Nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN ĐỨC HIẾU

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM FGM
TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ DỰA TRÊN LÝ THUYẾT
BIẾN DẠNG TRƯỢT

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN ĐỨC HIẾU

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM FGM
TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ DỰA TRÊN LÝ THUYẾT
BIẾN DẠNG TRƯỢT

Ngành: Cơ kỹ thuật
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 60 52 01 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ĐÌNH KIÊN

Hà nội - 2017

i

Lời Cảm Ơn

Luận văn này đƣợc thực hiện và hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của
TS. Nguyễn Đình Kiên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy vì sự chỉ bảo tận
tình, những ý kiến chỉ dẫn quý báu đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng cơ học vật rắn – Viện cơ học và các bạn trong
nhóm seminar của thầy Kiên, đặc biệt là bạn Trần Thị Thơm đã nhiệt tình giúp đỡ,
chia sẻ kinh nghiệm.

Tác giả luận văn

Nguyễn Đức Hiếu


ii

Lời Cam Đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả
đƣợc trình bày trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kì
công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Đức Hiếu

iii

Mục lục

Lời Cảm Ơn ..................................................................................................................... i
Lời Cam Đoan ................................................................................................................ ii
Mục lục .......................................................................................................................... iii
Danh sách hình vẽ............................................................................................................v
Danh sách bảng .............................................................................................................. vi
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... vii
Chƣơng 1

DẦM FGM TRONG MÔI TRƢỜNG NHIỆT ĐỘ ....................................1

1.1. Tính chất hiệu dụng của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô ......................................1
1.2. Trƣờng nhiệt độ trong dầm FGM ......................................................................2
1.2.1.

Trƣờng nhiệt độ tăng đều (UTR) .............................................................2

1.2.2.

Trƣờng nhiệt độ phi tuyến (NLTR) .........................................................3

1.3. Ảnh hƣởng của nhiệt độ tới tính chất vật liệu....................................................8
Chƣơng 2

CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN ...........................................................10

2.1. Phƣơng trình dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất ...............................10

2.1.1.

Trƣờng chuyển vị ...................................................................................10

2.1.2.

Trƣờng biến dạng, ứng suất ...................................................................10

2.1.3.

Năng lƣợng biến dạng ............................................................................11

2.1.4.

Động năng ..............................................................................................14

2.1.5.

Phƣơng trình chuyển động .....................................................................15

2.2. Phƣơng trình dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc ba cải tiến......................18
2.2.1.

Trƣờng chuyển vị ...................................................................................18


iv
2.2.2.

Trƣờng biến dạng, ứng suất ...................................................................18

2.2.3.

Năng lƣợng biến dạng ............................................................................18

2.2.4.

Động năng ..............................................................................................20

2.2.5.

Phƣơng trình chuyển động .....................................................................21

Chƣơng 3

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ...........................................................24

3.1. Công thức phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất ......................24
3.1.1.

Chuyển vị nút và nội suy .......................................................................24

3.1.2.

Ma trận độ cứng phần tử ........................................................................26

3.1.3.

3.1.3. Ma trận khối lƣợng phần tử .........................................................26

3.2. Công thức phần tử dựa trên lý thuyết dầm bậc ba cải tiến ..............................27
3.2.1.

Chuyển vị nút và nội suy .......................................................................27

3.2.2.

Ma trận độ cứng phần tử ........................................................................28

3.2.3.

Ma trận khối lƣợng phần tử ...................................................................28

3.3. Phƣơng trình phần tử hữu hạn .........................................................................29
Chƣơng 4

KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN ............................................................31

4.1. Tham số hình học và vật liệu ...........................................................................31
4.2. So sánh kết quả ................................................................................................31
4.3. Tần số dao động ...............................................................................................34
KẾT LUẬN ...................................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................48


v

Danh sách hình vẽ
Hình 1.1 Mô hình dầm FGM với lỗ rỗng ........................................................................1
Hình 1.2 Ảnh hƣởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi của dầm .................7

Hình 1.3 Ảnh hƣởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm trong trƣờng nhiệt độ
UTR và NLTR .................................................................................................................7
Hình 2.1 Sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn vào tỉ lệ thể tích lỗ
rỗng của dầm FGM ........................................................................................................12
Hình 2.2 Sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục vào nhiệt độ ...........................................13
Hình 2.3 Sự phụ thuộc của độ cứng chống uốn vào nhiệt độ ........................................14
Hình 4.1 Tham số tần số của dầm FG với lỗ rỗng trong hai trƣờng nhiệt độ UTR và
NLTR .............................................................................................................................36
Hình 4.2 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu (L/h=20) ........37
Hình 4.3 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm với lỗ rỗng vào nhiệt độ
trong trƣờng nhiệt độ UTR (L/h=50) ............................................................................39
Hình 4.4 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm với lỗ rỗng vào nhiệt độ
trong trƣờng nhiệt độ NLTR (L/h=50) ..........................................................................40
Hình 4.5 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm với lỗ rỗng vào tham số vật
liệu (SUS304/ Al2O3 ) .....................................................................................................41
Hình 4.6 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm với lỗ rỗng vào tham số vật
liệu (Ti-6Al-4V/ZrO2) ...................................................................................................42
Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu với các cặp vật
liệu khác nhau trong trƣờng nhiệt độ tăng đều, T =20K ............................................43


vi

Danh sách bảng
Bảng 4.1 Tham số vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ của các vật liệu thành phần...........31
Bảng 4.2 So sánh tham số tần số cho dầm dựa trên lý thuyết dầm bậc nhất, T  0 ...31
Bảng 4.3 So sánh tham số tần số cho dầm dựa trên lý thuyết dầm bậc ba, T  0 ......32
Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM trong trƣờng nhiệt độ, V p  0
.......................................................................................................................................33
Bảng 4.5 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM với lỗ rỗng với Vp  0.1 .......33

Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM với lỗ rỗng với V p =0.2 .........34


vii

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material, viết tắt là FGM) là
một loại vật liệu composte mới, thƣờng đƣợc tạo từ gốm và kim loại, với tỷ lệ thể tích
của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vài hƣớng không gian
mong muốn. FGM đƣợc khởi tạo đầu tiên bởi các nhà khoa học Nhật Bản ở Sendai
vào năm 1984 [1]. Do sự thay đổi liên tục của các vật liệu thành phần, các tính chất
hiệu dụng của FGM là hàm liên tục của các biến không gian, vì thế FGM tránh đƣợc
các yếu điểm mà vật liệu composite truyền thống thƣờng gặp nhƣ sự tách lớp, tập
trung ứng suất… FGM đƣợc sử dụng để phát triển các phần tử kết cấu dùng trong các
môi trƣờng khắc nghiệt nhƣ nhiệt độ cao, chịu sự ăn mòn của a xít... Trong các phần tử
kết cấu FGM, dầm FGM đƣợc sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực hàng không, vũ trụ,
trong đó kết cấu thƣờng chịu tác động đồng thời của các tải trọng cơ và nhiệt. Nghiên
cứu ứng xử của kết cấu dầm FGM đƣợc các nhà khoa học trong và ngoài nƣớc quan
tâm nghiên cứu. Dƣới đây tóm lƣợc một số nghiên cứu liên quan trực tiếp tới đề tài
của luận văn này.
Chakraborty và cộng sự [2] phát triển phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng
trƣợt bậc nhất để nghiên cứu bài toán tĩnh, dao động tự do và truyền sóng của dầm
phân lớp với lõi là vật liệu FGM. Phần tử dầm xét đến ảnh hƣởng của trƣờng nhiệt độ
tăng đều đƣợc xây dựng bằng cách sử dụng nghiệm chính xác của phƣơng trình cân
bằng tĩnh để nội suy cho các biến động học. Sử dụng phƣơng pháp Petrov-Galerkin,
Ching và Yen [3] nghiên cứu biến dạng nhiệt-đàn hồi của dầm FGM. Các tác giả chỉ ra
rằng trƣờng nhiệt độ và biến dạng của dầm FGM ở trạng thái tức thời khác biệt đáng
kể so với trƣờng nhiệt độ và trƣờng biến dạng ở trạng thái ổn định. Xiang and Yang
[4] sử dụng phƣơng pháp cầu phƣơng vi phân (Differential Quadrature Method) để

nghiên cứu dao động tự do và cƣỡng bức của dầm Timoshenko dự ứng lực bởi nhiệt
độ với chiều dày thay đổi. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trƣợt bậc ba, Kadoli cùng
đồng nghiệp [5] xây dựng ma trận độ cứng và vec-tơ lực nút cho phân tích ứng suất
của dầm FGM. Pradhan and Murmu [6] sử dụng phƣơng pháp cầu phƣơng vi phân sửa
đổi để tính toán tần số tự nhiên của dầm sandwich FGM trong môi trƣờng nhiệt độ.
Cũng bằng phƣơng pháp cầu phƣơng vi phân, Malekzadeh [7] nghiên cứu dao động tự
do của vòm FGM trong môi trƣờng nhiệt độ. Kết quả số trong [7] chỉ ra rằng sự phụ
thuộc vào nhiệt độ của tính chất vật liệu ảnh hƣởng đáng kể đến tần số tự nhiên của
vòm. Dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao, Mahi và cộng sự [8] trình bày
phƣơng pháp giải tích để đánh giá ảnh hƣởng của sự tăng nhiệt độ và phân bố vật liệu
lên tần số tự nhiên của dầm FGM. Alshorbagy và đồng nghiệp [9] sử dụng phần tử


