Dao động của hệ có một bậc tự do

Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-1
Chương 1.
DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO
1.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động
Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm
này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem
như không đáng kể và tạm thời chưa xét tới). Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích
thay đổi theo thời gian là P(t) (hình 1-1a).


















Vị trí của khối lượng M khi dao động được xác định bởi hàm số y(t). Giả thiết chuyển
vị đứng y(t) hướng xuống dưới là dương và vị trí xuất phát của khối lượng M là vị cân bằng
ban đầu tương ứng với khi y = 0.

Dưới tác dụng của lực kích thích P(t), khối lượng M dao động và trên dầm chịu tác
dụng của những lực sau đây :
1. Lực tác dụng P(t)
2. Lực quán tính của kh
ối lượng
yM.Z
&&
−=
. Lực này đặt tại khối lượng M và có chiều
hướng theo chiều của chuyển động tức là hướng xuống dưới, vì chiều của gia tốc
y
&&

của khối lượng M luôn luôn hướng về vị trí cân bằng.
3. Lực cản R. Lực này phụ thuộc môi trường chuyển động (chất khí, chất lỏng...), ma
sát của các liên kết tựa, hiện tượng ma sát trong của vật liệu, độ chuyển dời của
khối lượng, và vận tốc của chuyển động. Đa số các trường hợp trong thực tế có thể
xem lực cản R tỷ lệ
bậc nhất với vận tốc chuyển động:
yβ
&
=R
, R có chiều ngược
với chiều chuyển động tức là hướng lên trên. Trong đó :

y
&
- vận tốc của khối lượng M ;

β

- hệ số tỷ lệ đặc trưng cho sự cản, có đơn vị là
s
c
m
KN
.
Gọi
1P
δ
- chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại điểm đặt
của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra;
b,

R
δ
1P
c,

1
δ
11
a,
M

P(t)
y(t)
y > 0
..
Z = -M.y
..

x
1

Hình 1-1. Hệ có một bậc tự do.

Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-2

11
δ
- chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn
vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra.
Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì ta có thể áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng.
Lúc này chuyển vị y(t) của khối lượng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, lực kích
thích P(t) và lực cản R cùng tác dụng gây ra. Do đó ta có phương trình sau:
.Rδ.Zδ.P(t)δy(t)
11111P
−+=

hay:
yβδδδ
&
&&
.y.M.P(t)y(t)
11111P
−−=

Chia cả hai vế cho
11

δ
M
và sau khi biến đổi ta được:
.P(t).y2y
1P
22
δωωyα
=++
&
&&
(1-1)
trong đó
11
2
Mδ
1
ω =
;
M
β
2α =
(1-2)
Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động cưỡng bức có kể đến lực cản của
hệ có một bậc tự do.
Trong các mục dưới đây ta sẽ vận dụng phương trình vi phân tổng quát để nghiên cứu
dao động của hệ có một bậc tự do tương ứng với các trường hợp cụ thể khác nhau.
1.2 Dao động tự do không có lực cản
Như ta đã biết, dao động t
ự do của hệ là dao động sinh ra bởi một lực kích động bất kỳ
tác dụng trên hệ rồi cất đi tức thời. Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do

không có lực cản có dạng:
0.yy
2
=+ ω
&&
(1-3)
Đây là phương trình vi phân cấp hai không có vế phải và có hệ số là hằng số.
Nghiệm của phương trình (1-3) có dạng:
()
ωtBsinωtAcosty
+=
(1-4)
Trong đó : A, B là những hằng số tích phân.
Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) (hình 1-2) theo thời gian, chính là vận tốc của
khối lượng M
t.cosB.t.sinA.v)t(y
ωωωω
+−==
&
(1-5)
Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) được xác định theo các điều kiện ban đầu:
Khi
0=t
;
0
yy
=
và
00
vyy ==

