CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI một vài lớp bài TOÁN cân BẰNG có TÍNH lồi và đơn điệu SUY RỘNG tt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————

TRẦN VIỆT ANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP
BÀI TOÁN CÂN BẰNG CÓ TÍNH LỒI
VÀ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62460102

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


MỞ ĐẦU
Trong thực tế, bên cạnh những mô hình toán học đòi hỏi phải tìm nghiệm chung
của hai bài toán trên cùng một không gian, có những mô hình, chẳng hạn mô hình
IMRT (Intensity-Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu yêu cầu tìm
nghiệm của một bài toán trong không gian này sao cho ảnh của nó qua một toán
tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài toán trong không gian khác. Bài toán
chấp nhận tách (SFP - Split Feasibility Problem) được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q,

(SF P )

trong đó C, Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert
thực H1 , H2 và A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lý

tín hiệu và khôi phục ảnh, liệu pháp xạ trị với cường độ điều chỉnh (intensitymodulated radiation therapy) và trong các bài toán khác. Bài toán chấp nhận tách
trong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Censor
và Elfving. Để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều, Byrne
đã đề xuất thuật toán CQ bằng cách xét dãy, với mọi k ≥ 0,
xk+1 = PC (xk + γAT (PQ − I)Axk ),
trong đó C, Q lần lượt là hai tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và Rm , A là một ma
2
trận thực m × n, L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận AT A và γ ∈ 0,
.
L
Gần đây, Xu đã giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert vô hạn
chiều trong đó thuật toán CQ có dạng
xk+1 = PC (xk + γA∗ (PQ − I)Axk ),
2
và A∗ là toán tử liên hợp của A. Tác giả chứng minh được dãy
A 2
{xk } hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán chấp nhận tách với điều kiện bài toán
chấp nhận tách có nghiệm.
Thuật toán CQ để giải bài toán chấp nhận tách đòi hỏi phải tìm được hình
chiếu trên các tập C và Q, tuy nhiên trong các trường hợp các tập C, Q được cho
dưới dạng ẩn, ví dụ như tập điểm bất động của một ánh xạ, tập nghiệm của một
bài toán bất đẳng thức biến phân, tập nghiệm của một bài toán cân bằng,...thì ta
không thể tìm được hình chiếu trên nó. Bài toán chấp nhận tách trong trường hợp
này được gọi là bài toán chấp nhận tách suy rộng. Một số dạng cơ bản của bài
toán chấp nhận tách suy rộng được nghiên cứu trong luận án đó là bài toán điểm
bất động tách, bài toán bất đẳng thức biến phân tách, bài toán cân bằng tách,

với γ ∈ 0,

1

bài toán chấp nhận tách đa tập hợp. Tất cả các dạng này đều được giả thiết là
có nghiệm. Luận án nghiên cứu và đề xuất phương pháp giải một vài lớp bài toán
bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận
tách suy rộng. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được
chia thành bốn chương, trong đó các kết quả chính của luận án nằm ở Chương 2,
Chương 3 và Chương 4.
Bố cục của luận án
Mở đầu
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách
Chương 3. Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc bất đẳng thức biến
phân tách và chấp nhận tách đa tập hợp
Chương 4. Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán cân bằng tách
Kết luận
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
Tài liệu tham khảo

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả được sử dụng
trong các chương tiếp theo của luận án.

1.1

Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi

Cho H là không gian Hilbert thực và f : H −→ R ∪ {±∞}. Tập
dom f := {x ∈ H : f (x) < +∞}
được gọi là miền hữu hiệu của hàm f .
Ta nói f là hàm chính thường nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.1. f : H −→ R ∪ {+∞} được gọi là hàm lồi nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
với mọi x, y ∈ dom f và mọi λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.2. Cho f : H −→ R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường. Ta nói p ∈ H
là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu
p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại
x0 và được ký hiệu là ∂f (x0 ). Như vậy
∂f (x0 ) = {p ∈ H : p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ H}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Định lý 1.1. (Định lý Moreau-Rockafellar) Cho f1 , f2 : H −→ R ∪ {+∞} là hai
hàm lồi chính thường. Khi đó
∂(f1 + f2 )(x) ⊃ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ∀x ∈ H.
Ngoài ra, nếu một trong hai hàm f1 , f2 liên tục tại một điểm thuộc miền hữu hiệu
của hàm kia thì
∂(f1 + f2 )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ∀x ∈ H.
3


1.2

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Định lý 1.2. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H.

Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho
x − y = min x − z .
z∈C

Khi đó điểm y ∈ C được gọi là hình chiếu của x trên C và được ký hiệu là PC (x).
Định nghĩa 1.3. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H, ánh xạ PC : H −→ C xác định bởi
x − PC (x) = min x − z
z∈C

được gọi là toán tử chiếu trên C.
Bổ đề 1.1.

1.3

Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.4. Cho C là một tập khác rỗng của H và T : C −→ C là một ánh
xạ. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x.
Ta ký hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của T , tức là
Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x}.
Định nghĩa 1.5.
Bổ đề 1.2. Giả sử C là tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và T : C −→ C là ánh xạ không giãn. Nếu T có điểm bất động thì Fix(T ) là tập
lồi đóng.