viii
dầm hai nút Euler-Bernoulli để tính toán các đặc trƣng dao động tự do của dầm với
tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày hoặc chiều dọc dầm. Shahba và cộng sự [10]
xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng để nghiên cứu dao động tự do và
mất ổn định của dầm Timoshenko hình nêm với tính chất vật liệu thay đổi theo chiều
dọc. Thai và Vo [11] đã trình bày nghiệm giải tích cho bài toán uốn và dao động của
dầm Timoshenko dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao. Bài toán uốn và dao động
của dầm FGM cũng đƣợc nghiên cứu trong [12] trên cơ sở lý thuyết biến dạng trƣợt
sửa đổi. Esfahani và cộng sự [13] sử dụng phƣơng pháp cầu phƣơng vi phân tổng quát
để đánh giá ảnh hƣởng của nền đàn hồi phi tuyến và sự tăng của nhiệt độ tới ổn định
phi tuyến của dầm Timoshenko FGM. Ảnh hƣởng của môi trƣờng nhiệt độ đƣợc
Fallah và Aghdam [14], Shen và Wang [15] quan tâm nghiên cứu trong phân tích dao
động tự do phi tuyến và mất ổn định của dầm FGM trên nền đàn hồi. Dựa trên lý
thuyết dầm Timoshenko, Komijani và đồng ghiệp [16] nghiên cứu bài toán dao động
và ổn định nhiệt của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi phi tuyến với tính chất vật liệu
phụ thuộc vào nhiệt độ. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trƣợt bậc ba, Trinh và cộng sự
[17] trình bày phƣơng pháp giải tích để phân tích dao động và mất ổn định của dầm

FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt.
Vật liệu FGM thƣờng đƣợc sử dụng trong môi trƣờng nhiệt độ cao, do đó việc
hiểu rõ đƣợc ứng xử với nhiệt độ là rất quan trọng. Ngoài ra do sự khác biệt về nhiệt
độ trong các vật liệu thành phần trong quá trình hóa rắn, các lỗ rỗng vi mô có thể hình
thành trong quá trình chế tạo FGM [18]. Một số mô hình lỗ rỗng khác nhau đã đƣợc đề
nghị để nghiên cứu ảnh hƣởng của lỗ rỗng tới ứng xử của kết cấu FGM. Điển hình nhƣ
Magnucki và Stasiewicz [19] đƣa ra mô hình với giả thiết lỗ rỗng tập trung nhiều hơn
ở gần giữa trục dầm và giảm dần về hai phía mặt trên và mặt dƣới của dầm. Jabbari và
cộng sự [20] xây dựng mô hình trong đó lỗ rỗng tập trung chủ yếu ở phần đáy và giảm
dần về mặt trên. Wattanasakupong và cộng sự [21] giả định lỗ rỗng phân bố đều trong
các pha vật liệu thành phần và đề xuất luật sửa đổi để đánh giá ảnh hƣởng của lỗ rỗng.
Ảnh hƣởng của lỗ rỗng đến dao động tự do của dầm FGM đã đƣợc một số tác giả quan
tâm nghiên cứu [21, 22]. Gần đây, Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [23] sử dụng phƣơng
pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu ảnh hƣởng của lỗ rỗng vi mô tới dao động cƣỡng
bức của dầm FGM.
2. Định hƣớng và nội dung nghiên cứu
Từ các phân tích nêu trên ta thấy rằng ảnh hƣởng của lỗ rỗng vi mô tới dao động
của dầm FGM mới chỉ đƣợc một số ít tác giả quan tâm nghiên cứu. Liên quan tới dầm
FGM trong môi trƣờng nhiệt độ, theo hiểu biết của tác giả, hiện mới có nghiên cứu của
Ebrahimi và cộng sự [22], trong đó ảnh hƣởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô tới dao
động tự do của dầm FGM đƣợc quan tâm nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-


ix
Bernoulli. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, nhƣ ta biết, chỉ áp dụng cho các dầm mảnh,
vì thế các kết quả trong [22] chỉ giới hạn cho một số dầm có độ mảnh cao. Vì lý do
này, đánh giá ảnh hƣởng của lỗ rỗng vi mô tới các đặc trƣng dao động tự do của dầm
FGM có lỗ rỗng vi mô dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt có ý nghĩa khoa học và thực
tiễn mà Luận văn này quan tâm nghiên cứu.
Hai lý thuyết biến dạng trƣợt, lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất và lý thuyết biến

dạng trƣợt bậc ba cải tiến [24], đƣợc sử dụng trong luận văn để xây dựng mô hình toán
học cho dầm FGM trong môi trƣờng nhiệt độ. Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất cần
hệ số điều chỉnh trƣợt mà giá trị của nó cho dầm FGM vẫn còn tranh cãi, vì thế việc sử
dụng thêm lý thuyết biến dạng trƣợt bậc ba cải tiến [24] là cần thiết. Khi dầm FGM đặt
trong môi trƣờng nhiệt độ cao, các hệ số đàn hồi của vật liệu thay đổi theo nhiệt độ
môi trƣờng, vì thế sự phụ thuộc của các tham số vật liệu vào nhiệt độ môi trƣờng đƣợc
xem xét trong việc xây dựng phƣơng trình vi phân chuyển động của dầm. Phƣơng
pháp phần tử hữu hạn đƣợc sử dụng để tính toán tần số dao động riêng của dầm. Từ
định hƣớng nghiên cứu nêu trên, luận văn sẽ tiến hành thực hiện các nhiệm vụ cụ thể
sau đây:
1) Xây dựng phƣơng trình vi phân chuyển động của dầm trong môi trƣờng nhiệt
độ cao, có tính tới ảnh hƣởng của lỗ rỗng vi mô. Phƣơng trình đƣợc xây dựng
trên cơ sở lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất và lý thuyết biến dạng trƣợt bậc ba
cải tiến.
2) Thiết lập biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng cho một phần tử
dầm đặc trƣng. Phát triển chƣơng trình tính toán số để tính toán các đặc trƣng
động lực học của dầm.
3) Áp dụng tính toán cho bài toán cụ thể. Khảo sát ảnh hƣởng của tỷ lệ thể tích lỗ
rỗng và sự tăng nhiệt độ môi trƣờng tới đặc trƣng động lực học của dầm. Đánh
giá và đƣa ra các nhận xét về kết quả số nhận đƣợc.
3. Bố cục của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Luận văn gồm 4 Chƣơng và phần Kết luận. Các tài liệu
tham khảo và các bài báo liên quan đƣợc liệt kê ở cuối luận văn. Nội dung chính của
các chƣơng nhƣ sau:
Chƣơng 1 trình bày mô hình dầm FGM với lỗ rỗng vi mô trong môi trƣờng
nhiệt độ. Tính chất vật liệu đƣợc giả định phụ thuộc vào nhiệt độ, trong đó trƣờng
nhiệt độ phân bố theo chiều cao dầm nhận đƣợc từ nghiệm của phƣơng trình truyền
nhiệt Fourier. Ảnh hƣởng của nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng vi mô lên mô đun
đàn hồi và độ cứng của dầm đƣợc khảo sát chi tiết.