&&
.
Thay các điều kiện này vào các phương trình (1-4) và (1-5) ta xác định được :
0
yA
=
;
ω
0
v
B =
.
Như vậy phương trình dao động có dạng :
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-3
M
y(t)
y
x
a
Hình 1.2 Hệ một bậc tự do
y
t
t
t
T
y
0
2ω

π
ω
π
2ω
2π
T/4 T/4 T/4 T/4
v /
ω
0
ω
π
2ω
2π
a,
b,
c,
ε/ω
T/4 T/4 T/4
t

m
y + ( )
v
ω
0
2
Hình 1-3. Các dao động thành phần
1
A
C

B
B
O
A
1
y
v /
ω
0
y
0
ε
ω
t
λ

Hình 1-4. Véc tơ quay.

t
v
tyy .sin.cos
0
0
ω
ω
ω
+=
(1-6)
Ta thấy trong trường hợp này, dao động của hệ gồm hai thành phần: dao động tỷ lệ với
hàm coswt, phụ thuộc vào chuyển vị ban đầu y

0
của khối lượng (hình 1-3a); dao động tỷ lệ
với hàm sinwt phụ thuộc vào vận tốc ban đầu v
0
(hình 1-3b). Chuyển vị của khối lượng M ở
mỗi thời điểm bằng tổng các tung độ của hai đường cong ở thời điểm tương ứng. Đường
biểu diễn của chuyển động của khối lượng M theo thời gian t có dạng như trên (hình 1-3c).


Người ta còn dùng véc tơ quay để biểu diễn dao động. Xét véc tơ
OA
(hình1-4) có độ
lớn bằng y
0
, quay quanh điểm cố định 0 với vận tốc góc
ω
không đổi, véc tơ
OB
có độ lớn
là
ω
0
v
vuông góc với véc tơ
OA
. Hình chiếu của véc tơ
OA
và
OB
lên trục y cho ta các số

hạng của biểu thức (1-6).
Cũng được kết quả như vậy, nếu thay cho hai véc tơ
OA
và
OB
, ta khảo sát véc tơ
OC

là tổng hình học của chúng và lấy hình chiếu của
OC
trên trục y. Theo hình (1-4) véc tơ
OC
có độ lớn là a bằng :
2
0
2
0
)(
ω
v
ya +=
, (1-7)
và hợp với trục y một góc bằng :
)t.(
εω
−
, trong đó :
0
0
.y

v
arctg
ω
ε
=
.
Vậy phương trình (1-6) có thể viết dưới dạng :
).cos(
εω
−=
tay
(1-8)
Nếu gọi l là góc hợp giữa véc tơ
OC
và
OB
thì ta có thể biểu diễn (1-8) dưới dạng:
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-4
)]
2
(.cos[
λ
π
ω
−−= tay

hay
).sin(

λω
+= tay
(1-9)
Trong đó:
)(
0
0
v
y
arctg
ω
λ
=
(1-10)
Các đại lượng a và l xác định theo biểu thức (1-7) và (1-10) là các hằng số phụ thuộc
điều kiện ban đầu của chuyển động.
Ta cần xác định chu kỳ và tần số của dao động :
+ Chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lượng M thực hiện một dao động toàn
phần và được ký hiệu là T và bằng:
)(
2
sT
ω
π
=

+ Tần số dao động là số lần dao động trong một giây :
)/1(
2
1

s
T
f
π
ω
==
.
Do đó suy ra :
f.2
πω
=
là số lần dao động trong
π
2
giây và
ω
còn được gọi là tần số
vòng của dao động riêng. Trong thực tế ta hay dùng tần số vòng nên thường gọi tắt
ω
là tần
số dao động riêng.







Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định được các đại lượng trên như sau :
1. Tần số vòng của dao động riêng được xác định như sau:

)/1(
.
1
1111
s
y
g
P
g
M
t
===
δδ
ω
(1-11)
Trong đó : g - gia tốc trọng trường;

t
y
- chuyển vị của khối lượng M do lực P = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí đặt khối
lượng M, theo phương dao động gây ra (hình 1-5a, b).
Đối với hệ trên (hình 1-5b), nếu kể đến hiện tượng uốn dọc ta có :
gM
P
Mg
EJ
l
ty
leO
.