1.4

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, F là ánh
xạ đi từ Ω vào H, trong đó Ω là một tập trong H chứa C. Bài toán bất đẳng thức
biến phân V IP (C, F ) được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.1)

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) được ký hiệu là
Sol(C, F ).
4


Bổ đề 1.3. Cho x∗ ∈ C và λ > 0. Khi đó x∗ ∈ Sol(C, F ) ⇐⇒ x∗ ∈ Fix(T ).
Định lý 1.3. Nếu C là tập lồi compact và F là liên tục trên C thì V IP (C, F ) có
nghiệm.
Định nghĩa 1.6.
Định lý 1.4. Nếu F : Ω −→ H là β-đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz
trên C thì V IP (C, F ) có nghiệm duy nhất.
Bổ đề 1.4. Cho ánh xạ F : Ω −→ H là η-đơn điệu mạnh ngược trên C và
µ ∈ (0, 2η]. Xét ánh xạ T : C −→ C cho bởi
T (x) = PC (x − µF (x)) ∀x ∈ C.
Khi đó ánh xạ T là không giãn và Fix(T ) = Sol(C, F ).
Bổ đề 1.5. Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và Ω là một tập trong H chứa C. Cho ánh xạ F : Ω −→ H giả đơn điệu trên C
và một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
(i) lim sup F (xk ), y ≤ F (x), y với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ
k−→∞

yếu đến x.
(ii) F liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0.

Giả sử tập nghiệm Sol(C, F ) của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) khác
rỗng, khi đó Sol(C, F ) là tập lồi đóng.

1.5

Bài toán cân bằng

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, f : C×C −→
R là một song hàm sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Bài toán cân bằng (EP Equilibrium Problem) cho song hàm f trên C là bài toán
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(1.2)

Ta ký hiệu bài toán cân bằng (1.2) và tập nghiệm của nó lần lượt bởi EP (C, f ),
Sol(C, f ).
Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H. Song hàm f : C × C −→ R ∪ {+∞} được gọi là:
(i) đơn điệu trên C nếu f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;
(ii) giả đơn điệu trên C nếu từ f (x, y) ≥ 0, ta suy ra f (y, x) ≤ 0 với mọi

5


x, y ∈ C;
(iii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0 nếu
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y

2

− c2 y − z

2

∀x, y, z ∈ C;

(iv) liên tục yếu đồng thời trên C × C nếu với hai dãy {xk }, {y k } ⊂ C hội tụ
yếu lần lượt đến x, y ∈ C thì f (xk , y k ) −→ f (x, y) khi k −→ ∞.
Bổ đề 1.6. Cho f : C × C −→ R thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(A1 ) f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C;
(A2 ) f đơn điệu;
(A3 ) với mọi x, y, z ∈ C lim sup f (λz + (1 − λ)x, y) ≤ f (x, y);
λ−→0+

(A4 ) với mọi x ∈ C, hàm y −→ f (x, y) lồi và nửa liên tục dưới trên C.
Khi đó với mọi r > 0 và x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho
f (z, y) +

1
y − z, z − x ≥ 0 ∀y ∈ C.
r

Bổ đề 1.7. Cho f : C × C −→ R thỏa mãn các điều kiện (A1 ) − (A4 ). Với mọi
r > 0, ta xác định ánh xạ Trf : H −→ C bởi
Trf (x) = z ∈ C : f (z, y) +

1
y − z, z − x ≥ 0 ∀y ∈ C
r

với mọi x ∈ H. Khi đó ta có

(i) Trf là đơn trị;
(ii) Trf (x) − Trf (y) 2 ≤ Trf (x) − Trf (y), x − y ∀x, y ∈ H;
(iii) Fix(Trf ) = Sol(C, f );
(iv) Sol(C, f ) lồi đóng.
Mệnh đề 1.1. Cho song hàm f : H × H −→ R ∪ {+∞}. Giả sử rằng các điều
kiện (A0 ) − (A4 ) được thỏa mãn đồng thời
(A0 ) ít nhất một trong hai điều kiện int C = ∅ và điều kiện với mỗi x ∈ C thì
hàm f (x, ·) liên tục tại một điểm thuộc C được thỏa mãn;
(A1 ) với mỗi x ∈ C thì hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục dưới trên H và khả dưới vi
phân trên C;
(A2 ) f giả đơn điệu trên C và C ⊂ dom f (x, ·), f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C;
(A3 ) f liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0.
Xét ánh xạ Tf : C −→ C cho bởi
Tf (x) := argmin λf (s(x), y) +

1
y−x
2

2

:y∈C ,

với mọi x ∈ C, trong đó λ > 0 và
s(x) := argmin λf (x, y) +
6

1
y−x
2

2

:y∈C .


Khi đó với x∗ ∈ Sol(C, f ), ta có
λ[f (x, y) − f (x, s(x))] ≥ s(x) − x, s(x) − y ∀y ∈ C,
Tf (x) − x∗

2

≤ x − x∗

2

− (1 − 2λc1 ) x − s(x)

2

− (1 − 2λc2 ) s(x) − Tf (x) 2 .

Mệnh đề 1.2. Dưới các giả thiết (A0 ) − (A3 ) của Mệnh đề 1.1 và 0 < λ <
1 1
min
,
thì tập điểm bất động của ánh xạ Tf trùng với tập nghiệm của bài
2c1 2c2
toán cân bằng EP (C, f ), với điều kiện tập nghiệm Sol(C, f ) của EP (C, f ) khác
rỗng.

