ψ (u0 ) = P

i=1

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử hàm sinh moment của X1 − Y1 tồn tại, tức là
MX1 −Y1 (R) = E(eR(X1 −Y1 ) ) với R > 0 tồn tại. Nếu có R0 > 0 duy nhất sao
cho
MX1 −Y1 (R0 ) = E(eR0 (X1 −Y1 ) ) = 1,
thì R0 được gọi là hệ số hiệu chỉnh hoặc hệ số Lundberg.
Trong hầu hết các trường hợp, giá trị của xác suất thiệt hại là rất khó
xác định. Vì vậy, trong một số trường hợp người ta tìm một chặn trên đủ bé
cho xác suất thiệt hại. Ý tưởng này được phát biểu trong định lý kinh điển
sau.
Định lý 1.2.3. Giả sử tồn tại hệ số hiệu chỉnh R0 . Khi đó ta có bất đẳng
thức sau
ψ(u0 ) ≤ e−u0 R0 .

(1.13)

Chứng minh. Xem chi tiết H. Yang [46] hoặc S. Ross [32].
Chặn trên trong (1.13) được biết đến là chặn trên dạng mũ cho xác suất

thiệt hại với thời gian vô hạn của công ty bảo hiểm. Rõ ràng bất đẳng thức
(1.13) đảm bảo rằng khi vốn ban đầu lớn lên thì xác suất thiệt hại sẽ bé đi.
Trong quá trình kinh doanh bảo hiểm, các công ty bảo hiểm còn dùng
vốn nhàn rỗi của mình để đầu tư sang cổ phiếu hay gửi ngân hàng. Thực tế
này đặt ra yêu cầu mở rộng quá trình lợi nhuận (1.12) có xét tới yếu tố lãi
suất. Lợi nhuận của công ty bảo hiểm khi có tác động lãi suất có dạng
Un = Un−1 (1 + In ) + Yn − Xn
ở đó U0 = u0 và In là lãi suất ở chu kỳ thứ n.

20

n = 1, 2, ...,

(1.14)


Với quá trình lợi nhuận (1.14) H. Yang [46], C. Weng và các tác giả khác
[44] đã xét bài toán thiệt hại khi In là hằng số. Các bài toán xác suất thiệt
hại với quá trình lợi nhuận (1.14) tiếp tục được xét bởi B. K. Dam và P. D.
Quang [18], P. D. Quang ([30], [31]) khi xem In là các biến ngẫu nhiên không
âm, độc lập cùng phân phối. Đặc biệt J. Cai và D. C. M. Dickson [9] đã xét
các bài toán khi {In }n≥0 là xích Markov.
Bên cạnh việc các công ty bảo hiểm đầu tư tài chính, gửi ngân hàng
để hưởng lãi suất thì các công ty bảo hiểm còn tham gia tái bảo hiểm. M.
Goovaerts và D. Vyncke [20] và I. V. Rotar [33] đã chỉ ra, tái bảo hiểm là cách
để giảm thiệt hại trực tiếp cho công ty bảo hiểm. Với các hợp đồng bảo hiểm
mà sự chi trả bồi thường thiệt hại lớn, các công ty bảo hiểm sẽ tiến hành
mua bảo hiểm cho các hợp đồng bảo hiểm này từ một công ty bảo hiểm thứ
hai. Khi đó, công ty bảo hiểm ban đầu được gọi là công ty chuyển nhượng,
công ty bảo hiểm thứ hai gọi là công ty tái bảo hiểm.

1.3

Tái bảo hiểm

Trong số các loại về tái bảo hiểm thì tái bảo hiểm quota share và tái bảo
hiểm stop\excess of loss là hai hình thức tái bảo hiểm phổ biến nhất hiện
nay. Tái bảo hiểm quota share làm cực tiểu rủi ro (cực tiểu phương sai) phần
chi trả bảo hiểm của công ty tái bảo hiểm. Trong khi đó tái bảo hiểm excess
of loss làm cực tiểu rủi ro phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm (K.
Borch [5], P. Kahn [24], S. Vajda [41], J. Ohlin [28], R. Kaas, M. Goovaerts,
J. Dhaene và M. Denuit [23]). Dưới đây chúng tôi trình bày về cách thức
hoạt động của hai loại tái bảo hiểm này, thiết lập sự tác động của tái bảo
hiểm tới lợi nhuận của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm và quy ước
b

b

xk = 0 và
k=a

xk = 1 nếu a > b.
k=a

21