)1(3
)(
'
3
−
=

a,
y
t
P = Mg
P = Mg
l
y
t
b,

Hình 1-5. Sơ đồ xác định chuyển vị tĩnh y
t
.
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-5
2. Tần số dao động riêng :
t
y
g
f
ππ
ω

2
1
2
==
(1-12)
3. Chu kỳ dao động :
g
y
T
t
π
ω
π
2
2
==
(1-13)
Từ biểu thức (1-9) ta có thể xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của chuyển vị, vận tốc
và gia tốc của khối lượng M.
).sin(
λω
+= tay
; do đó
ay =
max
(1-14)
)t.sin(avy
λωω
+==
&

; do đó
ω
.
max
av =
(1-15)
)t.sin(ay
2
λωω
+−=
&&
; do đó
2
max
.ay
ω
=
&&
(1-16)
Ngoài ra ta còn có thể tìm được giá trị t
m
xác định toạ độ thời gian đầu tiên xảy ra
chuyển vị lớn nhất của khối lượng M (hình 1-3c). Theo (1-9):
atay
m
=+= ).sin(
max
λω

do đó :

2
.
π
λω
=+
m
t

Vậy:
ω
ε
λ
π
ω
=−= )
2
(
1
m
t

1.3 Dao động tự do có lực cản
Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do có lực cản có dạng :
0yy2y
2
=++
ωα
&&&
(1-17)
Trong đó :

M
β
α
=
2
và
11
2
1
δ
ω
M
=

Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1-17) có dạng :
0.2
22
=++
ωα
ss

Nghiệm của phương trình đặc trưng này là:
22
1
s
ωαα
−+−=
,
22
2

s
ωαα
−−−=

Vậy nghiệm của phương trình (1-17) có dạng tổng quát :
)eCeC(ey
t
2
t
1
t.
2222
ωαωαα
−−−−
+=
(1-18)
Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa
α
và
ω
. Nếu
a <
ω
(lực cản nhỏ) thì nghiệm của phương trình đặc trưng có số ảo, nếu a >
ω
(lực cản lớn)
thì nghiệm là số thực .
Ta lần lượt khảo sát các trường hợp sau :
a) Trường hợp lực cản nhỏ (a <
ω

):
Các nghiệm của phương trình đặc trưng có dạng:
22
1
αωα
−+−= is
và
22
2
αωα
−−−= is
.
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-6
Nếu gọi
22
1
αωω
−=
thì phương trình (1-18) có dạng :
)(
11
.
2
.
1
.
titi
t

eCeCey
ωω
α
−
−
+=

Hay có thể viết dưới dạng khác như sau :
).sin.cos(
11
.
tBtAey
t
ωω
α
+=
−
(1-19)
Để xác định các hằng số tích phân, A và B, ta có các điều kiện ban đầu :
Khi
0=t
;
0
yy =
và
00
vyy ==
&&
.
Biểu thức vận tốc của chuyển động:

)t.cosBt.sinA(e)t.sinBt.cosA(e.yv
11
t.
11
t.
ωωωωα
αα
+−++−==
−−
&

hay:

)cossin(.
11
..
1
tBtAeyv
t
ωωα
ωα
+−+−=
−
.
Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được :
0
yA =
và
1
00

.
ω
α
yv
B
+
=
.
Vậy:
]sin)sin(cos[
1
1
0
1
1
10
.
t
v
ttyey
t
ω
ω
ω
ω
α
ω
α
++=
−

hay:
)sin
.
cos(
1
1
00
10
.
t
yv
tyey
t
ω
ω
α
ω
α
+
+=
−
(1-20)
Số hạng thứ nhất của biểu thức này tỷ lệ với hàm cosw
1
t và chỉ phụ thuộc chuyển vị
ban đầu y
0
, còn số hạng thứ hai tỷ lệ với hàm sinw
1

t, phụ thuộc cả chuyển vị ban đầu y
0
và
vận tốc ban đầu v
0
. Từ (1-20) ta thấy dao động có lực cản là dao động tắt dần.
Tương tự, ở đây ta cũng có thể dùng véc tơ quay để biểu thị chuyển động của dao
động tắt dần. Xét véc tơ
OA
(hình 1-6) biểu thị đại lượng thay đổi
t.
0
ey
α
−
quay quanh tâm 0
với vận tốc
1
ω
không đổi. Nếu tính góc quay từ trục y theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
ω
t
1
Α
1
Β
1
S
S
N