Mệnh đề 1.3. Giả sử song hàm f thỏa mãn các điều kiện (A0 ) − (A3 ) trong Mệnh
đề 1.1 và các điều kiện
(A4 ) f liên tục yếu đồng thời trên C × C;
(A5 ) tập nghiệm Sol(C, f ) của bài toán cân bằng EP (C, f ) khác rỗng.
1 1
Khi đó ánh xạ Tf là tựa không giãn trên C với 0 < λ < min
,
và bán
2c1 2c2
đóng tại 0 ∈ H.
Bổ đề 1.8. Cho {an } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
an+1 ≤ (1 − αn )an + αn ξn , ∀n ≥ 0,
trong đó {αn }, {ξn } là hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện
∞

αn = ∞.

(i) {αn } ⊂ (0, 1) và
n=0

(ii) lim sup ξn ≤ 0.
n−→∞

Khi đó lim an = 0.
n−→∞

Bổ đề 1.9. Cho {an } là một dãy các số thực không âm. Giả sử với mỗi số tự nhiên
m, tồn tại số tự nhiên p ≥ m sao cho ap ≤ ap+1 . Gọi n0 là số tự nhiên sao cho
an0 ≤ an0 +1 . Với mỗi n ≥ n0 , ta đặt
τ (n) = max{k ∈ N : n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak+1 }.

Khi đó dãy {τ (n)}n≥n0 là một dãy không giảm thỏa mãn lim τ (n) = ∞ và
n−→∞

aτ (n) ≤ aτ (n)+1 , an ≤ aτ (n)+1 ∀n ≥ n0 .

Kết luận chương

7


Chương 2
Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động
tách

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải bài toán bất
đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động
tách.
Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert
thực H1 và H2 . Giả sử F : C −→ H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 −→ H2 là
một toán tử tuyến tính bị chặn, T : C −→ C, S : Q −→ Q là các ánh xạ không
giãn. Xét bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách sau:
Tìm x∗ ∈ Ω sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω,

(V ISF P P )

trong đó Ω là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (SFPP - Split Fixed
Point Problem)
Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S),
(SF P P )
với Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của T, S.

2.1

Định lý hội tụ

Trong mục này chúng ta phát biểu và chứng minh định lý hội tụ cho VISFPP. Kỹ
thuật chính để chứng minh là sự kết hợp giữa phương pháp chiếu để giải bài toán
bất đẳng thức biến phân và kỹ thuật lặp Krasnoselskii-Mann để tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn.
Định lý 2.1. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là toán tử tuyến tính bị chặn với toán
tử liên hợp A∗ . Giả sử ánh xạ F : C −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục
Lipschitz trên C, T : C −→ C, S : Q −→ Q là các ánh xạ không giãn. Với x0 ∈ C

8


bất kỳ, xét các dãy {xk }, {uk }, {y k } và {z k } như sau


uk = PQ (Axk ),




y k = P (xk + δA∗ (Suk − Axk )),
C




z k = PC (y k − λk µF (y k )),



 k+1
x
= αk xk + (1 − αk )T (z k ) ∀k ≥ 0,
2β
, {λk } và {αk } là hai dãy số nằm trong
A +1
L2
khoảng (0, 1) và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(a) lim λk = 0,
trong đó δ ∈ 0,

1
2

,0<µ<

k−→∞
∞

λk (1 − αk ) = ∞,

(b)
k=0

(c) lim αk = α ∈ (0, 1).
k−→∞

Giả sử tập nghiệm Ω của SFPP khác rỗng, khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm
duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (Ω, F ).

2.2

Một số hệ quả

Hệ quả 2.1. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là toán tử tuyến tính bị chặn với toán
tử liên hợp A∗ . Giả sử F : C −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz
trên C, F1 : C −→ H1 là ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược trên C và F2 : Q −→ H2
là ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược trên Q. Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk },
{uk }, {v k }, {y k }, {z k } và {tk } như sau


uk = PQ (Axk ),






v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )),




y k = P (xk + δA∗ (v k − Axk )),
C



z k = PC (y k − λk µF (y k )),





tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),




 k+1
x
= αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0,
1

2β
, {λk } và
A 2+1
L2
{αk } là hai dãy số trong khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện (a), (b), (c)
ở Định lý 2.1. Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bất
đẳng thức biến phân V IP (Ω, F ) với điều kiện tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) :
Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} của bài toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng.

trong đó δ ∈ 0,

, 0 < ξ1 ≤ 2η1 , 0 < ξ2 ≤ 2η2 , µ ∈ 0,

9


Hệ quả 2.2. Giả sử f : C × C −→ R và g : Q × Q −→ R là hai song hàm thỏa
mãn các điều kiện (A1 ) − (A4 ) trong Bổ đề 1.6. Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy
{xk }, {uk }, {y k } và {z k } xác định bởi


uk = PQ (Axk ),




y k = P (xk + δA∗ (T g (uk ) − Axk )),
C
r2


z k = PC (y k − λk µF (y k )),



 k+1
x
= αk xk + (1 − αk )Trf1 (z k ) ∀k ≥ 0,
1

2β

, {λk } và {αk } là hai dãy
A +1
L2
trong khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(a) lim λk = 0,
trong đó δ ∈ 0,