x
Chƣơng 2 thiết lập các phƣơng trình cơ bản cho dầm FGM với lỗ rỗng vi mô.
Phƣơng trình đƣợc thiết lập từ nguyên lý Hamilton trên cơ sở lý thuyết biến dạng trƣợt
bậc nhất và bậc ba cải tiến.
Chƣơng 3 xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để tính toán các đặc trƣng dao
động của dầm. Các hàm dạng chính xác đƣợc sử dụng để nội suy cho chuyển vị và góc
xoay cho phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất. Hàm tuyến tính đƣợc
dùng để nội suy cho góc xoay và chuyển vị dọc trục, hàm Hermite cho chuyển vị
ngang của phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc ba cải tiến, mỗi nút bốn bậc
tự do.
Chƣơng 4 tiến hành phân tích số và khảo sát ảnh hƣởng của các tham số vật
liệu, tỷ lệ thể tích lỗ rỗng và sự tăng nhiệt độ tới các đặc trƣng dao dộng của dầm. Một
số nhận xét đƣợc rút ra từ kết quả số nhận đƣợc.


1

Chƣơng 1
DẦM FGM TRONG MÔI TRƢỜNG NHIỆT ĐỘ
Chƣơng này trình bày mô hình dầm FGM với lỗ rỗng vi mô trong môi trƣờng
nhiệt độ, các tính chất vật liệu đƣợc giả sử phụ thuộc vào nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của
lỗ rỗng. Trƣờng nhiệt độ phân bố trong dầm nhận đƣợc từ việc giải phƣơng trình
truyền nhiệt Fourier.
1.1.

Tính chất hiệu dụng của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô

Hình 1.1 minh họa dầm FGM với chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao h trong
hệ tọa độ Đề-các (x,z). Hệ tọa độ (x,z) đƣợc chọn sao cho trục x trùng với mặt giữa

của dầm còn trục z vuông góc với mặt giữa và hƣớng lên trên.

Hình 1.1 Mô hình dầm FGM với lỗ rỗng
Dầm đƣợc tạo từ hai vật liệu là gốm và kim loại với tỉ lệ thể tích thay đổi theo
hàm số mũ nhƣ sau:
n

 z 1
Vc     , Vc  Vm  1
h 2

(1.1)

trong đó Vc , Vm tƣơng ứng là tỉ lệ thể tích của gốm và kim loại; số mũ n (không âm)
là tham số vật liệu, xác định sự phân bố của vật liệu thành phần; z là tọa độ theo chiều
cao dầm. Trong (1.1) cũng nhƣ các phƣơng trình sau này, chỉ số dƣới ‘c’ và ‘m’ đƣợc
dùng để chỉ các pha gốm và pha kim loại. Dễ dàng nhận thấy từ phƣơng trình (1.1)
rằng mặt trên của dầm ứng với z = h/2 hoàn toàn là gốm và mặt dƣới của dầm ứng với
z = -h/2 thuần túy là kim loại.
Các tính chất hiệu dụng của dầm đƣợc đánh giá theo mô hình Voight [15]:


2

n

 z 1
P( z )  PV
   Pm
c c  PmVm  ( Pc  Pm ) 

h 2

(1.2)

với Pc , Pm tƣơng ứng là tính chất vật liệu (mô-đun đàn hồi E, hệ số Poisson, mật độ
khối…) của pha gốm và pha kim loại. Mật độ khối lƣợng đƣợc giả thiết không phụ
thuộc vào nhiệt độ.
Khi xét đến ảnh hƣởng của các lỗ rỗng vi mô, luật phối trộn cải tiến do
Wattanasakupong và cộng sự [21] đề xuất đƣợc sử dụng để đánh giá các tính chất hiệu
dụng nhƣ sau:
n

V 
V 
V


 z 1
P( z )  Pm  Vm  p   Pc  Vc  p   ( Pc  Pm )     Pm  ( Pc  Pm ) p
2 
2 
2
h 2



(1.3)

Trong đó Vp là tỷ lệ thể tích của lỗ rỗng ( Vp  1) . Từ công thức (1.3) ta có thể
thấy rằng lỗ rỗng vi mô đƣợc giả định phân bố đều trong cả hai pha kim loại và gốm.

