Bài giảng điện tử: Đại cương về phương trình Đại số 10

§1 ĐẠI
CƯƠNG VỀ
PHƯƠNG
TRÌNH


I. Phương trình
một ẩn


Ví dụ :
• Mệnh đề chứa biến
x = x ,,,,, (1),,,,,,,, x ∈ [ 0; +∞ )
• Mệnh đề (1) đúng hoặc sai phụ
thuộc vào x, ta gọi (1) là phương
trình một ẩn, x được gọi là ẩn
số. Việc tìm tất cả các số
x
∈
0;
+∞
) cho mệnh đề (1)
[
thực
sao
tương ứng là đúng gọi là bài
toán giải phương trình (1)


• Định nghóa :
Cho hai hàm số f(x) và g(x) lần

lượt có tập xác định Df, Dg. Đặt :
D = D f ∩ Dg
 Mệnh đề chứa biến x ∈ D dạng :
f(x) = g(x) (1) được gọi là phương
trình một ẩn, x gọi là ẩn số.
 D gọi là tập xác định của
phương trình (1)


 Nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho
f(x0)=g(x0) đúng thì x0 gọi là
một nghiệm của phương
trình (1).
 Tập T = {x0 ∈ D/ f(x0) = g(x0)
đúng} gọi là tập nghiệm
của phương trình (1)
 Tìm tập T gọi là giải
phương trình (1)
 Nếu T = Φ ta nói phương
trình (1) vô nghiệm.


II. PHƯƠNG TRÌNH
TƯƠNG ĐƯƠNG
VÀ PHÉP BIẾN
ĐỔI TƯƠNG
ĐƯƠNG


Định nghóa :

• Phương trình f1(x) = g1(x) (1) với
tập nghiệm T1 được gọi là
tương đương với phương trình
f2(x) = g2(x) (2) với tập nghiệm
T2 nếu T1 = T2
(có thể
T1 = T2 = Φ)
 Ký hiệu f1(x) = g1(x)⇔ f2(x) =
g2(x)


 Trong trường hợp hai phương
trình cùng xác định trên D
và có tập nghiệm bằng
nhau ta nói rằng hai phương
trình đó tương đương trên D
 Phép biến đổi một phương
trình xác định trên D thành
một phương trình tương đương
gọi là phép biến đổi tương
đương trên D.


Định lý 1 :
Phương trình f(x) = g(x)
(1)
tương đương với phương
trình f(x) + h(x) = g(x) +
h(x)
(2) trên D (D=Df ∩

Dg, h(x) xác định ∀ x ∈ D )


Chứng minh :
Với ∀ x0∈D, h(x0) có nghóa vì h(x) xác định ∀x∈D
• Áp dụng tính chất a = b ⇔ a + c = b + c ta
được:
• f(x0) = g(x0) ⇔ f(x0) + h(x0) = g(x0)+ h(x0)

Do đó nếu x0 là nghiệm của phương
trình (1) thì x0 là nghiệm của phương
trình (2) và ngược lại. Tức là hai
phương trình (1) và (2) có cùng tập
nghiệm. Từ đó hai phương trình (1)
và phương trình (2) tương đương với
nhau trên D.


HỆ QUẢ
• Phương trình
f(x) = g(x) + h(x)
tương đương với pt f(x) – h(x) = g(x)
trên tập xác định D
của nó (D là tập xác định của cả
hai phương trình).
• Tức là nếu chuyển một biểu thức
từ một vế của một pt sang vế kia
và đổi dấu của nó thì ta được pt
mới tương đương với pt đã cho trên
tập xác định của nó

Ví dụ 1 : Giải phương trình

2
2
(x − 1)(x + 1) +
=
x − 1 x-1

(1)

Giải :
Tập xác định của phương trình (1)
là D = R \{1}
Trên D, ta lần lượt coù
2
2

(1) ⇔ (x − 1)(x + 1) +

−

=0
x − 1 x-1

⇔(x – 1)(x + 1) = 0
Treân D, pt (1) có nghiệm duy nhất x=-1.
Vậy pt (1) có nghiệm duy nhất x=-1.
 Ta còn viết :tập nghiệm của pt (1) là T =

Định lý 2 :
Phương trình f(x) = g(x) (1)
tương đương với phương
trình h(x).f(x) = h(x).g(x)
(2) trên D (D=Df ∩ Dg,
h(x) ≠ 0 ∀ x ∈ D)


Chứng minh :
Với ∀ x0∈D, h(x0) có nghóa và f(x0) ≠ 0
áp dụng tính chất a = b ⇔ ac=bc (c≠ 0)
ta được: f(x0)=g(x0) ⇔ h(x0).f(x0) = h(x0).g(x0)
Từ đó nếu x0 là nghiệm của phương
trình (1) thì x0 cũng là nghiệm của
phương trình (2) và ngược lại.
Vậy hai phương trình (1) và (2) tương
đương với nhau trên D.


Ví dụ 2 : Giải phương trình :

x + 1 x − 1 5x-1
+
= 2
x − 1 x + 1 x -1

(1)

Giải :
Tập xác định của phương trình (1) là D
= R \{1, -1}
Nhân hai vế của phương trình (1) với
h(x)=(x+1)(x-1) ≠ 0 ∀x∈D ta có :

(1) ⇔ (x + 1)2 + (x − 1)2 =5x-1⇔ 2x2 + 2 = 5x − 1
⇔ 2x − 5x + 3
2

=0

3
= 
 Treân D, phương trình (1) có tậpT nghiệm
2


Ví dụ 3 : Giải phương trình :

x+ 1 x−1
4x
+
= 2
x − 1 x + 1 x -1

(1)

Giải :
Tập xác định của phương trình (1) là: D

= R \{1, -1}
Nhân hai vế của phương trình (1) với
h(x)=(x+1)(x-1)
≠−
01∀x∈D
(1) ⇔ (x + 1)2 + (x
)2 =4x ta
⇔coù
2x2 :+ 2 = 4x
⇔ 2x2 − 4x + 2

= 0 ⇔ x2 − 2x + 1= 0

⇔ (x − 1)2 = 0 vônghiệ
m

  Trên D, pt (1) vô nghiệm. Vậy pt (1)
vô nghiệm. Ta còn viết tập nghiệm
của pt (1) là : T = Φ