2

, r1 > 0, r2 > 0, 0 < µ <

k−→∞
∞

λk (1 − αk ) = ∞,

(b)
k=0

(c) lim αk = α ∈ (0, 1).
k−→∞

Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x∗ của bài toán bất đẳng thức
biến phân V IP (Ω, F ) với giả thiết tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈
Sol(Q, g)} của bài toán cân bằng tách khác rỗng.
Hệ quả 2.3. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là toán tử tuyến tính bị chặn với
toán tử liên hợp A∗ , F1 : C −→ H1 là ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược trên C
và F2 : Q −→ H2 là ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược trên Q. Giả sử tập nghiệm
Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} của bài toán bất đẳng thức biến phân

tách khác rỗng. Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } và
{tk } như sau


uk = PQ (Axk ),






v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )),




y k = P (xk + δA∗ (v k − Axk )),
C


z k = PC (y k − λk y k ),





tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),





 k+1
x
= αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0,
trong đó δ ∈ 0,

1

, 0 < ξ1 ≤ 2η1 , 0 < ξ2 ≤ 2η2 , {λk } và {αk } là hai dãy
A 2+1
số trong khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện (a), (b), (c) ở Định lý 2.1.
Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, trong đó x∗ = min{ x : x ∈ Ω}.

10


Hệ quả 2.4. Giả sử f : C × C −→ R và g : Q × Q −→ R là hai song hàm thỏa
mãn các điều kiện (A1 )−(A4 ) trong Bổ đề 1.6 và tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) :
Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} của bài toán cân bằng tách khác rỗng. Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các
dãy {xk }, {uk }, {y k } và {z k } cho bởi


uk = PQ (Axk ),




y k = P (xk + δA∗ (T g (uk ) − Axk )),
C

k

r2

k

k



z = PC (y − λk y ),



 k+1
x
= αk xk + (1 − αk )Trf1 (z k ) ∀k ≥ 0,
trong đó δ ∈ 0,

1

, r1 > 0, r2 > 0, {λk } và {αk } là hai dãy trong khoảng
A 2+1
(0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(a) lim λk = 0,
k−→∞
∞

λk (1 − αk ) = ∞,

(b)
k=0

(c) lim αk = α ∈ (0, 1).
k−→∞

Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, trong đó x∗ = min{ x : x ∈ Ω}.

2.3

Thử nghiệm số

Kết luận chương

11


Chương 3
Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc bất đẳng thức
biến phân tách và chấp nhận tách đa tập hợp

Trong phần đầu chương, chúng tôi trình bày thuật toán giải bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân). Mục tiếp theo là thuật toán giải
bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân
với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách). Ở
phần cuối chương, chúng tôi đề xuất thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập hợp.

3.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và hai ánh
xạ F : H −→ H, G : H −→ H, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
(BVIP - Bilevel Variational Inequality Problem)
Tìm x∗ ∈ Sol(C, G) sao cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ Sol(C, G),

(BV IP )

trong đó
Sol(C, G) = {y ∗ ∈ C : G(y ∗ ), z − y ∗ ≥ 0 ∀z ∈ C}
là tập nghiệm của V IP (C, G).
Trong trường hợp G là ánh xạ không thì tập nghiệm Sol(C, G) của V IP (C, G)
chính là C. Khi đó, BVIP trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ).
Khi F là ánh xạ đồng nhất thì BVIP trở thành bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ
nhất của V IP (C, G).
Ta xét các ánh xạ F, G : H −→ H thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(A1 ): F là β-đơn điệu mạnh trên H và L-liên tục Lipschitz trên H.
(A2 ): G giả đơn điệu trên C và γ-liên tục Lipschitz trên H.
(A3 ): lim sup G(xk ), y − y k ≤ G(x), y − y với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk },
k−→∞

{y k } nằm trong H hội tụ yếu lần lượt đến x, y ∈ H.
12


3.1.1

Thuật toán và định lý hội tụ

Thuật toán 3.1. Chọn x0 ∈ H bất kỳ, 0 < µ <

2β
và các dãy số {αk } ⊂ (0, 1),
L2

{ηk }, {λk } thỏa mãn đồng thời các điều kiện

∞



lim αk = 0,
αk = ∞,


k−→∞


k=0
0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,


k−→∞


1



.
{λk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0,
γ
Với mỗi k ≥ 0, ta tính
y k = PC (xk − λk G(xk )), z k = PTk (xk − λk G(y k )),
và
xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ),
trong đó
Tk = {ω ∈ H : xk − λk G(xk ) − y k , ω − y k ≤ 0}.
Nhận xét 3.1.
Bổ đề 3.1. Giả sử F : H −→ H là β-đơn điệu mạnh trên H và L-liên tục Lipschitz
2β
trên H, 0 < α < 1, 0 ≤ η ≤ 1 − α, 0 < µ < 2 . Khi đó
L
(1 − η)x − αµφ(x) − [(1 − η)y − αµφ(y)] ≤ (1 − η − ατ ) x − y ∀x, y ∈ H,
trong đó
τ =1−

1 − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1].

Bổ đề 3.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H,
G : H −→ H giả đơn điệu trên C, L-liên tục Lipschitz trên H và Sol(C, G) = ∅.
Xét x ∈ H, λ > 0 và xác định y = PC (x − λG(x)), z = PT (x − λG(y)), trong đó
T = {ω ∈ H : x − λG(x) − y, ω − y ≤ 0}.
Khi đó với mọi x∗ ∈ Sol(C, G), ta có
z − x∗

2

≤ x − x∗

2

− (1 − λL) x − y

2

− (1 − λL) y − z 2 .