Trong môi trƣờng nhiệt độ các tính chất của vật liệu thay đổi theo nhiệt độ nên
phƣơng trình trên đƣợc viết lại dƣới dạng sau:

 z 1
P( z, T )   P (T )  P (T ) 
 h2


c

1.2.

m

n

 Pm (T )   Pc (T )  Pm (T ) 

Vp
2

(1.4)

Trƣờng nhiệt độ trong dầm FGM

Khi dầm đặt trong môi trƣờng nhiệt độ, tải trọng nhiệt tác động lên dầm phụ
thuộc vào sự phân bố của trƣờng nhiệt độ trong dầm. Luận văn này xem xét, nghiên
cứu hai trƣờng nhiệt độ khác nhau, đó là: Trƣờng nhiệt độ tăng đều (Uniform
Temperature Rise – UTR) và Trƣờng nhiệt độ tăng phi tuyến (Nonlinear Temperature
Rise – NLTR).

1.2.1. Trƣờng nhiệt độ tăng đều (UTR)
Giả sử ở nhiệt độ phòng T0 =300K (270C), dầm FGM ở trạng thái tự do về ứng
suất. Nhiệt độ tăng đều đến nhiệt độ T, cách nhiệt độ ban đầu một khoảng T .
Trƣờng nhiệt độ đƣợc giả định phân bố đồng nhất trong dầm:
 h h
T  T0  T , z    , 
 2 2

(1.5)


3

trong đó T là lƣợng nhiệt độ tăng.
1.2.2. Trƣờng nhiệt độ phi tuyến (NLTR)
Trƣờng nhiệt độ trong dầm với mặt trên và mặt dƣới dầm chịu ràng buộc bởi
các nhiệt độ khác nhau: T  Tc tại z  h / 2 và T  Tm  T0 tại z  h / 2 , T  Tc  Tm ,
có thể nhận đƣợc bằng việc giải phƣơng trình truyền nhiệt Fourier [15, 25] :


d 
dT 

(
z
)
0
dz 
dz 

(1.6)

Trong phƣơng trình trên hệ số dẫn nhiệt κ(z) đƣợc giả định không phụ thuộc
vào nhiệt độ và tuân theo quy luật theo công thức (1.3), cụ thể nhƣ sau:
n

V
 z 1
 ( z )  ( c   m )      m  ( c   m ) p
2
h 2

(1.7)

Giải phƣơng trình (1.6) ta thu đƣợc:
z

h /2

dz
dz
T  Tm  (Tc  Tm ) 
/ 
 ( z )  h/2  ( z )
 h /2

(1.8)

Các tích phân trong phƣơng trình (1.8) đƣợc tính nhƣ sau:
Đặt:

z

A

dz
h  ( z ) 



2



z




h
2

dz
n

V
 z 1
( c   m )      m  ( c   m ) p
2
h 2
z

1

 m  ( c   m )

Vp
2




h
2

dz

 cm

n

 z 1

1
V p  h 2 
 m  ( c   m )
2

dz

(1.9)

với  cm   c   m . Sử dụng khai triển chuỗi Maclaurin:

1
  (1) n x n
1  x n 0

cho biểu thức dƣới dấu tích phân trong phƣơng trình (1.9) ta đƣợc:

(1.10)


4

 cm
 m  ( c   m )



n


 cm
1
 z 1 
  (1) p 
   
n
V
p

p 0
 z 1
   (   )  h 2  
  1
m
c
m


2

Vp  h 2 

p

(1.11)

2

Khi đó biểu thức (1.9) sẽ trở thành:
p



n
z 

 cm
1
 z 1 

p
A
(

1)

    dz
V p h 
V
p
p 0
   (   )  h 2  
 m  ( c   m )  2
c
m
 m

2
2


 cm



V
V
 m  ( c   m ) p p 0   m  ( c   m ) p
2
2


1









p

np 1

 z 1
  
h 2
np  1

(1.12)

Tƣơng tự, đặt:

B

h
2

dz

  ( z)

(1.13)

h

2

và áp dụng tính toán tƣơng tự nhƣ trên ta đƣợc:

 
 cm
1
B


V
V
 m  ( c   m ) p p 0   m  ( c   m ) p
2
2


p



1


 np  1


(1.14)

Sử dụng các biểu thức (1.12) và (1.14), trƣờng nhiệt độ (1.8) có thể viết dƣới
dạng:


5

p



 

 cm



Vp 
p 0 
  m  ( c   m ) 
2 
T  Tm  (Tc  Tm ) 

 
 cm



Vp
p 0 
  m  ( c   m )
2


np 1

 z 1
  
h 2
np  1
p



1

 np  1


(1.15)

Lấy sáu số hạng đầu của chuỗi trong phƣơng trình (1.15) ta đƣợc:
T  Tm  (Tc  Tm )

A
B

(1.16)

trong đó:

kcmV1n1
kcm 2V12 n1
A V 

2
Vp 

Vp 

  m  ( c   m )  (n  1)   m  ( c   m )  (2n  1)
2
2


n
1





và

kcm3V13n1
3

Vp 

  m  ( c   m )  (3n  1)
2

kcm5V15 n1
5

Vp 

  m  ( c   m )  (5n  1)
2




kcm 4V14 n1
4

Vp 

  m  ( c   m )  (4n  1)
2


(1.17)


