On tap TN 12 phan Hinh giai tich

Cao Minh Nhân
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Hệ tọa độ - Tọa độ các điểm và véc tơ
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong Oxyz:
1.
a
(x,y,z)
⇔

a
=x
i
+y
j
+z
k
2.
a
(x
1
,y
2
,z
2
),
b
(x
2
,y
2

,z
2
)
Ta có:
•
a
=
b
⇔





=
=
=
21
21
21
zz
yy
xx
•
a
±
b
= (x
1
±

x
2
; y
1
±
y
2
;z
1
±
z
2
)
• k
a
= (kx
1
; ky
1
; kz
1
)
•
a
b
= x
1
x
2
+y

1
y
2
+z
1
z
2
•
a
=
2
1
2
1
2
1
zyx
++
;
b
=
2
2
2
2
2
2
zyx
++
• Cos (

a
,
b
) =
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
x
zzyyxx
zyxzy
+++++
++
(
a
0
≠
;
b
0
≠

)
3. A (x
A
,y
A
,z
A
), B (x
B
,y
B
,z
B
), C (x
C
,y
C
,z
C
)
Ta có:
•
AB
= (x
B
-x
A
, y
B
-y

A
; z
B
-z
A
)
• AB=
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
++−+−
• M là trung điểm của AB
⇒
M (
2
;
2
;
2
ABABBA
zzyyxx
+++
)
• G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒
G (
2
;
2

;
2
CABCABCBA
zzzyyyxxx
++++++
)
• A, B, C thẳng hàng
⇔

AB
= k.
AC
Chú ý:
1, M
∈
Ox
⇒
M (x; 0; 0)
M
∈
Oy
⇒
M (0; y; 0)
M
∈
Oz
⇒
M (0; 0; z)
2, M
∈

(Oxy)
⇒
M (x; y; 0)
M
∈
(Oyz)
⇒
M (0; y; z)
M
∈
(Oxz)
⇒
M (x; 0; z)
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxyz cho
a
(1, 2, 3);
b
(2,-1, 3);
c
(1, 0, 2)
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
1. Tính tọa độ của véc tơ
u
= 2
a
-3
b
+2

c
2. Tính độ dài của
v
biết
v
=
a
-
b
-3
c
3. Tính góc giữa hai véc tơ (
a
,
b
+
c
)
Lời giải:
1.
)1;7;2()496;34;262(
4) 0; (2;c2
9) 3;- (6; b3
6) 4; (2; a2
−=+−++−=⇒








u
2.
)6;3;4(
0;6) (3;c3
1;3)- (2; b
3) 2; (1; a
−−=⇒







v
Vậy
v
=
61)6(3)4(
222
=−++−
3.





−=+

)5;1;3(b
3) 2; (1; a
c
⇒
Cos (
a
,
b
,
c
)=
3514
3.52.1-1.3
+
+
=
490
16
⇒
(
a
,
b
,
c
)
≈
Bài 2: Trong Oxyz cho 3 điểm A (1; 1; 1); B (-1; 1; 0); C (3; 1;-1)
1. Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
4. Tìm trên mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều 3 điểm A, B, C.
Lời giải:
1.
AB
(-2; 0;-1)
AC
(2; 0;-2)
Giả sử
AB
= k
AC
⇒





−=−
=
=−
k
k
k
21
00
22
hệ vô nghiệm
⇒

AB
≠
k
AC
hay 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
3. Gọi D (x; y; z)
AB
(-2; 0;-1)
DC
= (3-x; 1-y;-1-z)
Vì ABCD là hình bình hành nên
AB
=
DC
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
Hay





−=−−
=−
−=−
11
01
23
z
y

x
⇔






=
=
−=
0
1
5
z
y
x
Vậy D (5; 1;0)
3. Tìm tọa độ trọng tâm G của
ABC
∆
G (
)
3
101
;
3
111
;
3