Định lý 3.1. Giả sử Sol(C, G) = ∅ và các điều kiện (A1 ) − (A3 ) được thỏa mãn.
Khi đó dãy {xk } trong Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của BVIP.
Nhận xét 3.2.
• Vì G là γ-liên tục Lipschitz trên H nên G là liên tục. Do đó khi không gian
Hilbert H là hữu hạn chiều thì điều kiện (A3 ) luôn thỏa mãn.
• Nếu điều kiện G giả đơn điệu trên C được thay bằng điều kiện G đơn điệu trên
H thì điều kiện (A3 ) có thể được bỏ đi.
13


3.1.2

Một số hệ quả

Hệ quả 3.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H, G : H −→ H giả đơn điệu trên C và L-liên tục Lipschitz trên H. Giả sử
Sol(C, G) = ∅ và lim sup G(xk ), y − y k ≤ G(x), y − y với mọi dãy {xk }, {y k }
k−→∞

nằm trong H hội tụ yếu lần lượt tới x và y. Xét dãy {xk } cho bởi



x0 ∈ H,




y k = P (xk − λ G(xk )),
C
k


Tk = {ω ∈ H : xk − λk G(xk ) − y k , ω − y k ≤ 0},



 k+1
x
= αk x0 + (1 − αk )PTk (xk − λk G(y k )) ∀k ≥ 0,

(3.1)

∞

trong đó dãy số {αk } ⊂ (0, 1) thỏa mãn lim αk = 0,
k−→∞

αk = ∞ và {λk } ⊂
k=0

1

[a, b] ⊂ 0,
. Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến PSol(C,G) (x0 ).
L
Hệ quả 3.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H,
G : H −→ H đơn điệu trên H và L-liên tục Lipschitz trên H sao cho Sol(C, G) = ∅.
Xét dãy {xk } cho bởi


x0 ∈ H,




y k = P (xk − λ G(xk )),
C
k


Tk = {ω ∈ H : xk − λk G(xk ) − y k , ω − y k ≤ 0},



 k+1
x
= αk x0 + (1 − αk )PTk (xk − λk G(y k )) ∀k ≥ 0,

(3.2)

∞

trong đó {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0,
k−→∞

αk = ∞ và {λk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0,
k=0

1
.
L

k

Khi đó dãy {x } cho bởi (3.2) hội tụ mạnh đến PSol(C,G) (x0 ).

3.1.3

3.2

Thử nghiệm số

Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert
thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và các
ánh xạ F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 . Bài toán bất đẳng thức biến phân tách
(SVIP - Split Variational Inequality Problem) được mô tả như sau
Tìm x∗ ∈ C : F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C

14

(3.3)


sao cho
y ∗ = Ax∗ ∈ Q : F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ 0 ∀y ∈ Q.

(3.4)

Nếu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (3.3) và (3.4) lần
lượt được ký hiệu bởi Sol(C, F1 ) và Sol(Q, F2 ) thì bài toán bất đẳng thức biến phân
tách là bài toán tìm x∗ ∈ Sol(C, F1 ) sao cho Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 ).
Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (BSVIP - Bilevel Split
Variational Inequality Problem)
Tìm x∗ ∈ Ω sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω,

(BSV IP )

trong đó F : H1 −→ H1 và Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} là tập
nghiệm của SVIP.
Ta giả thiết các ánh xạ F, F1 : H1 −→ H1 , F2 : H2 −→ H2 thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
(B1 ): F : H1 −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên H1 .
(B2 ): F1 : H1 −→ H1 là giả đơn điệu trên C và L1 -liên tục Lipschitz trên H1 .
(B3 ): lim sup F1 (xk ), y − y k ≤ F1 (x), y − y với mọi y ∈ H1 và mọi dãy {xk },
k−→∞

{y k } nằm trong H1 hội tụ yếu lần lượt đến x, y ∈ H1 .
(B4 ): F2 : H2 −→ H2 là giả đơn điệu trên Q và L2 -liên tục Lipschitz trên H2 .
(B5 ): lim sup F2 (uk ), v − v k ≤ F2 (u), v − v với mọi v ∈ H2 và mọi dãy {uk },
k−→∞

k

{v } nằm trong H2 hội tụ yếu lần lượt đến u, v ∈ H1 .
Từ điều kiện (B2 ), (B3 ), (B4 ), (B5 ) và Bổ đề 1.5, ta có Sol(C, F1 ) và Sol(Q, F2 ) là
các tập lồi đóng. Do đó Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} cũng là tập lồi
đóng.

