Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ HƯƠNG MAI

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ HƯƠNG MAI

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

i

Lời nói đầu

1

1

Một số bài toán trên bàn cờ
1.1 Bài toán tám quân hậu . . .
1.1.1 Giới thiệu bài toán .
1.1.2 Bài toán m quân hậu
1.2 Bài toán quân mã đi tuần . .

1.3

2

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3
3
3
3
12

1.2.1 Tìm hiểu về bài toán quân mã đi tuần . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp Warnsdorff tìm lộ trình Hamilton . . . . . .
1.2.3 Một số phương pháp tìm chu trình Hamilton trong bàn cờ .
Đôminô và Pôlyminô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Khái niệm pôlyminô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Một số bài toán về đôminô và triminô . . . . . . . . . . .
1.3.3 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

12
13
15
25
25
25
31

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Đa thức xe
33
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Đa thức xe cho bàn cờ hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

47


i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học, Trường Đại học Khoa học-Đại học
Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Nhân dịp này, tôi xin
gửi lời cảm ơn tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng, người Thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt
quá trình tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học-Đại học
Thái Nguyên đã trang bị cho tôi những kiến thức toán trong chương trình cao học.
Xin được cám ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành khoá học cao học và viết luận văn.


i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đa
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

1

Lời nói đầu
Cờ vua là một trò chơi gắn kết cuộc sống và hoạt động của con người từ thời cổ đại.
Tuy nhiên các bài toán toán học trên bàn cờ có lẽ mới chỉ được hình thành và nghiên
cứu khoảng vài trăm năm trở lại đây. Với sự phát triển của công nghệ thông tin, các
bài toán trò chơi lại nhận được sự quan tâm mới, liên quan đến thuật toán, lập trình,
lời giải tối ưu,... Nhiều bài toán trò chơi, trong đó có các bài toán trò chơi trên bàn cờ
(đôminô, bài toán tám quân hậu, bài toán quân mã đi tuần,. . . ) đã khơi nguồn sáng
tạo cho nhiều nhà khoa học để từ đó nhiều ngành toán học mới (xác suất, lý thuyết đồ
thị, lý thuyết trò chơi, giải trí toán học,. . . ) ra đời và phát triển.
Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số bài toán trò chơi cổ điển trên bàn cờ,
như bài toán tám quân hậu, bài toán quân mã đi tuần, bài toán đôminô, và tìm hiểu
lý thuyết đa thức xe và áp dụng của lý thuyết này vào một số bài toán tổ hợp. Trong
khuôn khổ của một luận văn chuyên ngành toán sơ cấp, chúng tôi giới hạn trình bày
nội dung lý thuyết tương đối gần và có thể áp dụng được trong giảng dạy toán ở phổ
thông.
Các bài toán trên bàn cờ liên quan mật thiết đến nhiều dạng toán khác (toán tổ
hợp, giải trí toán học, lý thuyết đồ thị,. . . ). Vì vậy việc nghiên cứu các bài toán trên
bàn cờ cũng góp phần nghiên cứu các bài toán toán học khác.
Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản của một
số bài toán trên bàn cờ cũng như tìm hiểu về lịch sử và các phương pháp cơ bản giải
các bài toán đó.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương.
Chương 1: Một số bài toán trên bàn cờ
Chương này trình bày một số bài toán cổ điển trên bàn cờ: Bài toán tám quân hậu, bài

2
toán con mã đi tuần, đôminô và pôlyminô.
Chương 2: Đa thức xe
Chương 2 trình bày một số vấn đề về đa thức xe (rook polynomial) và áp dụng vào
một số bài toán tổ hợp.

Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015

Bùi Thị Hương Mai


3

Chương 1

Một số bài toán trên bàn cờ
1.1

Bài toán tám quân hậu

Mục này trình bày Bài toán tám quân hậu và bài toán m quân hậu, dựa theo Tài liệu
tham khảo [4].

1.1.1

Giới thiệu bài toán

Năm 1848, Max Bezzel đã đặt bài toán tám quân hậu như sau: Biết rằng quân hậu trên
bàn cờ có thể ăn quân khác cùng nằm với nó trên các đường thẳng đứng, đường ngang
hoặc đường chéo. Đặt 8 quân hậu trên bàn cờ 8 × 8 sao cho không có hai quân hậu

nào ăn nhau, nghĩa là phải đặt tám quân hậu trên bàn cờ sao cho không có hai quân
hậu nằm trên cùng một hàng, một cột, hoặc một đường chéo.
Lời giải đầu tiên của bài toán tám quân hậu đã được Franz Nauck công bố vào năm
1850. Bài toán tám quân hậu cũng được Franz Nauck tổng quát hóa thành bài toán m
quân hậu trên một bàn cờ m × m. Bài toán này có lời giải với tất cả các số tự nhiên m
khác 2 và 3.
Kể từ đó nhiều nhà toán học, cả "Ông hoàng toán học" Card Friedrich Gauss, đã
nghiên cứu bài toán tám quân hậu và bài toán tổng quát m quân hậu.