311
−++++−
hay G (1; 1; 0)
4. M
∈
(Oxy)
⇒
M (x; 0; z)
MA=
22
)1(1)1( zx
−++−
=
322
22
+−−+
yxzx
MB=
22
1)1( zx
++−−
=
22
22
+++
xzx
MC=
22
)1(1)3( zx
−−++−

=
1126
22
++−+
zxzx
MA
2
=MB
2
=MC
2
⇔





++−+=+++
+++=+−−+
112622
22322
2222
2222
zxzxxzx
xzxyxzx
⇔



=−

=+
928
124
zx
zx
⇔







−=
=
6
7
6
5
z
x
Vậy M (
6
7
;0;
6
5
−
)
Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho
a
(2, -1, 2);
b
(3, 0, 1);
c
(-4, 1, -1)
1. Tính tọa độ của véc tơ
u
= 3
a
-2
b
+
c
2. Tính độ dài véc tơ
v
biết
v
= 2
a
+
b
+4
c
3. Cho
x
(2; y
0
; z

0
) xác định y
0
; z
0
để
a
cùng phương
x
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
Bài 2: Trong Oxyz cho A (-1;-1; 3); B (1; 1; 1); C (4; 2; 2)
1. Tìm
ACAB.
2. Tính góc A của
ABC
∆
3. Tìm tọa độ điểm M trên Ox để
MAB
∆
vuông tại M
Vấn đề 2: Phương trình của mặt phẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình mặt phẳng
)(
α
có dạng: Ax+By+Cz+D=0, (A
2
+B
2

+C
2
≠0)
n
là véc tơ chỉ phương (VTCP) của
)(
α
2.
)(
α
: Qua M
);;(
000
zyx
VTPT
n
(A, B, C)
Phương trình
)(
α
có dạng: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
3. A (a; 0; 0); B (0; b; 1); C (0; 0; c) với abc≠0
Phương trình (ABC) là
1

=++
c
z
b
y
a
x
4.
a
và
b
là 2 véc tơ không cùng phương giá của
a
và
b
song song hoặc
nằm trên
)(
α
.
⇒
[ ]
ba,
là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của
)(
α
Cặp
a
và
b

gọi là cặp VTCP của
)(
α
B. Bài tập
Bài 1: Trong Oxyz cho 3 điểm A (5; 1; 3); B (1; 6; 2); C (5; 0; 4). Viết
phương trình mặt phẳng
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
1. Đi qua A và vuông góc với BC
2. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB
3. Đi qua 3 điểm A, B, C
4. Đi qua A và chứa Ox
5. Đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ
Lời giải:
1.
)(
α
: Qua M (5; 1; 3)
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
VTPT
BC
(4; -6; 2)=2 (2; -3; 1)
Phương trình
)(
α
là: 2(x-5)-2(y-1) +1(z-3) = 0
⇔
2x-3y+z-10 = 0

2. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I
)
2
5
;
2
7
;3(
)(
α
: Qua M (5; 1; 3)
VTPT
AB
(-4; 5; -1)
Phương trình
)(
α
là: - 4(x-3)+5(y-7/2)-1(z-5/2)=0
⇔
-4x+5y-z-3 =0
3.
AB
(-4; 5;-1) và
BC
(0;-1; 1) là cặp VTCP của (ABC)
⇒
[ ]
BCAB,
= (
1

5
−

1
1
−
,
1
1
−

0
4
−
,
0
4
−

1
5
−
)
= (4; 4; 4) =4(1; 1; 1) là VTPT của (ABC)
Hay (ABD): Qua A (5; 1; 3)
VTPT (1; 1; 1)
Phương trình (ABC) là: x-5+y-1-z-3=0
4. Phương trình
)(
α

có dạng By+Cz = 0
A(5;1;3)
∈
)(
α
⇒
B+3C=0
Chọn C= -1, B=3
Phương trình
)(
α
là: 3y-z=0
5. Gọi A
1
, A
2
, A
3
theo thứ tự đó là hình chiếu của điểm A trên các trục
Ox, Oy, Oz. Khi đó A
1
(5;0;0), A
2
(0;1;0), A
3
(0;0;3)
Phương trình
)(
α
là:

1
315
=++
zyx
⇔
3x+15y+5z-15=0
Bài 2: Trong Oxyz cho 2 điểm A(1;0;1), B(2;3;0). Phương trình của 2 mặt
phẳng (P), (Q) lần lượt là:
(P): x-2y-3z+1=0
(Q): 2x+y-z+4=0
Viết phương trình
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
1. Đi qua A và song song với (P)
2. Đi qua A và song song với trục Oz
3. Đi qua A, B và vuông góc với (P)
4. Đi qua A, B và vuông góc với (P) và vuông góc với (Q)
Lời giải:
1.
)(
α
: Qua A (1;0;1)
Song song (P)
)3;2;1(
)(
−−
P
n
là VTPT của

)(
α
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
Phương trình
)(
α
là: x-1-2y-3(z-1) = 0
⇔
x-2y-3z+2=0
2.
AB
(1; 3;-1) và
k
là cặp VTCP của
)(
α
⇒
[ ]
kAB,
= (
0
3

1
1
−
,
1
1

−

0
1
,
0
1

0
3
)= (3;-1;0) là VTPT của
)(
α
Phương trình
)(
α
là: 3(x-1)-y=0
⇔
3x-y-3=0
3.
AB
(1; 3;-1) và
)3;2;1(
)(
−−
P
n
là cặp VTCP của
)(
α

⇒
[ ]
)(
,
P
nAB
=(
2
3
−

3
1
−
−
,
3
1
−
−

1
1
,
1
1

2
3
−

=(-11;2;-5) là
VTPT của
)(
α
)(
α
: Qua A (1;0;1)
VTPT (-11;2;-5)
Phương trình
)(
α
là: -11(x-1)+2y-5(z-1)=0
⇔
-11x+2y-5+16=0
4.
)3;2;1(
)(
−−
P
n
và
)1;1;2(
)(
−
Q
n
là cặp VTCP của
)(
α
⇒

[ ]
)()(
,
QP
nn
=(
1
2
−

1
3
−
−
,
1
2
−
−

2
1
,
2
1

1
2
−
=(5;-5;5)=5(1;-1;1)

là VTPT của
)(
α
)(
α
: Qua A (1;0;1)
VTPT (1;-1; 1)
Phương trình
)(
α
là: x-1-y+z-1=0
⇔
x-y+z-2=0
Bài tập tự giải
Trong Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x-y+z-1=0
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh 4 điểm O, A, B, C
là 4 đỉnh của tứ diện.
2. Viết phương trình
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
a. Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với AB
b. Đi qua A và song song với (P)
c. Đi qua A, B và vuông góc với (P)
d. Đi qua A, B và song song với Oy
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
e. Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với (P), vuông góc với (ABC)
f. Mặt phẳng trung trực đoạn BC

Vấn đề 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng
A. Tóm tắt lý thuyết:
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Trong Oxyz cho:
)(
α
: A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0
)(
β
: A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
),,(
111)(
CBAn
α

VTPT của
)(
α
),,(
222)(
CBAn
β
VTPT của
)(
β
*
⇔≠
)()(
βα
nkn
)(
α
cắt
)(
β
*
⇔





≠
=
21

)()(
kDD
nkn
βα
)(
α
//
)(
β
*
⇔





=
=
21
)()(
DD
nkn
βα
)(
α
≡
)(
β
Chú ý:
)()(0

)()(
βα
βα
⊥⇔=
nn
2. Chùm mặt phẳng
Trong Oxyz cho:
)(
α
: A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0
)(
β
: A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
)(