3.2.1

Thuật toán và định lý hội tụ

2β
và các dãy số {αk } ⊂ (0, 1), {ηk },
L2
{δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời các điều kiện

∞



lim αk = 0,
αk = ∞,


k−→∞


k=0





0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,


k−→∞

1
{δk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0,
,

A 2+1



1



{λk } ⊂ [c, d] với c, d ∈ 0,
,


L
1



1


{µk } ⊂ [e, f ] với e, f ∈ 0,
.
L2
Thuật toán 3.2. Chọn x0 ∈ H1 , 0 < µ <

Với mỗi k ≥ 0, ta tính
uk = Axk , v k = PQ (uk − µk F2 (uk )), wk = PQk (uk − µk F2 (v k )),
15


trong đó
Qk = {ω2 ∈ H2 : uk − µk F2 (uk ) − v k , ω2 − v k ≤ 0}.
Tiếp theo, ta tính
y k = xk + δk A∗ (wk − uk ), tk = PC (y k − λk F1 (y k )), z k = PCk (y k − λk F1 (tk )),
trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A,
Ck = {ω1 ∈ H1 : y k − λk F1 (y k ) − tk , ω1 − tk ≤ 0},
và
xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ).
Định lý 3.2. Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} của
SVIP khác rỗng và các điều kiện (B1 ) − (B5 ) được thỏa mãn. Khi đó dãy {xk }
trong Thuật toán 3.2 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của BSVIP.

3.2.2

Một số hệ quả

Hệ quả 3.3. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn với
toán tử liên hợp A∗ , F1 : H1 −→ H1 , F2 : H2 −→ H2 thỏa mãn các điều kiện
(B2 ) − (B5 ). Xét các dãy số {αk }, {ηk }, {δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời các

điều kiện như trong Thuật toán 3.2. Xét dãy {xk } cho bởi x0 ∈ H1 tùy ý và
xk+1 = ηk xk + (1 − ηk − αk )z k ∀k ≥ 0,
trong đó z k được xác định như trong Định lý 3.2. Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈
Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} của SVIP khác rỗng. Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh
đến x∗ ∈ Ω, trong đó x∗ = min{ x : x ∈ Ω}.
Hệ quả 3.4. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị
chặn với toán tử liên hợp A∗ , F : H1 −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục
2β
Lipschitz trên H1 . Giả sử 0 < µ < 2 và các dãy số {αk }, {ηk }, {δk } thỏa mãn
L
đồng thời các điều kiện

∞



{αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0,
αk = ∞,


k−→∞


k=0
0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,


k−→∞



1


.
{δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,
A 2+1
16


Xét dãy {xk } cho bởi x0 ∈ H1 tùy ý và

y k = P (xk + δ A∗ (P (Axk ) − Axk )),
C
k
Q
xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )y k − αk µF (y k ) ∀k ≥ 0,
Giả sử tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} của SFP là khác rỗng. Khi đó dãy
{xk } hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân
Tìm x∗ ∈ Γ sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Γ.
Hệ quả 3.5. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị
chặn với toán tử liên hợp A∗ . Giả sử các dãy số dương {αk }, {δk } thỏa mãn đồng
thời các điều kiện

∞



αk = ∞,

{αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0,
k−→∞




{δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,

1
A

2

k=0

+1

.

Xét dãy {xk } cho bởi x0 ∈ H1 tùy ý và
xk+1 = (1 − αk )PC (xk + δk A∗ (PQ (Axk ) − Axk )) ∀k ≥ 0.

(3.5)

Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của SFP với điều
kiện tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} của SFP khác rỗng.

3.3

Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc chấp nhận

tách đa tập hợp

Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP - Multiple-Sets Split Feasibility
Problem) được mô tả như sau:
M
∗

N
∗

Tìm x ∈

Ci sao cho Ax ∈
i=1

Qj
j=1

trong đó Ci , i = 1, 2, . . . , M là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H1 và Qj , j = 1, 2, . . . , N là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của MSSFP. Cụ thể, ta giả sử F : H1 −→ H1
là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên H1 , C1 , C2 , . . . , CM là M tập lồi
17


đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H1 và Q1 , Q2 ,. . ., QN là N tập lồi
đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H2 . Ta xét bài toán bất đẳng thức
biến phân với ràng buộc chấp nhận tách đa tập hợp (VIMSSFP)

Tìm x∗ ∈ Ω sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω,

(V IM SSF P )

trong đó Ω là tập nghiệm của MSSFP
M
∗

N
∗

Tìm x ∈

Ci sao cho Ax ∈
i=1

3.3.1

Qj .

(M SSF P )

j=1

Thuật toán và định lý hội tụ

Thuật toán 3.3.
Bước 0. Chọn 0 < µ <

2β

, 0 < δ ≤ δk ≤ δ <
L2

2
A

2

+1

, {αk } ⊂ (0, 1) sao

∞

αk = ∞, {ηk } ⊂ [0, 1) sao cho 0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0,

cho lim αk = 0,
k−→∞

k=0

lim ηk = η < 1.

k−→∞

Bước 1. Chọn x0 ∈ H1 . Đặt k := 0.
Bước 2. Tính uk = A(xk ) và PQj (uk ), j = 1, 2, . . . , N .
Bước 3. Tìm phần tử PQj (uk ), j = 1, 2, . . . , N có khoảng cách đến uk xa nhất, tức
là
jk = argmax{ PQj (uk ) − uk : j = 1, 2, . . . , N }, v k := PQjk (uk ).

Bước 4. Tính y k = xk − δk A∗ (uk − v k ), trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A.
Bước 5. Tính PCi (y k ), i = 1, 2, . . . , M .
Bước 6. Tìm phần tử PCi (y k ), i = 1, 2, . . . , M có khoảng cách đến y k xa nhất, tức
là
ik = argmax{ PCi (y k ) − y k : i = 1, 2, . . . , M }, z k := PCik (y k ).
Bước 7. Tính xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ).
Bước 8. Gán k := k + 1 và quay trở lại Bước 2.
Định lý 3.3. Giả sử Ci , i = 1, 2, . . . , M là các tập lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H1 và Qj , j = 1, 2, . . . , N là các tập lồi đóng khác rỗng trong
không gian Hilbert thực H2 . Cho F : H1 −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục
Lipschitz trên H1 . Khi đó dãy {xk } ở Thuật toán 3.3 hội tụ mạnh đến nghiệm duy
nhất của VIMSSFP, với điều kiện tập nghiệm Ω của MSSFP khác rỗng.