1.1.2

Bài toán m quân hậu

Bài toán m quân hậu, tổng quát hóa của bài toán tám quân hậu, được phát biểu như
sau: Có thể đặt m quân hậu vào bàn cờ m × m ô để không có quân hậu nào có thể ăn


4
được nhau không?
Bài toán này là một bài toán thú vị vì nó dẫn đến bài toán tìm tập ổn định trong lớn
nhất S của một đồ thị đối xứng G = (X, Γ) . Các đỉnh của đồ thị tương đương với m2
phần tử của ma trận vuông m × m. (Xem [4]).
Coi một bàn cờ như một ma trận m × m gồm các phần tử vuông (các ô vuông),
chúng ta có thể đồng nhất một phần tử của ma trận (một ô vuông) như là một cặp
sắp thứ tự (i, j), trong đó i và j tương ứng là vị trí hàng và cột (là số hàng và số
cột). Đường chéo trội (major diagonal) của ma trận là tập gồm các phần tử (i, j) để
m − j + i = CON ST AN T , CON ST AN T (hằng số) là số của đường chéo. Đường
chéo thứ m được gọi là đường chéo chính. Rõ ràng, các điểm trên đường chéo chính
có tính chất i = j.
Đường chéo phụ (minor diagonal) của ma trận là tập các phần tử (i, j) để i + j − 1 =

CON ST AN T, ở đó CON ST AN T là số của đường chéo.
Thí dụ, trong hệ tọa độ thông thường, tức là gốc tọa độ nằm ở ô bên trái dưới cùng,
thì đường chéo chính chính là đường chéo nối ô bên trái dưới cùng với ô bên phải trên
cùng, các đường chéo trội song song với đường chéo chính, còn các đường chéo phụ
vuông góc với đường chéo chính.
Như vậy, bài toán m quân hậu có thể được phát biểu như sau: Đặt m quân hậu vào
một ma trận vuông m × m để
a) số hàng là duy nhất,
b) số cột là duy nhất,
c) số đường chéo trội là duy nhất,
d) số đường chéo phụ là duy nhất.
Dưới đây trình bày các Thiết kế (Construction) và các Định lý giải bài toán m
quân hậu với m ≥ 4.
Thiết kế A. Tạo ma trận m × m với các phần tử vuông m = 2n, trong đó n =
2, 3, 4, 5, ...


5
i) Đặt các quân hậu (ik , jk ), vào các ô ik = k và jk = 2k,, k = 1, 2, 3, ..., n.
ii) Đặt các quân hậu (il , jl ), vào các ô il = 2n + 1 − l và jl = 2n + 1 − 2l,
l = 1, 2, 3, ..., n.
Thiết kế B. Tạo ma trận m × m của các phần tử vuông (các ô vuông) với m = 2n,
trong đó n = 2, 3, 4, 5, ...
i) Đặt quân hậu (ik , jk ), trong đó ik = k và
jk = 1 + {[2(k − 1) + n − 1] modulom} ,
với k = 1, 2, 3, ..., n.
ii) Đặt quân hậu (il , jl ), trong đó il = 2n+1−l và jl = 2n− {[2(l − 1) + n − 1] modulom} ,
với l = 1, 2, 3, ..., n.
Thiết kế C. Thêm hàng thứ (m + 1) và cột thứ (m + 1) vào ma trận vuông m × m.
Đặt một quân hậu vào phần tử (m + 1, m + 1).

Định lý 1.1.1. Nếu áp dụng Thiết kế A vào ma trận m × m, m = 2n, trong đó n là
một số nguyên dương, n = 3λ + 1, λ = 0, 1, 2, ... thì nhận được một lời giải bài toán
m quân hậu.
Chứng minh:
Phần i) của Thiết kế A đặt các quân hậu vào các phần tử (k, 2k), trong khi đó phần
ii) đặt các quân hậu vào các phần tử (2n + 1 − l, 2n + 1 − 2l), 1 ≤ (k, l) ≤ n. Rõ
ràng, phần i) đặt mỗi quân hậu vào các phần tử của n hàng đầu tiên với cột được đánh
số chẵn. Phần ii) đặt mỗi quân hậu vào các phần tử n hàng cuối với cột lẻ. Bởi vậy,
mỗi hàng và cột có một và chỉ một quân hậu.
Những đường chéo trội trong phần i) được đánh số 2n − 2k + k = 2n − k,
1 ≤ k ≤ n. Rõ ràng, chúng là duy nhất. Những đường chéo trội trong phần ii) được
đánh số 2n − (2n + 1 − 2l) + 2n + 1 − l = 2n + l, 1 ≤ l ≤ n. Chúng cũng là duy
nhất.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full