M
C
A
O
B
1
ϕ
arctg( )
α
ω
y
1
Hình 1-6. Biểu diễn bằng véc tơ quay

Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-7
thì hình chiếu OA
1
của véc tơ đó lên trục y bằng
tcoseyy
1
t.
0
ω
α
−
=
và biểu diễn số hạng thứ
nhất của (1-20).

Cũng tương tự, xét véc tơ
OB
biểu thị đại lượng thay đổi bằng
)
y.v
(e
1
00
t.
ω
α
α
+
−
và
vuông góc với véc tơ
OA
; hình chiếu OB
1
của véc tơ này lên trục y là số hạng thứ hai của
nghiệm (1-20). Biểu thức chung sẽ là hình chiếu trên trục y của véc tơ
OC
tức là véc tơ
tổng của hai véc tơ
OA
và
OB
.
Độ lớn của véc tơ
OC

đó bằng C :
2
1
00
2
0
.22
)
.
(
ω
α
α
yv
yeOBOAC
t
+
+=+=
−
.
Nếu gọi góc hợp giữa véc tơ
OB
và véc tơ
OC
là
ϕ
thì góc hợp giữa véc tơ
OC
với
trục y là:

)
2
(t
1
ϕ
π
ω
−−
.
Do đó biểu thức (1-20) có thể viết dưới dạng :
)sin()]
2
(cos[
11
ϕωϕ
π
ω
+=−−= tCtCy

hay:
)sin(.
).(
1
2
1
2
00
2
0
.

ϕω
ω
α
α
+
+
+=
−
t
yv
yey
t
(1-21)
trong đó :
00
10
.yv
y
tg
α
ω
ϕ
+
=
hay
00
10
.yv
y
arctg

α
ω
ϕ
+
=
. (1-22)
Khi véc tơ
OC
quay (hình 1-6), điểm C vẽ đường xoắn ốc lôgarít, tiếp tuyến của nó
hợp với phương vuông góc với véc tơ
OC
một góc không đổi
)(
1
arctg
ω
α
−
.
Qua biểu thức (1-21) ta thấy
dao động có lực cản ở đây là dao
động tắt dần có dạng như trên (hình
1-7).

n
n+1
n
n+1
T
1
T
1
C
C
y
y
y
y
1
m
,
m
3
,
2
m
,
y = c.e sin( t + )
α.
t

ω

ϕ
1
y = -c.e
−
α
.
t
1
y = +c.e
−α.
t
1
m
1
m
2
3
m
y
Hình 1-7. Dạng dao động tắt dần.
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-8
Chu kỳ của dao động này là :
)(
22
22
1
1
sT

αω
π
ω
π
−
==
.
Tần số dao động :
)/1(
22
1
22
1
1
s
T
f
π
αω
π
ω
−
===
.
Tần số vòng :
)/1(2.
1
sf
ωπ
=

.
Qua biểu thức (1-21) và đồ thị ta thấy dao động là điều hoà nhưng biên độ thay đổi
theo thời gian
t
Ce
.
α
−
, với
2
1
2
00
2
0
).(
ω
α
yv
yOCC
+
+==
. Vậy dao động tắt dần theo quy luật số mũ âm.
Ta cũng có thể dùng đường cong hình sóng vẽ trên hình 1-8 biểu diễn phương trình (1-
21). Đường cong này tiếp xúc với đường cong
t
Cey
.
α
−