6

B  1





kcm
Vp 



(



)
c
m
 m
 (n  1)
2

kcm3
3

Vp 

  m  ( c   m )  (3n  1)
2


kcm5





kcm 2
2

Vp 



(



)
c
m
 m
 (2n  1)
2

kcm 4
4

Vp 

  m  ( c   m )  (4n  1)

2


(1.18)

5

Vp 

  m  ( c   m )  (5n  1)
2


với
 z 1
V1    
h 2

(1.19)

Các phƣơng trình (1.16)- (1.18) mô tả trƣờng nhiệt độ cho dầm FGM trong
trƣờng hợp nhiệt độ tăng phi tuyến. Ta có thể thấy rằng trong trƣờng hợp tăng phi
tuyến trƣờng nhiệt độ trong dầm sẽ phụ thuộc vào nhiệt độ tại mặt trên và mặt dƣới
của dầm (Tc và Tm), chiều dày dầm h, tham số vật liệu n và hệ số dẫn nhiệt của các vật
liệu thành phần  c ,  m .
Hình 1.2 mô tả ảnh hƣởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô tới mô đun đàn hồi
hữu hiệu của dầm FGM tạo bởi SUS304 và Al2O3 với các giá trị khác nhau của tham
số vật liệu và tỷ lệ thể tích lỗ rỗng. Ảnh hƣởng của nhiệt độ tới mô đun đàn hồi của
dầm này đƣợc minh họa trên Hình 1.3 cho T  500K . Nhƣ ta thấy từ Hình 1.2, với
mọi giá trị của tham số n, mô đun đàn hồi hữu hiệu của dầm có lỗ rỗng vi mô thấp hơn

đáng kể dầm không có lỗ rỗng. Ảnh hƣởng của nhiệt độ tới mô đun đàn hồi tƣơng tự


7

340

340

320

320
n=0.1

300

n=0.5

280

E (GPa)

280

E (GPa)

300

n=1

260
240

260

n=0.5

240

n=5

220

n=1

220

n=10

200

n=0.1

n=5

200

180
-0.5

-0.25

0
0.25
z/h
(a) T=0 K,Vp=0

180
-0.5

0.5

n=10
-0.25

0
0.25
z/h
(b)T=0 K,Vp=0.1

0.5

Hình 1.2 Ảnh hƣởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi của dầm
280

280

n=0.1

260

n=0.5

240

n=1

220

E( GPa)

E (GPa)

240

260

200
n=5

180

140
-0.5

-0.25

0
0.25
z/h
(a) NLTR, T=500K, Vp=0.1

n=0.5

220
n=1
200
180

n=10

160

n=0.1

n=5

160
0.5

140
-0.5

n=10
-0.25

0
0.25
z/h
(b) UTR, T=500K, Vp=0.1

0.5

Hình 1.3 Ảnh hƣởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm trong trƣờng
nhiệt độ UTR và NLTR
nhƣ ảnh hƣởng của lỗ rỗng vi mô và mô đun đàn hồi giảm trong môi trƣờng nhiệt độ.
Trong hai trƣờng nhiệt độ xem xét trong luận văn này, trƣờng nhiệt độ đồng nhất ảnh
hƣởng tới mô đun đàn hồi mạnh hơn trƣờng nhiệt độ phi tuyến.


8

1.3.

Ảnh hƣởng của nhiệt độ tới tính chất vật liệu

Tính chất hiệu dụng của các vật liệu thành phần của dầm phụ thuộc vào nhiệt độ
đƣợc biểu diễn là hàm của nhiệt độ theo phƣơng trình phi tuyến [26]:
2
3
P  Po ( P1T 1  1  PT
 PT
)
1  PT
2
3

(1.20)

trong đó T (K) là nhiệt độ môi trƣờng, P0, P-1, P1, P2 và P3 là các hệ số của nhiệt độ và
là duy nhất đối với từng vật liệu. Từ phƣơng trình (1.1), mô đun đàn hồi và hệ số giãn

nở nhiệt của từng vật liệu thành phần phụ thuộc vào nhiệt độ nhƣ sau:

Ec (T )  E0 c ( E1cT 1  1  E1cT  E2cT 2  E3cT 3 )
Em (T )  E0 m ( E1mT 1  1  E1mT  E2 mT 2  E3mT 3 )

 c (T )   0 c ( 1cT 1  1  1cT   2 cT 2   3cT 3 )

(1.21)

 m (T )   0 m ( 1mT 1  1  1mT   2 mT 2   3mT 3 )
Thế (1.21) vào (1.4) ta nhận đƣợc biểu thức của mô đun đàn hồi, mô đun trƣợt
và hệ số giãn nở nhiệt nhƣ sau:
E ( z , T )  ( E0 c E1c  E0 m E1m )T 1  ( E0 c  E0 m )  ( E0 c E1c  E0 m E1m )T
 ( E0 c E2 c  E0 m E2 m )T 2  ( E0 c E3c  E0 m E3m )T 3  Vc
 E0 m ( E1mT 1  1  E1mT  E2 mT 2  E3mT 3 )