α
∩

)(
β
= d
• Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng
)(
γ
chưa d nói trên được gọi là
chùm mặt phẳng xác định bởi
)(
α
và
)(
β
. Kí hiệu là
))(),((
βα
• Phương trình chùm mặt phẳng
Phương trình có dạng: m(A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
) + n(A
2

x+B
2
y+C
2
z+D
2
)=0
• Với m
2
+n
2

≠
0 gọi là phương trình của chùm mặt phẳng
))(),((
βα
Chú ý: M
∈
d
⇒
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:



=+++
=+++
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111

B. Bài tập
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
1.
)(
α
: x+2y+3z+4=0
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
)(
β
: x+5y-z-9=0
2.
)(
α
: x+y+z+5=0
)(
β
: 2x+2y+2z+6=0
3.
)(
α
: x+2y+3z+1=0
)(
β
: 3x+6y+9z+3=0
Lời giải:
1.
)3,2,1(
)(
α

n
VTPT của
)(
α
)1,5,1(
)(
−
β
n
VTPT của
)(
β
Vì
)()(
5
2
1
1
βα
nkn
≠⇒≠
vậy
)(
α
cắt
)(
β
2.
)1,1,1(
)(

α
n
VTPT của
)(
α
)2,2,2(
)(
β
n
VTPT của
)(
β
)//()(
6
5
3
2
2
1
2
1
βα
⇒≠==
3.
)3,2,1(
)(
α
n
VTPT của
)(

α
)9,6,3(
)(
β
n
VTPT của
)(
β
)()(
3
1
9
3
6
2
3
1
βα
≡⇒===
Bài 2: Cho 2 mặt phẳng
)(
α
: 2x+my+2mz-9=0
)(
β
: 6x-y-z-10=0
Xác định m để:
1.
)(
α

⊥
)(
β
2.
)(
α
//
)(
β
Lời giải:
)2,,2(
)(
mmn
α
VTPT của
)(
α
)1,1,6(
)(
−−
β
n
VTPT của
)(
β
1.
)(
α
⊥
)(

β
0.
)()(
=⇔
βα
nn
⇔
12-m-2m=0
⇔
m=4
2.
)(
α
//
)(
β
⇔
10
9
1
2
16
2
−
−
≠
−
=
−
=

mm
⇔



=−
=−
3/12
3/1
m
m
Hệ vô nghiệm
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3: Cho 3 mặt phẳng
)(
α
: 2x-y+z+1=0
)(
β
: x+3y-z+2=0
)(
γ
: -2x+2y+3z+3=0
1. Chứng minh
)(
α
cắt
)(
β
Ôn thi ĐH

Cao Minh Nhân
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của
)(
α
và
)(
β
và đi
qua M (1; 2;1).
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của
)(
α
và
)(
β
và
song song với Oy.
4. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến của
)(
α
và
)(
β
và
vuông góc với
)(
γ
.
Lời giải:
1. Vì

)(
3
1
1
2
α
⇒
−
≠
cắt
)(
β
2. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
m(2x-y+z+1)+n(x+3y-z+2)=0
⇔
(2m+n)x+(-m+3n)y+(m-n)z+m+2n=0, với (m
2
+n
2

≠
0) (*)
M(1;2;1)
∈
(P)
⇒
m(2-2+1+1)+n(1+6-1+2)=0
⇔
2m+8n=0
⇔

m=-4n
Chọn n=-1, m=4
Phương trình mặt phẳng (P) là: 4(2x-y+z+1) - (x+3y-z+2)=0
⇔
7x - 7y+5z+2=0
3. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng (*)
),3,2(
)(
nmnmnmn
Q
−+−+
VTPT của (Q)
γ
(0; 1; 0) VTCP của Oy
(Q)// Oy
⇔
0.
)(
=
γ
Q
n
⇔
-m+3n=0
⇔
m=3n
Chọn n=1, m=3
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 7x+2z+5=0
4. Phương trình
)(

γ
có dạng (*)
);3;2(
)(
nmnnnmn
R
−+−+
VTPT của (R)
)3;2;2(
)(
−
γ
n
VTPT của
)(
γ
(R)
⊥