−=
tại các điểm
1
m
′
,
2
m
′
.
Để nghiên cứu độ tắt dần, ta xét tỷ số giữa hai tung độ chuyển vị của khối lượng cách
nhau một chu kỳ T
1
:
)(
.
11
)(
1
.
1
11
])(sin[
)sin(
Tt
t
Tt
t
n
n

e
e
TtCe
tCe
y
y
+−
−
+−
−
+
=
++
+
==
α
α
α
α
ϕω
ϕω
η
;
1
1
T
n
n
e
y

y
α
η
==
+
.
Từ đó suy ra :
χα
==
+
)ln(.
1
1
n
n
y
y
T
, trong đó
χ
là hệ số biểu thị tốc độ tắt dần, gọi là
giảm lượng lôga của dao động.
Hệ số
χ
có một ý nghĩa quan trọng, vì thông qua giá trị của nó xác định bằng thí
nghiệm (đo y
n
và y
n+1
) ta có thể tìm được đại lượng

α
và từ đó suy ra hệ số cản
β
.
Sau đây là một số kết quả thí nghiệm đo
1
.
T
αχ
=

1. Đối với các kết cấu thép :
5,01,02)08,0016,0(.
1
÷≈÷=
πα
T

2. Đối với các kết cấu gỗ :
15,003,02)022,0005,0(.
1
÷≈÷=
πα
T

3. Đối với kết cấu bê tông cốt thép :
20,008,02)032,0016,0(.
1
÷≈÷=
πα

T

4. Đối với cầu thép :
)15,001,0(.
1
÷=T
α
trung bình
08,0

5. Đối với cầu bê tông cốt thép :
31,0.
1
=T
α

6. Đối với dầm bê tông cốt thép :
)39,017,0(.
1
÷=T
α
trung bình
28,0

7. Đối với khung bê tông cốt thép :
)16,008,0(.
1
÷=T
α
trung bình

12,0

Tần số góc
1
ω
thường xấp xỉ bằng tần số
ω
. Giả sử cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ sau nhỏ
hơn biên độ trước một nửa; có nghĩa là hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh. Lúc này ta có :
5,0
1
.
==
T
e
α
η
, nên :
693,05,0ln.
1
==T
α
.
Do đó :
11
1
11,0
2
693,0693,0
ωω

π
α
===
T
,
ωωωαωω
994,0)11,0(
2
1
222
1
=−=−=
.
Ta thấy trường hợp hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh, tần số
1
ω
giảm không đáng kể.
Vì vậy trong thực tế tính toán người ta thường chọn
1
ωω
=
.
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-9
Bây giờ ta nghiên cứu ảnh hưởng của lực cản đến chu kỳ dao động.
Chu kỳ dao động tự do :
ω
π
2

0
=
T

Chu kỳ dao động khi có lực cản :
2
22
1
1
)(1
1222
ω
α
ω
π
αω
π
ω
π
−
=
−
==T

Ta thấy :
1
)(1
1
2
0

1
>
−
=
ω
α
T
T
.
Như vậy lực cản làm cho chu kỳ dao động dài hơn; tất nhiên khi đó tần số sẽ giảm,
nghĩa là dao động xảy ra chậm hơn dao động tự do không có lực cản.
Trong thực tế
η
thường lớn, nhưng
ω
α
thường lại nhỏ nên ta thấy: dao động tắt đi rất
nhanh, nhưng chu kỳ dao động lại tăng rất ít so với chu kỳ dao động tự do. Vì vậy khi làm
thí nghiệm để tìm chu kỳ dao động, ta bỏ qua lực cản của môi trường (khi lực cản yếu); điều
đó có lợi vì hệ số cản thường chưa biết.
b) Trường hợp lực cản lớn (
ωα
>
):
Ta đặt
2
2
22
ωωα
=−

