Tấm chịu uốn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (336.12 KB, 16 trang )

6-1
Chương 6
TẤM CHỊU UỐN
6.1
Các phương trình cơ bản của tấm chịu uốn.
Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt song song và cách nhau một khoản là
t (gọi là chiều dày tấm). Tuỳ theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích nhỏ nhất của mặt phẳng
tấm
b
t
mà người ta chia tấm thành hai loại:
- Tấm dày:
b
t
>
5
1
;
- Tấm mỏng khi
5
1
20
1
≤≤
b
t
; và có độ võng lớn nhất
4
max
t

≤
ω
.
Trong tấm mỏng các ứng suất màng là rất nhỏ so với ứng suất gây ra bởi sự uốn tấm
do tải trọng vuông góc tấm gây ra khi tấm có độ võng nhỏ.
Tuy nhiên nếu tấm có độ võng lớn
4
1
max
f
ω
các ứng suất do uốn này bị ảnh hưởng
rất nhiều bởi các ứng suất màng. Khi đó phải tính toán với lý thuyết tấm có biến dạng
lớn.
Dưới đây sẽ đưa ra các phương trình cơ bản của tấm theo lý thuyết cổ điển(lý thuyết
Kirchhoff).
Lý thuyết Kirchhoff dựa trên các giả thuyết sau:
- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và thẳng góc
với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi.
- Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt, nó là mặt trung hoà.
- Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm.
Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc mặt phẳng tấm với hệ trục toạ độ xyz sao
cho mặt phẳng toạ độ xy trùng với mặt trung gian tấm và trục z là vuông góc với mặt
phẳng tấm.
Khi tấm ch
ịu uốn, tại mặt trung hoà chuyển vị của một điểm bao gồm: độ võng, góc
xoay theo x và theo y.
z
y
x

t
b
a
MÆt trung hoµ

Hình 6-1. Sơ đồ tải trọng của tấm uốn.

6-2
Trên cơ sở các giả thiết trên, các thành phần chuyển vị u, v của tấm sẽ được biểu
diễn theo độ võng
ω
và góc xoay
x
θ
,
y
θ
của mặt trung hoà.

z
y
x
0f
y
θ
x
y
∂
∂
−=

ω
θ
x∂
∂
−
ω

Hình 6-2. Sơ đồ xác định góc xoay theo y.

y

x

z

0f
x
θ
y
x
∂
∂
=
ω
θ
y∂
∂
ω

Hình 6-3. Sơ đồ xác định góc xoay theo x.

()
yx,
ωω
=
là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt trung hoà.
Chuyển vị u, v (chuyển vị ngang và dọc) tại một điểm bất kỳ:
y
zzv
x
∂
∂
−=−=
ω
θ
;
x
zzu
y
∂
∂
−==
ω
θ
( 6-1)
Quan hệ giữa biến dạng và độ võng
ω
được xác định như sau:
xx
zk
x

z
x
u
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
2
2
ω
ε

yy
zk
y
z
y
v
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
2
2

ω
ε
( 6-2)
xyxy
zk
yx
z
x
v
y
u
=
∂∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
=
ω
ε
2
2

6-3
Trong đó k
x

, k
y
, k
xy
lần lượt là độ cong theo x,y và 2 lần độ xoắn
2
2
x
k
x
∂
∂
−=
ω
;
2
2
y
k
y
∂
∂
−=
ω
;
yx
k
xy
∂∂
∂

−=
ω
2
2
( 6-3)
Các biến dạng ε
zx
và ε
yz
đều bằng 0 do giả thiết thứ nhất,
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke, chú ý là
0=
z
σ
:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
⎪

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
yx
y
x
v
v
v
v
E
z
v
v
v
v
E
xy
y
x
xy
y
x
ω
ω
ω
ε
ε

ε
σ
σ
σ
2
2
2
2
2
22
2
2
1
00
01
01
1
2
1
00
01
01
1
( 6-4)
Các thành phần ứng suất về nội lực trong tấm uốn được thể hiện như sau:

x

y
z

xz
τ
xy
τ
x
σ
yz
τ
yx
τ
y
σ

Hình 6-4. Các vectơ ứng suất trên phần tử.
Chỉ số của ứng suất tiếp được hiểu như sau: nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục
của chỉ số thứ nhất và phương theo trục của chỉ số thứ hai.

x
z
y
My
Qy

Myx

Mxy

Mx
Qx

Mxy
x
Qx
Mx
Q
y
z
Myx

My

y

Hình 6-5. Sơ đồ xác định vecto nội lực.
Trong đó:
∫
−
=
2
2
t
t
xx
zdzM
σ

∫
−
=

2
2
t
t
yy
zdzM
σ
M
xy
=
∫
−
=
2
2
t
t
xyxy
zdzM
τ
( 6-5)

