HD chấm thi Olympic huyện Toán 7 (07-08)

Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2007-2008
Bài 1. Tính tổng: S

=
5 13 25 41 181
...
1.2 2.3 3.4 4.5 9.10
+ + + + +
(3,5 điểm)
Giải: Nhận xét: tử số có dạng 2n(n + 1) + 1. Mẫu số có dạng n(n + 1), n


{ }
1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9
Nên
2n(n 1) 1 1 1 1
2 2 ( )
n(n 1) n(n 1) n n 1
+ +
= + = +
+ + +
.Lần lợt thay giá trị n từ 1 đến 9 ta có:
S

= 18 +( 1-
1 1 1 1 1 1
. . .
2 2 3 3 9 10
+ + +
) = 18 + (1 -
1

10
) = 18,9
Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau:
1 1 1 1
2x 2y xy 2
+ + =
(3,5 điểm)
Giải: Giả sử x

y thì
1 1 1 1
,
2x 2y xy y
<
nên
1 1 1 1 2
2 2x 2y xy y
= + + <
=> y < 4. Mặt khác y > 1
xét y
{ }
2; 3
ta đợc y = 2 => x = 4; y = 3 => không có gía trị x thoả mãn
Vậy x = 2 => y = 4 hoặc y = 2 => x = 4
Bài 3. Tìm x biết: a)
3 1 3 = x x
(3điểm)
Giải: Ta có 1 3x 0 => x
1
3

=>
3 3 = x x
. Ta có pt 3 - x = 1 - 3x => x = -1 thoả mãn đ/k bài toán. Vậy x = -1
b)
1 1
x x
5 5
=
(3điểm)
Giải:
1 1
x x
5 5
=
= - (
1
x )
5

=>
1
x 0
5

hay
1
x
5

Vậy với

x
1
5

thoả mãn đ/k bài toán
Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng
THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ
lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp. (3điểm)
Giải: Gọi số cây trồng đợc của các lớp là a, b, c. Theo bài ra ta có:
(a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay:
a b b c c a
k (k Q)
4 5 7
+ + +
= = =

=> a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b: c =3 : 1 : 4.
Vậy số cây trồng đợc của các lớp 7 tỷ lệ với các số 3, 1, 4
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân
ACD (
ã
0
90=ADC
), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE (
ã
0
90=BDE
). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M.

Chứng minh: DF = DM (4 điểm)
Giải: +) Xét

CBD và

ADE có:
CD = AD (gt), BD = DE (gt)

ã
ã
CDB ADE=
(cùng phụ
ã
BDA
)
=>

CDB =

ADE (c.g.g) =>
ã ã
CBD AED=
(1)
+) Xét

FDB và

MDE có:

ã

ã
0
FDB MDE 90= =
(gt), BD = ED (gt)

ã ã
CBD AED=
( theo 1)
=>

FDB =

MDE => DF = DM (Đpcm)

A
B
C F
D
E
M