Theo (1.18) nghiệm của phương trình (1-17) có dạng :
)()(
2221
.
21
.
22
tshCtchCeeeey
t
tt
t
ωωγγ
α
ωω
α
+=+=
−
−
−

hay có thể viết khác như sau :
).
22.
1
θωα
α
+−=
−
tsheay

t
(1-23)
sau khi xác định C
1
và C
2
theo các điều kiện ban đầu ta được :
tsh
yv
tchyey
t
2
2
00
20
.
.
(
ω
ω
α
ω
α
+
+=
−
. (1-24)
Ta thấy chuyển động của khối lượng không tuần hoàn. Tuỳ theo điều kiện ban đầu, có
thể xảy ra một trong ba dạng chuyển động sau :
y

t
y
m
M
y
v
1
0
0
M
1
t
y
v
0
y
0
y
t
m
m
y
0
y
ooo
0
v = 0
Hình 1-8. Các dạng dao động tự do có lực cản lớn tuỳ thuộc điều kiện ban đầu.
a) b) c)
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do

1-10
+ Khối lượng bắt đầu dao động từ y
0
với vận tốc v
0
hướng ra ngoài vị trí cân bằng
(hình 1-8a). Do lực cản lớn khối lượng chuyển động đến M
1
rồi quay trở lại và tiệm cận dần
tới vị trí cân bằng ban đầu;
+ Khối lượng bắt đầu dao động từ y
0
với vận tốc v
0
hướng về vị trí cân bằng. Khối
lượng M chuyển động qua vị trí cân bằng tới M
1
thì quay lại và tiệm cận dần tới vị
trí cân bằng (hình 1-8b);
+ Khối lượng được thả từ y
0
không có vận tốc ban đầu, lúc này chuyển động sẽ giảm
nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8c).
c) Trường hợp
ωα
=
:
Phương trình đặc trưng có nghiệm kép
α

−==
21
ss
.
Vậy nghiệm của bài toán có dạng :
)(
24
.
CtCey
t
+=
−
α
.
Chuyển động cũng không tuần hoàn, ta cũng có thể gặp một trong ba dạng chuyển
động như trên.
1.4 Dao động cưỡng bức trong trường hợp tổng quát
Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp dao động có lực cản, chịu lực kích
thích bất kỳ P(t). Theo (1-1) phương trình vi phân thiết lập cho trường hợp tổng quát có
dạng:
)t(Pyy2y
P1
22
δωωα
=++
&&&
.
Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp lực cản yếu
)(
βα

<
- là trường hợp hay gặp trong
thực tế. Tương tự như ở Đ3, nghiệm của phương trình vi phân trên, nhưng không có vế phải
có dạng (xem 1.20) :
te
v
tteyy
tt
1
.
1
0
11
.
0
sin)sin(cos
ω
ω
ω
ω
α
ω
αα
−−
++=
. (1-26)
Phương trình chuyển động (1-26) gồm hai số hạng : số hạng đầu là do chuyển vị ban
đầu y
0
so với vị trí cân bằng, số hạng sau là do ảnh hưởng của vận tốc ban đầu v

0
.
Ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hưởng của lực kích thích P(t) nên
chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa. Ta xét tại thời điểm t bất kỳ ở giữa các thời
điểm 0 và t, trong khoảng thời gian rất ngắn dt, do tác dụng của lực kích thích vận tốc v có
số gia là dv. Số gia dv sẽ làm cho số gia dy của chuyển vị tổng cộng tại thời đ
iểm t có thêm
một lượng tương tự như số hạng thứ hai của biểu thức (1-26) tức là :
{ }
)(sinsin)sin(cos
1
)(
1
1
.
1
0
1
1
1
.
0
τω
ω
ω
ω
ω
ω
α
ω

τααα
−+++=
−−−−
te
dv
te
v
tteyddy
ttt
(1-27)
Sau đây ta đi tìm số gia của vận tốc dv
Theo giáo trình Cơ lý thuyết, ta đã biết: xung lượng của lực tác động trong thời gian dt
bằng độ biến thiên động lượng tại thời điểm đó:
).()(
vMddPS
==
ττ
(1-28)