)(
γ
0.
)()(
=⇔
γ
nn
R
⇔
-4m-2n-2m+6n+3m-3n=0
⇔

3m=n . Chọn m=1, n=3
Phương trình mặt phẳng (R) là: 5x+8y-2z+7=0
Vấn đề 4: Phương trình của đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đường thẳng
∆
: Qua M(x
0
;y
0
;z
0
)
VTCP
),,( cbau
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
Phương trình tham số
∆
là:





+=
+=
+=
ctzz
btyy

atxx
0
0
0
(
0,0,0
≠≠≠
cba
)
Phương trình
∆
có dạng:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
+
−
+
−
(dạng chính tắc)
Chú ý: N
∈
∆
);;(
000

ctzbtyatxN
+++⇒
B. Bài tập
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆
trong các trường hợp
sau đây:
1. Đi qua A(1;2;3) có VTCP
)1;3;3(u
2. Đi qua B(0;0;-1) và vuông góc với mặt phẳng
)(
α
: 2x-y+z+9=0
3. Đi qua 2 điểm C(1;-1;1), D(2;1;4)
Lời giải:
1.
∆
: Qua A(1;2;3)
VTCP
)1;3;3(u
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
là:





+=
+=

+=
tz
ty
tx
3
32
31
2.
)1,1,2(
)(
−
α
n
VTPT của
)(
α
)(
α
⊥
∆
⇒
)(
α
n
là VTPT của
∆
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
là:






+−=
−=
+=
tz
ty
tx
1
21
3.
∆
: Qua C(1;-1;1)
VTCP
)3;2;1(CD
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
là:





+=
+−=
+=
tz
ty

tx
31
21
1
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
Bài 2: Cho
∆
:





+=
=
−=
tz
ty
tx
1
1
và (P): x-2y-z+1=0
'
∆
là hình chiếu vuông góc của
∆
trên (P). Viết phương trình đường thẳng
'
∆

Lời giải:



⊥
∆⊃
)()(
)(
PQ
Q
Ta có: M(1;0;1)
∈

∆
)1;1;1(
−
∆
u
)1;2;1(
)(
−
u
n
)1,2,1(
)(
−
P
n
và
)1;1;1(

−
∆
u
là cặp VTCP của (Q)
⇒
[ ]
∆
un
P
,
)(
=(
1
2
−

1
1
−
,
1
1
−

1
1
−
,
1
1

−

1
2
−
)
= (-1;0;-1) là VTPT của (Q)
(Q): Qua M(1;0;1)
VTPT (-1;0;-1)
Phương trình (Q) là: -(x-1)-(z-1) =0
⇔
-x-z+2=0
⇔
x+z-2=0
Khi đó
'
∆
= (P)
∩
(Q)
A
∈
'
∆
⇒
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình.



=+−−

=−+
012
02
zyx
zx
Chọn z=t
⇒





−=
−=
ty
tx
2
3
2
hay A (2-t; -
;
2
1
t
−
t) với t
∈
ℜ
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân

Vậy phương trình tham số của
'
∆
là







=
−=
−=
tz
ty
tx
2
3
2
Bài 3: Cho 2 đường thẳng
1
∆
:





=

+=
−=
tz
ty
tx
3
22
1
2
∆
:





=
−=
+=
'
'
'
3
23
1
tz
ty
tx
Viết phương trình đường vuông góc chung của
1

∆
,
2
∆
Lời giải:
M
∈

1
∆
⇒
M (1-t; 2+2t; 3t)
)3;2;1(
1
−
u
VTCP
1
∆
N
∈
2
∆
⇒
N (1+t
’
;3-2t
2
; 1)
)0;2;1(

2
−
u
VTCP của
2
∆
)31;221;(
''
tttttMN
−−−+
MN là đường thẳng vuông góc của
1
∆
,
2
∆
⇔





=++−+
−+−−+−−
⇒






=
=
0442
93442
0.
0.
''
''
2
1
tttt
ttttt
uMN
uMN
Ôn thi ĐH