(1.22)

 ( E0 c E1c  E0 m E1m )T  ( E0 c  E0 m )  ( E0 c E1c  E0 m E1m )T
1

 ( E0 c E2 c  E0 m E2 m )T 2  ( E0 c E3c  E0 m E3m )T 3 

Vp
2

 ( z, T )  ( 0 c 1c   0 m 1m )T  ( 0 c   0 m )  ( 0 c1c 
1

 0 m1m )T  ( 0 c 2 c   0 m 2 m )T 2  ( 0 c 3c   0 m 3m ) T 3  Vc

 0 m ( 1mT 1  1  1mT   2 mT 2   3mT 3 )  ( 0 c 1c

 0 m 1m )T 1  ( 0 c   0 m )  ( 0 c1c   0 m1m )T  ( 0c 2c
 0 m 2 m )T 2  ( 0 c 3c   0 m 3m )T 3 

(1.23)

Vp
2

và
G( z, T ) 

E ( z, T )
2(1   )

(1.24)


9

Trong đó ν là hệ số Poisson. Mật độ khối ít chịu ảnh hƣởng của nhiệt độ nên có thể
biểu diễn biểu thức của ρ nhƣ sau:
n

V
 z 1
 ( z )   c   m       m   c   m  p
2
h 2

(1.25)

Kết luận của chƣơng 1
Trong chƣơng 1 tác giả đã xây dựng đƣợc mô hình dầm FGM với lỗ rỗng vi mô
đặt trong trƣờng nhiệt độ. Các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và tỉ lệ thể tích
của lỗ rỗng vi mô. Luật phối trộn cải biên do Wattanasakulpong và cộng sự [21] đề
nghị đƣợc sử dụng để đánh giá các tính chất hiệu dụng của dầm. Việc tìm nghiệm của
phƣơng trình truyền nhiệt Fourier để nhận đƣợc trƣờng nhiệt độ trong dầm đƣợc trình
bày chi tiết. Khảo sát ảnh hƣởng của nhiệt độ và lỗ rỗng tới mô đun đàn hồi của dầm
chỉ ra rằng sự tăng của nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng làm giảm mô đun đàn hồi
và sự giảm này mạnh hơn khi dầm đặt trong trƣờng nhiệt độ tăng đều. Mật độ khối
đƣợc giả sử không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ thể tích của lỗ
rỗng.


10

Chƣơng 2
CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Chƣơng này nhằm thiết lập các phƣơng trình cơ bản cho dầm FGM dựa trên lý
thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất và bậc ba cải tiến. Phƣơng trình chuyển động đƣợc xây
dựng dựa trên nguyên lý biến phân Hamilton.
2.1.

Phƣơng trình dựa trên lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất

2.1.1. Trƣờng chuyển vị
Trên cơ sở của lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất, chuyển vị dọc trục, u1, và
chuyển vị ngang, u3, của một điểm bất kì của dầm trên Hình 1.1 cho bởi:

u1 ( x, z, t )  u0 ( x, t )  z ( x, t )
u3 ( x, z, t )  w0 ( x, t )

(2.1)

trong đó u0(x,t), w0(x,t) tƣơng ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phƣơng
ngang của điểm bất kì nằm trên trục giữa của dầm, θ(x,t) là góc xoay của thiết diện
ngang.
2.1.2. Trƣờng biến dạng, ứng suất
Trƣờng biến dạng nhận đƣợc từ trƣờng chuyển vị (2.1) có dạng:

 xx  u1, x  u0, x  z, x
 xz  u1, z  u3, x  w0, x  

(2.2)

Trong biểu thức trên kí hiệu (..),x đƣợc dùng để chỉ đạo hàm riêng theo biến x
và (..),z là đạo hàm riêng theo biến z; εxx và γxz tƣơng ứng là các biến dạng dọc trục và
biến dạng trƣợt.
Theo định luật Hooke, ứng suất dọc trục và ứng suất trƣợt tƣơng ứng với trƣờng
biến dạng (2.2) là:

 xx ( z, T )  E ( z, T ) xx  E ( z, T )  u0, x  z, x 
 xz ( z, T )   G ( z, T ) xz   G ( z, T )  w0, x   

(2.3)


11

trong đó E(z,T) và G(z,T) tƣơng ứng là mô đun đàn hồi và mô đun trƣợt hiệu dụng của
dầm, phụ thuộc vào nhiệt độ theo phƣơng trình (1.4) ; ψ là hệ số hiệu chỉnh trƣợt, chọn
bằng 5/6 cho dầm có thiết diện ngang hình chữ nhật trong luận văn này.
2.1.3. Năng lƣợng biến dạng
Từ trƣờng biến dạng và ứng suất nhận đƣợc, biểu thức cho năng lƣợng biến
dạng đàn hồi cho dầm Timoshenko làm từ vật liệu FGM với lỗ rỗng vi mô có thể viết
dƣới dạng:

UB 

1
( x xx   xz xz )dV
2 V
L

2
1
   A11u0,2 x  2 A12u0, x, x  A22,2x  A33  w0, x     dx

20

(2.4)

trong đó V là thể tích dầm, các đại lƣợng A11, A12, A22 và A33 tƣơng ứng là độ cứng dọc
trục, độ cứng tƣơng hỗ giữa dọc trục và uốn, độ cứng chống uốn và độ cứng chống
trƣợt, đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

 A11 , A12 , A22    E ( z, T )(1, z, z 2 )dA
A

(2.5)

A33   G ( z , T )dA
A

với A là diện tích thiết diện ngang của dầm.
Giả sử dầm ở trạng thái tự do ứng suất ở nhiệt độ tham chiếu T0 [32]. Khi đó
ứng suất nhiệt sinh ra do sự tăng của nhiệt độ đƣợc cho bởi:

 xxT   E  z, T    z, T  T ( z )

(2.6)

trong đó mô đun đàn hồi E  z, T  và hệ số giãn nở nhiệt   z, T  đƣợc tính theo (1.22)
và (1.23). Khi đó năng lƣợng biến dạng sinh ra do sự tăng của nhiệt độ đƣợc tính nhƣ
sau:
L

1
1
UT    E ( z, T ) ( z, T )Tw0,2 x dV   NT w0,2 x dx
2V
20
với NT là tổng lực dọc trục sinh ra do sự thay đổi (tăng) của nhiệt độ:

(2.7)


12

NT    E ( z, T ) ( z, T )TdA

(2.8)

A

Từ công thức (2.4) và (2.7) ta có đƣợc biểu thức của năng lƣợng biến dạng toàn
phần:
L

L

2
1
1
U    A11u0,2 x  2 A12u0, x, x  A22,2x  A33  w0, x     dx   NT w02, x dx

20
20
L

2
1
   A11u0,2 x  2 A12u0, x, x  A22,2x  A33  w0, x     NT w0,2 x  dx

20

1.6

1.6
Vp=0

1.5

Vp=0.1

1.4

Vp=0.2

1.3

Vp=0.2

1.3
T=0K

1.2

A22/A220

A11/A110

Vp=0

1.5

Vp=0.1

1.4

1.1

1.1
1

0.9

0.9

0.8

0.8
2

4

n

6

8

10

T=0K

1.2

1

0.7
0
(a)

(2.9)

0.7
0
(b)

2

4

n

6

8

10

Hình 2.1 Sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn vào tỉ lệ thể tích lỗ
rỗng của dầm FGM


13

1.5

1.5
T=0K
T=100K
T=200K
T=500K

1.4
1.3

1.3
1.2

A11/A110

A11/A110

1.2
UTR, Vp=0.1

1.1

1

0.9

0.9

0.8

0.8
2

4

n

6

8

10

NLTR, Vp=0.1

1.1

1

0.7
0
(a)

T=0K
T=100K
T=200K
T=500K

1.4

0.7
0
(b)

2

4

n

6

8

10

Hình 2.2 Sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục vào nhiệt độ
Do mô đun đàn hồi là hàm của nhiệt độ nên khó có thể tính các hệ số độ cứng
A11, A12, A22 và A33 bằng phƣơng pháp giải tích. Luận văn này sử dụng tích phân số, cụ
thể phƣơng pháp Simpson 3/8, để tính các độ cứng dầm. Thêm vào đó, NT là hàm của
mô đun đàn hồi và hệ số giãn nở nhiệt nên cũng phải sử dụng tích phân số để tính toán.
Tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ làm giảm mô đun đàn hồi nên các hệ số
độ cứng của dầm cũng bị ảnh hƣởng bởi các tham số này. Hình 2.1 minh họa sự phụ
thuộc của độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn vào tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng của
dầm FGM tạo bởi SUS304 và Al2O3 ở nhiệt độ phòng. Từ Hình 2.1 ta thấy rằng tỉ lệ
thể tích lỗ rỗng ảnh hƣởng mạnh đến độ cứng của dầm, khi tỉ lệ thể tích lỗ rỗng tăng
lên thì các độ cứng của dầm giảm đi. Hình 2.2 và 2.3 minh họa sự phụ thuộc của độ
cứng dọc trục và độ cứng chống uốn vào nhiệt độ của dầm trong hai trƣờng hợp,
trƣờng nhiệt độ tăng đều và trƣờng nhiệt độ tăng phi tuyến khi Vp  0.1 . Trong Hình

2.2 và 2.3 thì A110 và A220 là các độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn của dầm thép
thuần nhất làm bởi SUS304 ở nhiệt độ phòng, cụ thể là A110  207.79 109 Nm2 ,
A220  17.316 109 Nm2 . Hình 2.2 và Hình 2.3 cho thấy khi nhiệt độ tăng thì độ cứng

dọc trục và độ cứng chống uốn giảm và sự suy giảm mạnh hơn trong trƣờng nhiệt độ
tăng đều. Ngoài ra ta cũng có thể thấy rằng khi dầm đặt trong trƣờng nhiệt độ, sự suy
giảm độ cứng lớn hơn khi tham số vật liệu n lớn hơn. Điều này đƣợc lý giải bởi thành
phần kim loại, chịu sự ảnh hƣởng mạnh của nhiệt độ tăng lên. Điều này hoàn toàn phù
hợp với bản chất vật lý của dầm trong môi trƣờng nhiệt độ cao.