3.3.2

Một số hệ quả

Hệ quả 3.6. Giả sử tập nghiệm Ω của MSSFP là khác rỗng. Chọn x0 ∈ H1 ,
∞
2
0 < δ ≤ δk ≤ δ <
, {αk } ⊂ (0, 1) sao cho lim αk = 0,
αk = ∞,
k−→∞
A 2+1
k=0

18

{ηk } ⊂ [0, 1) sao cho 0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1.
k−→∞

Với mỗi k ≥ 0, tính
uk = A(xk ),

v k := PQjk (uk ),

trong đó
jk = argmax{ PQj (uk ) − uk : j = 1, 2, . . . , N }.
Tiếp theo, ta tính
y k = xk − δk A∗ (uk − v k ),

z k := PCik (y k ),

trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A,
ik = argmax{ PCi (y k ) − y k : i = 1, 2, . . . , M }
và xk+1 = ηk xk + (1 − ηk − αk )z k .
Khi đó đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của MSSFP.
Hệ quả 3.7. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 , F : H1 −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục
Lipschitz trên H1 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn với
toán tử liên hợp A∗ . Xét dãy {xk } cho bởi


0


x ∈ H1 được chọn bất kỳ,
y k = PC (xk − δk A∗ (Axk − PQ (Axk ))),




xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )y k − αk µF (y k ) ∀k ≥ 0,

trong đó 0 < µ <
kiện

2β
và các dãy số {ηk }, {λk }, {δk } thỏa mãn đồng thời các điều
L2


∞



{αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0,
αk = ∞,


k−→∞


k=0
{ηk } ⊂ [0, 1), 0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,


k−→∞



2


.
{δk } ⊂ [δ, δ] ⊂ 0,
A 2+1

Giả sử tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} của SFP là khác rỗng. Khi đó dãy
{xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Γ, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Γ.

3.3.3

Thử nghiệm số

Kết luận chương
19


Chương 4
Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán cân bằng
tách

Trong chương 4 này, chúng ta trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường để giải
bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán cân bằng tách.
Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert
thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và các
song hàm f : C × C −→ R và g : Q × Q −→ R. Khi đó bài toán cân bằng tách
(SEP - Split Equilibrium Problem) là bài toán

Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , x) ≥ 0 ∀x ∈ C

(4.1)

y ∗ = Ax∗ ∈ Q : g(y ∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ Q.

(4.2)

sao cho

Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của SEP được mô tả như sau:
Tìm x∗ ∈ Ω sao cho x∗ ≤ x

∀x ∈ Ω,

(M N SEP )

trong đó Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} là tập nghiệm của SEP.

4.1

Thuật toán và định lý hội tụ

Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert
thực H1 và H2 . Giả sử các song hàm f : H1 × H1 −→ R ∪ {+∞}, g : H2 × H2 −→
R ∪ {+∞} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(A) Ít nhất một trong hai điều kiện int C = ∅ và điều kiện với mỗi x ∈ C thì
hàm f (x, ·) liên tục tại một điểm thuộc C được thỏa mãn; f giả đơn điệu trên C,
liên tục yếu đồng thời trên C × C và liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số
c1 > 0, c2 > 0; với mỗi x ∈ C thì hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục dưới trên H1 và khả

dưới vi phân trên C; với mỗi x ∈ C thì C ⊂ dom f (x, ·) và f (x, x) = 0.
(B) Ít nhất một trong hai điều kiện int Q = ∅ và điều kiện với mỗi u ∈ Q thì
hàm g(u, ·) liên tục tại một điểm thuộc Q được thỏa mãn; g giả đơn điệu trên Q,
20


liên tục yếu đồng thời trên Q × Q và liên tục kiểu Lipschitz trên Q với hằng số
L1 > 0, L2 > 0; với mỗi u ∈ Q thì hàm g(u, ·) lồi, nửa liên tục dưới trên H2 và khả
dưới vi phân trên Q; với mỗi u ∈ Q thì Q ⊂ dom g(u, ·) và g(u, u) = 0.
Thuật toán 4.1. Chọn x0 ∈ C và các dãy số {λk } ⊂ (0, 1), {δk }, {βk }, {µk } thỏa
mãn đồng thời các điều kiện

∞



lim λk = 0,
λk = ∞,


k−→∞


k=0



1
{δ } ⊂ [a, b] ⊂ 0,
,

k
A 2+1

1 1


,
,
{βk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, min



2c1 2c2


1
1


{µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, min
,
.
2L1 2L2
Với mỗi k ≥ 0, ta tính

1


uk = argmin µk g(PQ (Axk ), u) + u − PQ (Axk ) 2 : u ∈ Q ,



2


1

k
k

v = argmin µk g(u , u) + u − PQ (Axk ) 2 : u ∈ Q ,



2
k
k
∗ k
y = PC (x + δk A (v − Axk )),



1


tk = argmin βk f (y k , y) + y − y k 2 : y ∈ C ,


2



1

k
k
z = argmin βk f (t , y) + y − y k 2 : y ∈ C ,
2
và xk+1 = PC (z k − λk z k ), trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A.
Định lý 4.1. Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} của SEP
khác rỗng và các điều kiện (A), (B) được thỏa mãn. Khi đó dãy {xk } trong Thuật
toán 4.1 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của SEP.

