Bài giảng điện tử: Hệ phương trình bậc hai

§2 HEÄ PHÖÔNG
TRÌNH BAÄC HAI


I.Kiểm tra bài cũ
1)

x + y = S
⇔?

 x. y = P

S ≥ 4P
2

2) Cho ba hệ

 x 2 + y 2 − xy = 3
(1) : 
 x − y = −1

 x 2 + xy + y 2 = 9
(2) : 
 x + y + xy = 3

 x 2 + y 2 + xy = 1
(3) : 
 x − y − xy = −1

a) Đặc điểm của (1) mà (2), (3) không có là
?

b) Đặc điểm của (2) mà (1), (3) không có là
?


II. Hệ gồm một phương
trình bậc hai và một
phương trình bậc nhất của
• Ví dụ 1: Giảihai
hệ ẩn
•

 x + y − xy = 3
(1) : 
 x − y = −1
2

2


Giaûi :

 y = x +1
(1) ⇔  2
2
 x + ( x + 1) − x( x + 1) = 3
 y = x +1

⇔  x = 1
  x = −2


 y = x +1
⇔ 2
x + x − 2 = 0

 x = 1

y = 2

⇔
  x = −2


  y = −1

T = { (1, 2), (−2, −1)}


III. Hệ phương trình đối xứng
đối với x và y
(Là hệ mà mỗi phương trình không
thay đổi khi ta thay x bởi y và thay y
bởi x)
Ví dụ 2 :
Giải hệ

 x + y + xy = 9
(2) : 
 x + y + xy = 3
2

2


Giải :
( x + y ) 2 − 2 xy + xy = 9
( x + y )2 − xy = 9
(2) ⇔ 
⇔
 x + y + xy = 3
 x + y + xy = 3
Đặt
với cách đặt
= Strở 2thành :
 x + y(2)
trên,
( S ≥ 4 P)


x − y = P

S 2 − P = 9

S + P = 3

 S 2 + S − 12 = 0
⇔
P = 3 − S

 S − (3 − S ) = 9

⇔
P = 3 − S
2

  S = −4

  S = −4

P = 7


⇔
⇔  S = 3
S = 3
P = 3 − S


  P = 0

loại

x + y = 3
Vậy ta (2)
co⇔
ù  x. y = 0


2
X
− 3X = 0

⇔ x, y là nghiệm của

 x

y

⇔
 x


 y

T = { (0,3), (3, 0)}

=0
=3
=3
=0


Vớ duù 3:
Giaỷi heọ :
x + y + xy = 1
(3) :
x y xy = 1
2

2

Giải : Đặt t=-y, với cách đặt trên (3)
trở thành
2
2

x
+
t
− xt = 1
( x + t ) 2 − 3 xt = 1
'
(3 ) : 
⇔
 x + t + xt = −1
 x + t + xt = −1
Đặt t + x = S ( S ≥ 4 P )
với cách đặt
P trở
trên,
 x.t =(3’)
2

S − 3(−1 − S ) = 1
 S − 3P = 1
⇔

 P = −1 − S
 S + P = −1

2

thành

 S + 3S + 2 = 0
⇔
 P = −1 − S
2

  S = −1
  S = −1


P = 0

⇔   S = −2
⇔
  S = −2
 P = −1 − S


  P = 1


Với  S = −1


P = 0

ta có  x + t = −1


 x.t = 0

 x = 0

t = −1
⇔ x, t là các nghiệm của


X2 + X =0 ⇔ 
 x = −1

Với
ta có
 t = 0

 S = −2
 x + t = −2


P = nghiệm
1
⇔ x, tlà
của
 x.t = 1

 x = −1
X + 2X +1 = 0 ⇔ 
t = −1

Vậy (3) có tập nghiệm
2

T = { (0,1), (−1, 0), (−1,1)}