TỔNG HỢP ĐỀ THI PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐÁP ÁN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
NĂM HỌC: 2014-2015
HỌC KỲ: I
Câu 1. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 2 bước lặp.
Đánh giá sai số ở lần lặp thứ 2.

�x  20 y  5 z  20
�
20 x  5 y  2t  20
�
�
�x  10 z  t  10
�
�y  z  10t  10
Giải
Hệ đã cho tương tương với

�x  0, 25 y  0,1t  1
�y  0,05 x  0, 25 z  1
�
�
�z  0,1x  0,1t  1
�
t  0,1y  0,1z  1
�

 I

Ta đặt

0, 25

0
0,1� ��
1
� 0
�x �
�
�
��
�y �
0,05
0
0, 25
0 � ��
1
�
A
;B 
;X ��
�0,1
�z �
0
0
0,1 � ��
1
�
� ��
��
0,1 0,1
0 � ��
1

� 0
�t �
Hệ  I  có thể viết lại dạng ma trận X  AX  B với A  0,35  1 . (1,0đ)
Xét dãy X n   xn
bởi hệ thức:

yn

zn

T
tn  , n �0 , trong đó x0  y0  z0  t0  0 , được xây dựng

�xn1  0, 25 yn  0,1t n  1
�y  0,05 x  0, 25 z  1
� n1
n 1
n
�
�zn1  0,1xn1  0,1tn  1
�
tn1  0,1 yn1  0,1zn1  1
�

Từ  II  ta tính được

�1 �
�1,156 �
�0,95 �
�0,7172 �

�
�
� (0,5đ)
X1 
;X �
�0,9 � 2 �0,9659 �
�
�
�
�
0,815 �
0,83169 �
�
�
Ước lượng sai số

 II 

(0,5đ)


U
X 2  X* �
X 2  X 1  0,125354 (0,5đ)
1 A
0 0, 25
0
0,1�
�
�

0
0
0, 25
0 �
�
�.
với U 
�
0
0
0
0,1 �
�
�
0
0
0
0 �
�
Chú ý. Có thể đánh giá sai số bằng nhiều cách khác nhau, nếu đúng vẫn cho
trọn điểm.
Câu 2. Cho bảng số liệu

x
y

0
1
2
-5

-1,2
2
Từ bảng số liệu trên, bằng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm có dạng

y  a sin x  b  x  2   1

Giải
Ta lập hàm hai biến
3

F  a, b   ��
a sin xi  b  xi  2   1  yi �
�
� (0,5đ)
2

i 1

Hàm F  a, b  đạt cực tiểu khi

0
�Fa�
�
0
�Fb�
3
3
� 3
2
a

sin
x

b
sin
x
x

2

 � yi  1 sin xi
�
i
i i
��
� i 1
i 1
i 1
�� 3
3
3
2
�
a �sin xi  xi  2   b� xi  2  � yi  1  xi  2 
�
i 1
i 1
� i 1
1,534895a  0,841471b  0,941939
�

��
 1,0đ 
0,841471a 
5b  14, 2
�

 0, 5đ 

a  1,039158
�
��
 0, 5đ 
b

3,01488
4
�
Câu 3. Cho phương trình cos x  2 x 2  3 x  1  0 . Dùng phương pháp Newton tìm
nghiệm gần đúng sau 4 lần lặp trên đoạn  1;1,5 . Đánh giá sai số khi nhận giá
trị xấp xỉ nghiệm ở lần lặp thứ 4.
Giải
2
Đặt f  x   cos x  2 x  3x  1, x � 1;1,5 , ta có

f�
 x    sin x  4 x  3  4 x  3  0, x � 1;1,5
�
f�
 x    cos x  4  0, x � 1;1,5

Ta xây dựng dãy  xn  n 0,� như sau:

�
 1  0 nên ta chọn x0  1,5 . (1,0đ)
+ Vì f  1 �f �
+ Với n �0 thì
f  xn 
cos xn  2 xn2  3xn  1
xn 1  xn 
x 
f�
 xn  n  sin xn  4 xn  3

Từ đây ta tính được

x1  1, 267539

x2  1, 230488
x3  1, 229455

(1,0đ)

x4  1, 229454
Ước lượng sai số

M
2
x4  x* � x4  x3
2m

với

�
M  max f �
 x   max  cos x  4  4,540302
x� 1;1,5

x� 1;1,5

m  min f �
 x   min  sin x  4 x  3  1,841471
x� 1;1,5

x� 1;1,5

Khi đó,

M
2
x4  x* � x4  x3  1,32 �1012 (0,5đ)
2m
Câu 4. Cho hàm số y  y  x  thỏa mãn hệ
�
 x  x2  e y  2
�y�
�
�y  0,5   1

x � 0,5;0,7 

Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y  0,7  sau ba bước lặp với h  0,1 .
Giải





2
y
Dựa vào giả thiết ta được h  0,1; f  x, y   x x  e  2 ; x0  0,5, x1  0,6, x2  0,7 .

+ Tính y1  y  0,6  .
Ta có





y1   y0  hf  x0 , y0   y0  hx0 x02  e y0  2  1, 248414 .
0

Sử dụng công thức cải tiến giá trị y1 lần thứ k  1 ta được

y1

k 1

Ta suy ra

 y0 









 k
h�
h
k
f  x0 , y0   f x1 , y1  � y0  �
x0 x02  e y0  2  x1 x12  e y1  2 �
�
�
2�
2�






y1   1, 299551
1

y1   1,305037
2

y1   1,305642
3

Vậy y1  y  0,6   y1  1,305642 .
 3

+ Tính y2  y  0,7  .
Ta có





y2   y1  hf  x1 , y1   y1  hx1 x12  e y1  2  1,668645 .
0

Sử dụng công thức cải tiến giá trị y2 lần thứ k  1 ta được

y2

k 1









 k
h
h
k
 y1  �f  x1 , y1   f x2 , y2  � y1  �
x1 x12  e y1  2  x2 x22  e y2  2 �
�
�
2�
2�

Ta suy ra

y2   1,759968
1

y2   1,777722
2

y2   1,781367
3

Vậy y2  y  0,7   y2  1,781367 .
 3