4.2

Một số hệ quả

Ta giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với các ánh xạ F :
H1 −→ H1 và G : H2 −→ H2 .
(C): lim sup F (xk ), y − y k ≤ F (x), y − y với mọi y ∈ C và mọi dãy {xk } ⊂ C,
k−→∞
k

x, y k
y.
{y } ⊂ C thỏa mãn xk
k
k
(D): lim sup G(u ), v −v ≤ G(u), v −v với mọi v ∈ Q và mọi dãy {uk } ⊂ Q,
k−→∞
k

{v } ⊂ Q thỏa mãn uk

u, v k

v.

Hệ quả 4.1. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị
21


chặn với toán tử liên hợp A∗ . Giả sử ánh xạ F : H1 −→ H1 là giả đơn điệu trên
C, K1 -liên tục Lipschitz trên C và thỏa mãn điều kiện (C), ánh xạ G : H2 −→ H2
là giả đơn điệu trên Q, K2 -liên tục Lipschitz trên Q và thỏa mãn điều kiện (D).
Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk }, {wk }, {uk }, {v k }, {y k }, {tk }, {z k } như sau


k
k


w = PQ (Ax ),
uk = PQ (wk − µk G(wk )),



v k = PQ (wk − µk G(uk )).

Hơn nữa, ta tính



k
k
∗ k
k


y = PC (x + δk A (v − Ax )),
tk = PC (y k − βk F (y k )),



z k = PC (y k − βk F (tk )),

và xk+1 = PC (z k − λk z k ), trong đó {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,
0,

1
A

2

+1

, {βk } ⊂ [c, d] ⊂

1
1
, {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0,
, {λk } là một dãy số nằm trong (0, 1) thỏa mãn

K1
K2
∞

λk = ∞. Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh

đồng thời các điều kiện lim λk = 0,
k−→∞

k=0

đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân tách, với điều
kiện tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, G)} của bài toán bất đẳng
thức biến phân tách khác rỗng.
Hệ quả 4.2. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị
chặn với toán tử liên hợp A∗ . Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk } xác định bởi


k
k


w = PQ (Ax ),
y k = PC (xk + δk A∗ (wk − Axk )),



xk+1 = PC (y k − λk y k ) ∀k ≥ 0,

trong đó {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,

1
A

2

+1

, {λk } là một dãy số nằm trong (0, 1) thỏa
∞

λk = ∞. Khi đó dãy {xk } hội tụ

mãn đồng thời các điều kiện lim λk = 0,
k−→∞

k=0

mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của SFP, với điều kiện tập nghiệm của SFP
khác rỗng.

4.3

Thử nghiệm số

Kết luận chương
22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong luận án, chúng tôi đã đề xuất phương pháp giải một vài lớp bài toán bất
đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách ẩn.
Các kết quả chính mà luận án thu được như sau:
1. Đề xuất ánh xạ tựa không giãn Tf : C −→ C với tập điểm bất động của
Tf trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) với song hàm cân
bằng f giả đơn điệu.
2. Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách
với các ánh xạ không giãn.
3. Thuật toán dưới đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng thức biến
phân hai cấp và bất đẳng thức biến phân tách hai cấp.
4. Thuật toán song song để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
mạnh và liên tục Lipschitz với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán
chấp nhận tách đa tập hợp.
5. Thuật toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán cân bằng tách.
Một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
1. Mở rộng kết quả Chương 2 cho lớp ánh xạ tựa không giãn.
2. Nghiên cứu thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng
buộc là tập nghiệm của bài toán tìm nghiệm chung tách của một họ bài toán
bất đẳng thức biến phân.
3. Nghiên cứu thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng
buộc là tập nghiệm của bài toán cân bằng tách.

23


DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Anh P.K., Anh T.V., Muu L.D. (2017), "On bilevel split pseudomonotone
variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42
(3), pp. 413-429 (SCOPUS).
2. Anh T.V. (2017), "A strongly convergent subgradient Extragradient-Halpern
method for solving a class of bilevel pseudomonotone variational inequalities",
Vietnam J. Math., 45 (3), pp. 317-332 (SCOPUS).
3. Anh T.V. (2017), "An extragradient method for finding minimum-norm solution of the split equilibrium problem", Acta Math Vietnam., 42 (4), pp.
587-604 (SCOPUS).
4. Anh T.V. (2017), "A parallel method for variational inequalities with the
multiple-sets split feasibility problem constraints", J. Fixed Point Theory
Appl., 19 (4), pp. 2681-2696 (SCIE).
5. Anh T.V., Muu L.D. (2016), "A projection-fixed point method for a class of
bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization 65 (6), pp. 1229-1243 (SCIE).
6. Anh T.V., Muu L.D. (2018), "Quasi-nonexpansive mappings involving pseudomonotone bifunctions on convex sets", Journal of Convex Analysis 25 (4)
(SCIE).

24