6-4
∫
−
=
2
2
t
t

xzx
dzQ
τ

∫
−
=
2
2
t
t
yzy
dzQ
τ

Các mômen nội lực:
[]
{}
kD
yx
y
x
v
v
v
D
M
M
M
xy

y
x
⋅=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂∂
∂
∂
∂
∂

∂
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω
ω
ω
2

2
2
2
2
2
2
1
00
01
01
( 6-6)
Trong đó:
)1(12
2
3
v
Et
D
−
=
còn:
[D] = D
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
−
2
1
00
01
01
v
v
v
( 6-7)
{k} =
T
yx
yx
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂∂
∂
−
∂
∂
−

∂
∂
−
ωωω
2
2
2
2
2
2

Lực cắt theo x và y được xác định như sau:
ω
2
∇
∂
∂
−=
x
DQ
x
;
ω
2
∇
∂
∂
−=
y
DQ

y

2
2
2
2
2
yx ∂
∂
+
∂
∂
=∇
ωω
ω

Độ võng
()
yx
,
ω
của mặt trung hoà thoả mãn phương trình sau:
D
yxp
yxyx
),(
2
4
4
22

4
4
4
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
ωωω
( 6-8)
p(x,y) - lực phân bố trên bề mặt tấm;
6.2
Phần tử tấm dạng tam giác
6.2.1 Ma trận độ cứng
Xét một phần tử tấm mỏng dạng tam giác chịu uốn trong hệ trục toạ độ địa phương
x, y, z:

6-5

y

z

x
y
x
a
b
k(0,b)
j(a,0)

i(0,0)
k

i

j
i
y
q
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ω
2

1
q
i
=
ω
i
x
q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ω
3
7
q
k
=
ω
k
x
q
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ω
9
k
y
q
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ω
9
4
q
j
=
ω
j

y
q
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ω
5
j
x
q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ω
6

Hình 6-6. Sơ đồ chuyển vị nút của phần tử tam giác.
Tại mỗi nút của phần tử có một độ võng ω và các góc xoay θ
x
, θ
y
theo các trục x,y.
Phần tử có 9 bậc tự do mới liên hệ giữa góc xoay và chuyển vị thẳng ω tại mỗi nút như
sau:
ω
i
;
i
xi
y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ω
θ
;
i
yi

x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ω
θ
( 6-9)
Hàm chuyển vị ω(x,y) có dạng xấp xỉ như sau:
( )
3
9
22
8
3
7
2
65
2
4321
),( yxyyxxyxyxyxyx
αααααααααω
+++++++++=

Hay:

() ()
[]
{}
αω
⋅= yxPyx ,,
( 6-10)
()
[]
( )
[ ]
322322
1, yxyyxxyxyxyxyxP +=

Cho chuyển vị trùng với các nút ta có 9 chuyển vị nút
()
0,0
1
ωω
==
i
q
;
)0,0(
2
yy
q
i
∂
∂
=

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ωω
;
)0,0(
3
xx
q
i
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=

ωω
;
()
0,
4
aq
j
ωω
==
;
)0,(
5
a
yy
q
j
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=

ωω
;
)0,(
6
a
xx
q
j
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ωω
;
()
bq
k
,0
7
ωω
==
;

),0(
8
b
yy
q
k
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ωω
;
),0(
9
b
xx
q
k
∂
∂

−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ωω
;
Dưới dạng ma trận
{}
[]
{}
α
⋅= Aq
e
trong đó:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−
=
2
2
32
2
2
32
300200100

0000010
000001
0000100
003002010
000001
000000100
000000010
000000001
bb
bb
bbb
aa
aa
aaa
A

6-6
Sau khi nghịch đảo ta có:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−

−
−
−−
−−−
=
−
2322
2323
22
2
1
1
0
2
000
1
0
2
0
1
0
1
00
11
0
0000
12
0
12
1

0
3
000
2
0
3
00000
0000
13
0
2
2
3
000000100
000000010
000000001
bbbb
bcacacbc
aaaa
b
b
b
b
bc
a
ac
b
ac
b
bc

a
a
a
a
A

Trong đó: c=b - a. Chuyển vị tại một điểm có thể tính theo chuyển vị nút như sau:
()
[]
{}
e
qNyx ⋅=
,
ω
;
[]
()
[][ ]
1
,
−
⋅= AyxPN

[][ ]
921
... NNNN =

Các hàm dạng có công thức như sau:
3
3